Circuitos Elétricos

2.5 Aplicações 101
SOLUÇÃO:Escrevemos as equações que representam a conservação do fluxo em cada nó. Depois, reescrevemoscadaequaçãocomas
variáveisdo lado esquerdo e a constante do lado direito,obtendo um sistemalinear
naformapadrão.
Nó A:
NóB:
Nó C:
NóD:
15 = fI + 14
11 = fz + 10
fz + 13 + 5 = 30
14+20=13
fI + 14= 15
+ fI - fz = 10
fz + 13 = 25
13-/4=20
Usandoo método de eliminação de Gauss-Jordan, reduzimos a matriz completa:
[
1 O O 1
1 -1 O O
O 1 1 O
O O 1 -1
15
] [
1 O O 1 15
10 O 1 O 1 5
25 ~ O O 1 -1 20
W O O O O O
.... (Verifique.)Vemos que há uma variável livre, 14,e, portanto, temos infinitas soluções. Fazendo
f4 =t e expressandoas variáveisdependentes em termos de 14,obtemos
fi = 15 - t
f2 = 5 - t
f3 = 20 + t
f4 =
Essas equações descrevem todos os possíveis fluxos e nos permitem analisar a rede. Por exemplo, vemos que,
se controlarmos o fluxo no ramo AD de modo que t = 5 L/min, os outros fluxos serão fI = 10, f2 = Oe f3 = 25.
Podemosfazerainda melhor:encontrar os fluxosmáximose mínimosem cada ramo. Cada um dos fluxos
deveser não negativo. Examinando a primeira e a segunda equações, vemos que t :5 15 (caso contrário, 11serianegativo)e
t :5 5 (caso contrário, fz seria negativo). A segunda dessas desigualdades é mais restritiva que a
I primeira,por isso devemos usá-Ia. A terceira equação não traz novas restrições para nosso parâmetro t, en-
: tão deduzimosque O:5 t :5 5. Combinando esse resultado com as quatro equações, vemos que
10 :::;fi :::;15
O:::; f2:::; 5
20 :::;f3 :::;25
O:::; f4:::; 5
Com isso,temos uma descrição completa dos possíveis fluxos através dessa rede.
Circuitos Elétricos
Circuitoselétricos formam um tipo especializado de rede com informações sobre fontes de energia, tais
comobaterias,e dispositivosalimentadospor essas fontes, tais como lâmpadas ou motores. Uma fonte de
energia"força" o fluxo de uma corrente de elétrons através da rede, onde a corrente encontra vários resistores,cada
um dos quais requerendo a aplicação de uma certa quantidade de força elétrica para que a correnteflua
através dele.
]

EXEMPLO5 Determine as correntes h, h e h no circuito elétrico mostrado na Figura 4.
2.5 Aplicações 1
SOLUÇÃO:Esse circuito tem duas baterias e quatro resistores. A corrente h flui pelo ramo superior BCA
correntelz flui através do ramo do meio, AB, e a corrente h flui através do ramo inferior, BDA.
Nonó A, a lei da corrente fornece h + 13=h ou
,
h - 12 + h =O
(Observeque obtivemos a mesma equação no nó B.)
Em seguida, aplicamos a lei da voltagem para cada circuito. Para o circuito CABC, as quedas de vol
gemnos resistores são 2h, h e 2h. Assim, temos a equação
Analogamente,para o circuito DABD, obtemos
4h + lz = 8
lz + 413 = 16
(Noteque haverá, na verdade, um terceiro circuito, CADBC, se "andarmos contra o fluxo". Nesse caso, (
vemostratar as voltagens e resistências sobre os caminhos "reversos" como negativas. Com isso, obteII
2h + 2h - 4h = 8 - 16 = - 8, ou 4h - 413= - 8, que observamos ser justamente a diferença das equações
voltagempara os outros dois circuitos. Assim, podemos omitir essa equação, já que ela não contribui c(
nenhumainformação nova. Por outro lado, acrescentá-Ia não faria mal.)
Temosagora um sistema de três equações lineares em três variáveis:
Ométodo de eliminação de Gauss-Jordan fornece:
1 -1 1
4 1 O
[ O 1 4
11 - 12 + 13 = O
411 + 12 = 8
lz + 4h = 16
O 1 O O
8 +010
16] [ O O 1 ~]
Logo,as correntes são h = 1 ampere, h = 4 amperes e 13=3 amperes.
Observação: Em algumas redes elétricas, as correntes têm valores não inteiros ou até mesmo negativ
Umvalor negativo simplesmente significa que a corrente no ramo correspondente flui no sentido oposto
mostradono diagrama da rede.
CAfi EXEMPLO 6 A rede mostrada na Figura 5 tem uma única fonte de energia A e cinco resistO]
Encontre as correntes I, h, . . . , 15. Este é um exemplo do circuito conhecido em engenharia elétr
como ponte de Wheatstone.
SOLUÇÃO:A lei da corrente de Kirchhoff dá as seguintes equações nos quatro nós:
Nó B: I - h - 14 = O
Nó C: h - h - 13 = O
Nó D: I - lz - 15 = O
Nó E: h + 14 - 15 = O

EXEMPLO5 Determine as correntes h, lz e h no circuito elétrico mostrado na Figura 4.
2.5 Aplicações 103
SOLUÇÃO:Esse circuito tem duas baterias e quatro resistores. A corrente h flui pelo ramo superior BCA, a
correntelz flui através do ramo do meio, AB, e a corrente h flui através do ramo inferior, BDA.
NonóA, a lei da corrente forneceh + 13=12, ou
h-lz+h=O
(Observeque obtivemos a mesma equação no nó B.)
Em seguida, aplicamos a lei da voltagem para cada circuito. Para o circuito CABC, as quedas de voltagemnos
resistores são 2h, lz e 211.Assim, temos a equação
Analogamente,para o circuito DABD, obtemos
4h + 12 = 8
12 + 413 = 16
(Noteque haverá, na verdade, um terceiro circuito, CADBC, se "andarmos contra o fluxo". Nesse caso, devemostratar
as voltagens e resistências sobre os caminhos "reversos" como negativas. Com isso, obtemos
2h + 2h - 4h = 8 - 16 = - 8, ou 4h - 4h = - 8, que observamos ser justamente a diferença das equações de
voltagempara os outros dois circuitos. Assim, podemos omitir essa equação, já que ela não contribui com
nenhumainformação nova. Por outro lado, acrescentá-Ia não faria mal.)
Temosagora um sistema de três equações lineares em três variáveis:
o métodode eliminação de Gauss-Jordan fornece:
1 -1 1
4 1 O
[ O 1 4
11 - 12 + 13 = O
41) + 12 = 8
lz + 4h = 16
O 1 O O 1
8 +0104
16] [ O O 1 3]
Logo, as correntes são h = 1 ampere, lz = 4 amperes e 13= 3 amperes.
Observação: Em algumas redes elétricas, as correntes têm valores não inteiros ou até mesmo negativos.
Umvalor negativo simplesmente significa que a corrente no ramo correspondente flui no sentido oposto ao
mostradono diagrama da rede.
CA& EXEMPLO6 A rede mostrada na Figura 5 tem uma única fonte de energia A e cinco resistores.
Encontre as correntes I, h, . . .,15. Este é um exemplo do circuito conhecido em engenharia elétrica
como ponte de Wheatstone.
SOLUÇÃO:A lei da corrente de Kirchhoff dá as seguintes equações nos quatro nós:
Nó B: I - h - 14 = O
Nó C: h - lz - h = O
Nó D: I - 12 - 15 = O
Nó E: h + 14 - 15 = O

104 CAPíTULO 2 Sistemas de Equações üneares
2 ohms c lohm
Para os três circuitos básicos, a lei da voltagem nos dá
Circuito ABEDA:
Circuito BCEB:
14 + 215= 10
2ft + 2h - 14=O
Circuito CDEC: lz =215 - 2h = O
(Observe que o ramo DAB não possui resistor e, portanto, não tem queda de voltagem; logo, não há termo I
na equação para o circuito ABEDA. Note também que tivemos que mudar de sinal três vezes porque fomos
"contra a corrente". Isso não causa problema, já que o sinal da resposta determinará o sentido do fluxo da
corrente.)
Agora, temos um sistema de sete equações e seis incógnitas. O método de escalonamento por linhas nos dá
+ (Use sua calculadora ou CAS para conferir esse resultado.) Assim, a solução (em amperes) é
1= 7, II = 15 = 3, 12= 14 = 4 e 13= - 1. O significado do valor negativo aqui é que a corrente
que passa através do ramo CE está fluindo no sentido oposto ao marcado no diagrama. ~
Observação: . Há apenas uma fonte de energia neste exemplo. Portanto, a única bateria de 10 volts
fornece uma corrente de 7 amperes à rede. Se substituirmos esses valores na lei de
Ohm, E = RI, obteremos 10 = 7R, ou R = ~. Assim, toda a rede se comporta como se houvesse
um único resistor de ~ ohms. Esse valor é chamado de resistênciaefetiva (Rer)da rede.
Jogos Lineares Pinitos
liil
- -
14 13! 15
2 ohms
Há muitas situações nas quais devemos considerar um sistema físico que tem apenas um número finito de estados.
Às vezes esses estados podem ser alterados por meio da aplicação de certos processos, cada um dos
quais produzindo uma quantidade finita de efeitos. Por exemplo, uma lâmpada pode estar acesa ou apagada,
I !/2
B
lohm E
A
2 ohms
D
+-- II +--
1 10 volts 1
Figura 5 Um circuito ponte
1 -1 O O -1 O O 1 O O O O O 7
O 1 -1 -1 O O O O 1 O O O O 3
1 O -1 O O -1 O O O 1 O O O 4
O O O 1 1 -1 O O O O 1 O O -1
O O O O 1 2 10 O O O O 1 O 4
O 2 O 2 -1 O O O O O O O 1 3
O O 1 -2 O -2 O O O O O O O O