CAPÍTULO 2 - Minerva.ufpel.tche.br
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<strong>CAPÍTULO</strong> 2<<strong>br</strong> />
CARACTERÍSTICAS MAGNÉTICAS DOS MATERIAIS.<<strong>br</strong> />
CIRCUITOS MAGNÉTICOS<<strong>br</strong> />
Na maior parte das vezes os campos magnéticos, antes de constituírem em um fim<<strong>br</strong> />
em si mesmo, são um meio utilizado para alcançar um resultado; em outras palavras,<<strong>br</strong> />
geralmente não há sentido em gerar um campo magnético sem que este se destine à<<strong>br</strong> />
obtenção de algum outro tipo de fenômeno.<<strong>br</strong> />
Uma das maiores utilidades de um campo magnético é servir como "intermediário"<<strong>br</strong> />
para a transformação de energia elétrica em mecânica – e vice-versa -, em um processo<<strong>br</strong> />
conhecido como conversão eletro-mecânica de energia, presente nas máquinas elétricas.<<strong>br</strong> />
No caso de um gerador, por exemplo, a energia mecânica fornecida por uma fonte externa<<strong>br</strong> />
(digamos, um motor a gasolina) é transformada em energia elétrica, como mostra a Fig. 2.1;<<strong>br</strong> />
é o campo magnético quem propicia esta transformação, como veremos no próximo<<strong>br</strong> />
capítulo.<<strong>br</strong> />
Figura 2.1 - Fluxo de energia em um gerador elétrico<<strong>br</strong> />
Máquinas que utilizam campos magnéticos têm seus elementos constitutivos<<strong>br</strong> />
projetados de forma a proporcionar uma otimização na distribuição espacial destes campos.<<strong>br</strong> />
Esses dispositivos se constituem em verdadeiros circuitos magnéticos, distribuindo os<<strong>br</strong> />
fluxos magnéticos de maneira adequada ao bom funcionamento da máquina.<<strong>br</strong> />
2.1 PERMEABILIDADE MAGNÉTICA<<strong>br</strong> />
A permeabilidade magnética, simbolizada pela letra grega , é uma grandeza<<strong>br</strong> />
característica de cada material e se refere à sua capacidade em "aceitar" a existência de<<strong>br</strong> />
linhas de indução em seu interior. Assim, quanto maior for a permeabilidade de um<<strong>br</strong> />
material, mais facilmente se "instalarão" linhas de indução em seu interior.<<strong>br</strong> />
A permeabilidade magnética de um material pode ser comparada à condutância de<<strong>br</strong> />
um corpo: enquanto esta exprime o grau de "facilidade" com que a corrente elétrica<<strong>br</strong> />
percorre este corpo, aquela mede o grau de "facilidade" com que o fluxo magnético se<<strong>br</strong> />
estabelece no interior de um material.
Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
Figura 2.2 - Distribuição das linhas de indução geradas pela corrente i em um enrolamento:<<strong>br</strong> />
(a) com núcleo de ar; (b) com núcleo de material de alta permeabilidade magnética relativa.<<strong>br</strong> />
Denomina-se permeabilidade magnética relativa (r) de um material à relação<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
(2.1)<<strong>br</strong> />
r<<strong>br</strong> />
onde é a permeabilidade do material e o = 4 10 -7 Wb/A.m é a permeabilidade<<strong>br</strong> />
magnética do vácuo. Então, um material com r = 1.000 é capaz de aceitar em seu interior<<strong>br</strong> />
um número de linhas mil vezes maior que o vácuo.<<strong>br</strong> />
Para melhor visualizar esta propriedade, observe-se a Fig. 2.2, que mostra dois<<strong>br</strong> />
casos de distribuição de linhas de indução geradas pela corrente i que circula num<<strong>br</strong> />
enrolamento. Em (a) não existe núcleo 1 e as linhas se espalham por todo o espaço em torno<<strong>br</strong> />
do enrolamento; já em (b), as linhas de indução se concentram no interior do núcleo em<<strong>br</strong> />
torno do qual é feito o enrolamento, graças à elevada permeabilidade relativa do material,<<strong>br</strong> />
resultando em um fluxo magnético mais intenso. As poucas linhas que "escapam" através<<strong>br</strong> />
do espaço em torno do núcleo constituem o chamado fluxo de dispersão.<<strong>br</strong> />
A classificação magnética dos materiais é feita de acordo com sua permeabilidade<<strong>br</strong> />
magnética (ver Tab. 2.1):<<strong>br</strong> />
a) Materiais paramagnéticos são aqueles que cuja permeabilidade relativa é pouco<<strong>br</strong> />
maior que 1. Tais substâncias são levemente atraídas por campos magnéticos<<strong>br</strong> />
excepcionalmente fortes, porém esta atração é tão fraca que são consideradas nãomagnéticas.<<strong>br</strong> />
Nessa classe se encontra um grande número de substâncias, como o ar, o<<strong>br</strong> />
alumínio, o alumínio e a madeira.<<strong>br</strong> />
b) Materiais diamagnéticos, como o bismuto, o co<strong>br</strong>e e a água, possuem<<strong>br</strong> />
permeabilidade relativa um pouco menor que 1, sendo levemente repelidos por campos<<strong>br</strong> />
magnéticos muito fortes. Também aqui estas forças são muito fracas, sendo esses materiais<<strong>br</strong> />
considerados não-magnéticos.<<strong>br</strong> />
1 Ou, como se costuma dizer, a bobina tem núcleo de ar.<<strong>br</strong> />
13<<strong>br</strong> />
0
Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
c) Materiais ferromagnéticos, ou simplesmente materiais magnéticos, possuem<<strong>br</strong> />
permeabilidade relativa muito maior que 1, sendo fortemente atraídos por campos<<strong>br</strong> />
magnéticos em geral. Nesta categoria se incluem substâncias como o ferro, o cobalto, o<<strong>br</strong> />
níquel e algumas ligas industriais.<<strong>br</strong> />
Material<<strong>br</strong> />
Permeabilidade magnética relativa<<strong>br</strong> />
(R)<<strong>br</strong> />
Classificação<<strong>br</strong> />
magnética<<strong>br</strong> />
Bismuto 0,999833 diamagnética<<strong>br</strong> />
Água 0,999991 diamagnética<<strong>br</strong> />
Co<strong>br</strong>e 0,999995 diamagnética<<strong>br</strong> />
Ar 1,000000 paramagnética<<strong>br</strong> />
Oxigênio 1,000002 paramagnética<<strong>br</strong> />
Alumínio 1,000021 paramagnética<<strong>br</strong> />
Cobalto 170 ferromagnética<<strong>br</strong> />
Níquel 1.000 ferromagnética<<strong>br</strong> />
Ferro 7.000 ferromagnética<<strong>br</strong> />
Permalloy 1 100.000 ferromagnética<<strong>br</strong> />
(1) Liga composta por ferro (17%), molibdênio (4%) e níquel (79%).<<strong>br</strong> />
A Tab. 2.1 mostra o valor da permeabilidade magnética relativa de alguns materiais.<<strong>br</strong> />
É importante observar que se tratam de valores médios de permeabilidade, já que, como se<<strong>br</strong> />
verá adiante, esta pode variar significativamente de acordo com a intensidade dos campos<<strong>br</strong> />
magnéticos a que são submetidos os materiais.<<strong>br</strong> />
2.2. TEORIA DE GAUSS-EWING<<strong>br</strong> />
Embora sejam usadas há muito tempo, as propriedades magnéticas dos materiais até<<strong>br</strong> />
hoje não são perfeitamente explicadas. Acredita-se que a "fonte" do magnetismo está no<<strong>br</strong> />
movimento orbital dos elétrons em torno dos núcleos, gerando campos magnéticos<<strong>br</strong> />
infinitesimais.<<strong>br</strong> />
A chamada Teoria de Gauss-Ewing postula que em grande parte dos materiais esses<<strong>br</strong> />
campos se cancelam mutuamente devido ao movimento desordenado dos elétrons; nos<<strong>br</strong> />
materiais ferromagnéticos, entretanto, certos grupos de átomos estão "pareados", de forma<<strong>br</strong> />
que seus campos se somam, formando o que se chama de domínios magnéticos, cada um<<strong>br</strong> />
dos quais pode ser representado por um dipolo magnético semelhante a um ímã. Porém,<<strong>br</strong> />
numa dada amostra de material ferromagnético, o alinhamento dos domínios é também<<strong>br</strong> />
desordenado, como se mostra na Fig. 2.3(a), de forma que o material como um todo não<<strong>br</strong> />
apresenta qualquer característica magnética 2 .<<strong>br</strong> />
No entanto, se um campo magnético externo de intensidade H for aplicado à<<strong>br</strong> />
amostra, os domínios tendem a se alinhar por ele, como se vê na Fig. 2.3(b), reforçando<<strong>br</strong> />
assim as propriedades magnéticas do material. A amostra comporta-se como um ímã, cujos<<strong>br</strong> />
pólos são mostrados na figura; como se verá na Seção 2.3, esta "imantação" poderá ou não<<strong>br</strong> />
2 Uma exceção seria um mineral conhecido como magnetita, que naturalmente apresenta-se magnetizado; é,<<strong>br</strong> />
portanto, o único ímã natural que se conhece.<<strong>br</strong> />
14
Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
ser permanente, isto é, subsistir após a retirada do campo externo, dependendo do valor do<<strong>br</strong> />
mesmo.<<strong>br</strong> />
Figura 2.3 - Domínios em uma amostra de material: (a) não-magnético ou nãomagnetizado;<<strong>br</strong> />
(b) magnetizado pela aplicação de um campo magnético externo H<<strong>br</strong> />
Esta teoria explica satisfatoriamente algumas características dos materiais<<strong>br</strong> />
magnéticos:<<strong>br</strong> />
imãs naturais (ver nota de rodapé) já teriam os domínios naturalmente alinhados, de<<strong>br</strong> />
forma a produzir os efeitos magnéticos sem a necessidade de campo externo;<<strong>br</strong> />
não se consegue isolar os pólos de um ímã: se um desses for partido ao meio obtém-se<<strong>br</strong> />
dois ímãs completos, cada um com um pólo N e outro S;<<strong>br</strong> />
quando um ímã é submetido a choque mecânico ou aquecimento, pode perder sua<<strong>br</strong> />
imantação: é que a energia fornecida ao material nesses casos pode ser suficiente para<<strong>br</strong> />
desarranjar a orientação dos domínios;<<strong>br</strong> />
para se magnetizar uma agulha deve-se "esfregá-la" com o pólo de um ímã passado<<strong>br</strong> />
sempre no mesmo sentido: o ímã produz o papel de campo externo necessário e a<<strong>br</strong> />
movimentação constante promove um alinhamento dos domínios sempre no mesmo<<strong>br</strong> />
sentido.<<strong>br</strong> />
Quando um material magnético é submetido a um campo externo H , a indução<<strong>br</strong> />
magnética B é dada pela soma dos efeitos devidos ao campo externo e ao vetor chamado<<strong>br</strong> />
polarização magnética M , isto é:<<strong>br</strong> />
B o(H M)<<strong>br</strong> />
equação que, em módulo, pode ser colocada sob a forma<<strong>br</strong> />
M<<strong>br</strong> />
B o 1M H<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
O termo entre parênteses representa a permeabilidade magnética relativa do material,<<strong>br</strong> />
portanto<<strong>br</strong> />
B0 rH<<strong>br</strong> />
portanto, de acordo com a Eq. 2.1<<strong>br</strong> />
B H<<strong>br</strong> />
(2.2)<<strong>br</strong> />
que é a mesma Eq. 1.12 do capítulo anterior.<<strong>br</strong> />
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Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
2.3. CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO<<strong>br</strong> />
Medidas realizadas em laboratório mostram que a relação B H dada pela Eq. 2.2 é<<strong>br</strong> />
essencialmente não-linear: se for traçado um gráfico relacionando o campo externo H com<<strong>br</strong> />
a indução magnética B no material, obtém-se uma curva do tipo mostrado na Fig. 2.4,<<strong>br</strong> />
conhecida como curva de magnetização ou característica BH do material.<<strong>br</strong> />
A Teoria de Gauss-Ewing também explica o comportamento dessas curvas:<<strong>br</strong> />
Na região I acontece um crescimento<<strong>br</strong> />
dos domínios favoravelmente<<strong>br</strong> />
alinhados com o campo externo.<<strong>br</strong> />
Nessa região as alterações são<<strong>br</strong> />
reversíveis: se o campo externo for<<strong>br</strong> />
retirado, os domínios voltarão a sua<<strong>br</strong> />
situação original, sem haver<<strong>br</strong> />
"fixação" das características<<strong>br</strong> />
magnéticas na amostra.<<strong>br</strong> />
Se H for aumentado até a região II, o<<strong>br</strong> />
aumento dos domínios é<<strong>br</strong> />
acompanhado de uma tendência de<<strong>br</strong> />
alinhamento de outros domínios com<<strong>br</strong> />
o campo externo. A partir dessa<<strong>br</strong> />
região, os efeitos magnéticos<<strong>br</strong> />
tornam-se irreversíveis, de forma que<<strong>br</strong> />
o material fica magnetizado mesmo<<strong>br</strong> />
se o campo externo for anulado.<<strong>br</strong> />
Figura 2.4 - Curva de magnetização típica de<<strong>br</strong> />
materiais magnéticos<<strong>br</strong> />
Na região III, a maioria dos domínios já está alinhada com o campo externo, de modo<<strong>br</strong> />
que é necessário um grande incremento de H para se conseguir um discreto aumento de<<strong>br</strong> />
B.<<strong>br</strong> />
Na região IV, todos os domínios da amostra estão alinhados com o campo externo; portanto<<strong>br</strong> />
um aumento de H não produz qualquer alteração de B. Diz-se que, nesta situação, o<<strong>br</strong> />
material atingiu a saturação magnética.<<strong>br</strong> />
Se for estabelecida uma pequena alteração H no valor do campo magnético, haverá<<strong>br</strong> />
um correspondente incremento B na indução magnética. A Eq. 2.2 permite concluir que<<strong>br</strong> />
B<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
H<<strong>br</strong> />
Se H 0, esta equação se transforma em uma derivada, que pode ser representada<<strong>br</strong> />
geometricamente pela tangente à curva BH em cada ponto. Vê-se, então, que a<<strong>br</strong> />
permeabilidade magnética não pode ser considerada uma constante: no ponto a mostrado na<<strong>br</strong> />
Fig. 2.4 a permeabilidade é maior que no ponto b. A exceção é feita para o vácuo, onde a<<strong>br</strong> />
permeabilidade é considerada constante e igual a 4 10 -7 Wb/A.m.<<strong>br</strong> />
Na Fig. 2.5 são mostradas as curvas de magnetização de alguns materiais<<strong>br</strong> />
magnéticos usados em aplicações comerciais.<<strong>br</strong> />
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Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
Figura 2.5 -- Curvas de magnetização de alguns materiais magnéticos comerciais<<strong>br</strong> />
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Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
2.4. HISTERESE<<strong>br</strong> />
Suponha-se que uma amostra de material magnético seja submetida a um campo<<strong>br</strong> />
magnético de intensidade H variável com o tempo (este é o caso típico de núcleos em torno<<strong>br</strong> />
dos quais são feitos enrolamentos excitados por CA). Se a amostra estiver inicialmente<<strong>br</strong> />
desmagnetizada e o campo for aumentando até o valor H1, a curva B H segue a linha 0a<<strong>br</strong> />
mostrada na Fig. 2.6. Caso o valor de H1 seja suficientemente elevado para atingir a região<<strong>br</strong> />
II da curva de magnetização, quando o campo externo decrescer a curva seguirá pela linha<<strong>br</strong> />
ab, de modo que para H = 0 o valor de B será dado pela ordenada 0b; este valor é chamado<<strong>br</strong> />
de magnetização residual, pois é a magnetização que "resta" no material após o campo<<strong>br</strong> />
externo ter-se reduzido a zero.<<strong>br</strong> />
Para desmagnetizar a amostra será necessário inverter o sentido do campo e<<strong>br</strong> />
aumentar sua intensidade até H2, valor conhecido<<strong>br</strong> />
como força coercitiva 3 . Se o campo continuar<<strong>br</strong> />
aumentando até o valor – H1 (isto é, no sentido<<strong>br</strong> />
contrário ao inicial), a curva B B seguirá a linha<<strong>br</strong> />
cd. No semiciclo seguinte o raciocínio é o mesmo,<<strong>br</strong> />
de forma que após completado um ciclo obtém-se<<strong>br</strong> />
uma curva semelhante à mostrada na Fig. 2.6,<<strong>br</strong> />
chamada curva de histerese.<<strong>br</strong> />
A forma do laço de histerese de um dado<<strong>br</strong> />
material depende do máximo valor do campo<<strong>br</strong> />
atingido no ciclo (H1). A curva obtida pela ligação<<strong>br</strong> />
dos vértices dos laços de histerese obtidos para<<strong>br</strong> />
diferentes valores de H1é chamada curva normal de<<strong>br</strong> />
magnetização,.<<strong>br</strong> />
Quando um material é submetido a um campo<<strong>br</strong> />
magnético externo alternado, seus domínios estarão<<strong>br</strong> />
em contínuo movimento, buscando alinhar-se com<<strong>br</strong> />
H. Isso causa um "atrito" entre os domínios,<<strong>br</strong> />
aquecendo o material e ocasionando as chamadas<<strong>br</strong> />
perdas por histerese. Demonstra-se que essas<<strong>br</strong> />
perdas são proporcionais à área encerrada na curva<<strong>br</strong> />
de histerese.<<strong>br</strong> />
Comprova-se experimentalmente que a<<strong>br</strong> />
potência dissipada por unidade de volume de<<strong>br</strong> />
Figura 2.6 – Formação do laço de<<strong>br</strong> />
material durante um ciclo de histerese é dada por<<strong>br</strong> />
histerese<<strong>br</strong> />
n<<strong>br</strong> />
Ph K h.f.B M<<strong>br</strong> />
(2.3)<<strong>br</strong> />
onde Kh e n são constantes que dependem do<<strong>br</strong> />
material e da própria densidade do campo<<strong>br</strong> />
magnético, enquanto f é a freqüência do campo magnético (em Hz) e BM é o máximo valor<<strong>br</strong> />
de B alcançado durante o ciclo.<<strong>br</strong> />
3 Este termo é derivado do verbo coagir, que significa o<strong>br</strong>igar, forçar. De fato este valor de H2 o<strong>br</strong>iga o<<strong>br</strong> />
material a se desmagnetizar.<<strong>br</strong> />
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Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
2.5. CIRCUITOS MAGNÉTICOS<<strong>br</strong> />
Nos dispositivos eletromecânicos – e aí se incluem geradores, motores, contactores,<<strong>br</strong> />
relés, etc. – a utilização de enrolamentos e núcleos objetiva o estabelecimento de fluxos<<strong>br</strong> />
magnéticos como meio de acoplamento na transformação de energia elétrica em mecânica,<<strong>br</strong> />
ou vice-versa. Nesses dispositivos, a função do núcleo é "canalizar" para os pontos<<strong>br</strong> />
desejados as linhas de indução do campo magnético geradas pelos enrolamentos. Fazendo<<strong>br</strong> />
uma analogia com os circuitos elétricos, os enrolamentos seriam como fontes, os fluxos<<strong>br</strong> />
magnéticos equivaleriam a correntes e os núcleos fariam o papel de condutores.<<strong>br</strong> />
Para tornar mais evidente esta analogia, tome-se um núcleo toroidal, como o da Fig.<<strong>br</strong> />
2.7(a), com seção transversal circular de raio r, confeccionado com um material de elevada<<strong>br</strong> />
permeabilidade magnética . Em torno do mesmo é feito um enrolamento de N espiras<<strong>br</strong> />
onde circula a corrente constante I, gerando um campo magnético. Como a permeabilidade<<strong>br</strong> />
do material magnético é muito maior que a do ar que o circunda, é válido pensar que as<<strong>br</strong> />
linhas de indução estará confinadas ao núcleo.<<strong>br</strong> />
Figura 2.6 - Bobina toroidal: (a) aspecto físico; (b) circuito elétrico análogo<<strong>br</strong> />
Pode-se deduzir que o campo magnético no interior desse núcleo não é uniforme, já<<strong>br</strong> />
que as espiras estão mais próximas entre si na parte interna do que na externa, o que<<strong>br</strong> />
significa que o campo vai enfraquecendo em direção à parte exterior do núcleo. Para<<strong>br</strong> />
contornar esse problema, que dificulta o processo de cálculos, toma-se a linha de indução<<strong>br</strong> />
correspondente a um raio médio R, representada por uma linha tracejada na Fig. 2.7(a) e<<strong>br</strong> />
aplica-se a Lei de Ampère (Eq. 1.13). Como cada uma das espiras transporta a corrente I e<<strong>br</strong> />
contribui para a formação do campo no interior do núcleo, a corrente total é NI, então<<strong>br</strong> />
H dl<<strong>br</strong> />
Hl<<strong>br</strong> />
NI<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
onde l = 2R corresponde ao comprimento médio do núcleo.<<strong>br</strong> />
Uma vez que a corrente no enrolamento é a "fonte" geradora do magnetismo, o<<strong>br</strong> />
termo NI é chamado de força magnetomotriz (a<strong>br</strong>eviadamente f.m.m.), simbolizada por F.<<strong>br</strong> />
Então<<strong>br</strong> />
F NI Hl<<strong>br</strong> />
(2.4)<<strong>br</strong> />
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As principais unidades de f.m.m. são:<<strong>br</strong> />
Ampère-espira (A-e) – usada no Sistema Internacional<<strong>br</strong> />
e Gilbert = 0,7958 A-e.<<strong>br</strong> />
O fluxo magnético no interior do núcleo será<<strong>br</strong> />
ou, ainda<<strong>br</strong> />
S<<strong>br</strong> />
BS HS<<strong>br</strong> />
F<<strong>br</strong> />
l<<strong>br</strong> />
1 l <<strong>br</strong> />
F <<strong>br</strong> />
(2.5)<<strong>br</strong> />
S <<strong>br</strong> />
O termo entre parênteses nessa equação lem<strong>br</strong>a a expressão para o cálculo da resistência<<strong>br</strong> />
elétrica R de um corpo, dada por<<strong>br</strong> />
1 l<<strong>br</strong> />
R <<strong>br</strong> />
S<<strong>br</strong> />
onde é a condutividade elétrica do material, l é o comprimento do condutor e S é a área<<strong>br</strong> />
de sua seção transversal. Por esta razão, denomina-se relutância (R) à relação<<strong>br</strong> />
1 l<<strong>br</strong> />
R <<strong>br</strong> />
(2.6)<<strong>br</strong> />
S<<strong>br</strong> />
cuja unidade no Sistema Internacional é o Ampère-espira/Webber (A-e/Wb). Assim, a<<strong>br</strong> />
Eq. 2.5 pode ser reescrita como<<strong>br</strong> />
F R <<strong>br</strong> />
(2.7)<<strong>br</strong> />
que é a chamada Lei de Ohm para circuitos magnéticos, dada sua semelhança com a lei<<strong>br</strong> />
homônima para circuitos elétricos.<<strong>br</strong> />
A semelhança entre os circuitos magnéticos e elétricos é evidente. Na Tab. 2.2<<strong>br</strong> />
mostra-se a analogia entre as grandezas mais comumente encontradas em um e outro tipo<<strong>br</strong> />
de circuito. O circuito elétrico análogo ao da Fig. 2.7(a) é mostrado na Fig. 2.7(b).<<strong>br</strong> />
Tabela 2.1 - Analogia entre grandezas dos circuitos elétricos e magnéticos<<strong>br</strong> />
Circuito elétrico Circuito magnético<<strong>br</strong> />
Grandeza Símbolo Grandeza Símbolo<<strong>br</strong> />
Corrente I Fluxo magnético <<strong>br</strong> />
Densidade de corrente J Densidade de fluxo magnético B<<strong>br</strong> />
Força eletromotriz (tensão) V Força magnetomotriz F<<strong>br</strong> />
Intensidade de campo elétrico E Intensidade de campo magnético H<<strong>br</strong> />
Condutividade elétrica Permeabilidade magnética <<strong>br</strong> />
Resistência R Relutância R<<strong>br</strong> />
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Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
Exemplo 2.1<<strong>br</strong> />
Uma bobina é confeccionada com 500 espiras enroladas em torno de um núcleo<<strong>br</strong> />
toroidal semelhante ao da Fig. 2.7(a), sendo a = 11 cm e b = 9 cm. Desejando-se<<strong>br</strong> />
estabelecer no interior desse núcleo um fluxo magnético médio igual a 0,2 mWb,<<strong>br</strong> />
determinar a corrente I necessária, supondo-se que o material é: (a) plástico; (b) ferro<<strong>br</strong> />
fundido; (c) aço fundido.<<strong>br</strong> />
Solução<<strong>br</strong> />
O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.7(b), Pelas dimensões dadas, seguese<<strong>br</strong> />
que o raio médio é R = 10 cm = 0,1 m e o comprimento médio do núcleo é<<strong>br</strong> />
l 2R 0,63 m<<strong>br</strong> />
Como o raio da área de seção transversal é r = 1 cm = 0,01 m, a área desta seção será<<strong>br</strong> />
2 4<<strong>br</strong> />
2<<strong>br</strong> />
S r 3,14 10 m<<strong>br</strong> />
Qualquer que seja o material do núcleo, a indução magnética em seu interior é dada pela<<strong>br</strong> />
Eq. 1.2<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
B 0,64 T<<strong>br</strong> />
S<<strong>br</strong> />
(a) No caso de plástico, bem como qualquer material não-magnético, pode-se considerar o<<strong>br</strong> />
valor da permeabilidade magnética muito próxima ao do vácuo; logo, conforme a Eq. 1.13<<strong>br</strong> />
B A e<<strong>br</strong> />
H 506.862,88<<strong>br</strong> />
o<<strong>br</strong> />
m<<strong>br</strong> />
Então<<strong>br</strong> />
Hl<<strong>br</strong> />
F NI Hl<<strong>br</strong> />
I 638,65 A<<strong>br</strong> />
N<<strong>br</strong> />
(b) Na curva de magnetização do ferro-fundido (Fig. 2.5) vê-se que a saturação é atingida<<strong>br</strong> />
para valores de B ligeiramente superiores a 0,4 T; assim, um núcleo desse material, com as<<strong>br</strong> />
dimensões dadas, não é capaz de atingir o valor desejado de 0,64 T, o que significa, em<<strong>br</strong> />
outras palavras, que não é possível obter-se o fluxo de 0,2 mWb nesse núcleo.<<strong>br</strong> />
(c) Na curva de magnetização do aço fundido, para B = 0,64 T H = 420 A-e/m, logo<<strong>br</strong> />
420 0,63<<strong>br</strong> />
I 0,53 A<<strong>br</strong> />
500<<strong>br</strong> />
Em circuitos magnéticos práticos, tais como em máquinas elétricas, normalmente<<strong>br</strong> />
existem peças móveis, de modo que os núcleos possuem espaços livres chamados<<strong>br</strong> />
entreferros. Ao cruzarem o entreferro, as linhas de indução se deformam - criando o<<strong>br</strong> />
chamado efeito de espalhamento – devido ao aumento da relutância neste trecho, como se<<strong>br</strong> />
vê na Fig. 2.8(a). Na maioria das situações esse efeito pode ser desconsiderado; porém, se<<strong>br</strong> />
forem necessários cálculos mais precisos pode-se corrigir a influência dessa deformação<<strong>br</strong> />
somando-se à cada uma das dimensões relativas à seção do entreferro o comprimento do<<strong>br</strong> />
mesmo. Assim, se a e b forem respectivamente a largura e a profundidade do núcleo e g for<<strong>br</strong> />
o comprimento do entreferro, como se mostra na Fig. 2.8(b), a seção reta do entreferro será<<strong>br</strong> />
dada por<<strong>br</strong> />
S = (a + g) (b + g) (2.8)<<strong>br</strong> />
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Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
Figura 2.7 - Efeito de espalhamento: (a) deformação das linhas de indução no entreferro;<<strong>br</strong> />
(b) dimensões usadas para a correção.<<strong>br</strong> />
Outro fator que deve ser considerado em cálculos mais precisos é o fluxo de<<strong>br</strong> />
dispersão, já mencionado na Seção 2.1. Porém, desde que o material tenha permeabilidade<<strong>br</strong> />
magnética relativa muito alta, este fluxo tem valor muito baixo e sua influência nos<<strong>br</strong> />
resultados é desprezível.<<strong>br</strong> />
Um último aspecto a ser considerado nos<<strong>br</strong> />
cálculos em circuitos magnéticos é que<<strong>br</strong> />
Figura 2.8 - Laminação do núcleo<<strong>br</strong> />
normalmente os núcleos são laminados, como<<strong>br</strong> />
forma de redução das correntes parasitas. Então, a<<strong>br</strong> />
espessura do isolamento que separa cada par de<<strong>br</strong> />
lâminas deve ser descontada no cálculo da área; em<<strong>br</strong> />
outras palavras, a área efetivamente disponível para<<strong>br</strong> />
o fluxo (Sf) é menor que a área total do núcleo (S).<<strong>br</strong> />
A relação entre essas duas áreas é chamada de fator de empilhamento 4 (f), isto é<<strong>br</strong> />
f<<strong>br</strong> />
f (2.9)<<strong>br</strong> />
valor que também pode ser expresso em termos percentuais.<<strong>br</strong> />
A analogia entre os circuitos magnéticos e elétricos pode ser estendida. A relutância<<strong>br</strong> />
ao longo de um dispositivo eletromagnético pode variar, devido à mudança de dimensões,<<strong>br</strong> />
de permeabilidade (quando se usam materiais diferentes, por exemplo) ou à existência de<<strong>br</strong> />
entreferros. Então, a relutância de cada um desses trechos pode ser considerada um<<strong>br</strong> />
"elemento", de sorte que haverá circuitos série ou paralelo.<<strong>br</strong> />
a) Circuito magnético série: quando todos os elementos são "atravessados" pelo mesmo<<strong>br</strong> />
fluxo magnético . Se n for o número de elementos associados em série, a f.m.m. total será<<strong>br</strong> />
dada pela soma das f.m.m. parciais, isto é<<strong>br</strong> />
T<<strong>br</strong> />
22<<strong>br</strong> />
S<<strong>br</strong> />
S<<strong>br</strong> />
F F F ... F<<strong>br</strong> />
1 2<<strong>br</strong> />
n<<strong>br</strong> />
(2.10)<<strong>br</strong> />
4 Est relação também é conhecida como fator de ferro ou fator de laminação.
Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
que equivale à Lei das Tensões de Kirchoff dos circuitos elétricos<<strong>br</strong> />
Exemplo 2.2<<strong>br</strong> />
O circuito magnético da Fig. 2.10(a) tem enrolamento de 1.500 espiras. Determinar<<strong>br</strong> />
a corrente I necessária para estabelecer um fluxo de 10 mWb nos entreferros, sabendo que o<<strong>br</strong> />
fator de empilhamento do elemento de aço-silício é igual a 90%, enquanto que o elemento<<strong>br</strong> />
de aço fundido é maciço. Desprezar o efeito do espalhamento e o fluxo de dispersão.<<strong>br</strong> />
Solução<<strong>br</strong> />
Na Fig. 2.10(b) é mostrado o circuito elétrico análogo. A f.m.m. deve ser calculada<<strong>br</strong> />
em cada um dos elementos.<<strong>br</strong> />
Figura 2.9 - Exemplo 2.2: (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo<<strong>br</strong> />
Entreferros<<strong>br</strong> />
lef = 0,1 cm = 10 -3 m Sef = 10 cm 20 cm = 200 cm 2 = 0,02 m 2<<strong>br</strong> />
3<<strong>br</strong> />
1010 Eq. 1 .2 : Bef 0,5T<<strong>br</strong> />
S 0,02<<strong>br</strong> />
ef<<strong>br</strong> />
B 0,5 A e<<strong>br</strong> />
Eq. 1 .12 : H 397.887,36<<strong>br</strong> />
m<<strong>br</strong> />
ef<<strong>br</strong> />
f<<strong>br</strong> />
o 7<<strong>br</strong> />
410 3<<strong>br</strong> />
Eq. 2.1: F f Hef lf<<strong>br</strong> />
397.887,36 10 397,89 A e (para cada entreferro)<<strong>br</strong> />
Elemento de aço-silício:<<strong>br</strong> />
las = 2 (30 + 5) + 30 + (2 5) = 110 cm = 1,1 m<<strong>br</strong> />
Sas = f (10 20) = 180 cm 2 = 0,018 m 2<<strong>br</strong> />
3<<strong>br</strong> />
1010 B 0,56T<<strong>br</strong> />
as<<strong>br</strong> />
Sas 0,018<<strong>br</strong> />
Entrando com este valor na curva BH do aço-silício (Fig. 2.5): Has = 80 A-e/m<<strong>br</strong> />
Fas = Haslas = 80 1,1 = 88 A-e.<<strong>br</strong> />
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Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
Elemento de aço fundido:<<strong>br</strong> />
laf = 2 7,5 + (25) + 30 = 55 cm = 0,55 m<<strong>br</strong> />
Saf = 15 20 = 300 cm 2 = 0,03 m 2<<strong>br</strong> />
3<<strong>br</strong> />
1010 B 0,33T<<strong>br</strong> />
af<<strong>br</strong> />
Saf 0,03<<strong>br</strong> />
Entrando com este valor na curva BH do aço fundido(Fig. 2.5): Has = 260 A-e/m<<strong>br</strong> />
Faf = Haflaf = 260 0,55 = 143 A-e.<<strong>br</strong> />
Aplicando a Eq. 2.10, encontra-se a f.m.m. total<<strong>br</strong> />
FT = 2 F1 + Fas + Faf = 1.026,78 A-e<<strong>br</strong> />
Entrando com este valor na Eq. 2.4<<strong>br</strong> />
T 1026,<<strong>br</strong> />
78<<strong>br</strong> />
I 0,<<strong>br</strong> />
68A<<strong>br</strong> />
N 1500<<strong>br</strong> />
F<<strong>br</strong> />
b) Circuito magnético paralelo: a f.m.m. em cada um dos elementos é a mesma; o fluxo<<strong>br</strong> />
magnético total é dado pela soma algé<strong>br</strong>ica dos fluxos magnéticos individuais, isto é<<strong>br</strong> />
T = 1 + 2 + ... + n<<strong>br</strong> />
(2.11)<<strong>br</strong> />
onde n é o número de elementos (percursos) do núcleo.<<strong>br</strong> />
Exemplo 2.3<<strong>br</strong> />
O núcleo da Fig. 2.11(a) é de aço fundido maciço, sendo o enrolamento dividido em<<strong>br</strong> />
duas partes, cada qual com número N de espiras. Sabendo que uma corrente de 0,8 A<<strong>br</strong> />
produz no entreferro um fluxo magnético igual a 5 mWb, determinar o valor de N.<<strong>br</strong> />
Desprezar o efeito do espalhamento e o fluxo de dispersão.<<strong>br</strong> />
Figura 2.10 - Exemplo 2.3: (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo<<strong>br</strong> />
Solução<<strong>br</strong> />
O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.11(b). Considerando que os<<strong>br</strong> />
enrolamentos são idênticos e que existe total simetria do núcleo, pode-se deduzir que cada<<strong>br</strong> />
parte do enrolamento fornecerá a metade do fluxo magnético na "perna" central. Assim<<strong>br</strong> />
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Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
2<<strong>br</strong> />
c<<strong>br</strong> />
e d 2,5 mWb<<strong>br</strong> />
onde e, d e c correspondem, respectivamente ao fluxo nas pernas esquerda, direita e<<strong>br</strong> />
central do núcleo.<<strong>br</strong> />
Entreferro<<strong>br</strong> />
lef = 0,1 cm = 0,001 m Sef = 10 10 = 100 cm 2 = 0,01 m 2<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
c Bef 0,5<<strong>br</strong> />
T<<strong>br</strong> />
Sef<<strong>br</strong> />
B Ae ef Hef 397.887,36<<strong>br</strong> />
o<<strong>br</strong> />
m<<strong>br</strong> />
Fef = Heflef = 397,89 A-e<<strong>br</strong> />
Perna esquerda<<strong>br</strong> />
le = 30 + 40 + 30 = 100 cm = 1 m Se = 10 10 = 100 cm 2 = 0,01 m<<strong>br</strong> />
Ae B 0,25 T H 230<<strong>br</strong> />
S m<<strong>br</strong> />
e<<strong>br</strong> />
e e<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
e<<strong>br</strong> />
Fe = Hele = 230 A-e<<strong>br</strong> />
Perna central (trecho bghe), excetuando o entreferro<<strong>br</strong> />
lc = 40 – 0,1 = 39,9 cm = 0,399 m Sc = 10 10 = 100 cm 2 = 0,01 m<<strong>br</strong> />
Ae B 0,5 T H 350<<strong>br</strong> />
S m<<strong>br</strong> />
c<<strong>br</strong> />
c c<<strong>br</strong> />
c<<strong>br</strong> />
Fc = Hclc = 139,65 A-e<<strong>br</strong> />
Aplicando a Eq. 2.10 ao trecho abghde: FT = Fe + Fc + Fef = 767,54 A-e. O número de<<strong>br</strong> />
espiras é dado pela Eq. 2.4:<<strong>br</strong> />
T<<strong>br</strong> />
N 959,<<strong>br</strong> />
43 espiras<<strong>br</strong> />
I<<strong>br</strong> />
F<<strong>br</strong> />
960 espiras<<strong>br</strong> />
Nos exemplos anteriores observa-se que, apesar de seu pequeno comprimento, o<<strong>br</strong> />
entreferro "concentra" uma f.m.m. bastante elevada; isto se deve à sua elevada relutância a<<strong>br</strong> />
qual, por sua vez, resulta da baixa permeabilidade magnética do ar. Esta constatação é útil<<strong>br</strong> />
na solução de outro tipo de problema: a determinação do fluxo magnético uma vez<<strong>br</strong> />
conhecida a f.m.m. Nesse caso, como não se conhece o valor de B no núcleo, não é possível<<strong>br</strong> />
o cálculo de H – e conseqüentemente de F – no elemento.<<strong>br</strong> />
Um método simplificado para a solução nesses casos é o das aproximações<<strong>br</strong> />
sucessivas: supõe-se, inicialmente, que toda a relutância do circuito está contida no<<strong>br</strong> />
entreferro e calcula-se a F requerida, comparando-a à F real. Ajusta-se, então, o valor de B<<strong>br</strong> />
para mais ou para menos e repete-se os cálculos. Prossegue-se assim até que a f.m.m. dada<<strong>br</strong> />
e a calculada atinjam uma diferença pré-fixada (por exemplo, 5%) e, por fim, calcula-se o<<strong>br</strong> />
fluxo<<strong>br</strong> />
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Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
Exemplo 2.4<<strong>br</strong> />
Dado o núcleo maciço de aço fundido da Fig. 2.12(a), determinar o fluxo magnético<<strong>br</strong> />
em seu entreferro, sabendo-se que I = 0,5 A e N = 1.000 espiras. Desconsiderar os efeitos<<strong>br</strong> />
do espelhamento e do fluxo de dispersão.<<strong>br</strong> />
Solução<<strong>br</strong> />
O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.12(b). A f.m.m. real é F = NI = 500<<strong>br</strong> />
A-e. As medidas neste exemplo são:<<strong>br</strong> />
Entreferro: lef = 0,1 cm = 0,001 m Sef = 5 10 = 50 cm 2 = 0,005 m 2<<strong>br</strong> />
Núcleo : ln = 4 15 – 0,1 = 59,9 cm = 0,599 m Sn = 5 10 = 50 cm 2 = 0,005 m 2<<strong>br</strong> />
1 a Aproximação – desconsidera-se a relutância do núcleo, portanto Fn = 0 e<<strong>br</strong> />
F A e<<strong>br</strong> />
Fef = F = Heflef Hf<<strong>br</strong> />
500.<<strong>br</strong> />
000<<strong>br</strong> />
l<<strong>br</strong> />
m<<strong>br</strong> />
Bef = oHef = 0,63 T<<strong>br</strong> />
ef<<strong>br</strong> />
Vê-se, porém, que o valor de Bef será menor do que este, já que a f.m.m. no núcleo deve ser<<strong>br</strong> />
considerada.<<strong>br</strong> />
Figura 2.11 - Exemplo 2.4: (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo<<strong>br</strong> />
2 a Aproximação – fazendo Bef = 0,6 T<<strong>br</strong> />
Bef Ae Entreferro: Hef 477.464.83<<strong>br</strong> />
<<strong>br</strong> />
m<<strong>br</strong> />
o<<strong>br</strong> />
Fef = Heflef = 477,46 A-e<<strong>br</strong> />
Núcleo: Bn = Bef = 0,6 T Hn = 400<<strong>br</strong> />
26<<strong>br</strong> />
A e<<strong>br</strong> />
m<<strong>br</strong> />
Fn = Hnln = 239,60 A-e<<strong>br</strong> />
Aplicando a Eq. 2.10: F = Fn + Fef = 717,06. Este valor é cerca de 43% maior que o valor<<strong>br</strong> />
da f.m.m. real, logo é necessária nova aproximação.
Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<<strong>br</strong> />
3 a Aproximação – fazendo Bef = 0,5 T e refazendo os cálculos<<strong>br</strong> />
Entreferro: Hef = 397.887,36 A-e/m Fef = 397,89 A-e<<strong>br</strong> />
Núcleo: Hn = 350 A-e/m Fn = 209,65 A-e<<strong>br</strong> />
F = Fn + Fef = 607,54 A-e (cerca de 21,5% maior que o valor real).<<strong>br</strong> />
4 a Aproximação – fazendo Bef = 0,4 T e refazendo os cálculos<<strong>br</strong> />
Entreferro: Hef = 318.309,896 A-e/m Fef = 318,31 A-e<<strong>br</strong> />
Núcleo: Hn = 300 A-e/m Fn = 179,70 A-e<<strong>br</strong> />
F = Fn + Fef = 498,01 A-e (valor apenas 0,4% menor que o real).<<strong>br</strong> />
Portanto, adotando-se Bef = 0,4 T: ef = Bef Sef = 2 mwB<<strong>br</strong> />
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