Exemplo 1 Derivada da Função Paramétrica - deetc

Resolução do exemplo da função paramétrica
Vejamos se f ( t) =− 1+ 2cos t é invertível em [ 0,π ]
Pelo que sabemos da função cosseno, ela é invertível na sua
restrição principal que é exactamente o intervalo que nos dão. O
produto por 2 e a subtracção de 1 não alteram a injectividade. da
função.
Assim a função f é invertível.
Cálculo de
1
f − :
Fazemos agora a composição:
−1
( ) ( )
y = h x = g⎡ ⎣
f x ⎤
⎦
⎛ ⎛ x + 1⎞⎞
y = 2 + sin ⎜arccos⎜ ⎟
2
⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
atendendo a que :
tem-se:
x = − 1+ 2cos
t
x + 1
cos t =
2
⎛ x + 1⎞
t = arccos⎜
2
⎟
⎝ ⎠
2
1
2 1 cos arccos
2
x ⎛ ⎛ + ⎞⎞
y = + − ⎜ ⎜ ⎟⎟
⎝ ⎝ ⎠⎠
⎛ x + 1⎞
y = 2+ 1−⎜
2
⎟
⎝ ⎠
Simplificando:
2
sin a = 1−
cos a no intervalo considerado,
2
( y )
2
⎛ 2 ⎞
2 x + 1
⎛ ⎞
− 2 = ⎜ 1−
⎟
⎜
⎜
2
⎟
⎝ ⎠ ⎟
⎝ ⎠

− 2
⎛ x +
= 1−⎜
⎝ 2
⎞
⎟
⎠
2
x+ 1
+
2
2
2
y−2
= 1
2
1
12 ,
( y )
2 1
( ) ( )
− , semi eixo maior
segundo ox, a valer 2 e semi eixo menor segundo oy a valer 1.
que é parte de uma elipse centrada em ( )
Vejamos que parte é:
Para x :
0 ≤t≤π −1≤cost ≤1
−2≤2cos t ≤2
−3≤− 1+ 2cost≤1⇔−3≤ x≤1
O gráfico vem então:
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
2
Para y :
0 ≤t≤π 0≤sin t ≤1
2≤ 2+ sin t≤3⇔2≤ y≤3
Exemplo: Função paramétrica
-1
-4 -3 -2 -1 0 1 2