Exercícios de Álgebra Linear Capítulos 1 e 2

2
2
2
p = 1+ 2t − t , p = 3 + t , p = 5 + 4t − t , p = − 2 + 2t − 2t
1
2
3
2.15 Mostre que os seguintes conjuntos de funções formam subespaços do espaço das
funções reais de variável real V(F).
a) As funções contínuas.
b) As funções de classe C 1 .
c) As funções de classe C 1 que satisfazem f ’+ 2 f = 0.
2.16 Quais os conjuntos linearmente independentes e os linearmente dependentes.
a) Em R 3 :
i) ( 2, −1, 4),( 3, 6, 2),( 2, 10, − 4)
ii) ( 3, 1, 1),( 2, −1, 5),( 4, 0, − 3)
iii) ( 6, 0, −1),(
1, 1, 4)
iv) ( 1, 3, 3),( 0, 1, 4),( 5, 6, 3),( 7, 2, −1)
b) Em R 4 :
i) ( 1, 2, 1, −2),( 0, −2, −2, 0),( 0, 2, 3, 1),( 3, 0, −3,
6)
ii) ( 4, −4, 8, 0),( 2, 2, 4, 0),( 6, 0, 0, 2),( 6, 3, −3,
0)
iii) ( 4, 4, 0, 0),( 0, 0, 6, 6),( −5,
0, 5, 5)
iv) ( 3, 0, 4, 1),( 6, 2, −1, 2),( −1, 3, 5, 1),( −3,
7, 8, 3)
c) Em P 2
2 2 2
2 2 2
i) 2 − t + 4t , 3 + 6t + 2t , 2 + 10t − 4t
ii) 3 + t + t , 2 − t + 5t , 4 − 3t
2 2
2 2 2 2
iii) 1+ t + 4t , 6 − t iv) 1+ 3t + 3t , t + 4t , 5 + 6t + 3t , 7 + 2t
− t
d) Em V(F)
2 2
i) 2, 4sin
t,cos t ii) t,cos t iii) 1,sin t,sin 2t
2 2
2 2
2
iv) cos 2t,sin
t,cos t v)( x + 1) , x + 2x, 3 vi) 0,
x, x , f ( x)
2 2 2
vii) sinh t,cosh t , 1 viii) sinh 2t,cosh t,
3
2.17 Determine quais dos seguintes conjuntos de vectores de R 3 se situam no mesmo
plano ou na mesma recta, indicar em cada caso a situação.
a) ( 1, 0, −2),( 3, 1, 2),( 1, − 1, 0)
b) ( 2, −1, 4),( 4, 2, 3),( 2, 7, −6)
c) ( 3, −6, 9),( 2, − 4, 6),( 1, 1, 1)
d) ( 4, 6, 8),( 2, 3, 4),( −2, −3, −4)
2.18 Para que valores de λ o seguinte conjunto é linearmente dependente:
4
⎧ 1 1 1 1 1 1 ⎫
⎨(
λ,
− , − ), ( − , λ,
− ), ( − , − , λ)
⎬
⎩ 2 2 2 2 2 2 ⎭
2.19 Prove:
-Sendo u,v e w quaisquer vectores, {u-v,v-w,w-u} é um conjunto linearmente
dependente.
2.20 Determine a dimensão e uma base para o espaço solução de cada um dos sistemas
seguintes:
2