Prova da Polícia Militar – CE 2012 – (CESPE) Solução e ...

Prova da Polícia Militar – CE 2012 – (CESPE)
Solução e Comentários de Matemática e Raciocínio Lógico – Professor Valdenilson
Caderno de Questões Tipo I
O batalhão de polícia militar de uma cidade constituída dos bairros B1, B2 e B3 será dividido em três
pelotões distintos de modo que cada um fique responsável pelo policiamento ostensivo de um desses bairros. As
populações dos bairros B1, B2 e B3 são, respectivamente, iguais a 60.000, 66.000 e 74.000 pessoas; o batalhão
possui um efetivo de 4.000 militares dos quais 300 trabalham exclusivamente em uma central única de comunicação
e inteligência, não caracterizando atividade policial ostensiva; e todos os militares do batalhão residem na cidade.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.
41. Se todos os militares da central única de comunicação e inteligência trabalham com a mesma eficiência e se 5
deles atendem a 30 chamadas telefônicas a cada duas horas, então, para o atendimento de 36 chamadas a cada
hora, são necessários mais de 15 militares.
Solução:
Este item é sobre regra de três relacionando as seguintes grandezas:
Número de militares : que representaremos por nº de militares
Chamadas telefônicas: que representaremos por nº de chamadas
Horas: que representaremos por nº de horas
Seja x o número de militares necessários para atender 36 chamadas a cada hora.
Assim temos o seguinte diagrama:
nº de militares nº de chamadas nº de horas
↑ 5 ↑ 30 ↓ 2
x
36 1
Analisando o comportamento das grandezas percebemos que nº de pessoas e nº de horas são inversamente
proporcionais, temos que inverter os resultados da coluna nº de horas e resolver a regra de três composta.
nº de militares nº de chamadas nº de horas
5× 36× 2 10 × 36 36
↑ 5 ↑ 30 ↑ 1 ⇒ x = = = ⇒ x = 12
30 30 3
x
36 2
São necessários apenas 12 militares, ou seja, a quantidade de militares não é mais de 15 militares.
Item Errado.
42. Se as quantidades de policiais do sexo feminino em cada um dos três pelotões são números que satisfazem à
2
inequação x − 520x+ 64.000 < 0 , então, no batalhão, há mais de 600 policiais do sexo feminino.
Solução:
Este item é sobre inequação do 2º grau. Vamos primeiramente encontrar os zeros, se existirem, da
2
2
função do 2º grau y = x − 520x+ 64.000 ; para isso basta resolver a equação x − 520x+ 64.000 = 0
cujos coeficientes são a = 1 , b =−520 e c = 64000 .
Sendo assim, estamos procurando dois números cuja soma é S = 520 e cujo produto é P = 64000 .
Tais números são: 200 e 320 , pois 200 + 320 = 520 e 200× 320 = 64000 .
Como a = 1 ⇒ a > 0 , o que significa que a concavidade da parábola que representa graficamente a função
2
y x x
= − 520 + 64.000 é voltada para cima, conforme a figura abaixo:

2
Como a inequação é x − 520x+ 64.000 < 0 , estamos à procura dos valores de x para os quais é
2
y = x − 520x+ 64.000 é menor que zero, ou seja, onde y é negativa.
Olhando para o esboço do gráfico acima concluímos que
x ∈ / 200 < x < 320 .
2
x x
− 520 + 64.000 < 0 para todo
Sejam M , N e P os números de policiais do sexo feminino nos três pelotões, então satisfazem à
2
inequação x − 520x+ 64.000 < 0 , portanto podemos afirmar que M > 200 , N > 200 e P > 200 .
Se M > 200 , N > 200 e P > 200 ,então M + N + P > 200 + 200 + 200 ⇒ M + N + P > 600 .
Item Correto.
Portanto, neste batalhão, há mais de 600 policiais do sexo feminino.
43. Considere que, em determinada manifestação política nessa cidade, os organizadores tenham estimado a
presença de 12.000 pessoas e a polícia militar tenha estimado a presença de 4.500 pessoas. Nessa situação, se a
estimativa da polícia correspondeu a 90% da quantidade de pessoas presentes à manifestação, então, para os
organizadores, a quantidade dos que faltaram à manifestação corresponde a mais de 150% dos presentes.
Solução:
Este item é de porcentagem.
Seja x a quantidade de pessoas presentes à manifestação.
A polícia estimou 4500 pessoas e essa estimativa correspondeu a 90% da quantidade de pessoas presentes,
ou seja, 90% de x = 4500 . Resolvendo essa equação porcentagem temos:
5
% nº de pessoas
450 0 × 100 45
↑ 90 ↑ 4500 ⇒ x =
=
90
100
x
Logo tivemos 5000 pessoas presentes na manifestação:
0× 100
9
1
= 50× 100 ⇒ x = 5000
Os organizadores estimaram a presença de 12000 pessoas, ou seja, em sua estimativa o nº de faltosos é dado
por: 12000 − 5000 = 7000 .
Seja p o percentual de faltosos em relação ao número de presentes. Então temos:
2
% nº de pessoas
700×
100 7× 100
↑100 ↑ 5000 ⇒ p =
= = 7× 20 ⇒ p = 140
500 5
p 7000
1
A quantidade de faltosos corresponde a 140%, ou seja, a quantidade dos que faltaram à manifestação
não corresponde a mais de 150% dos presentes.
Item Errado.

44. Considere que uma viatura policial adquirida por R$ 80.000,00 se desvalorize à taxa composta de 5% ao ano.
Nesse caso, considerando‐se 0,6 como valor aproximado para 0,95 10 , é correto afirmar que, 10 anos após a compra,
a viatura valerá menos de R$ 45.000,00.
Solução:
Estamos diante de uma questão de desconto composto onde devemos calcular o valor atual da
viatura 10 anos após a compra, sabendo que a mesma se desvaloriza à taxa composta de 5% ao ano.
O problema sugere ainda a seguinte igualdade
As variáveis do exercício são:
Taxa composta anual: i = 5% a.a.
período de desvalorização em anos: n = 10 anos
10
0,95 = 0,6 .
valor nominal na data da compra: N = 80000
valor atual: A = ?
Para calcular o valor atual para o desconto comercial composto temos a seguinte relação:
n
10 10 10
A = N × (1 − i)
= 80000 × (1− 5%) = 80000 × (1− 0,05) = 80000 × (0,95)
⇒ A = 80000 × (0,6) = 8000× 6 ⇒ A = 48000
O valor da viatura após 10 anos de desvalorização é R$ 48.000,00, ou seja, esta viatura não valerá
menos de R$ 45.000,00.
Item Errado.
45. Se o efetivo for dividido de forma diretamente proporcional às quantidades de habitantes dos bairros, então
mais de 1.200 militares ficarão responsáveis pelo policiamento ostensivo do bairro B2.
Solução:
Este item exige conhecimentos de divisão proporcional.
Segundo o texto as populações dos bairros B1, B2 e B3 são, respectivamente, iguais a 60.000, 66.000
e 74.000 pessoas e o batalhão possui um efetivo de 4.000 militares.
Como o efetivo será dividido de forma diretamente proporcional às quantidades de habitantes dos
bairros, então vamos calcular o valor da constante proporcional K .
Item Correto.
4000 4 000 4 1
K = = = =
60000 + 66000 + 74000 200 000 200 50
Seja x a quantidade de militares no bairro B2; Calculando o valor de x temos:
K nº de pessoas em B2
1 6600 0
x = × 66000 = ⇒ x = 1320
50
50
Portanto mais de 1.200 militares ficarão responsáveis pelo policiamento ostensivo do bairro B2.
Acerca da proposição R : “A população aprende a votar ou haverá novos atos de corrupção”, julgue os itens
seguintes.
46. A proposição “Enquanto a população não aprender a votar, haverá novos casos de corrupção” tem o mesmo
valor lógico da proposição R .
0,6

Solução:
Este item trata de equivalência lógica.
A proposição R é uma proposição composta que podemos escrever como a disjunção inclusiva de
duas simples, veja:
⎛ A população aprende a votar
R = ⎜
⎝ A
ou
haverá novos atos de corrupção ⎞
⎟
B
⎠
Sendo assim, podemos dizer que R = A ou B , onde:
A: A população aprende a votar , B: haverá novos atos de corrupção
Agora vamos analisar a proposição “Enquanto a população não aprender a votar, haverá novos casos
de corrupção”.
Vamos chamar esta proposição de S e escrevê‐la também como duas simples.
a população não aprender a votar haverá novos casos de corrupção
S = Enquanto
, .
¬ A
B
Que conectivo está sendo usado nesta proposição? É o condicional.
A proposição S afirma que A população não aprender a votar
haverá novos atos de corrupção .
Sendo assim, podemos dizer que S = Se ¬ A então
B .
A equivalências imediatas do condicional são:
CONTRAPOSITIVA
é uma condição suficiente para
1 -( Se P então
Q) = ( Se ¬ Q então ¬ P) , 2 -( Se P então Q) = ( ¬ P ou Q)
Vamos utilizar a regra de equivalência 2 em S .
S = Se ¬ A então B ⇒ S = ¬ ( ¬ A) ou B ⇒ S = A ou B ⇒ S = R
Portanto a proposição “Enquanto a população não aprender a votar, haverá novos casos de
corrupção” tem o mesmo valor lógico da proposição R , visto que elas são equivalentes.
Item Correto.
47. Se P e Q forem, respectivamente, as proposições “A população aprende a votar” e “Haverá novos atos de
corrupção”, então a proposição R estará corretamente assim simbolizada: P ∧ Q.
Solução:
Já vimos no item anterior que a proposição R é uma proposição composta que pode ser escrita da
seguinte forma:
⎛ A população aprende a votar
R = ⎜
⎝ P
ou
haverá novos atos de corrupção ⎞
Q
⎟
⎠
Sendo assim, podemos dizer que R = P ou Q , onde:
P: A população aprende a votar , Q: haverá novos atos de corrupção
O símbolo P ∧ Q significa a conjunção de P e Q , ou seja P ∧ Q = P e Q , enquanto R significa a
disjunção inclusiva P ou Q .
Item Errado.
Portanto R não pode ser representada corretamente pelo símbolo P ∧ Q.

Para o policiamento ostensivo e ininterrupto de uma cidade, o comando local estabeleceu a escala de 24
horas de plantão por 48 horas de folga para cada policial local e, em cada plantão, por razões de segurança,
determinou que nenhum policial poderá trabalhar sozinho.
Com base nas informações da situação hipotética acima apresentada, julgue os itens que se seguem.
48. Caso o comando local disponha de 12 policiais e 4 deles devam estar de plantão a cada dia, então, nesse caso,
haverá mais de 500 maneiras distintas de se escolher a equipe que trabalhará no primeiro dia.
Solução:
Problema de Análise Combinatória, devemos escolher 4 policiais dentre 12 disponíveis para compor a
escala de plantão no 1º dia.
Temos que tomar 4 decisões, abaixo segue o nº modos de tomar cada decisão:
12 11 10 9
1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão
importa a ordem? resposta: não
Então se trata de um problema de combinação, onde devemos fazer um ajuste após utilizar o
princípio multiplicativo no diagrama de decisões acima. Veja:
nº de combinações
5
12 11 10 9 12 × 11× 10 × 9
= × × × =
= 11× 5× 9 = 495
4
3
2
1 4 × 3 × 2 × 1
1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão
1
Portanto o comando tem apenas 495 maneiras distintas de escolher a equipe do 1º dia, ou seja, não
haverá mais de 500 maneiras distintas de se escolher a equipe que trabalhará no primeiro dia.
Item Errado.
49. Para que a escala atenda ao estabelecido, o comando local necessita de, pelo menos, 6 policiais.
Solução:
Como no enunciado é declarado o quantificador “pelo menos”, vamos procurar o menor número de
policiais que atenda as seguintes exigências do texto:
1 – escala de 24 horas de plantão por 48 horas de folga para cada policial local;
2 – nenhum policial poderá trabalhar sozinho;
Agora vamos imaginar a pior situação possível para compor a escala de plantão obedecendo as
restrições listadas acima.
Para o 1º dia tenho que ter 2 policiais de plantão; digamos que sejam os policiais A e B, assim temos o
seguinte diagrama representativo.
A,B
1ª dia 2ª dia 3ª dia 4ª dia
Para o 2º dia tenho que ter 2 policiais de plantão que não sejam A ou B, pois estes devem folgar 48
horas, ou seja, 2 dias, digamos que sejam os policiais C e D, assim temos o seguinte diagrama representativo.
A,B C,D
1ª dia 2ª dia 3ª dia 4ª dia
Para o 2º dia tenho que ter 2 policiais de plantão que não sejam A ou B ou C ou D, pois neste
momento nenhum deles folgou as 48 horas previstas, digamos que sejam os policiais E e F, assim temos o
seguinte diagrama representativo.

50. Considere que, entre os 12 policiais do comando local, sejam sorteados dois prêmios distintos e que um mesmo
policial não receba os dois prêmios. Nesse caso, existem mais de 100 maneiras distintas de se distribuírem esses
prêmios.
Solução:
Problema de Análise Combinatória, devemos escolher 2 policiais dentre 12 disponíveis para
receberem 2 prêmios distintos.
Temos que tomar 2 decisões, abaixo segue o nº modos de tomar cada decisão:
12 11
1ª prêmio 2ª prêmio
importa a ordem? resposta: sim
Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no
diagrama de decisões acima. Veja:
Item Correto.
A,B C,D E,F
1ª dia 2ª dia 3ª dia 4ª dia
Notemos que 6 é o número mínimo de policiais necessários para as exigências do problema.
Portanto para que a escala atenda ao estabelecido, o comando local necessita de, pelo menos, 6
policiais.
Item Correto.
nº de arranjos = 12 × 11 = 132
Portanto existem mais de 100 maneiras distintas de se distribuírem esses prêmios.
Gabarito
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
E C E E C C E E C C