manipulação de números complexos em calculadoras eletrônicas

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
FACULDADE DE ENGENHARIA AGRÍCOLA
CADERNO DIDÁTICO
MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
EM CALCULADORAS ELETRÔNICAS
EURICO GUIMARÃES DE CASTRO NEVES
RUBI MÜNCHOW
Pelotas, Julho de 2008

ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1
2. EVOLUÇÃO DAS CALCULADORAS ............................................................................ 1
3. NÚMEROS COMPLEXOS E CALCULADORAS ELETRÔNICAS .............................. 3
4. FUNDAMENTOS DE NÚMEROS COMPLEXOS .......................................................... 4
5. CALCULADORAS EXAMINADAS ................................................................................ 5
6. CONVENÇÕES UTILIZADAS ........................................................................................ 6
7. OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NOS MODELOS ESCOLHIDOS ...... 6
7.1. HP 48G ......................................................................................................................... 6
7.2. SHARP EL-510W ........................................................................................................ 8
7.3. CASIO FX-82SX E FX-250HC .................................................................................... 10
7.4. CASIO FX-82 TL E FX-82 MS .................................................................................... 11
8. CONCLUSÃO .................................................................................................................. 12
9. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA .................................................................................. 13

ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 – Calculadora de mesa SHARP Model 4. ................................................................ 2
Figura 2 – Calculadora portátil TEXAS TI-150 (1974). ........................................................ 2
Figura 3 - A HP-35, da HEWLETT-PACKARD, uma das primeiras calculadoras científicas
(1972). ................................................................................................................................. 2
Figura 4 - Calculadora gráfica SHARP Modelo EL9900. ...................................................... 2
Figura 5 – Exemplos de símbolos usados em teclas para operação com números complexos
de calculadoras científicas: (a) CASIO FX-82SX; (b) CASIO FX-350TL; (c) SHARP EL-
506W. .................................................................................................................................. 4
Figura 6 - Representação de um número complexo Z. ........................................................... 4
Figura 7 - Calculadora HP-48G ............................................................................................. 7
Figura 8 – SHARP EL-510W ................................................................................................. 8
Figura 9 – CASIO fx-82SX .................................................................................................. 10
Figura 10 – CASIO fx82-TL ................................................................................................ 12

MANIPULAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS EM CALCULADORAS
ELETRÔNICAS
Eurico Guimarães de Castro Neves 1
Rubi Münchow 1
1. INTRODUÇÃO
Números complexos são utilizados em muitas áreas da Engenharia, como
Aerodinâmica, Geometria e Eletricidade. A análise de circuitos de corrente alternada, por
exemplo, fica bastante facilitada quando se utiliza o chamado Cálculo Fasorial, onde as
grandezas elétricas são representadas por entidades matemáticas chamadas fasores, os
quais, por sua vez, são expressos através de números complexos.
Ao contrário do que muitos profissionais pensam, a manipulação de números
complexos dá pouco trabalho e quase não exige treinamento. Atualmente, quase todas as
calculadoras científicas trazem embutidas funções destinadas a esta manipulação; algumas
suportam apenas transformações mais simples, enquanto outras permitem operações
avançadas.
O objetivo deste trabalho é mostrar como operar com números complexos em
calculadoras científicas. Presume-se que o estudante conheça os princípios básicos de sua
calculadora e também que tenha conhecimento dos fundamentos dos números complexos e
das operações fundamentais sobre os mesmos.
2. EVOLUÇÃO DAS CALCULADORAS
As primeiras calculadoras eletrônicas “de mesa” surgiram no final da década de 60 e
realizavam as 4 operações básicas: soma, subtração, produto e divisão. Volumosas e
vorazes consumidoras de energia - o que limitava sua portabilidade –, seu preço estava em
torno de 1.000 dólares. Na Figura 1 vê-se a Sharp Model 4, típica calculadora da época.
No início dos anos 70 surgiram as calculadoras portáteis, basicamente com as
mesmas características de suas irmãs mais velhas: quatro operações, capacidade de
armazenamento de um valor e, em algumas delas, possibilidade de extração da raiz
quadrada. A TI-150, da Texas Instruments, foi uma das calculadoras mais populares da
época (Figura 2).
1 Professor Adjunto IV da Faculdade de Engenharia Agrícola da Universidade Federal de Pelotas
1

Figura 1 – Calculadora de mesa SHARP
Model 4.
Figura 2 – Calculadora portátil TEXAS
TI-150 (1974).
Embora tenham proporcionado muitos avanços em relação às máquinas mecânicas -
como rapidez, facilidade de operação e portabilidade - essas calculadoras deixavam a
desejar nos cálculos mais elaborados de Engenharia. Assim, surgiram as chamadas
calculadoras científicas, que incorporavam funções trigonométricas, transcendentais,
logarítmicas, etc. A HP-35 (Figura 3), lançada em 1972 pela Hewlett-Packard, foi um
grande expoente deste tipo de calculadora, mesmo custando cerca de 400 dólares (nos
EUA) à época de seu lançamento.
Desde então, o desenvolvimento das calculadoras é impressionante. Novas
funções foram “embutidas”, a possibilidade de programação foi anexada a muitas máquinas
e a capacidade de trabalhar com gráficos foi desenvolvida (Figura 4), bem como a
possibilidade de interação com computadores e/ou outras calculadoras. E, o melhor de tudo,
o preço está em contínua queda, ao ponto de uma calculadora “básica” custar hoje 1.000
vezes menos que uma similar dos anos 70!
Figura 3 - A HP-35, da HEWLETT-PACKARD, uma
das primeiras calculadoras científicas (1972).
Figura 4 - Calculadora gráfica
SHARP Modelo EL9900.
2

Há quem anteveja para breve o desaparecimento das calculadoras, devido ao
desenvolvimento dos microcomputadores, bem como à interação entre estes e os telefones
celulares, os quais passariam a ter funções matemáticas cada vez mais poderosas. Embora
este seja o futuro, parece-nos que não ocorrerá de forma assim tão rápida: devido à sua
portabilidade e especificidade, entendemos que as calculadoras científicas ainda serão
usadas por engenheiros, matemáticos e cientistas por um bom tempo.
3. NÚMEROS COMPLEXOS E CALCULADORAS ELETRÔNICAS
De acordo com a Wikipedia (2008), as primeiras referências a números complexos
remontam ao século 1 a.C., porém sua utilização só se tornou popular no final do século
XVI, com a interpretação geométrica proposta por Caspar Wessel (1745 – 1818) e os
trabalhos posteriores de Carl Friederich Gauss (1777 - 1855). Foi este que introduziu a
notação
i
adotada em quase todos os campos da Matemática e Engenharia 2 .
É provável que a concepção de número complexo advenha da solução de equações
cujas raízes resultem na raiz quadrada de números negativos. Porém sua utilização em
diversos campos da Matemática e, a seguir, da Engenharia foram se tornando cada vez mais
freqüentes, ao ponto de Gottfried Leibniz (1646 – 1716) afirmar – talvez com algum
exagero - que
“...o Espírito Divino encontrou uma expressão sublime nessa
maravilha da análise, nesse portento do mundo ideal, nesse anfíbio
entre o ser e o não-ser, a que chamamos a raiz imaginária da unidade
negativa...”
As funções de manipulação de números complexos só vieram a ser anexadas a
calculadoras em meados dos anos 70, com as transformações de forma retangular para polar
e vice-versa. Ao final dos anos 80 foram lançadas calculadoras de alto desempenho,
capazes de manipular diretamente operações com números complexos, inclusive a
capacidade operar matrizes com este tipo de número.
Atualmente, mesmo as calculadoras científicas mais baratas são capazes de realizar
as transformações retangular ↔ polar. Infelizmente, não há uma padronização para
simbolizar essas transformações: em algumas calculadoras aparecem teclas nomeadas como
R e P (ou REC e POL), para identificar as formas retangular 3 e polar; outras máquinas
utilizam os símbolos x e y (ou a e b) representando as partes real e imaginária do complexo,
bem como r e , representando o módulo e o ângulo do número (Figura 5).
2
Em Eletricidade, costuma-se usar a letra j, para evitar confusões com o símbolo da corrente, universalmente
conhecido como i.
3
Na língua inglesa, esta forma é grafada “rectangular”, de onde o símbolo REC usado.
1
3

(a) (b) (c)
Figura 5 – Exemplos de símbolos usados em teclas para operação com números
complexos de calculadoras científicas: (a) CASIO FX-82SX; (b) CASIO FX-350TL;
(c) SHARP EL-506W.
4. FUNDAMENTOS DE NÚMEROS COMPLEXOS
Neste trabalho denomina-se operador imaginário ao termo j na equação
4.1. Representação
j 1
(1)
Um número complexo Z pode ser expresso de duas formas, conforme se mostra na
Figura 6:
Forma retangular (REC): expressa matematicamente por
Z = a + jb (2)
onde a é a parte real do complexo (a = Re[Z]) e b é a parte imaginária do mesmo (b =
Im[Z]);
Forma polar (POL):
Z = A (3)
onde A é o módulo do complexo (A = | Z |) e é o seu ângulo ( = âng Z), contado a
partir do semi-eixo Re positivo. De acordo com a convenção usada em Trigonometria,
ângulos positivos são aqueles “contados” no sentido anti-horário.
Figura 6 - Representação de um
número complexo Z.
4

A transformação de uma forma em outra é imediatamente obtida pela aplicação das
noções elementares de trigonometria:
e
e
Transformação R → P: dados a e b, encontra-se
A b
2 2
a (4)
b
tg
a
1
Transformação P → R: dados A e , encontra-se
4.2. Operações Básicas
Sejam dois números complexos
(5)
a Acos
(6)
b A sen θ
(7)
Z1 = a1 + jb1 = A1 1 e Z2 = a2 + jb2 = A2 2.
É possível demonstrar que as quatro operações básicas resultam em:
Soma
Subtração
Produto
Divisão
Z1 + Z2 = (a1 + a2) + j (b1 + b2) (8)
Z1 – Z2 = (a1 - a2) + j (b1 - b2) (9)
Z1.Z2 = A1.A2 ( 1 + 2) (10)
Z
Z
A
A
5. CALCULADORAS EXAMINADAS
1
2
1
2
(
1
2
)
Para efeito deste trabalho, as calculadoras científicas foram divididas em 2 grupos,
de acordo com suas capacidades de operação com números complexos. Denominou-se
calculadoras padrão àquelas capazes apenas de realizar as transformações de forma polar
↔ retangular; máquinas com características mais completas, tal como a possibilidade de
operações diretas com números complexos, foram chamadas calculadoras superiores.
(11)
5

Através de um levantamento feito com alunos do Curso de Engenharia Agrícola da
Universidade Federal de Pelotas, constatou-se que os modelos mais utilizados são:
Calculadoras padrão: CASIO fx-82SX, fx-82TL, fx-82MS e fx-250HC
Calculadoras superiores: HP-48G, SHARP EL-510W
É interessante observar que a esmagadora maioria dos alunos deste curso utiliza
algum dos modelos da CASIO acima mencionados. Isto se deve ao fato de serem
instrumentos de bom desempenho e de preço bastante acessível, podendo ser encontrados
em quase todas as lojas que comerciem calculadoras, até mesmo em bancas de vendedores
ambulantes.
6. CONVENÇÕES UTILIZADAS
As seguintes convenções foram usadas neste trabalho:
Entrada de número na calculadora: o valor será denotado entre o par de sinais "< >". Por
exemplo, se for pedida a entrada da parte real de um número complexo Z = 8 – j4, isto
será denotado como < 8 >.
Numa seqüência de operações, as teclas, estas serão representadas por retângulos onde
aparecem as funções a serem usadas naquela operação.
7. OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NOS MODELOS ESCOLHIDOS
7.1. HP 48G
As calculadoras HP utilizam a lógica denominada Reverse Polish Notation (RPN),
caracterizada pelo uso da tecla ENTER. O pressionamento desta tecla informa à
calculadora que está “pronto” o número (real ou complexo) sobre o qual será feita alguma
operação matemática.
Na HP 48G (Figura 7) os números complexos sempre devem ser expressos entre
parênteses, sendo que as partes que os compõem são distinguidas por um separador.
Existem dois tipos de separadores, associados à mesma tecla; o uso de um ou outro
dependerá da forma como os números são expressos:
Forma retangular: a e b são separados por um espaço (tecla SPC, de space);
Forma polar: A e são separados pelo sinal (leia-se ângulo).
6

Figura 7 - Calculadora HP-48G
Nos exemplos que se seguem, a visão do que aparece no display pode ser diferente
daquela que aparece na sua calculadora, de acordo com os modos de cálculo
(CALCULATOR MODES) selecionados. Neste trabalho, a menos que se informe o
oposto, os modos são:
NUMBER FORMAT: Fixed, com 2 casas após a vírgula
ANGLE MESURE: Degrees
SEPARADOR DE DECIMAIS: Vírgula
Exemplos:
Entrar com o número Z 1 = 4 – j3 (forma retangular)
Seqüência de teclas Display Forma selecionada
(4,00;-3,00) REC
(5,00; 36,87 ) POL
Entrar com o número Z 2 = 5 45 o (forma polar)
Seqüência de teclas Display Forma selecionada
(3,54;3,54 ) REC
(5,00; 45,00 ) POL
Transformação RETANGULAR POLAR (R P)
1. Entrar com o número na forma retangular e ENTER
2. Mudar para o modo POLAR (POL)
7

3. Se a calculadora já estava no modo POLAR, a transformação se dará após
teclar ENTER.
Transformação POLAR RETANGULAR (P R)
1. Entrar com o número na forma POLAR e ENTER
2. Se a calculadora estiver no modo no modo POLAR, passar para o modo
RETANGULAR teclando
3. Se a calculadora estiver no modo RETANGULAR, a transformação será
automática.
Operações com números complexos
A HP 48G é muito potente no tratamento de números complexos, permitindo que se
realize qualquer operação com os mesmos, incluindo cálculos matriciais. Basicamente,
basta lembrar que:
As operações (soma, subtração, potenciação, matrizes, etc.) com números complexos
são feitas de maneira idêntica à usada com números reais;
Os números complexos podem dar entrada em qualquer forma (REC ou POL); não
esquecer, entretanto, que devem ser expressos entre parênteses;
O resultado de uma operação será dado na forma REC ou POL, conforme a forma
selecionada.
7.2. SHARP EL-510W
Embora não possua capacidades gráficas, a SHARP EL-510W (Figura 8) pode ser
enquadrada na categoria de calculadoras superiores devido a sua capacidade de operações
com números complexos.
Figura 8 – SHARP EL-510W
8

Transformação RETANGULAR POLAR (R P)
1. Selecionar o modo de operação com números complexos
2. Entrar com a parte real e pressionar a tecla
3. Entrar com a parte imaginária e pressionar a tecla
4. Indicar a conversão para a forma polar
5. Obtenção do módulo: é apresentado no visor
6. Obtenção do ângulo ( ): pressionar a tecla
Obs.: O módulo e o ângulo ficam armazenados, respectivamente, em e ,
podendo ser retornados a qualquer momento pressionando estas teclas.
Transformação RETANGULAR POLAR (R P)
1. Selecionar o modo de operação com números complexos
2. Entrar com o módulo e pressionar a tecla
3. Entrar com o ângulo e pressionar a tecla
4. Indicar a conversão para a forma polar
5. Obtenção da parte real: é apresentada no visor
6. Obtenção parte imaginária pressionar a tecla
Obs.: As partes real e imaginária ficam armazenadas, respectivamente, em e ,
podendo ser retornadas a qualquer momento pressionando estas teclas.
Operações com números complexos
Esta calculadora permite as operações básicas com números complexos, desde que
expressos na forma retangular. As partes real e imaginária de cada número serão
armazenadas nas teclas e e , seguindo-se a tecla relativa à operação desejada.
Exemplos: Antes de iniciar as operações, deve-se selecionar o modo complexo digitando
9

Realizar a operação: (12 - j6) + (7 + j15) – (11 + j4)
Seqüência de teclas Display Significado
Realizar a operação: (8 70 o ) + (12 -25 o )
8 parte real
5 parte imaginária
Seqüência de teclas Display Significado
14,991127
parte real
122,885138 parte imaginária
Obs.: As partes real e imaginária ficam armazenadas, respectivamente, em e ,
podendo ser retornadas a qualquer momento pressionando estas teclas.
7.3. CASIO fx-82SX e fx-250HC
Esta calculadora, mostrada na Figura 9, é um dos modelos mais simples, porém
muito usada devido ao baixo preço aliado à boa qualidade.
Figura 9 – CASIO fx-82SX
10

Transformação RETANGULAR POLAR (R P)
1. Entrar com o número na forma retangular, indicando o tipo de conversão (R P)
2. Obtenção do módulo (A) – digitar a tecla
3. Obtenção do ângulo ( ) – digitar
Transformação POLAR RETANGULAR (P R)
1. Entrar com o número na forma polar, indicando o tipo de conversão (R P)
< >
2. Obtenção da parte real (Re) – digitar a tecla
3. Obtenção da parte imaginária (Im) – digitar
Operações com números complexos
Estas calculadoras não permitem a operação direta com números complexos.
7.4. CASIO fx-82 TL e fx-82 MS
Modelo fabricado na China, a série FX da CASIO (Figura 10) introduziu os displays
de 2 linhas: na superior as operações aparecem “por extenso”, enquanto que na inferior são
registrados os dados de entrada e valores de saída.
Transformação RETANGULAR POLAR (R P)
1. Indicar a transformação R P pressionando a tecla
2. Entrar com as partes Re e Im, separadas pelo símbolo de vírgula, e fechar parênteses à
direita
3. Obtenção do módulo (A) – digitar a tecla
4. Obtenção do ângulo ( ) – digitar
11

Transformação POLAR RETANGULAR (R P)
1. Indicar a transformação P R pressionando a tecla
Figura 10 – CASIO fx82-TL
2. Entrar com o módulo A e o ângulo , separados pelo símbolo de vírgula, e fechar
parênteses à direita.
< >
3. Obtenção da parte real (Re) – digitar a tecla
4. Obtenção da parte imaginária (Im) – digitar
Operações com números complexos
Estas calculadoras não permitem a operação direta com números complexos.
8. CONCLUSÃO
Atualmente, é grande o número de marcas e modelos de calculadoras disponíveis no
comércio. Diferenças em capacidade de processamento e armazenamento, características
gráficas avançadas e comunicação com outros dispositivos (computadores, celulares,
impressoras, etc.) permitem que praticamente todas as profissões tenham modelos
apropriados para suas atividades.
O presente trabalho foi focado em alguns poucos modelos dentre os mais usados
pelos alunos do Curso de Engenharia Agrícola da Universidade Federal de Pelotas, tendo
por objetivo auxiliá-los no tratamento de números complexos utilizados na análise de
circuitos de corrente alternada, assunto que integra o conteúdo programático da disciplina
Eletrotécnica Geral. No entanto, sua utilidade não precisa se limitar a este tipo de estudante,
12

podendo ser estendida a qualquer pessoa que, por interesse ou necessidade, precise lidar
com números complexos.
A pequena abrangência relativamente ao número de modelos abordados também
não acarreta, em nosso parecer, diminuição da utilidade deste trabalho, uma vez que a
maioria dos modelos disponíveis no comércio – e mesmo outros que ainda venham a ser
lançados – tem operação semelhante a algum dos exemplos aqui abordados.
9. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
1. CALCULADORAS HP. Disponível em http://www.hp.com/latam/br/produtos/
calculadoras/. Acesso em 26 Mar 2008.
2. CASIO USA. Disponível em http://www.casio.com/home/. Acesso em 26 Mar
2008.
3. DATAMATH CALCULATOR MUSEUM. Disponível em http://www.datamath.
org/. Acesso em 25 Mar 2008.
4. FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE DE LISBOA. Os Números
Complexos. Disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm25/. Acesso
em 25 Mar 2008.
5. MUSEU DAS CALCULADORAS. Disponível em http://museu.boselli.com.br/.
Acesso em 26 Mar 2008.
6. NEVES, E. G. C. Eletrotécnica Geral. 2ª. Ed. Pelotas, Ed. Universitária. UFPel.
2004.
7. SHARP SCIENTIFIC CALCULATORS. Disponível em http://www.sharpworld.com/products/calculator/index.html.
Acesso em 26 Mar 2008.
8. THE MUSEUM OF HP CALCULATORS. Disponível em http://www.hpmuseum.
org/. Acesso em 25 Mar 2008.
9. WIKIPEDIA, The Free Encyclopedia. Complex Numbers. Disponível em
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Complex_number&oldid=199249251.
Acesso em 25 Mar 2008.
13