TRE-SP 2012 - Analista Judiciário - Contabilidade

TER‐SP Analista Judiciário ‐ Contabilidade – (FCC)
Solução e Comentários de Matemática Financeira – Professor Valdenilson
Caderno de Prova ‘E05’ Tipo 004 – Matemática Financeira – 5 questões (56 a 60)
56. Uma pessoa necessita da quantia de R$ 24.120,00 daqui a 8 meses. Se aplicar hoje o capital de R$ 22.500,00 a
juros simples, então a taxa anual para obter na data desejada exatamente a quantia que ela necessita é
(A) 14,4 %
(B) 13,2%
(C) 12,0%
(D) 10,8%
(E) 9,6%
Problema de Juros Simples.
Seja i a taxa anual de juros simples da operação financeira proposta no enunciando;, então i = ? .
Vamos identificar os elementos da operação financeira:
Capital (valor aplicado): C = 22500 ;
Taxa anual de juros simples: i = ? ao ano ;
Prazo: n = 8 meses;
Montante (valor de resgate): MS = 24120 ;
Solução 1:
Calculando o valor dos juros simples: JS = MS − C = 24120 −22500 ⇒ JS = 1620 .
Temos problema de unidade com as variáveis taxa e prazo, então vamos converter o prazo de mês
para ano:
2
ano mês
8× 1 8 2
↑ 1 ↑ 12 ⇒ n = = ⇒ n = de ano
12 12 3
n 8
3
2
Agora, o prazo em ano é: n = de ano;
3
Agora é só aplicar a expressão de juros simples e substituir as variáveis.
2 22500× i× 2 45000i
JS = C ⋅i⋅n⇒ 1620 = 22500× i× ⇒ 1620 = ⇒ 1620 =
3 3 3
18
3× 162 0 3× 18 3× 18 2 108 10,8
⇒ 45000i = 3× 1620 ⇒ i = = = × = = ⇒ i = 10,8%
45 00 0 500 500 2 1000 100
5
Portanto, a taxa anual de juros simples que atenda as necessidades dessa pessoa é 10,8%.
Alternativa correta “D”.
Solução 2:
No regime simples:
M S 24120
1+ i⋅ n = = = 1,072
C 22500
⇒ i⋅ n = 1,072 −1⇒ i⋅ n = 0,072 ⇒ i⋅ n = 7,2%
2
Convertendo o prazo de mês para ano temos: n = 8 meses ⇒ n = de ano , então:
3
i⋅ n = 7,2% ⇒
2
i⋅ = 7,2%
3
⇒
3× 7,2% 21,6%
i = =
2 2
⇒ i = 10,8%
Portanto, a taxa anual de juros simples que atenda as necessidades dessa pessoa é 10,8%.
Alternativa correta “D”.

57. Dois projetos de investimento (I e II), mutuamente excludentes, estão representados pelos fluxos de caixa
abaixo.
Fluxo de Caixa (R$)
Ano Projeto I Projeto II
0 ‐20.000,00 ‐20.000,00
1 X 8.250,00
2 9.680,00 9.680,00
3 9.317,00 10.648,00
Os valores presentes líquidos dos dois projetos são iguais e a taxa mínima de atratividade é igual a 10% ao ano. O
valor de X é igual a
(A) R$ 8.800,00
(B) R$ 8.855,00
(C) R$ 8.965,00
(D) R$ 9.350,00
(E) R$ 9.900,00
Solução:
Problema de Investimentos.
Vamos calcular o VPL (valor presente líquido) de cada projeto.
Seja:
VPL o valor presente líquido do projeto 1;
1
VPL o valor presente líquido do projeto 2;
2
i a taxa mínima de atratividade, então, i = 10% ao ano .
O fator de reajuste dos fluxos de caixa é: 1+ taxa mínima de atratividade = 1+ i = 1+ 10% = 1,1.
Explicitando os fluxos de caixa do projeto 1 na linha temporal temos:
X 9.680 9.317
0
↓
20.000
↑
1
↑
2
↑
3
(anos)
Com base nos fluxo acima podemos calcular o VPL do projeto I na data (1) da seguinte maneira:
9.680 9.317
VPL1 =− 20.000 × (1,1) + X + + 2
(1,1) (1,1)
Explicitando os fluxos de caixa do projeto 2 na linha temporal temos:
( 1 )
8.250 9.680 10.648
0
↓
20.000
↑
1
↑
2
↑
3
(anos)
Com base nos fluxo acima podemos calcular o VPL do projeto II na data (1) da seguinte maneira:
9.680 10.648
VPL 2 =− 20.000 × (1,1) + 8.250 + + 2
(1,1) (1,1)
( 2 )
Como, pelo enunciado, VPL1 = VPL , então, de ( 1 ) e ( 2 ), temos a seguinte igualdade:
2
− 20.000 × (1,1) + X +
9.680
( 1, 1)
9.317
+ = 2
(1,1 )
− 20.000 × (1,1)
+ 8.250
+
9.680
( 1,1)
10.648
+ 2
(1,1)
9.317 10.648
⇒ X + = 8.250 + 2 2
(1,1) (1,1)
10.648 9.317 10.648 − 9.317
⇒ X = 8.250 + − = 8.250 +
2 2 2
(1,1) (1,1) (1,1)
1.331 1.331
⇒ X = 8.250 + = 8.250 + = 8.250 + 1100 ⇒ X = 9.350
2
(1,1)
1, 21
Portanto, o valor de X é R$ 9.350,00.
Alternativa correta “D”.

58. Em uma mesma data, uma empresa desconta dois títulos da seguinte maneira:
I. O primeiro título, de valor nominal igual a R$ 25.000,00, foi descontado 4 meses antes de seu vencimento, a uma
taxa de desconto de 2% ao mês.
II. O segundo título foi descontado 2 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 2,5% ao mês.
Sabe‐se que para o primeiro título considerou‐se a operação de desconto comercial simples e para o segundo título
a de desconto racional simples. Se a soma dos respectivos valores atuais foi igual a R$ 43.000,00, então o valor
nominal do segundo título é igual a
(A) R$ 21.000,00
(B) R$ 21.500,00
(C) R$ 22.000,00
(D) R$ 22.500,00
(E) R$ 23.000,00
Solução:
Problema de Desconto Simples.
Vamos fazer o fluxo de caixa dessa operação:
Abaixo estão os dados do problema:
título 1(desconto comercial → calculado sobre N) título 2(desconto racional → calculado sobre A)
N1= 25.000 N 2 = ?
i1 = 2% ao mês i2 = 2,5% ao mês
n1= 4 meses n1= 2 meses
A = ? A = ?
1 2
A + A = 43.000
1 2
Vamos calcular o desconto comercial simples para o título 1:
2
DC = N1⋅i1⋅ n1 = 250 00 × × 4 = 250× 2× 4 = 500× 4
100
Agora vamos calcular o valor atual do título 1:
⇒ DC = 2.000
A1 = N1 − DC = 25.000 −2.000 ⇒ A1 = 23.000
Lembremos que A1 + A2 = 43.000 , então:
A1 + A2 = 43.000 ⇒ 23.000 + A 2 = 43.000 ⇒ A 2 = 43.000 −23.000 ⇒ A 2 = 20.000
23.000
Vamos calcular o desconto racional simples para o título 2:
dR = A 2 ⋅i2 ⋅ n 2 = 200 00
2,5
100
Agora vamos calcular o valor nominal do título 2:
× R
× 2 = 200× 2,5× 2 = 200× 5 ⇒ d = 1.000
A 2 = N2 − dR ⇒ 20.000 = N 2 −1.000 ⇒ N 2 = 20.000 + 1.000 ⇒ N 2 = 21.000
20.000 1.000
Portanto, o valor nominal do segundo título é igual a R$ 21.000,00.
Alternativa correta “A”.

59. Considere que um investidor deposita no primeiro dia útil de cada ano um mesmo valor P a juros compostos, a
uma taxa de 10% ao ano. Imediatamente após realizar o 3º depósito, verifica‐se que a soma dos 3 montantes
apresenta o valor de R$ 41.375,00. O valor de P , em reais, é tal que
(A) P ≤ 11.600
(B) 11.600 ≤ P ≤ 12.000
(C) 12.000 ≤ P ≤ 12.600
(D) 12.600 ≤ P ≤ 13.000
(E) P > 13.000
Problema de Rendas Uniformes. Devemos calcular o valor futuro dessa renda.
Seja i a taxa composta de juros, então, i = 10% ao ano .
O fator de reajuste dos fluxos de caixa é: 1+ taxa de juros = 1+ i = 1+ 10% = 1,1.
Solução 1:
Vejamos abaixo os fluxos de caixa correspondente a esta renda:
P P P
↑
1
↑
2
↑
3
VF = 41.375
(anos)
Aplicando a equivalência de capitais nos fluxos de caixa acima e analisando‐os na data(3) que é
imediatamente após o 3º depósito, temos:
2
41.375
VF =
P× (1,1) +
P× (1,1) +
P ⇒ 41.375
= 1,21P+ 1,1P+ P⇒
41.375 = 3,31P ⇒ P =
3, 31
1º depósito 2º depósito 3º depósito
Vamos efetuar a divisão 41375
3,31
que é igual a 4137500
:
331
4137500
331
− 331 12500
827
− 662
1655
⇒
41.375 4137500
P = =
3,31 331
⇒ P = 12.500,00
− 1655
(0)
Portanto, o valor de P , em reais, é tal que 12.000 ≤ P ≤ 12.600 .
Alternativa correta “C”.
Solução 2:
n ⎡(1 + i) −1⎤
Podemos calcular o valor futuro de uma renda uniforme pela relação VF = P ⋅⎢ ⎥ , então:
⎣ i ⎦
n
3 3
⎡(1+ i) − 1 ⎤ ⎡(1+ 10%) −1⎤ ⎡(1,1) −1⎤
VF = P ⋅⎢ ⎥ ⇒ 41.375 = P ⋅⎢ ⎥ ⇒ 41.375 = P ⋅⎢
⎥
⎣ i ⎦ ⎣ 10% ⎦ ⎣ 0, 1 ⎦
⎡1, 331
−1⎤
⎡0,331⎤ 331 100
⇒ 41.375 = P ⋅⎢ 41.375 P 41.375 P P 41.375
0,1
⎥ ⇒ = ⋅⎢ 0,1
⎥ ⇒ = ⋅ ⇒ = ×
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
100
331
125
41.375
× 100
⇒ P =
⇒ P = 125× 100 ⇒ P = 12.500
331
1
Portanto, o valor de P , em reais, é tal que 12.000 ≤ P ≤ 12.600 .
Alternativa correta “C”.

60. Uma dívida referente a um empréstimo deverá ser liquidada por meio de 30 prestações mensais, iguais e
consecutivas, vencendo a primeira 1 mês após a data da realização do empréstimo. Considerou‐se o Sistema de
Amortização Francês (Tabela Price) a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, utilizando o Fator de Recuperação
de Capital (FRC) correspondente para 30 períodos igual a 0,045. Se o valor da amortização incluído na primeira
prestação é igual a R$ 650,00, então o valor de cada prestação desse plano é
(A) R$ 1.134,00
(B) R$ 1.143,00
(C) R$ 1.152,00
(D) R$ 1.161,00
(E) R$ 1.170,00
Problema de Amortização envolvendo Rendas Uniformes. Devemos calcular o valor da parcela numa
operação de financiamento corrigido pela Tabela Price.
Dados do enunciado:
Taxa: i = 2% ao mês;
Número de pagamentos: n = 30 pagamentos mensais ;
Prazo de carência (intervalo entre a data da operação e o primeiro pagamento): 1 mês;
O fator de recuperação de capital: FRC (30,2%) = 0,045;
Valor atual (valor financiado): A = ? ;
Cota de amortização da 1ª parcela: Am1 = 650 ;
Como o prazo de carência é de um período financeiro (1 mês), então a renda é postecipada e, para
este tipo de renda, calculamos o valor da parcela pela expressão:
P
P = A× FRC ⇒ P = A× 0,045
⇒ A = ( 1 )
0,045
0, 045
Pela expressão ( 1 ) temos que encontrar o valor financiado ( A = ? ) para concretizar o cálculo da
parcela.
Agora vamos entrar na parte de amortização. Em qualquer sistema de amortização, o valor dos juros
embutidos em uma parcela é o resultado da aplicação da taxa do financiamento no saldo devedor anterior, e
a outra parte da parcela é o valor da cota de amortização, sendo assim temos:
P1 = J 1+Am , onde 1 J1 = i% de S . 0
Para o referido problema, 0 S é o próprio valor financiado ( S0= A ), pois não foi efetuado nenhum
pagamento até o momento, então:
J1 = i% de S0 = 2% de A ⇒ J1= 0,02⋅A (2)
Como o financiamento foi realizado na Tabela Price, todas as parcelas são iguais, logo P1= P .
Já sabemos que P1 = J 1+Am e 1 Am1 = 650 , então substituindo ( 2 ) neste resultado temos:
P1 = J 1+Am 1 ⇒ P = 0,02⋅A+650
( 3 )
Substituindo o resultado ( 1 ) em ( 3 ) temos:
P 0,02
20 4 4P
P = 0,02 ⋅A+650 ⇒ P = 0,02 ⋅ +650 = ⋅ P+650 = ⋅ P+650 = ⋅ P+650 = +650
0, 045 0,045 45
9 9
13
4P 9P − 4P 5P 9× 650
⇒ P − = 650 ⇒ = 650 ⇒ = 650 ⇒ P = = 9× 130 ⇒ P = 1.170
9 9 9
5
1
Portanto, o valor de cada prestação desse plano é R$ 1.170,00.
Alternativa correta “E”.
Comentário final: Prova bem elaborada com nível de dificuldade médio. Nenhum gabarito passível de recurso.
Gabarito de Matemática Financeira
56 57 58 59 60
D D A C E