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Prova 1 – Raciocínio Lógico – 5 questões (26 a 30) 26 Para cadastrar‐se em um site de compras coletivas, Guilherme precisará criar uma senha numérica com, no mínimo, 4 e, no máximo, 6 dígitos. Ele utilizará apenas algarismos de sua data de nascimento: 26/03/1980. Quantas senhas diferentes Guilherme poderá criar se optar por uma senha sem algarismos repetidos? (A) 5.040 (B) 8.400 (C) 16.870 (D) 20.160 (E) 28.560 Solução: Problema de Análise Combinatória(Arranjo). Restrições do problema: 1 – no mínimo 4 e no máximo 6 dígitos; 2 – os algarismos escolhidos devem constar no conjunto { 0,1, 2,3,6,8,9 } , pois sua data de nascimento é 26/03/1980; 3 – os algarismos não podem ser repetidos; A restrição 1 nos diz que as senhas podem ser compostas de 4 algarismos, 5 algarismos e 6 algarismos. A restrição 2 nos diz que temos apenas 7 elementos no conjunto de algarismos possíveis para compor as senhas; Vamos calcular caso a caso em separado. Calculando a quantidade de senhas com exatamente quatro algarismos: Temos que tomar 4 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão: 7 6 5 4 1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão importa a ordem? resposta: sim Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no diagrama de decisões acima. Veja: nº de senhas com 4 algarismos = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 ( 1 ) Calculando a quantidade de senhas com exatamente cinco algarismos: Temos que tomar 5 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão: 7 6 5 4 3 1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão 5ª decisão importa a ordem? resposta : sim Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no diagrama de decisões acima. Veja: nº de senhas com 5 algarismos = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520 ( 2 ) Calculando a quantidade de senhas com exatamente seis algarismos: Temos que tomar 6 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão: 7 6 5 4 3 2 1ª decisão 2ª decisão 3ª decisão 4ª decisão 5ª decisão 6ª decisão importa a ordem? resposta: sim Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no diagrama de decisões acima. Veja: nº de senhas com 6 algarismos = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 5040 ( 3 ) ⇒ nº total de senhas = 840 + 2520 + 5040 = 8400 Portanto, o total de senhas diferentes que Guilherme poderá criar sem algarismos repetidos é 8400. Alternativa correta “B”.
27 Um grupo de 40 pessoas, homens e mulheres, está reunido em uma sala. Todos têm mais de 30 e menos de 50 anos. Alguns homens têm menos de 40 anos, e algumas mulheres, mais de 35 anos. Considere que a idade de cada pessoa seja representada por um número inteiro (anos completados até a presente data). Desse modo, afirma‐se que, nesse grupo, há (A) 19 pessoas, no mínimo, de idades diferentes. (B) um homem, pelo menos, de 45 anos. (C) alguma mulher de 39 anos. (D) pessoas com a mesma idade. (E) um homem e uma mulher, necessariamente, cujas idades são iguais. Solução: Problema envolvendo números inteiros. Um grupo de 40 pessoas, homens e mulheres, está reunido em uma sala. Todos têm mais de 30 e menos de 50 anos. Sendo assim, a idade de qualquer pessoa (dentre as 40 pessoas na sala) é um número inteiro pertencente ao conjunto { 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49 } . No conjunto acima há 19 idades possíveis, mas são 40 pessoas, como são mais pessoas que idades, sem dúvidas, pelo “princípio das gavetas”, concluímos que nesse grupo, há pessoas com a mesma idade. Alternativa correta “D”. 28 Uma pessoa dispõe de balas de hortelã, de caramelo e de coco e pretende “montar” saquinhos com 13 balas cada, de modo que, em cada saquinho, haja, no mínimo, três balas de cada sabor. Um saquinho diferencia‐se de outro pela quantidade de balas de cada sabor. Por exemplo, seis balas de hortelã, quatro de coco e três de caramelo compõem um saquinho diferente de outro que contenha seis balas de coco, quatro de hortelã e três de caramelo. Sendo assim, quantos saquinhos diferentes podem ser “montados”? (A) 4 (B) 6 (C) 9 (D) 12 (E) 15 Solução: Problema de Análise Combinatória(Arranjo). Restrições do problema: 1 – no mínimo, três balas de cada sabor; 2 – exatamente 13 balas em cada saquinho; Vamos fixar as posições dos sabores e variar a quantidade de balas em cada posição. hortelã caramelo coco A quantidade de balas por sabor é no máximo 7, pois esse caso extremo obrigaria os dois outros sabores a terem cada um exatamente 3 balas para formar o saquinho com 13 (3+3+7) balas. Vamos dividir o problema em casos: Caso 1: Quando há exatamente 3 balas de hortelã. Neste caso hortelã já foi escolhido e só faltam 10 balas para distribuir entre os dois sabores, então temos que tomar 2 decisões, abaixo segue o nº de modos de tomar cada decisão: 5 1 importa a ordem? resposta: sim (3 a 7) caramelo coco Então se trata de um problema de arranjo, onde basta apenas utilizar o princípio multiplicativo no diagrama de decisões acima. Veja: nº de saquinhos com 3 balas de hortelã = 5 × 1 = 5 ( 1 )
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