integrais do centro de massa.para transparencia html.pdf3.pdf - Ufersa
integrais do centro de massa.para transparencia html.pdf3.pdf - Ufersa
integrais do centro de massa.para transparencia html.pdf3.pdf - Ufersa
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Valter B. Dantas<br />
Imagem e texto protegida por direitos autorais. Copia proibida.<br />
Geometria das Massas<br />
Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> um Sistema Contínuo <strong>de</strong> Partículas<br />
Qual é a posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> um corpo <strong>de</strong> material homogêneo que possui<br />
um eixo <strong>de</strong> simetria<br />
Quan<strong>do</strong> um corpo possui um eixo <strong>de</strong> simetria po<strong>de</strong>mos consi<strong>de</strong>rar como sen<strong>do</strong> constituí<strong>do</strong><br />
por pares <strong>de</strong> partículas iguais e eqüidistantes <strong>do</strong> eixo.<br />
Cada par <strong>de</strong> partículas terá o seu CM sobre o eixo e conseqüentemente o CM <strong>do</strong><br />
corpo pertence ao eixo <strong>de</strong> simetria<br />
Qual é a posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> um corpo <strong>de</strong> material homogêneo que possui um <strong>centro</strong> <strong>de</strong><br />
simetria?<br />
O CM pertence aos eixos <strong>de</strong> simetria.<br />
O <strong>centro</strong> <strong>de</strong> simetria é o ponto <strong>de</strong> encontro <strong>de</strong> <strong>do</strong>is ou mais eixos <strong>de</strong> simetria, logo o.<br />
1
CM <strong>do</strong> corpo está no <strong>centro</strong> <strong>de</strong> simetria<br />
Exemplo:<br />
Consi<strong>de</strong>re a chapa retangular mostrada na figura.<br />
O CM está no <strong>centro</strong> <strong>de</strong> simetria, logo as suas coor<strong>de</strong>nadas são<br />
CM ( 20cm; 10cm)<br />
Como <strong>de</strong>terminar a posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> um corpo que é constituí<strong>do</strong> por<br />
partes <strong>de</strong> material homogêneo com <strong>centro</strong> <strong>de</strong> simetria?<br />
Cada parte será consi<strong>de</strong>rada como uma partícula <strong>de</strong> <strong>massa</strong> igual à <strong>de</strong> cada parte<br />
concentrada no seu <strong>centro</strong> <strong>de</strong> <strong>massa</strong>.<br />
Consi<strong>de</strong>re um corpo constituí<strong>do</strong> por 3 partes mostradas na figura:<br />
Parte <strong>massa</strong> coor<strong>de</strong>nadas<br />
amarela m1 x1;y1<br />
azul m2 x2;y2<br />
ver<strong>de</strong> m3 x3;y3<br />
2
O CM <strong>do</strong> corpo será calcula<strong>do</strong> como se calcula o CM <strong>de</strong> um sistema discreto <strong>de</strong><br />
partículas.<br />
O CM <strong>do</strong> conjunto terá como coor<strong>de</strong>nadas:<br />
xCM =(m1x1+m2x2+m3x3) / (m1+m2+m3) e<br />
yCM =(m1y1+m2y2+m3y3) / (m1+m2+m3)<br />
Exemplo:<br />
Consi<strong>de</strong>re uma chapa em L <strong>de</strong> material homogêneo mostrada na figura. A chapa<br />
será dividida em 3 partes retangulares.<br />
Como a <strong>massa</strong> <strong>de</strong> cada parte é proporcional à sua área as <strong>massa</strong>s serão<br />
substituídas pelas áreas no cálculo da média pon<strong>de</strong>rada.<br />
Parte área (cm 2 ) coor<strong>de</strong>nadas(cm)<br />
azul 1200 10;50<br />
amarela 400 10;10<br />
rosa 1600 60;10<br />
O CM da chapa terá como coor<strong>de</strong>nadas:<br />
xCM=(1200x10+400x10+1600x60)/(1200+400+1600)<br />
xCM= 35cm<br />
yCM=(1200x50+400x10+1600x10)/(1200+400+1600)<br />
yCM= 25cm<br />
3
Como <strong>de</strong>terminar a posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> uma chapa <strong>de</strong> material<br />
homogêneo cujos limites po<strong>de</strong>m ser <strong>de</strong>fini<strong>do</strong>s matematicamente?<br />
Vamos <strong>de</strong>terminar a or<strong>de</strong>nada <strong>do</strong> CM <strong>de</strong> <strong>massa</strong> da chapa <strong>de</strong> material<br />
homogêneo <strong>de</strong> contorno azul mostrada na figura.<br />
Dividimos a chapa em faixas, <strong>de</strong> alturas dy muito pequenas, <strong>para</strong>lelas ao<br />
eixo <strong>do</strong>s X.<br />
A or<strong>de</strong>nada <strong>do</strong> CM será a média pon<strong>de</strong>rada das or<strong>de</strong>nadas y <strong>do</strong>s elementos<br />
<strong>de</strong> área ds toman<strong>do</strong> como pesos as áreas ds:<br />
A abscissa <strong>do</strong> CM será obtida da mesma forma:<br />
Exemplo:<br />
Veja em<br />
4
Qual é a posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> uma chapa <strong>de</strong> material<br />
homogêneo <strong>de</strong> forma triangular?<br />
Quan<strong>do</strong> dividimos o triângulo em faixas <strong>de</strong> pequena altura, <strong>para</strong>lelas a um<br />
<strong>do</strong>s la<strong>do</strong>s, o <strong>centro</strong> <strong>de</strong> <strong>massa</strong> <strong>de</strong> cada faixa este situa<strong>do</strong> no meio da faixa e<br />
conseqüentemente sobre a mediana. O CM <strong>do</strong> triângulo estará<br />
conseqüentemente situa<strong>do</strong> sobre a mediana. Como o CM <strong>do</strong> triângulo está<br />
situa<strong>do</strong> sobre as medianas, a sua posição correspon<strong>de</strong> ao ponto <strong>de</strong> encontro<br />
das medianas <strong>do</strong> triângulo.<br />
A geometria nos informa que este ponto está situa<strong>do</strong> a uma distância <strong>de</strong><br />
cada vértice igual a 2/3 <strong>do</strong> comprimento da mediana.<br />
Como <strong>de</strong>terminar a posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> uma chapa <strong>de</strong> material<br />
homogêneo cujos limites não são <strong>de</strong>fini<strong>do</strong>s matematicamente?<br />
Suspen<strong>de</strong>mos a chapa por meio <strong>de</strong> uma força (ver<strong>de</strong>). Quan<strong>do</strong> a chapa<br />
assume a posição <strong>de</strong> equilíbrio, traçamos a vertical que passa pelo ponto <strong>de</strong><br />
suspensão. Na situação <strong>de</strong> equilíbrio o peso (vermelho) e o seu ponto <strong>de</strong><br />
aplicação, o CM, estarão conti<strong>do</strong>s nesta vertical.<br />
Suspen<strong>de</strong>mos a chapa novamente a partir <strong>de</strong> um novo ponto <strong>de</strong> suspensão,<br />
repetin<strong>do</strong> os procedimentos anteriores.<br />
5
O CM coinci<strong>de</strong> com a interseção das duas verticais.<br />
Como <strong>de</strong>terminar a posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> um sóli<strong>do</strong> <strong>de</strong> material<br />
homogêneo cujos limites po<strong>de</strong>m ser <strong>de</strong>fini<strong>do</strong>s matematicamente?<br />
Vamos <strong>de</strong>terminar a or<strong>de</strong>nada <strong>do</strong> CM <strong>de</strong> <strong>massa</strong> <strong>do</strong> sóli<strong>do</strong> <strong>de</strong> material<br />
homogêneo <strong>de</strong> contorno preto mostra<strong>do</strong> na figura.<br />
Dividimos o sóli<strong>do</strong> em faixas, <strong>de</strong> alturas dy muito pequenas, <strong>para</strong>lelas ao<br />
eixo <strong>do</strong>s X.<br />
A or<strong>de</strong>nada <strong>do</strong> CM será a média pon<strong>de</strong>rada das or<strong>de</strong>nadas y <strong>do</strong>s elementos<br />
<strong>de</strong> volume dv toman<strong>do</strong> como pesos os volumes dv:<br />
A abscissa <strong>do</strong> CM será obtida da mesma forma:<br />
Exemplo:<br />
Veja em<br />
Limites, Derivadas e Integrais.<br />
6
Como <strong>de</strong>terminar a posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> uma chapa <strong>de</strong> material<br />
homogêneo cujos limites po<strong>de</strong>m ser <strong>de</strong>fini<strong>do</strong>s matematicamente?<br />
Como <strong>de</strong>terminar a posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> uma chapa com a<br />
forma <strong>de</strong> um triângulo retângulo <strong>de</strong> material homogêneo<br />
Exemplo:<br />
Vamos calcular as coor<strong>de</strong>nadas <strong>do</strong> CM da chapa triangular <strong>de</strong> material<br />
homogêneo e <strong>de</strong> contorno vermelho mostrada nas figuras.<br />
Cálculo da or<strong>de</strong>nada <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> uma chapa triangular <strong>de</strong><br />
material homogêneo.<br />
Cálculo da or<strong>de</strong>nada <strong>do</strong> CM<br />
Vamos dividir o triângulo em faixas horizontais <strong>de</strong> altura dy cuja área é ds = x.dy (figura 1).<br />
Obtemos o valor <strong>de</strong> x na equação da reta hipotenusa x = (6 - y) / 2. A or<strong>de</strong>nada <strong>do</strong> CM será:<br />
Imagem e texto protegida por direitos autorais. Copia proibida<br />
A equação da reta hipotenusa é y/6 + x/3 =1 ou y = 6 - 2x O <strong>de</strong>nomina<strong>do</strong>r das frações, que<br />
fornecem as coor<strong>de</strong>nadas <strong>do</strong> CM, integral <strong>de</strong> ds é a área <strong>do</strong>s triângulos, isto é,<br />
S = (3x6)/2 >>> S = 9cm2 .<br />
Cálculo da abscissa <strong>do</strong> CM<br />
Vamos dividir o triângulo em faixas verticais <strong>de</strong> largura dx cuja área é ds = y.dx (figura 2).<br />
Obtemos o valor <strong>de</strong> y na equação da reta hipotenusa y = 6 - 2x. A abscissa <strong>do</strong> CM será:<br />
7
Consi<strong>de</strong>re o triângulo da figura e uma faixa amarela <strong>para</strong>lela ao eixo <strong>do</strong>s<br />
X. O <strong>centro</strong> <strong>de</strong> <strong>massa</strong> <strong>do</strong> triângulo <strong>de</strong> or<strong>de</strong>nada y será calcula<strong>do</strong> por:<br />
8
O <strong>centro</strong> <strong>de</strong> <strong>massa</strong> da faixa está no <strong>centro</strong> da faixa e, portanto sobre a mediana.<br />
O <strong>centro</strong> <strong>de</strong> <strong>massa</strong> <strong>do</strong> triângulo também <strong>de</strong>nomina<strong>do</strong> <strong>de</strong> bari<strong>centro</strong> está situa<strong>do</strong><br />
no ponto <strong>de</strong> encontro das medianas a uma distância <strong>de</strong> 2 / 3 <strong>do</strong> comprimento da<br />
mediana a partir <strong>do</strong> vértice e conta<strong>do</strong> sobre a mediana, conforme mostra a<br />
figura.<br />
Cálculo da posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> uma chapa trapezoidal isósceles <strong>de</strong><br />
material homogêneo?<br />
Como <strong>de</strong>terminar a posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> um sóli<strong>do</strong> <strong>de</strong> material<br />
homogêneo cujos limites po<strong>de</strong>m ser <strong>de</strong>fini<strong>do</strong>s matematicamente?<br />
Como <strong>de</strong>terminar a posição <strong>do</strong> Centro <strong>de</strong> Massa <strong>de</strong> um cone revolução <strong>de</strong><br />
material homogêneo?<br />
Vamos <strong>de</strong>terminar a posição <strong>do</strong> CM <strong>de</strong> um sóli<strong>do</strong> <strong>de</strong> material homogêneo<br />
com a forma <strong>de</strong> um cone <strong>de</strong> revolução <strong>de</strong> altura h e raio da base R,<br />
mostra<strong>do</strong> na figura.<br />
Como o sóli<strong>do</strong> possui um eixo <strong>de</strong> simetria, o seu CM estará sobre o eixo,<br />
logo, é necessário apenas calcular a or<strong>de</strong>nada <strong>do</strong> CM, cujo valor é:<br />
9
Inicialmente vamos calcular o raio r da faixa em função <strong>de</strong> y.<br />
Vamos consi<strong>de</strong>rar os triângulos retângulos semelhantes <strong>de</strong> base r e R<br />
mostra<strong>do</strong>s na figura abaixo, retirada da figura anterior.<br />
Como os triângulos são semelhantes os seus catetos são proporcionais:<br />
Vamos calcular o quadra<strong>do</strong> <strong>do</strong> raio que será necessário no cálculo <strong>do</strong><br />
volume da faixa:<br />
Vamos calcular a or<strong>de</strong>nada <strong>do</strong> CM <strong>do</strong> cone saben<strong>do</strong> da geometria que o<br />
volume V <strong>do</strong> cone é igual a V = (pR2.h)/3<br />
A faixa será consi<strong>de</strong>rada como um cilindro <strong>de</strong> raio da base r, altura dy e o seu<br />
volume dv é igual a dv = pr2.dy<br />
Cálculo da or<strong>de</strong>nada <strong>do</strong> CM<br />
10