ÁLGEBRA e ARITMÉTICA – EXERCICIOS - 7 - Anglo Piracicaba

ÁLGEBRA e ARITMÉTICA – EXERCICIOS - 7
1. Um time de futebol ganhou 60% das 45 partidas realizadas. Qual é o número mínimo de partidas que ele precisa
ainda jogar para atingir a porcentagem de 75% de vitórias?
(A) 31 (B) 30 (C)29 (D)28 (E)27
2. No dia de seu aniversário em 2006, o avô de Júlia disse a ela: “Eu nasci no ano x 2 e completei x anos em 1980.
Quantos anos eu completo hoje?”. A resposta certa é:
(A) 61
(B) 64
(C) 67
(D) 70
(E) 72
n
3. Quantas frações da forma
n 1
são menores do que 7
, sabendo que n é um inteiro positivo ?
9
(A) 1 (B) 2 (C)3 (D)4 (E)5
4. Qual é o menor inteiro positivo N tal que
N
3
,
N
4
,
N
5
,
N
6
e
N
7
são números inteiros :
(A) 420 (B) 350 (C) 210 (D)300 (E)280
5) Se 2(2 2x ) = 4 x + 64 , então x é igual a:
(A) −2 (B) −1 (C) 1 ( D) 2 ( E) 3
6. Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio :
“Compre um e leve outro pela metade do preço”.
Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto percentual é:
(A) “ Leve dois e pague um”
( B) “Leve três e pague um”
(C) “Leve três e pague dois”
( D) “Leve quatro e pague três”
(E) “Leve cinco e pague quatro”
7. Num armazém, uma dúzia de ovos e 10 maças tinham o mesmo preço. Depois de uma semana, o preço dos ovos
caiu 2% e o da maça subiu 10%. Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de ovos e 10 maças?
(A) 2% (B) 4% (C) 10% (D) 12% (E) 12, 2%
8. Encontre o produto: 1
1
1 1
1 1 1 .... 1
4
9
16
225
10 5 3 8 1
(A) (B) (C) (D) (E)
125
9
5
15
120

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9. Sobre a equação 2007x 3 + 2006x 2 + 2005 x = 0 é certo afirmar:
(A) Não possui raízes.
(B) Tem 3 raízes reais distintas
(C) Tem 2 raízes iguais
(D) Tem apenas uma raiz real
(E) Tem 3 raízes positivas
10. Quantos são os números inteiros p tais que 50 3 < 5 p < 50 4 ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
11. O número abcde tem cinco algarismos distintos e diferentes de zero, cada um deles representado por uma das
letras a, b, c, d, e. Multiplicando-se este número por 4 obtém-se número de cinco algarismos edcba. Qual o valor de
a + b + c + d + e?
(A) 22
(B) 23
(C) 24
(D) 25
(E) 27.
12. Numa família cada menino tem o mesmo número de irmãos que de irmãs, e cada menina tem o dobro de
irmãos que de irmãs. Qual é o número de filhos (meninos + meninas) dessa família?
(A) 2 meninas e 4 meninos.
(B) 3 meninas e 4 meninos.
(C) 4 meninas e 4 meninos.
(D) 4 meninas e 3 meninos.
(E) 3 meninas e 3 meninos.
13. Da figura, concluímos que | z − x | + | w − x | é igual a :
(A)11 (B)12 (C)13 (D)14 (E)15
14. Quantas soluções inteiras e positivas satisfazem a dupla inequação:
2000 n(
n 1)
2005 ?
(A) 1 (B) 2 (C)3 (D)4 (E) 5
15. Numa divisão, aumentando o dividendo de 1989 e o divisor de 13, o quociente e o resto não se alteram. Qual é o
quociente?
(A) 100 (B) 122 (C)134 (D) 153 (E) 345
16. No planeta Staurus, os anos têm 228 dias (12 meses de 19 dias). Cada semana tem 8 dias: Zerum, Uni, Duodi, Trio,
Quati, Quio, Seise e Sadi. Sybock nasceu num duodi que foi o primeiro dia do quarto mês. Que dia da semana ele
festejará seu primeiro aniversário?
(A) Duodi (B) Quati (C) Uni (D) Sadi. (E) Seise
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17. Um só dos quatro relógios indica a hora correta. Um está 20 minutos adiantado, outro está 20 minutos
atrasado, e o quarto está parado. Qual é a hora certa?
(A) 17 h 02 min (B) 17 h 03 min (C) 17 h 05 min (D) 17 h 10 min (E) 17 h 15 min
18. Flavio tem um papagaio que faz contas de um modo estranho. Cada vez que Flavio diz dois números ele faz a
mesma conta, veja:
• Se Flavio diz “4 e 2” o papagaio responde “9”
• Se Flavio diz “5 e 3” o papagaio responde “12”
• Se Flavio diz “3 e 5” o papagaio responde “14”
• Se Flavio diz “9 e 7” o papagaio responde “24”
• Se Flavio diz “0 e 0” o papagaio responde “1”
Se Flavio diz “1 e 8” , o que responde o papagaio?
(A) 14 (B) 24 (C) 9 (D) 12 (E) 1
19. Com quadradinhos de lado 1 cm, constrói-se uma seqüência de retângulos acrescentando-se, a cada etapa, uma
linha e duas colunas ao retângulo anterior. A figura mostra os três primeiros retângulos dessa seqüência.
Qual é o perímetro do 100º retângulo dessa seqüência?
(A) 402 cm
(B) 472 cm
(C) 512 cm
(D) 598 cm
(E) 634 cm
20. Carlos poderá aposentar-se quando a soma de sua idade com o número de anos que ele trabalhou for 100.
Quando Carlos fez 41 anos, ele já havia trabalhado 15 anos. Qual é a idade mínima que ele deverá ter para poder se
aposentar?
(A) 59
(B) 60
(C) 61
(D) 62
(E) 63
21. Em vez de multiplicar certo número por 6,Julia se distraiu e dividiu o número por 6.O erro cometido por Julia foi
de aproximadamente
(A) 100%
(B) 97%
(C) 83%
(D) 17%
(E) 3%
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22. Qual dos gráficos abaixo descreve a variação da área do polígono BCDP :
em função da distância x = AP?
23. Dois tipos de vela têm o mesmo comprimento mas são feitas de material diferente; uma queima completamente
em 3 horas e a outra em 4 horas, ambas queimam com velocidade uniforme. A que horas as velas devem ser acesas
de modo que `as 16 horas o comprimento de uma seja o dobro do da outra?
(A) 13 horas e 24 minutos
(B) 13 horas e 28 minutos
(C) 13 horas e 36 minutos
(D) 13 horas e 40 minutos
(E) 13 horas e 48 minutos
24. Os termos de uma seqüência são formados usando-se apenas os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, como segue:
1 0 termo: 123454321
2 0 termo: 12345432123454321
3 0 termo: 1234543212345432123454321
e assim por diante.
Quantas vezes o algarismo 4 aparece no termo que tem 8001 algarismos?
(A) 1000
(B) 1001
(C) 2000
(D) 2001
(E) 4000
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25. Lúcia está correndo, sempre no mesmo sentido, em uma pista circular. Qual dos gráficos melhor descreve o
número m de voltas completas que ela dá em função da distância x que ela corre?
26. Em certo ano bissexto (isto é, um ano que tem 366 dias) o número de sábados foi maior que o número de
domingos. Em que dia da semana caiu o dia 20 de janeiro desse ano?
(A) segunda-feira
(B) terça-feira
(C) quarta-feira
(D) quinta-feira
(E) sexta-feira
27. Pedrinho preencheu a tabela com números inteiros de forma que em cada linha, coluna ou diagonal, o número
do meio é a média aritmética dos outros dois.
Qual é a soma dos números que apareceram nas casas em cinza?
(A) 16
(B) 17
(C) 18
(D) 19
(E) 20
28. Os 535 alunos e os professores de uma escola fizeram um passeio de ônibus. Os ônibus, com capacidade para 46
passageiros cada, ficaram lotados. Em cada ônibus havia um ou dois professores. Em quantos ônibus havia dois
professores?
(A) 3
(B) 5
(C) 6
(D) 8
(E) 9
5

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29. Na figura vemos dois quadrados, sendo M o ponto médio de CD. Uma formiguinha parte de um ponto qualquer
P do segmento AB e quer chegar ao ponto M andando apenas sobre os lados dos quadrados pelo menor caminho
possível. Qual dos gráficos abaixo melhor representa a distância y que a formiguinha vai percorrer em função da
distância x = AP?
PROBLEMA 1
PROBLEMAS
Os números reais a, b e c são tais que a + b + c = 15 e ab + bc + ca = 75.
a) Determine a 2 + b 2 + c 2 .
b) Calcule (a – b ) 2 + ( b – c ) 2 + ( c – a ) 2 .
c) Encontre os valores de a, b e c.
PROBLEMA 2
6. a) Fatore (a 3 + ab 2 ) 2 + (a 2 b + b 3 ) 2 .
b) Escreva 13 3 como soma de dois quadrados perfeitos. Isto é, encontre dois números inteiros positivos x e y tais que
13 3 = x 2 + y 2 .
PROBLEMA 3
Os antigos Pitagóricos definiram o que hoje denominamos Média Aritmética, Média Geométrica e Média
Harmônica, além de várias outras, através da seguinte formulação:
Sejam a, b e c números reais positivos tais que a < b < c. Deste modo, as diferenças b – a, c – a e c – b são todas
positivas. O número b é uma “média” de a e c se a razão entre duas das diferenças citadas é igual à razão entre dois
dos três números originais (não necessariamente distintos).
Por exemplo, a partir de
c b
b a
a) Mostre que, de fato, a partir de
b) Considerando agora
c b
b a
a
b
b
a
obtemos b a c
(Média Geométrica).
c b
b a
b
a
obtemos b a c
.
Atenção! A proporção mudou!), calcule a média b entre a = 1 e c = 2
6

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PROBLEMA 4
Nas eleições de alguns países, dois partidos acabam recebendo quase todos os votos e o sistema funciona assim: em
cada distrito eleitoral, o partido que recebe a maior votação ganha todas as cadeiras no parlamento reservadas
para aquele distrito, não importando quantos votos a mais ele recebeu.
Nesses países, observou-se que os resultados finais das eleições seguem a Regra do Cubo: suponha que o partido X
recebeu um total de x votos nas eleições e o partido Y recebeu um total de y votos nas eleições; então a razão entre
x
o número de cadeiras de X e Y no parlamento é muito próximo de
.
y
Agora é a sua vez! Em um país que satisfaz tais condições, o Partido X deseja obter dois terços das cadeiras do
parlamento. Qual deve ser o percentual de votos de X nas eleições?
3
Você pode querer utilizar a aproximação 2 1,
26 .
PROBLEMA 5
O número de e-mails internacionais diários, em milhões, é aproximadamente igual a
F (t ) = 38,57 t 2 – 24,29t + 79,14 , sendo t 0 e
t medido em anos com t = 0 correspondendo ao início de 1998.
a) Qual foi a quantidade de e-mails internacionais diários no início do ano 2000?
b) Considerando a aproximação dada, quantos e-mails internacionais diários a mais foram enviados no início de
2006, em relação ao início de 1998?
PROBLEMA 6
Partindo do número 265863 e utilizando uma única vez cada uma das operações + ; − ; × ; ÷ , e também uma única
vez os números 51, 221, 6817, 13259 , podemos obter vários números, por exemplo 54911 :
265863
221
1203
51 x
61353
7
3
13259
48094
Encontre a cadeia que permite obter o menor número inteiro positivo.
PROBLEMA 7
6817
54911
Denise e Antônio jogam uma série de 8 jogos no qual o vencedor da primeira partida ganha 1 ponto, o da segunda 2
pontos, o da terceira 4 pontos, o da quarta 8 pontos e assim por diante, multiplicando por 2 o número de pontos de
uma partida para a outra. No final, Denise ganhou 31 pontos a mais que Antônio e não houve empate em
nenhuma das partidas. Quais partidas Denise ganhou?
PROBLEMA 8
Durante suas férias, Tomás teve 11 dias com chuva. Durante esses 11 dias, se chovia pela manhã havia sol sem chuva à
tarde, e se chovia à tarde, havia sol sem chuva pela manhã. No total, Tomás teve 9 manhãs e 12 tardes sem chuva.
Quantos dias duraram as férias de Tomás?
PROBLEMA 9
Numa Maratona de Matemática, o número de questões é muito grande. O valor de cada questão é igual à sua
posição na prova: 1ponto para a questão 1, 2 pontos para a questão 2, 3 pontos para a questão 3, 4 pontos para a
questão 4, …, 10 pontos para a questão 10, … e assim por diante. Joana totalizou 1991 pontos na prova, errando
apenas uma questão e acertando todas as outras.
a) Qual questão ela errou? b) Quantas questões tinha a prova?

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PROBLEMA 10
Roberto quer escrever o número 111 111 como um produto de dois números, nenhum deles terminado em 1. Isso é
possível? Por quê?
PROBLEMA 11
(FUVEST) A diferença entre dois números inteiros positivos é 10. Ao multiplicar um pelo outro, um estudante
cometeu um engano, tendo diminuído em 4 o algarismo das dezenas do produto. Para conferir seus cálculos, dividiu
o resultado obtido pelo menor dos fatores, obtendo 39 como quociente e 22 como resto. Determine os dois números.
PROBLEMA 12
(FUVEST) Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação
que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 20% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que
rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois
de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais;
Carlos e Sílvio, 93 mil reais; Luís e Sílvio, 106 mil reais.
a) Quantos reais cada um tinha inicialmente?
b) Qual o rendimento da aplicação de risco?
PROBLEMA 13
O percentual de lucro sobre o preço de custo correspondente a um lucro de 75% sobre o preço de venda é?
PROBLEMA 14
Se um empregador oferece aumento de 60% sobre o salário de seus empregados escalonado em dois aumentos
consecutivos e iguais então, de quanto o aumento do salário será de aproximadamente, em cada mês?
PROBLEMA 15
Uma loja tem os dois seguintes planos de venda:
(1) À vista com 30% de desconto
(2) Em duas parcelas iguais sem aumento de preço(a primeira paga no ato da compra e a segunda um mês após)
Qual é a taxa de juros ao mês cobrado por essa loja no plano (2) ?
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS
1. Resposta: a) a 2 + b 2 + c 2 = 75 b) 0 c) a = b =c = 5
2. a) (a 2 + b 2 ) 3
b) 13 3 = (2 2 + 3 2 ) (2 2 + 3 2 ) 2
= 2 2 (2 2 +3 2 ) 2 + 3 2 (2 2 +3 2 ) 2
= (2 3 +2x3 2 ) 2 + (3x2 2 + 3 3 ) 2
= (26) 2 + (39) 2
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3. DEMONSTRAÇÃO
4. 55,75%
5. a) corresponde ao valor de F(2), isto é, 183,58 milhões
6.
265863
b)corresponde a diferença: F(8) – F(0), isto é, 2.269,12 milhões.
6817
39
7. 1 a , 2 a , 3 a , 4 a e 8 a
8. 16 dias
9. a)25 b) 63
221
260
10. Sim, pois 111111 = 3003 x 37
11. 41 e 31
51 x
13260
13259
1.
12. a) Luís e Sílvio tinham inicialmente, nessa ordem, 20 mil, 30 mil e 50 mil reais. b) 60%
13. 300%. Uma possível solução: Chamarei o preço de venda de P. Então, se o lucro é 0, 75Þ , o preço de custo
será 0,25P. Portanto, ( lucro) / (preço de custo) = 0,75P/0,25P = 3, ou seja, 300%.
14. 5% . Uma possível solução: A taxa de juros equivalente de 60% ao bimestre precisa ser descapitalizada para sua
forma mensal. Para isso achamos o fator de correção equivalente a essa tava que é 1,6. Descapitalizando para 2
meses temos que o fator mensal é 1 , 6 1,26 que equivale a 26,49% a.m.
15. 150%. Uma possível solução: Para facilitar suponha que o produto custe 2 reais, segundo a loja. Com o desconto
de 30% você pagara R$1,40. Dando 1 parcela de 1 real, voce vai na verdade, estar financiando somente R$0,40.
Como sua prestação será de 1 Real você vai estar pagando R$0,60 de juros, ou 150% de R$0,40.
GABARITO DOS TESTES
1.E 2.D 3.C 4.A 5.E 6.D 7. B 8.D 9.D 10.B
11.E 12.B 13.E 14.E 15.D 16.E 17.C 18.E 19.D 20.E
21.B 22.B 23.C 24.C 25.B 26.C 27.D 28.B 29.A
TESTE 19
SOLUÇÕES COMENTADAS DE ALGUNS TESTES.
De acordo com a lei de formação dada, a seqüência de retângulos, escrita como altura x base, é da forma
1 x 2 , 2 × 3 , 3 × 5 , 4 × 7,..., n x (2n - 1), …
Logo, o 100 0 retângulo (n = 100) é da forma 100 × 199 , e seu perímetro é 2 × (100 + 199) = 598 .
TESTE 20
Carlos começou a trabalhar com 41–15 = 26 anos. Se y representa o número total de anos que ele trabalhará até se
aposentar, então sua idade ao se aposentar será 26+ y, e portanto 26 + y + y =100.
100 26
Segue que y 37.
Logo, ele poderá se aposentar com 26 + 37 = 63 anos.
2
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TESTE 25
Até Lucia completar a primeira volta, m vale 0. No momento em que ela completar essa volta, m passa a valer 1, e
só muda de valor no momento em que ela completar a segunda volta, quando passa a valer 2, e assim por diante.
Portanto, o gráfico da função é formado por segmentos horizontais, que correspondem aos números naturais do eixo
m. Como a cada volta ela percorre a mesma distância, os segmentos horizontais têm todos o mesmo comprimento.
O gráfico correto é o da alternativa B.
Mais formalmente, suponhamos que o comprimento da pista seja c metros e que Lucia acabou de completar k
voltas, ou seja, que m = k neste momento. Então ela acabou de correr kc metros, e até ela dar mais uma volta, ou
seja, correr kc metros, e até ela dar mais uma volta, ou seja, correr kc + c = (k + 1)c metros, o valor de m não muda.
Podemos então descrever a função m pela expressão:
cujo gráfico é como na alternativa B.
TESTE 26
m(x) = k, se kc x < (k + 1)c,
Como a cada sábado segue um domingo, para que o número de sábados num ano seja maior que o número de
domingos é necessário que o ultimo dia desse ano seja sábado. Como 366 = 52 x 7 + 2, um ano bissexto consiste de 53
semanas e 2dias. Logo, se 31 de dezembro foi um sábado, 2 de Janeiro também foi um sábado. Contando de 7 em 7 ,
vemos que 16 de janeiro foi um sábado, donde 20 de janeiro foi uma quarta-feira.
TESTE 27
Sejam x e y os números que Pedrinho colocou, respectivamente, nos cantos superior esquerdo e superior direito da
x y
tabela. Então, 7,
donde y 14 x . Do mesmo modo segue que o número que o número que ele colocou no
2
canto inferior esquerdo foi 18 x .
Finalmente, o número que ele colocou no centro da tabela pode ser escrito de duas maneiras.
x 20
a média de x e 20, que é , e
2
( 14 x)
( 18 x)
a média de 14 x e 18 x , que é 16 x .
2
x 20
Obtemos então a equação 16 x , cuja solução é x = 4. Com isso, podemos completar a tabela e obtemos
2
De modo que a soma procurada é 4 + 15, ou seja, 19.
TESTE 28
Como 535 = 11× 46 + 29 , vemos que 11 ônibus são insuficientes para o passeio. Por outro lado, de 13× 46 = 598 vemos
que se o número de ônibus fosse maior ou igual a 13 o número de professores seria no mínimo 598 − 535 = 63 , o que
não é possível pois em cada ônibus há no máximo 2 professores. Logo o passeio foi feito com 12 ônibus e o número de
10

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professores é 12× 46 − 535 = 17. Como cada ônibus tem 1 ou 2 professores e 17 dividido por 12 tem quociente 1 e resto 5,
concluímos que o número de ônibus com 2 professores é 5.
Outra solução: Sejam x o número de ônibus com 1 professor (nesses ônibus há 45 alunos) e y o número de ônibus
com 2 professores (nesses ônibus há 44 alunos). Logo, 45x + 44y = 535. Para resolver essa equação, observe que como
x e y são inteiros positivos, y tem que ser um múltiplo de 5 menor que 15 (porque 15×44 > 535), isto é, y vale 5 ou 10.
Substituindo esses valores na equação, obtemos y = 5.
TESTE 29
Denotemos por f a função pedida. Sendo N o ponto médio do segmento AE, vamos considerar três outros pontos P,
Q e R, que representam possíveis posições de partida da formiguinha. Para qualquer um desses pontos, sua distância
ao ponto A será denotada por x.
Temos três situações:
1 a ) a formiguinha parte de um ponto P entre A e N. Nesse caso o menor caminho é: PACM.
Observe que se x=AP aumenta (P se aproxima de N), o caminho a ser percorrido também aumenta do mesmo
comprimento. Isso significa que f é crescente entre A e N (e que seu gráfico, neste trecho, é um segmento de reta de
coeficiente angular igual a 1).
2 a ) a formiguinha parte de um ponto Q entre N e E. Nesse caso o menor caminho é: QEDM.
Observe que se x=AQ aumenta (Q se aproxima de E), o caminho a ser percorrido diminui do mesmo comprimento.
Isso significa que f é decrescente entre N e E (e que seu gráfico, neste trecho, é um segmento de reta de coeficiente
angular igual a - 1).
3 a ) a formiguinha parte de um ponto R entre E e B. Nesse caso o menor caminho é: REDM.
Observe que se x=AR aumenta (R se aproxima de B), o caminho a ser percorrido também aumenta do mesmo
comprimento. Isso significa que f é crescente entre E e B (e que seu gráfico, neste trecho, é um segmento de reta de
coeficiente angular igual a 1).
Resumindo: entre A e B a função f cresce, decresce e torna a crescer (sempre tendo como gráfico um segmento de
reta). Apenas a alternativa (A) mostra esse comportamento.
Outra solução:
Na figura, marcamos o ponto médio N do segmento AE e três outros pontos P, Q e R, que representam possíveis
posições de partida da formiguinha nos segmentos AN, NE e EB, respectivamente. Para qualquer um desses pontos,
sua distância ao ponto A será denotada por x e vamos adotar o lado do quadrado como unidade de comprimento.
Se a formiguinha sai de P, o trajeto mais curto passa por A e C, como indicado pelas flechas.
Nesse caso, a formiguinha vai andar
1 3
PA AC CM
x 1 x unidades de comprimento.
2 2
11

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Se a formiguinha sair de N, não faz diferença ela passar por A e C ou por E e D, pois em qualquer caso ela vai andar
1 1
1 2 unidades de comprimento
2 2
Se ela sai de Q, o trajeto mais curto passa por E e D, e ela vai andar
1 5
QE ED DM ( 1 x)
1 x unidades de comprimento
2 2
Finalmente, se ela sai de R ela vai andar
1 1
RE ED DM ( x 1)
1 x unidades de comprimento
2 2
Desse modo, a função que representa a menor distância que a formiguinha deve andar de algum ponto do
segmento AB, à distância x do ponto A, até chegar ao ponto M, é dada pela função
cujo gráfico é o da alternativa (A).
3
x
, se
2
5
y x,
se
2
1
x , se
2
12
0 x
1
2
1
2
x 1
1 x 2
NOTA: Os testes e as soluções comentadas acima foram retiradas das provas da OBMEP.