Exercícios de Álgebra Linear Capítulos 1 e 2

1.3 Determinar AB - BA
a )
⎡ 1
A =
⎢
2
⎢
⎢⎣
−1
2
1
2
2⎤
2
⎥
⎥
1⎥⎦
⎡ 4
B =
⎢
− 4
⎢
⎢⎣
1
1
2
2
1⎤
1
⎥
;
⎥
1⎥⎦
b )
⎡ 2
A =
⎢
1
⎢
⎢⎣
−1
0
1
2
0⎤
2
⎥
⎥
1⎥⎦
⎡ 3
B =
⎢
3
⎢
⎢⎣
− 3
1
− 2
5
− 2⎤
4
⎥
;
⎥
11 ⎥⎦
⎡1
1.4 Seja A = ⎢
⎣0
1⎤
1
⎥ . Obter uma fórmula para A
⎦
n .
⎡cosθ 1.5 Seja A = ⎢
⎣senθ
− senθ
⎤
cosθ
⎥ . Obter uma fórmula para A
⎦
n .
⎡1
1.6 Seja A =
⎢
0
⎢
⎢⎣
0
1
1
0
1⎤
⎡1
1
⎥
2
. Mostre que A =
⎢
0
⎥
⎢
1⎥⎦
⎢⎣
0
2
1
0
3⎤
2
⎥
e determine uma expressão geral
⎥
1⎥⎦
para A n por indução.
1.7 Aplique a eliminação de Gauss para decompor A=LU para
⎡1
a) A = ⎢
⎣3
⎡1
2⎤
4
⎥ ; b) A =
⎢
4
⎦
⎢
⎢⎣
7
2
5
8
3⎤
⎡ 5
6
⎥
; c) A =
⎢
7
⎥ ⎢
9⎥⎦
⎢⎣
− 2
3
9
− 8
0 ⎤ ⎡1
2
⎥
; d) A =
⎢
2
⎥ ⎢
−1⎥⎦
⎢⎣
2
3
1
4
0⎤
2
⎥
.
⎥
1⎥⎦
1.8 Com as matrizes A da alínea c) e d) resolver para x a equação:
⎡1⎤
Ax =
⎢
2
⎥
.
⎢ ⎥
⎢⎣
3⎥⎦
1.9 Calcular as matrizes inversas (se possível) de
⎡ 2
a)
⎢
2
⎢
⎢⎣
−1
3
1
1
4⎤
⎡1
1
⎥
; b)
⎢
2
⎥ ⎢
2⎥⎦
⎢⎣
1
2 2⎤
⎡ 1
− 1 1
⎥
; c)
⎢
− 2
⎥ ⎢
3 2⎥⎦
⎢⎣
1
− 2
5
− 4
⎡1
1 ⎤ ⎢
4
⎥ 0
− ; d) ⎢
⎥ ⎢0
6 ⎥⎦
⎢
⎣0
2
1
0
0
3
2
1
0
4⎤
3
⎥
⎥ ;
2⎥
⎥
1⎦