Escriturário Banco do Brasil 2012 – (CESGRANRIO) Solução e ...

Escriturário Banco do Brasil 2012 – (CESGRANRIO)
Solução e Comentários de Matemática e Raciocínio Lógico – Professor Valdenilson
Prova 1 – Matemática – 10 questões (11 a 20)
11
No Brasil, quase toda a produção de latas de alumínio é reciclada. As empresas de reciclagem pagam R$ 320,00 por
100 kg de latas usadas, sendo que um quilograma corresponde a 74 latas. De acordo com essas informações,
quantos reais receberá um catador ao vender 703 latas de alumínio?
(A) 23,15
(B) 23,98
(C) 28,80
(D) 28,96
(E) 30,40
Solução:
Este item é sobre regra de três relacionando as seguintes grandezas:
Número de latas: que representaremos por nº de latas
Reais (R$): que representaremos por valor
Quilos de lata: que representaremos por kg
Seja x o valor em reais correspondente a 703 latas de alumínio. Devemos calcular o valor de x . Para isso
devemos relacionar as grandezas valor e número de latas.
Do enunciado sabemos que R$ 320,00 corresponde a 100 kg de latas;
Relacionando as grandezas valor e kg, que são diretamente proporcionais,temos:
valor kg
32 0 × 1 32
↑ 320 ↑ 100 ⇒ y = = ⇒ y = 3, 2
10 0 10
y 1
Isto quer dizer que um quilograma corresponde ao valor de R$ 3,20. Do enunciado também sabemos que um
quilograma corresponde a 74 latas, portanto o valor de R$ 3,20 corresponde a 74 latas;
Relacionando as grandezas valor e nº de latas, que também são diretamente proporcionais,temos:
valor nº de latas
3,20× 703 2249,60
↑ 3,20 ↑ 74 ⇒ x = = ⇒ x = 30,40
74 74
x 703
Logo, o catador receberá o valor de R$ 30,40 ao vender 703 latas de alumínio.
Alternativa correta “E”.
12
No modelo abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à mesma reta. O ponto A dista 65,8 mm do ponto D; o ponto B
dista 41,9 mm do ponto D, e o ponto C está a 48,7 mm do ponto A.
Qual é, em milímetros, a distância entre os pontos B e C?
(A) 17,1
(B) 23,1
(C) 23,5
(D) 23,9
(E) 24,8

Solução:
Este item é sobre adição de segmentos retilíneos e consecutivos. Vejamos que os pontos A, B, C e D
são todos consecutivos. Seja BC a distância, em milímetros, entre B e C. Devemos calcular o valor de BC .
Informações do enunciado:
O ponto A dista 65,8 mm do ponto D, assim temos: AB + BC + CD = 65,8 ( equação I )
O ponto B dista 41,9 mm do ponto D, assim temos: BC + CD = 41,9 ( equação II )
O ponto C está a 48,7 mm do ponto A, assim temos: AB + BC = 48,7 ( equação III )
Substituindo a equação II na equação I temos:
13
Numa pesquisa sobre acesso à internet, três em cada quatro homens e duas em cada três mulheres responderam
que acessam a rede diariamente. A razão entre o número de mulheres e de homens participantes dessa pesquisa é,
nessa ordem, igual a 1
. Que fração do total de entrevistados corresponde àqueles que responderam que acessam
a rede todos os dias?
(A) 5
7
(B) 8
11
(C) 13
18
(D) 17
24
(E) 25
36
AB +
BC + CD = 65,8 ⇒ AB + 41,9 = 65,8 ⇒ AB = 65,8 − 41,9 ⇒ AB = 23,9
2
41,9
Substituindo este resultado ( AB = 23,9 ) na equação III temos:
AB + BC = 48,7 ⇒ 23,9 + BC = 48,7 ⇒ BC = 48,7 − 23,9 ⇒ BC = 24,8
23,9
Portanto a distância entre os pontos B e C é 24,8 mm.
Alternativa correta “E”.
Seja:
Este item é de razão e proporção.
H o número de homens que participaram da pesquisa.
H o número de homens que acessam a rede diariamente.
A
H o número de homens que não acessam a rede diariamente.
N
M o número de mulheres que participaram da pesquisa.
M o número de mulheres que acessam a rede diariamente.
A
M o número de mulheres que não acessam a rede diariamente.
N
Se “três em cada quatro homens e duas em cada três mulheres responderam que acessam a rede
H A 3 M A 2
diariamente”, temos as seguintes proporções: = e = .
H 4 M 3

Temos também, do enunciado, que “A razão entre o número de mulheres e de homens participantes
dessa pesquisa é, nessa ordem, igual a 1
M 1
”, portanto: = .
2 H 2
A pergunta é: “Que fração do total de entrevistados corresponde àqueles que responderam que
H A + M A
acessam a rede todos os dias?”, ou seja: = ?
H + M
Solução 1:
Das igualdades que temos, efetuando cálculos aritméticos, chegamos aos seguintes resultados:
H A 3
=
H 4
⇒
3
H A = ⋅ H
4
3H
H A =
4
(1)
⇒
M A 2
=
M 3
⇒
2
M A = ⋅ M
3
2M
M A =
3
(2)
⇒
M
H
1
=
2
⇒ M
1
= ⋅ H
2
⇒ M
H
=
2
(3)
Substituindo ( 3 ) em ( 2 ) temos:
2M
M A =
3
H
2 ⋅
= 2
3
=
2 H
2
3
⇒
H
M A =
3
(4)
H A + M A
Substituindo as igualdades (1), (3) e (4) na expressão conseguiremos nossa resposta, veja:
H + M
3H
H
+
H A + M A = 4 3
H + M H
H +
2
9H + 4H = 12
2H + H
2
13H
= 12
3H
2
13 H
=
12
2
⋅
3 H
1
13× 2 13× 1 13
= = =
12 × 3 6× 3 18
6
Portanto, a fração do total de entrevistados que acessam a rede todos os dias é 13
18 .
Alternativa correta “C”.
Solução 2:
O número de pessoas é uma quantidade inteira. Sendo assim, podemos observar o seguinte:
H A 3
Se = , então H é múltiplo de 4, pois, se não o for, teríamos um número não inteiro de
H 4
homens que acessam a rede, mas isto é impossível para a grandeza número de homens.
Se
M
M
A
2
= , então M é múltiplo de 3, pelo mesmo motivo da conclusão anterior.
3
M 1
Se = , então M é a metade de H . Como H é múltiplo de 4, a metade de H é múltiplo de 2,
H 2
pois ao se dividir um múltiplo de 4 por 2 o resultado continua sendo par, logo M é múltiplo de 2.
As informações sobre M nos dizem que M é múltiplo de 3 e M é múltiplo de 2, logo M é múltiplo
de 6. Vamos então supor que M = 6 e resolver o exercício com as proporções que temos.
M 1 6 1
= ⇒ = ⇒ H ⋅ 1= 6⋅2 ⇒
H = 12 (1)
H 2 H 2

14
M A 2 M A 2 2 6× 2 12
= ⇒ = ⇒ M A = 6 × = = ⇒ M A = 4 (2)
M 3 6 3 3 3 3
Lembrando que, por ( 1 ), H = 12 , temos:
HA 3 HA
3 3 12× 3 36
= ⇒ = ⇒ H A = 12 × = = ⇒ H A = 9 (3)
H 4 12 4 4 4 4
Substituindo as igualdades (1), (2) e (3) na expressão A A
Uma seqüência numérica infinita (e 1,e 2,e 3, …,e n,
…) é tal que a soma dos n termos iniciais é igual a
quarto termo dessa seqüência é igual a
(A) 9
(B) 13
(C) 17
(D) 32
(E) 40
H + M
H + M
conseguiremos nossa resposta, veja:
H A + M A 9 + 4 13
= =
H + M 12 + 6 18
Portanto, a fração do total de entrevistados que acessam a rede todos os dias é 13
18 .
Alternativa correta “C”.
2
n + 6n . O
Solução:
Seja n S a soma dos n termos iniciais da seqüência numérica infinita (e 1,e 2,e 3, …,e n,
… ) , então
2
Sn= n + 6n . Queremos identificar o quarto termo da seqüência, ou seja, e 4 = ? .
Notemos que a soma dos três termos iniciais é dada por S quando n n = 3,
ou seja:
S = n + 6n ⇒ S = 3 + 6× 3 = 9+ 18 ⇒ S = 27 ( 1 )
n
2 2
3 3
Notemos também que a soma dos quatro termos iniciais é dada por S quando n n = 4,
ou seja:
S n 6n S 4 6 4 16 24 0 ( 2 )
2 2
n = + ⇒ 4 = + × = + ⇒ S4= 4
De (1) e (2) temos:
S3 = 27 ⇒ e1 + e2 + e3 = 27 e S4 = 40 ⇒ e1 + e2 + e3
+ e4 = 40
⇒ 27 + e4 = 40 ⇒ e4 = 40 −27 ⇒ e4 = 13
Portanto, o quarto termo da seqüência 1 2 3 n
(e ,e ,e , ,e , )
… … é 13.
Alternativa correta “B”.
27

15
Revista Veja. São Paulo: Abril, 2249. ed, ano 44, n.52,
28 dez. 2011, p. 23. Edição especial. Sustentabilidade.
Adaptado.
Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a reciclagem de lixo em algumas regiões do planeta.
Baseando‐se nos dados apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo
recicladas na China e nos EUA em um ano?
(A) 9,08
(B) 10,92
(C) 12,60
(D) 21,68
(E) 24,80
Solução:
Seja:
x a quantidade de lixo reciclado, em milhões de tonelada/ano, na China.
y a quantidade de lixo reciclado, em milhões de tonelada/ano, nos EUA.
A pergunta é: “qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo recicladas na
China e nos EUA em um ano?”, ou seja, x− y = ? .
Observando o gráfico exposto no início do enunciado temos:
30
x= 30% de 300 ⇒ x=
× 300 = 30× 3 ⇒ x = 90
( 1 )
100
34 34× 238 8092
y = 34% de 238 ⇒ y = × 238 = = ⇒ y = 80, 92 ( 2)
100 100 100
Das igualdades (1) e (2) temos:
x − y = 90 −80,92 ⇒ x− y = 9, 08
Portanto, a diferença entre as quantidades de milhões de toneladas de lixo recicladas na China e nos
EUA em um ano é 9,08.
Alternativa correta “A”.

16
Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais. Qual a
probabilidade de a moeda ser lançada exatamente três vezes?
(A) 1/8
(B) 1/4
(C) 1/3
(D) 1/2
(E) 3/4
Solução:
Este item é de Probabilidade.
Como queremos exatamente três lançamentos e a moeda deixa de ser lançada quando dois
resultados consecutivos são iguais, então os resultados dos dois primeiros lançamentos devem ser diferentes
para que o jogo prossiga até o 3º lançamento e, além disso, o resultado do 3º lançamento deve ser igual ao
resultado do 2º, para garantir que não haverá um 4º lançamento.
De quantos modos distintos pode ocorrer o resultado dos três lançamentos?
2 2 2
1ª lançamento 1ª lançamento 1ª lançamento
importa a ordem? resposta: sim
Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no
diagrama de decisões acima. Veja:
nº de casos possíveis = 2 × 2 × 2 = 8
De quantos modos distintos podem ocorrer o resultado dos três lançamentos, sendo que os dois
primeiros resultados são diferentes e o 3º resultado é igual ao 2º?
O primeiro resultado pode ocorrer de dois modos (cara ou coroa), ou seja:
seja:
2 ? ?
1ª lançamento 2ª lançamento 3ª lançamento
O segundo resultado só pode ocorrer de uma maneira, pois deve ser diferente do 1º resultado, ou
2 1 ?
1ª lançamento 2ª lançamento 3ª lançamento
O terceiro resultado só pode ocorrer de uma maneira, pois deve ser igual ao 2º resultado, ou seja:
2 1 1
importa a ordem? resposta: sim
1ª lançamento 2ª lançamento 3ª lançamento
Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no
diagrama de decisões acima. Veja:
nº de casos favoráveis = 2 × 1 × 1 = 2
A probabilidade de haver exatamente três lançamentos é dada por:
nº de casos favoráveis 2 1
P(exatamente três lançamentos)
= = =
nº de casos possíveis
8 4
Portanto, a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente três vezes é 1/4.
Alternativa correta “B”.

17
Uma loja oferece um aparelho celular por R$ 1.344,00 à vista. Esse aparelho pode ser comprado a prazo, com juros
de 10% ao mês, em dois pagamentos mensais iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês após a compra. O valor
de cada um dos pagamentos mensais é, em reais, de
(A) 704,00
(B) 705,60
(C) 719,00
(D) 739,20
(E) 806,40
Solução 1:
Problema de Juros.
Seja P o valor de cada pagamento.
Vamos identificar os elementos da operação financeira:
Capital (valor financiado): C = 1344 − P (visto que o primeiro pagamento, no valor de P , será
efetuado no ato da compra);
Taxa de juros: i = 10% ao mês;
Prazo: n = 1 mês (visto que um dos pagamentos será efetuado no ato da compra)
Montante: M = P (visto que o 2º pagamento é igual ao primeiro).
Importante: Observe que o regime de capitalização (simples ou composto) não foi mencionado no
exercício e, de fato, essa informação é dispensável porque o prazo da operação financeira é de exatamente
um período financeiro.
Efetuando os cálculos temos:
n 1
(1 ) (1 ) P (1344 P ) (1,1)
M = C ⋅ + i ⇒ P = (1344 − P ) ⋅ + 1 0%
⇒ = − ⋅
⇒ P = 1344× 1,1−1,1P ⇒ P + 1,1P = 1344× 1,1⇒ 2,1P = 1344× 1,1
64
1344× 1,1 1344 × 11
⇒ P = = = 11× 64
2,1 21
1
⇒ P = 704
Portanto, o valor de cada um dos pagamentos mensais é R$ 704,00.
Alternativa correta “A”.
Solução 2: Poderíamos supor um valor financiado igual a R$ 100,00, assim teríamos as seguintes variáveis
financeiras para o problema:
Capital (valor financiado): C = 100,
Taxa de juros: i = 10% ao mês,
Prazo: n = 1 mês.
Qual seria o
valor da parcela nesse caso?
+ 10%
100 ⎯⎯⎯→ 110 + 10
Fazendo o fluxo de caixa para esta operação teríamos:
(meses)
0 1
Isso quer dizer que a parcela seria de R$ 110,00, logo a entrada seria também de R$ 110,00, pois os
pagamentos são iguais. Com isso o valor à vista desse bem seria R$ 100,00 (valor financiado) + R$ 110,00
(valor da entrada), ou seja, valor à vista igual a R$ 210,00.
Agora é só aplicar uma regra de três com as grandezas valor à vista e valor da parcela que são
diretamente proporcionais, veja:
64
à vista parcela
1344× 110 1344× 11 1344 × 11
↑ 210 110 ↑ ⇒ P =
= = = 11× 64 ⇒ P = 704
210 21 21
1344 P
1
Portanto, o valor de cada um dos pagamentos mensais é R$ 704,00.
Alternativa correta “A”.

18
Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do
rendimento correspondente é, aproximadamente,
(A) 12%
(B) 12,49%
(C) 12,55%
(D) 13%
(E) 13,43%
Solução:
Problema de Taxas de Juros.
O mais importante neste tipo de exercício é identificar a unidade de tempo da capitalização. No
enunciado temos:
capitalização trimestral
A taxa nominal dada no exercício é 12% ao ano.
Para encontrar a taxa efetiva ( i ) mediante uma taxa nominal, basta fazer a proporção direta entre
ef
estas na unidade de capitalização (que é trimestre). A taxa nominal está determinada em anos e 1 ano
corresponde a 4 trimestres, logo:
taxa trimestre
12% × 1 12%
↑ 12% 4 ↑ ⇒ ief
= = ⇒ ief
= 3% ao trimestre
4 4
i 1
ef
A nossa taxa efetiva é 3% ao trimestre. Mas o exercício está pedindo o valor da taxa efetiva anual, ou
seja, numa unidade de tempo diferente da capitalização (trimestre).
n
Para relacionar duas taxas efetivas devemos utilizar a regra de equivalência 1+ I anual = (1+ i trim ) .
Quanto é o expoente da relação acima? Resposta: é o número de períodos da unidade da taxa i
(trimestre) que equivalem a um período da taxa I (ano). Já vimos que 1 ano corresponde a 4 trimestres, logo
n = 4.
4
4 4
Assim temos: 1+ I anual = (1+ i trim ) e como itrim = 3% , temos: 1+ I anual = (1+ 3%) = (1,03) .
4
Nesta prova não foi dada a tabela, então devemos resolver a potência (1, 03) , para isso efetuaremos
as duas multiplicações abaixo.
103 ×
10609
10609
× 103 95481
309
000
2
⇒ (1,03)
4 2
= 1, 0609 ⇒ (1,03) = (1,0609)
4 casas
00000
63654
4
⇒ (1,03) = 1,12550881
8 casas decimais
103
decimais
00000
10609
10609
112550881
1+ I anual
4
= (1,03) ⇒ 1+ Ianual = 1,12550881 ⇒ Ianual = 1,12550881− 1 = 0,12550881
I = 12,550881 % ⇒ I 12,55%
anual anual
Portanto, a taxa efetiva anual do rendimento correspondente é de aproximadamente 12,55%.
Alternativa correta “C”.

19
João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$
600,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais,
aproximadamente,
(A) 240,00
(B) 330,00
(C) 429,00
(D) 489,00
(E) 538,00
Solução:
Problema de Fluxo de Caixa.
Vamos fazer o fluxo de caixa dessa operação:
data →
0 1 2 3
dívida → 900 900 + 90 = 990 990 + 99 = 1089 489 + 48,
90 = 537,90
pagamento → 0 0 600
x = ?
saldo
+ 10%
→ 900
− 0 = 900 ⎯⎯⎯→
+ 90
+ 10%
990 − 0 = 99 0 ⎯⎯⎯→
+ 99
+ 10%
1089 − 600
= 489 ⎯⎯⎯→
+ 48,90
537,
90
− x = 0
Portanto, para quitar a dívida no 3º mês é necessário um pagamento de R$ 537,90, cujo valor
aproximado é R$ 538,00.
Alternativa correta “E”.
20
O investimento necessário para montar uma pequena empresa é de R$ 10.000,00. Esse investimento renderá R$
6.000,00 no final do primeiro ano, e R$ 5.500,00 no final do segundo. Depois desses dois anos, o dono dessa
empresa pretende fechá‐la. A taxa interna de retorno (TIR), anual, desse projeto é
(A) 1%
(B) 1,5%
(C) 5%
(D) 10%
(E) 15%
Solução:
Problema de Análise de Investimento. Quer se calcular a TIR do projeto cujo fluxo de caixa é seguinte:
6.000 5.500
0 ↑ ↑
(anos)
↓ 1 2
10.000
Lembrando que a TIR é taxa necessária para tornar o VPL do projeto nulo (zero). Analisando os fluxos
2
de Caixa no período 2 temos: VPL =−10.000 ⋅ (1+ TIR) + 6.000 ⋅ (1+ TIR)+5.500 . Como VPL = 0,
2
então −10.000 ⋅ (1+ TIR) + 6.000 ⋅ (1+ TIR)+5.500 = 0 .
Sendo X = 1+ TIR e dividindo toda a equação anterior por 500, temos a seguinte equação do 2º
2
grau − 20X + 12 X +11 = 0 . Vamos calcular suas raízes.
2 2
Δ = b − 4ac = (12) − 4 × ( − 20) × 11 = 144 + 880 = 1024 ⇒ Δ = 1024 = 32
− b+ ⇒ X ' =
2a
Δ − 12+ 32 − 12+ 32 20
= = =
2 × ( −20) −40 −40
−b− = − 0,5 e X ''=
2a
Δ −12−32 = =
−40
A solução X =− 0,5 é descartada por ser negativa, então é válida apenas a solução X = 1,1 .
X = 1,1 ⇒ 1+ TIR = 1,1 ⇒ TIR = 1,1 − 1 = 0,1 ⇒ TIR
= 10% ao ano.
Portanto, a taxa interna de retorno (TIR), anual, desse projeto é 10% ao ano.
Alternativa correta “B”.
− 44
− 40
= 1,1

Prova 1 – Raciocínio Lógico – 5 questões (26 a 30)
26
Para cadastrar‐se em um site de compras coletivas, Guilherme precisará criar uma senha numérica com, no mínimo,
4 e, no máximo, 6 dígitos. Ele utilizará apenas algarismos de sua data de nascimento: 26/03/1980. Quantas senhas
diferentes Guilherme poderá criar se optar por uma senha sem algarismos repetidos?
(A) 5.040
(B) 8.400
(C) 16.870
(D) 20.160
(E) 28.560
Solução:
Problema de Análise Combinatória(Arranjo). Restrições do problema:
1 – no mínimo 4 e no máximo 6 dígitos;
2 – os algarismos escolhidos devem constar no conjunto { 0,1, 2,3,6,8,9 } , pois sua data de
nascimento é 26/03/1980;
3 – os algarismos não podem ser repetidos;
A restrição 1 nos diz que as senhas podem ser compostas de 4 algarismos, 5 algarismos e 6
algarismos.
A restrição 2 nos diz que temos apenas 7 elementos no conjunto de algarismos possíveis para compor
as senhas;
Vamos calcular caso a caso em separado.
Calculando a quantidade de senhas com exatamente quatro algarismos:
Temos que tomar 4 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão:
7 6 5 4
1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão
importa a ordem? resposta: sim
Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no
diagrama de decisões acima. Veja:
nº de senhas com 4 algarismos = 7 × 6 × 5 × 4 = 840
( 1 )
Calculando a quantidade de senhas com exatamente cinco algarismos:
Temos que tomar 5 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão:
7 6 5 4 3
1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão 5ª decisão
importa a ordem? resposta : sim
Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no
diagrama de decisões acima. Veja:
nº de senhas com 5 algarismos = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520
( 2 )
Calculando a quantidade de senhas com exatamente seis algarismos:
Temos que tomar 6 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão:
7 6 5 4 3 2
1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão 5ª decisão 6ª decisão
importa a ordem? resposta: sim
Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no
diagrama de decisões acima. Veja:
nº de senhas com 6 algarismos = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 5040
( 3 )
⇒ nº total de senhas = 840 + 2520 + 5040
= 8400
Portanto, o total de senhas diferentes que Guilherme poderá criar sem algarismos repetidos é 8400.
Alternativa correta “B”.

27
Um grupo de 40 pessoas, homens e mulheres, está reunido em uma sala. Todos têm mais de 30 e menos de 50 anos.
Alguns homens têm menos de 40 anos, e algumas mulheres, mais de 35 anos. Considere que a idade de cada pessoa
seja representada por um número inteiro (anos completados até a presente data). Desse modo, afirma‐se que, nesse
grupo, há
(A) 19 pessoas, no mínimo, de idades diferentes.
(B) um homem, pelo menos, de 45 anos.
(C) alguma mulher de 39 anos.
(D) pessoas com a mesma idade.
(E) um homem e uma mulher, necessariamente, cujas idades são iguais.
Solução:
Problema envolvendo números inteiros.
Um grupo de 40 pessoas, homens e mulheres, está reunido em uma sala. Todos têm mais de 30 e
menos de 50 anos. Sendo assim, a idade de qualquer pessoa (dentre as 40 pessoas na sala) é um número
inteiro pertencente ao conjunto { 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49 } .
No conjunto acima há 19 idades possíveis, mas são 40 pessoas, como são mais pessoas que idades,
sem dúvidas, pelo “princípio das gavetas”, concluímos que nesse grupo, há pessoas com a mesma idade.
Alternativa correta “D”.
28
Uma pessoa dispõe de balas de hortelã, de caramelo e de coco e pretende “montar” saquinhos com 13 balas cada,
de modo que, em cada saquinho, haja, no mínimo, três balas de cada sabor. Um saquinho diferencia‐se de outro
pela quantidade de balas de cada sabor. Por exemplo, seis balas de hortelã, quatro de coco e três de caramelo
compõem um saquinho diferente de outro que contenha seis balas de coco, quatro de hortelã e três de caramelo.
Sendo assim, quantos saquinhos diferentes podem ser “montados”?
(A) 4
(B) 6
(C) 9
(D) 12
(E) 15
Solução:
Problema de Análise Combinatória(Arranjo).
Restrições do problema:
1 – no mínimo, três balas de cada sabor;
2 – exatamente 13 balas em cada saquinho;
Vamos fixar as posições dos sabores e variar a quantidade de balas em cada posição.
hortelã caramelo coco
A quantidade de balas por sabor é no máximo 7, pois esse caso extremo obrigaria os dois outros
sabores a terem cada um exatamente 3 balas para formar o saquinho com 13 (3+3+7) balas.
Vamos dividir o problema em casos:
Caso 1: Quando há exatamente 3 balas de hortelã.
Neste caso hortelã já foi escolhido e só faltam 10 balas para distribuir entre os dois sabores, então
temos que tomar 2 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão:
5 1
importa a ordem? resposta: sim
(3 a 7)
caramelo coco
Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no
diagrama de decisões acima. Veja:
nº de saquinhos com 3 balas de hortelã = 5 × 1 =
5 ( 1 )

Importante: O número de modos de escolher a quantidade de balas de coco é única, pois para cada
uma das cinco possíveis quantidades a serem escolhidas para a bala de caramelo é única a quantidade de
balas de coco que torna a soma igual a 10.
Caso 2: Quando há exatamente 4 balas de hortelã.
Neste caso hortelã já foi escolhido e só faltam 9 balas para distribuir entre os dois sabores, então
temos que tomar 2 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão:
4 1
importa a ordem? resposta: sim
(3 a 6)
caramelo coco
Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no
diagrama de decisões acima. Veja:
nº de saquinhos com 4 balas de hortelã = 4 × 1 = 4 ( 2 )
Caso 3: Quando há exatamente 5 balas de hortelã.
Neste caso hortelã já foi escolhido e só faltam 8 balas para distribuir entre os dois sabores, então
temos que tomar 2 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão:
3 1
importa a ordem? resposta: sim
(3 a 5)
caramelo coco
Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no
diagrama de decisões acima. Veja:
nº de saquinhos com 5 balas de hortelã = 3 × 1 = 3 ( 3 )
Caso 4: Quando há exatamente 6 balas de hortelã.
Neste caso hortelã já foi escolhido e só faltam 7 balas para distribuir entre os dois sabores, então
temos que tomar 2 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão:
2
(3 a 4)
1
importa a ordem? resposta: sim
caramelo coco
Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no
diagrama de decisões acima. Veja:
nº de saquinhos com 6 balas de hortelã = 2 × 1 = 2 ( 4 )
Caso 5: Quando há exatamente 7 balas de hortelã.
Neste caso hortelã já foi escolhido e só faltam 6 balas para distribuir entre os dois sabores, então
temos que tomar 2 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão:
1
(3 a 3)
1
importa a ordem? resposta: sim
caramelo coco
Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no
diagrama de decisões acima. Veja:
nº de saquinhos com 7 balas de hortelã = 1 × 1 = 1 ( 4 )
⇒ nº total de saquinhos com 13 balas =
5 +
4 +
3 +
2 +
1 = 15
Caso 1
Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5
Portanto, podem ser “montados” 15 saquinhos diferentes. Veja todas as possibilidades abaixo:
sabores Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5
hortelã 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 7
caramelo 3 4 5 6 7 3 4 5 6 3 4 5 3 4 3
coco 7 6 5 4 3 6 5 4 3 5 4 3 4 3 3
Alternativa correta “E”.

29
Marcelo vai passar quatro dias na praia e leva em sua bagagem sete camisetas (três camisetas brancas diferentes,
uma preta, uma amarela, uma vermelha e uma laranja) e quatro bermudas (uma preta, uma cinza, uma branca e
uma azul). De quantos modos distintos Marcelo poderá escolher uma camiseta e uma bermuda para vestir‐se, de
modo que as peças escolhidas sejam de cores diferentes?
(A) 14
(B) 17
(C) 24
(D) 26
(E) 28
Solução:
Problema de Contagem.
Restrições do problema:
1 – camiseta e bermuda de cores diferentes;
O enunciado mostra as seguintes informações:
Marcelo possui sete camisetas (três camisetas brancas diferentes, uma preta, uma amarela, uma
vermelha e uma laranja) e quatro bermudas (uma preta, uma cinza, uma branca e uma azul)
Temos que tomar duas decisões apenas, a cor da camiseta e a cor da bermuda; abaixo segue o nº de
modos de tomar cada decisão com base no parágrafo acima:
7 4
cor da camiseta cor da bermuda
Este problema se trata de um problema de contagem, onde basta apenas utilizar o princípio
multiplicativo no diagrama de decisões acima. Veja:
nº de modos de se vestir = 7 × 4 = 28
( 1 )
Concluímos então que há 28 modos de vestir, porém há casos, dentre estes 28, em que as cores da
camiseta e bermuda são iguais.
Vamos calcular agora o número de modos de escolher peças de roupa de cores iguais.
Há dois casos a considerar:
Caso 1: camiseta e bermudas brancas.
Lembremos que Marcelo possui três camisetas brancas diferentes e uma bermuda branca.
Temos que tomar duas decisões apenas, camiseta branca e bermuda branca; abaixo segue o nº de
modos de tomar cada decisão e cálculo utilizando o princípio multiplicativo:
3 1
camiseta branca bermuda branca
⇒ nº de modos de peças brancas = 3 × 1 = 3 ( 2 )
Caso 2: camiseta e bermudas pretas.
Lembremos que Marcelo possui uma camiseta preta e uma bermuda preta.
Temos que tomar duas decisões apenas, camiseta preta e bermuda preta; abaixo segue o nº de
modos de tomar cada decisão e cálculo utilizando o princípio multiplicativo:
1 1
camiseta preta bermuda preta
⇒ nº de modos de peças brancas = 1 × 1 = 1 ( 3 )
Dos casos 1 e 2 acima expostos concluímos que o número de modos de Marcelo escolher duas peças
de mesma cor é exatamente 4, 3 modos com a cor branca e 1 com a cor preta.
Concluindo, Marcelo dispõe de 28 modos de se vestir, sendo que, desses 28, ele tem 4 opções de
escolher peças da mesma cor, portanto as outras opções, que somam um total de 24, são modos de escolher
peças de cores diferentes.
Logo, Marcelo dispõe de 24 modos de escolher uma bermuda e uma camiseta de cores diferentes.
Alternativa correta “C”.

30
Se todos os anagramas da palavra BRASIL forem dispostos em ordem alfabética, o primeiro anagrama cuja última
letra é “B” ocupará que posição?
(A) 5ª
(B) 25ª
(C) 34ª
(D) 49ª
(E) 121ª
Solução:
Problema de Análise Combinatória(Permutação).
Anagrama é qualquer permutação dos símbolos de uma palavra, tendo ou não significado lingüístico.
Devemos permutar os símbolos da palavra BRASIL e dispô‐los em ordem alfabética. Após a
ordenação devemos verificar a posição do primeiro anagrama cuja última letra é “B”.
As letras da palavra BRASIL formam o seguinte conjunto em ordem alfabética:{ A, B, I, L, R, S } .
Portando a primeira permutação ordenada é o anagrama A B I L R S.
Podemos perceber que o primeiro anagrama cuja última letra é “B” é A S I L R B , sendo assim
devemos contar quantos anagramas antecedem o anagrama A S I L R B .
Sendo assim, temos os seguintes casos:
Caso 1: Quando “B” ocupa a 2ª posição e o anagrama antecede A S I L R B . Se o anagrama
antecede A S I L R B , então na 1ª posição está a letra “A”.
Temos que tomar 6 decisões (uma para cada letra), abaixo segue o nº de modos de tomar as decisões:
1 1 4 3 2 1
importa a ordem? resposta: sim
A
B
1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão 5ª decisão 6ª decisão
Utilizando o princípio multiplicativo no diagrama de decisões acima temos:
nº de anagramas com B na 2ª posição = 1 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24 ( 1 )
Caso 2: Quando “B” ocupa a 3ª posição e o anagrama antecede A S I L R B . Se o anagrama
antecede A S I L R B , então na 1ª posição está a letra “A” e na 2ª posição está a letra “I”.
Temos que tomar 6 decisões (uma para cada letra), abaixo segue o nº de modos de tomar as decisões:
1 1 1 3 2 1
importa a ordem? resposta: sim
A
I
B
1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão 5ª decisão 6ª decisão
Utilizando o princípio multiplicativo no diagrama de decisões acima temos
nº de anagramas com B na 3ª posição = 1 × 1 × 1 × 3 × 2 × 1 = 6 ( 2 )
Caso 3: Quando “B” ocupa a 4ª posição e o anagrama antecede A S I L R B . Se o anagrama
antecede A S I L R B , então na 1ª posição está a letra “A”, na 2ª posição está a letra “I” e na 3ª posição
está a letra “L”.
Temos que tomar 6 decisões (uma para cada letra), abaixo segue o nº de modos de tomar as decisões:
1 1 1 3 2 1
importa a ordem? respost a: sim
A
I
L
B
1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão 5ª decisão 6ª decisão
Utilizando o princípio multiplicativo no diagrama de decisões acima temos:
nº de anagramas com B na 4ª posição = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 1 =
2 ( 3 )

Caso 4: Quando “B” ocupa a 5ª posição e o anagrama antecede A S I L R B . Se o anagrama
antecede A S I L R B , então na 1ª posição está a letra “A”, na 2ª posição está a letra “I”, na 2ª posição está
a letra “L” e na 4ª posição está a letra “R”.
Temos que tomar 6 decisões (uma para cada letra), abaixo segue o nº de modos de tomar as decisões:
1 1 1 1 1 1
importa a ordem? resposta: sim
A
I
L
R
B
1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão 5ª decisão 6ª decisão
Utilizando o princípio multiplicativo no diagrama de decisões acima temos:
nº de anagramas com B na 5ª posição = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 ( 4 )
Somando o total de anagramas encontrados nos casos 1, 2, 3 e 4:
24 +
6 +
2 +
1 = 33
caso 1 caso 2 caso 3 caso 4
Portanto, o total de anagramas da palavra BRASIL que antecedem o anagrama A S I L R B é 33, isso
quer dizer que o anagrama A S I L R B a posição de número 34, logo a posição do primeiro anagrama cuja
última letra é “B” é 34ª.
Veja abaixo as tabelas com a descrição de cada um dos casos:
Caso 1
posição anagrama
1ª ABILRS
2ª ABILSR
3ª ABIRLS
4ª ABIRSL
5ª ABISLR
6ª ABISRL
7ª ABLIRS
8ª ABLISR
9ª ABLRIS
10ª ABLRSI
11ª ABLSIR
12ª ABLSRI
13ª ABRILS
14ª ABRISL
15ª ABRLIS
16ª ABRLSI
17ª ABRSIL
18ª ABRSLI
19ª ABSILR
20ª ABSIRL
21ª ABSLIR
22ª ABSLRI
23ª ABSRIL
24ª ABSRLI
Caso 2
posição anagrama
25ª AIBLRS
26ª AIBLSR
27ª AIBRLS
28ª AIBRSL
29ª AIBSLR
30ª AIBSRL
Caso 3
posição anagrama
31ª AILBRS
32ª AILBSR
Caso 4
posição anagrama
33ª AILRBS
posição anagrama
34ª AILRSB
primeiro cuja última
letra é “B”.
Alternativa correta “C”.
Comentário final: Prova muito bem elaborada, exigindo muitos conhecimentos de matemática enfatizando a parte
de análise combinatória. Nenhum gabarito passível de recurso.
Gabarito Matemática & Raciocínio Lógico
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 26 27 28 29 30
E E C B A B A C E D B D E C C