2 D - Curso Objetivo

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Paulo é pecuarista e possui um rebanho bovino de 1200
cabeças, cuja taxa de crescimento anual é uma porcentagem
representada por t. Paulo realizou a venda de
1800 cabeças, comprometendo-se a entregar 1000 no
final de 1 ano e, as outras 800, no final de
2 anos.
a) Determine t, considerando que, após a 2ª entrega,
não sobre cabeça alguma.
b) Se log 2 = 0,3 e t = 25%, quantos anos aproximadamente
o pecuarista levaria para fazer a 2ª entrega?
Resolução
a) Se t for a porcentagem de crescimento anual do
rebanho de 1200 cabeças que Paulo possui, então:
1) Após a entrega feita, um ano depois, ele terá
(1 + t) . 1200 – 1000 cabeças de gado.
2) Após o segundo ano, Paulo terá
(1 + t) 2 . 1200 – (1 + t) . 1000 cabeças e este número
deverá ser igual a 800, de acordo com o enunciado.
Assim sendo:
(1 + t) 2 . 1200 – (1 + t) . 1000 = 800 ⇔
⇔ 6(1 + t) 2 – 5(1 + t) – 4 = 0 ⇔
5 ± 11
16
6
⇔ 1 + t = –––––– ⇔ 1 + t = ––– ou 1 + t = – ––– ⇔
12
12
12
4
⇔1 + t = –– (pois 1 + t > 0) ⇔
3
(
100
⇔ t = = % ––––)
1
––
3 3
b) Para t = 25%, temos:
1) Após um ano, já feita a entrega, Paulo terá
1,25 . 1200 – 1000 = 500 cabeças de gado.
2) Após dois anos, ele terá 1,25 . 500 cabeças.
3) Após três anos, ele terá 1,252 . 500 cabeças.
4) Após n anos, ele terá 1,25n–1 . 500 cabeças.
Assim sendo:
1,25n – 1 . 500 = 800 ⇔
n – 1
(
8
⇔ = ⇔ (n – 1) . log = log ⇔ ––) (
5
5
––)
(
5 8
––
5
4
––) 4
⇔(n – 1) . (log10 – log8) = log16 – log10 ⇔
⇔ (n – 1) . (1 – 3 . 0,3) = 4 . 0,3 – 1 ⇔
0,2
⇔ n – 1 = ––– = 2 ⇒ n = 3
0,1
OBJETIVO
FGV - Administração - Junho/2006