AULA 26 - deetc

Note bem: a leitura destes apontamentos não
dispensa de modo algum a leitura atenta da
bibliografia principal da cadeira
Chama-se a atenção para a importância do
trabalho pessoal a realizar pelo aluno resolvendo
os problemas apresentados na bibliografia, sem
consulta prévia das soluções propostas, análise
comparativa entre as suas resposta e a respostas
propostas, e posterior exposição junto do docente
de todas as dúvidas associadas.
26. Transformações lineares de R n em R m .
26.1. Composição de transformações lineares.
Sejam E , E ′ e E ′′ espaços vectoriais sobre o corpo K e T : E → E ′ , S : E′ → E ′′
transformações lineares. Então
S T : E → E ′′
é uma transformação linear, chamada composta de S com T (e escrevemos
STu ( ( )) ou ( S T)( u)
). Por outras palavras, a composta de uma transformação
linear é uma transformação linear.
n p
Em particular, se T : ℝ → ℝ é uma transformação linear com matriz canónica
p m
A T e S : ℝ → ℝ é outra transformação linear com matriz canónica A S , então
n
S T : ℝ
m
→ ℝ é linear e a sua matriz canónica é
Exemplos
1. Sendo
TÓPICOS
Composição de transformações lineares.
Transformação linear inversa.
Transformações afins. Translação.
A = A
© Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A26 - 1 12-05-2008
S
T
S
3 3
A
AULA 26
T
T : ℝ → ℝ uma reflexão sobre o plano xz
⎡1
w = T ( u)
= A u =
⎢
T ⎢
0
⎢⎣
0
0
− 1
0
0⎤
0
⎥
⎥
u
1⎥⎦

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S A L G E B R A L I N E A R
,
3 3
S : ℝ → ℝ uma rotação de θ = − π 2 sobre o eixo do zz
3 3
v = S(
w)
= ASw ⎡cos( θ) =
⎢
⎢
sen( θ) ⎢⎣ 0
−sen( θ)
cos( θ)
0
0⎤
0
⎥
⎥
w
1⎥⎦
⎡ 0
=
⎢
⎢
−1
⎢⎣ 0
1
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
w
1⎥⎦
, U : ℝ → ℝ uma expansão de k = 1.
5
r = U(
v)
= AUv ⎡1.5 =
⎢
⎢
0
⎢⎣ 0
0
1.5
0
0⎤
0
⎥
⎥
v
1.5⎥⎦
A composição de U com S com T ,
r = V ( u)
= U(
S(
T(
u))
= ( U S T )( u)
= AUAS
AT
u , é
3
uma transformação linear, V : ℝ
transformação
3
→ ℝ , com matriz de
, ou seja
A
= AUASA
T
⎡1.
5
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
1.
5
0
0⎤⎡
0
0
⎥⎢
⎥⎢
− 1
1.
5⎥⎦
⎢⎣
0
⎡ 0
=
⎢
⎢
− 1.
5
⎢⎣
0
− 1.
5
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
1.
5⎥⎦
0⎤⎡1
0
⎥⎢
⎥⎢
0
1⎥⎦
⎢⎣
0
© Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A26 - 2 12-05-2008
V
r = V ( u)
= AVu ⎡ 0
=
⎢
⎢
−1.5
⎢⎣ 0
−1.5
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
u
1.5⎥⎦
1
0
0
0
− 1
Saliente-se que a composição de transformações lineares não
é comutativa (basta atender ao facto de se efectuar à custa
de um produto matricial).
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S A L G E B R A L I N E A R
26.2. Transformação linear inversa.
Exemplo
Se E é um espaço vectorial sobre um corpo K , a aplicação 1 E
1 E ( u) = u é linear e designa-se por identidade em E .
: E → E tal que
Duas aplicações quaisquer T : E → E ′ e S : E′ → E dizem-se transformações
inversas uma da outra se S T = 1E
e T
−1
−1
S = 1E
′ . Escrevemos S = T e T = S
(uma vez que a inversa, quando existe é única) e dizemos que S e T são invertíveis.
Se E e E ′ são espaços vectoriais sobre o corpo K e T : E → E ′ é uma
transformação linear invertível então
1 T :
− E′ → E é uma transformação linear
(invertível). Por outras palavras, a inversa de uma transformação linear é linear.
n n
Em particular, se T : ℝ → ℝ é uma transformação linear invertível (um
isomorfismo), com matriz canónica A T , então
1 n
T :
n
−
ℝ → ℝ é uma
transformação linear invertível com matriz canónica
© Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A26 - 3 12-05-2008
A
T
= A
−1
−1 T
Ou seja, a matriz da transformação inversa é igual à inversa da matriz da
transformação.
2. Sendo
3 3
T : ℝ → ℝ uma rotação de θ = − π 2 sobre o eixo do zz
w = T(
u)
= AT
u
⎡cos(
− π 2)
− sen( − π 2)
=
⎢
⎢
sen( − π 2)
⎢⎣
0
cos( − π 2)
0
⎡ 0
=
⎢
⎢
− 1
⎢⎣
0
1
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
u
1⎥⎦
, a sua transformação inversa tem matriz de transformação
u = T
−1
( w)
= A
−1
−1
w = A
T
T
−1
⎡ 0
=
⎢
⎢
− 1
⎢⎣
0
1
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
w
⎡0 =
⎢
⎢
1
⎢⎣
0
− 1
0
0
0⎤
0
⎥
⎥
w
1⎥⎦
⎡cos(
π 2)
− sen( π 2)
=
⎢
⎢
sen( π 2)
⎢⎣
0
cos( π 2)
0
ou seja, como seria de esperar, uma rotação de θ = π 2 .
w
0⎤
0
⎥
⎥
u
1⎥⎦
0⎤
0
⎥
⎥
w
1⎥⎦

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S A L G E B R A L I N E A R
26.3. Transformações afins. Translação.
Chamamos transformação afim de
Figura 26.1
n m
ℝ → ℝ a uma transformação da forma
S ( u ) = T(
u)
+ k
n m
, em que T é uma transformação linear de ℝ → ℝ e k ∈ ℝ é um vector
constante. (Note bem: uma transformação afim não é uma transformação
linear.)
n n
Uma transformação afim T : ℝ → ℝ da forma
, em que = [ k k , ⋯,
k ]
T ( u ) = Inu
+ k
k 1,
2 n corresponde a uma translação de i
cada um dos vectores e i da base canónica de
Exemplos
3. A transformação afim
2 2
T : ℝ → ℝ
© Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A26 - 4 12-05-2008
n
ℝ .
m
k unidades segundo
⎡1
0⎤
⎡1⎤
T ( u)
= ⎢ ⎥u
+ ⎢ ⎥
⎣0
1⎦
⎣2⎦
corresponde a uma translação de uma unidade segundo e 1 e de 2 unidades segundo
e 2
4. A transformação afim
2 2
T : ℝ → ℝ
⎡− 1 0⎤
⎡0⎤
T ( u)
= ⎢ ⎥u
+ ⎢ ⎥
⎣ 0 1⎦
⎣2⎦
corresponde a uma reflexão sobre o eixo dos yy seguida de
uma translação de 2 unidades segundo e 2 .
Por exemplo, para o ponto ( 2,
2)
temos
⎡− 1 0⎤
⎡2⎤
⎡0⎤
T(u)
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥
⎣ 0 1⎦
⎣2⎦
⎣2⎦
⎡− 2⎤
⎡0⎤
= ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥
⎣ 2⎦
⎣2⎦
⎡− 2⎤
= ⎢ ⎥
⎣ 4⎦

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S A L G E B R A L I N E A R
Exercícios.
CALCULAR A IMAGEM DADA A MATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO E O OBJECTO.
26.1. Sendo
⎡ 2
A =
⎢
⎢
− 1
⎢⎣
2
a matriz canónica de uma transformação linear
Temos
⎡ 2
w = Au =
⎢
⎢
− 1
⎢⎣
2
© Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A26 - 5 12-05-2008
2⎤
− 1
⎥
⎥
3⎥⎦
2 3
T : ℝ → ℝ , determine T (1, 2) .
2⎤
⎡ 6⎤
⎥ ⎡1⎤
− 1 =
⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
− 3
⎥
⎥
⎣2
3
⎦
⎦ ⎢⎣
8⎥⎦
A imagem do vector u = e1
+ 2e2
é o vector w = T ( u)
= 6e1
− 3e2
+ 8e3
.
>> A=[2 2; -1 -1;2 3];
>> u=[1 2]';
>> w=A*u
w =
6
-3
8
26.2. Sendo
⎡−
2
A = ⎢
⎣−
1
1
2
2⎤
3
⎥
⎦
3
a matriz canónica de uma transformação linear T : ℝ
2
→ ℝ , determine T (1, 2, 3) .
Temos
⎡−
2
w = Au = ⎢
⎣−
1
1
2
⎡1⎤
2⎤
⎢ ⎥ ⎡ 6 ⎤
⎥ ⎢
2
⎥
=
3
⎢ ⎥
⎦
⎢ ⎥
⎣12⎦
⎣3⎦
A imagem do vector u = e1
+ 2e2 + 3e3
é o vector w = T ( u)
= 6e1
+ 12e2
.
>> A=[-2 1 2; -1 2 3];
>> u=[1 2 3]';

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S A L G E B R A L I N E A R
>> w=A*u
w =
6
12
26.3. Sendo
⎡−
2
A =
⎢
⎢
− 1
⎢⎣
− 1
a matriz canónica de uma transformação linear
Temos
⎡−
2
w = Au =
⎢
⎢
− 1
⎢⎣
− 1
© Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A26 - 6 12-05-2008
1
2
0
1
2
0
2⎤
3
⎥
⎥
1⎥⎦
3 3
T : ℝ → ℝ , determine T (1, 2,1) .
2⎤
⎡1⎤
⎡ 2⎤
3
⎥ ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎥ ⎢
2
⎥ ⎢
6
⎥
1⎥⎦
⎢⎣
1⎥⎦
⎢⎣
− 2⎥⎦
A imagem do vector u = e1
+ 2e2 + e3
é o vector w = T ( u)
= 2e1
+ 6e2
− 2e3
.
>> A=[-2 1 2; -1 2 3;-1 0 -1];
>> u=[1 2 1]';
>> w=A*u
w =
2
6
-2
2 2
26.4. Dada a transformação linear T : ℝ → ℝ , que consiste numa reflexão sobre o eixo
dos yy, seguida duma rotação de π 2 (no sentido directo) e duma projecção ortogonal
sobre o eixo dos yy, determine T (2, 2) .
Como vimos, a uma reflexão sobre o eixo dos yy corresponde a matriz de
transformação
⎡− 1 0⎤
A 1 = ⎢ ⎥
⎣ 0 1⎦
, a uma rotação de um ângulo θ no sentido directo corresponde a matriz de
transformação
A 2
⎡cos(
θ)
= ⎢
⎣sen(
θ)
− sen( θ)
⎤
cos( θ)
⎥
⎦
, e a uma projecção ortogonal sobre o eixo dos yy corresponde a matriz de
transformação

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S A L G E B R A L I N E A R
⎡0
A 3 = ⎢
⎣0
0⎤
1
⎥
⎦
Sendo a transformação T uma composição das 3 transformações elementares, temos
w = T(
u)
= A3A2A1u
⎡0
= ⎢
⎣0
0⎤
⎡cos(
π 2)
1
⎥ ⎢
⎦ ⎣sen(
π 2)
− sen( π 2)
⎤ ⎡− 1
cos( π 2)
⎥ ⎢
⎦ ⎣ 0
0⎤
⎡2⎤
1
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣2⎦
⎡0
= ⎢
⎣0
0⎤
⎡0 1
⎥ ⎢
⎦ ⎣1
− 1⎤
⎡− 1
0
⎥ ⎢
⎦ ⎣ 0
0⎤
⎡2⎤
1
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣2⎦
⎡ 0
= ⎢
⎣−
1
⎡ 0⎤
= ⎢ ⎥
⎣−
2⎦
0⎤
⎡2⎤
0
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣2⎦
>> A1=[-1 0;0 1];
>> teta=pi/2;
>> A2=[cos(teta) -sin(teta); sin(teta) cos(teta)];
>> A3=[0 0;0 1];
>> A=A3*A2*A1
A =
0 0
-1.0000 0.0000
>> u=[2 2]';
>> w=A*u
w =
0
-2.0000
26.5. Considere a seguinte matriz dos vértices de um triângulo em
⎡1
3 2⎤
T r = ⎢ ⎥
⎣2
3 1⎦
Determine a imagem final (os vértices) do triângulo quando é reflectido sobre o eixo
dos yy, e depois rodado de π 2 no sentido directo.
Dado que a uma reflexão sobre o eixo dos yy corresponde a matriz de transformação
⎡− 1
= ⎢
⎣ 0
© Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A26 - 7 12-05-2008
A 1
, e a uma rotação de um ângulo 2
π no sentido directo corresponde a matriz de
transformação
0⎤
1
⎥
⎦
2
ℝ

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S A L G E B R A L I N E A R
⎡cos(
θ)
A 2 = ⎢
⎣sen(
θ)
A matriz da transformação é
− sen( θ)
⎤ ⎡0 ⎥ =
cos( θ)
⎢
⎦ ⎣1
− 1⎤
0
⎥
⎦
⎡0 A = A2A1
= ⎢
⎣1
− 1⎤
⎡− 1
0
⎥ ⎢
⎦ ⎣ 0
0⎤
⎡ 0
⎥ =
1
⎢
⎦ ⎣−
1
− 1⎤
0
⎥
⎦
Dado que os vértices do triângulo correspondem a vectores coluna correspondentes a
cada uma das colunas da matriz r T
⎡⎡v1⎤
T r = ⎢⎢
⎥
⎣⎣
⎦
⎡v2⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡v3⎤⎤
⎢ ⎥⎥
⎣ ⎦⎦
, resulta que ao produto AT r corresponde uma matriz
AT
r
⎡ 0
= ⎢
⎣−
1
− 1⎤
⎡⎡v1⎤
⎢
0
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣⎣
⎦
⎡v2⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡v3⎤⎤
⎢ ⎥⎥
⎣ ⎦⎦
⎡
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎣
⎡v1⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡v1⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡v2⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡v2⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎡v1⎤
= ⎢A⎢
⎥
⎣ ⎣ ⎦
⎡v2⎤
A⎢
⎥
⎣ ⎦
⎡v3⎤⎤
A⎢
⎥⎥
⎣ ⎦⎦
⎡⎡w1⎤
= ⎢⎢
⎥
⎣⎣
⎦
⎡w2⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡w3⎤⎤
⎢ ⎥⎥
⎣ ⎦⎦
[ 0 − 1]
[ 0 − 1]
[ 0 − 1]
[ − 1 0]
[ − 1 0]
[ − 1 0]
⎡v3⎤⎤
⎢ ⎥⎥
⎣ ⎦⎥
⎡v3⎤⎥
⎢ ⎥⎥
⎣ ⎦⎦
em que cada uma das colunas corresponde à imagem de cada um dos vértices do
triângulo
ATr
⎡ 0
= ⎢
⎣−
1
⎡−
2
= ⎢
⎣−
1
>> teta=pi/2;
>> A2=[cos(teta) -sin(teta);...
sin(teta) cos(teta)];
>> A=A2*A1;
>> Tr=[1 3 2;2 3 1];
>> A*Tr
ans =
-2.0000 -3.0000 -1.0000
-1.0000 -3.0000 -2.0000
− 1⎤
⎡1
0
⎥ ⎢
⎦ ⎣2
3
3
− 3
− 3
− 1⎤
− 2
⎥
⎦
© Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A26 - 8 12-05-2008
2⎤
1
⎥
⎦