非线性光学讲稿（4）

第四章 光学二次谐波与参量变频
国家自然科学基金委员会
数理学部实验物理讲习班
§4.1 光在各向异性介质中的传播特性
1 一般而言 ∥ , ∥
D = ε ⋅ E
P
ε
E D
⎛ε
⎜
= ⎜ε
⎜
⎝ε
▲可选择主轴座标系, 此时有:
11
21
31
ε
ε
ε
12
22
32
E
ε
ε
ε
D = ε E ( i = 1,
2,
3)
i
i
i
n =
ε i
ε
主折射率: i
0
D = ∑ε
E ( i,
j =
13
23
33
i
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
ε
j
ij
j
-介电张量
⎛ε1
⎜
= ⎜ 0
⎜
⎝ 0
0
ε
2
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
ε ⎟
3 ⎠
1,
2,
3)
84

2 波前传播方向与能量传播方向一般不一致
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数理学部实验物理讲习班
−i(
ωt−k
⋅r)
E = Ee
H
E
D
δ
δ
S
k
−i(
t−k
⋅r)
H = He 图4.1
ω
−i(
t−k
⋅r)
D = De ω
k
S = E×
H
-波前传播方向
S -能量传播方向
D H k
、 、 互相正交
E 、 、 互相正交
H S
H
δ -离散角 沿主轴传播: δ = 0
3 存在双折射
D 的方向通常称为光波的偏振方向
▲各向异性介质:任一方向 k存在两个本征的互相正 交的偏振方向,它们有不同的折射率和相速度
E D S k 落在与 垂直的
同一平面上
85

4 关于“折射率椭球”
设想在主轴座标系o-xyz上建立方程式:
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x
n
2
y
n
2
z
n
2
n
, n , n
1 2 3
+ + = 1
2 2 2 (4.1)
1 2 3
-主折射率
此方程描述的是一个椭球,
称之为折射率椭球
椭球三个轴的半轴长为 n1
, n2,
n3
●可用该椭球确定任意传播
方向光波的两个本征偏振方
向及其相应折射率。 方法:
x
n
1
n
z
3
o
k
n
2
图 4.2
通过o点作垂直于 的平面,该平面与椭球相截,截
面为一椭圆,椭圆的长、短轴方向就是光波的两个
本征偏振方向,其半轴长就是相应的折射率
k
86
y

5 单轴晶与双轴晶
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数理学部实验物理讲习班
晶体光轴-沿该方向传播的光波不存在双折射(即
两个本征折射率相等)
单轴晶: n1 = n2
≠ n3
只有一个光轴(就是z轴)
n =
1 = n2
no
n 3 = ne
n 〈
正单轴晶: n e 〉 no
负单轴晶: e o
双轴晶: n1 ≠ n2
≠ n3
总存在(也只有)两个光轴
6 单轴晶的折射率椭球
★是一个旋转椭球 ★垂直 k过o点的平面与之相截 的截面是一椭圆,椭圆的一轴总是落在O-xy平面内,
在该方向偏振的称o-光,折射率为 ;在另一轴上
偏振 称e-光,折射率为:
no
2
2 1
sin θ cos θ −
2
ne(
θ ) = ( + )
2 2 (4.2)
n
o
n
n
e
87

a
e-光和o-光分别在主平面( 与光轴z形成的平面)内
和垂直于主平面偏振
7 关于“折射率面”
a
a
S
δ
k
z
θ
o
(a)
k z
n
o
δ S
θ
o n
e
n
o
从座标原点O出发,作任意方向的
矢量,矢量的长度等于沿该方向
传播的光波的折射率,该矢量终端
的轨迹是一闭合面,称为折射率面
因存在两个本征折射率,故折射率面
n
e
由两个闭合面交叠构成
图 4.3(a)-正单轴晶, (b)-负单轴晶
▲ k与折射率面有两个交点,它们与 O的距离为
与
(b)
n o ne(θ
)
1 2 1 1
tanδ = ne ( θ )[ − ] sin 2θ
2 2
2 no
ne
(4.3)
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k
88
图 4.3

89
§4.2 晶体中的有效非线性系数
)
,
,
( 2
1
3
)
2
(
ω
ω
ω
χ −
ijk -本来是频率的函数
★由于二阶光学过程一般都在晶体的透明区进行,
远离共振频率,故可忽略色散而认为它们
与频率无关,特别是此时有:
)
23
,
1
( =
i
i
ω
=
−
−
=
−
−
=
− )
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
( 1
3
2
)
2
(
2
3
1
)
2
(
2
1
3
)
2
(
ω
ω
ω
χ
ω
ω
ω
χ
ω
ω
ω
χ ijk
ijk
ijk
ijk
ijk
d
=
−
= )
,
,
2
( 1
1
)
2
(
ω
ω
ω
χ
习惯上称为非线性系数
)
3
,
2
,
1
(
)
(
E
)
(
E
2
)
(
P
,
2
1
0
2
1
)
2
(
=
∑
=
+ i
d
k
j
k
j
ijk
i
ω
ω
ε
ω
ω
于是,和频极化及倍频极化的(2.41)和(2.42)→
)
3
,
2
,
1
(
)
(
E
)
(
E
)
2
(
P
,
0
)
2
(
=
∑
= i
d
k
j
k
j
ijk
i
ω
ω
ε
ω
(4.4)
(4.5)
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90
( 2)
矢量形式为: P ( ω1
+ ω2
) = 2ε
0d
: E(
ω1)
E(
ω2
) (4.6)
( 2)
P ( 2ω
) = ε0d
: E(
ω)
E(
ω)
(4.7) d = ∑ d a a a
ijk i j k
i,
j,
k
d ijk = dikj
故习惯用两脚标的 d il代替三脚标的
d ijk ( = dikj)
( jk ) = (11), (22), (33), (23)及(32), (13)及(31), (12)及(21)
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l
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
= 1 2 3 4 5 6
d L
⎛ d
⎜
= ⎜d
⎜
⎝ d
11
21
31
d = d =
d
d
d
ijk
12
22
32
d
d
d
ikj
13
23
33
d
d
d
d
il
14
24
34
d
d
d
15
25
35
d
d
d
16
26
36
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
(4.7)
和频及倍频极化又可用含矩阵 dL的公式分别表示为:

91
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
•
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
(
E
2
)
(
p
)
(
p
)
(
p
2
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
3
2
3
1
1
2
2
1
3
2
3
1
2
2
3
1
3
2
2
1
2
2
1
1
1
0
2
1
)
2
(
3
2
1
(2)
2
2
1
)
2
(
1
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ε
ω
ω
ω
ω
ω
ω
L
d
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
•
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
)
(
E
)
(
E
2
)
(
E
)
(
E
2
)
(
E
)
(
E
2
)
(
E
)
(
E
)
(
E
)
2
(
p
)
2
(
p
)
2
(
p
2
1
3
1
3
2
2
3
2
2
2
1
0
)
2
(
3
(2)
2
)
2
(
1
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ε
ω
ω
ω
L
d
(4.8)
(4.9)
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有效非线性系数
晶体存在双折射→任一 方向的光波都只能有两个偏
振方向,例如单轴晶中的o-光和e-光
实现共线相位匹配要求→入射光与所产生的和频或
倍频光偏振方向之间有一定的配置,例如:
负单轴晶: o + o → e e + o →e
正单轴晶: e + e → o e + o →o
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▲因此,为讨论常用的共线相位匹配下的二阶效应,
只需针对允许的入射光偏振配置,找出相应二阶极
化强度的特定分量(该分量的方向要符合相位匹配要
求的偏振配置.例如,对上述o + o → e ,该分量的方
向就是e-光偏振方向)
以e + e → o 为例: 两入射光为
92

ae
a
( ω1) = aeE(
ω )
Ee ( ω2) = aeE(
ω2)
k
( 2)
( ω + ω ) = 2ε
d : a a E( ω ) E( ω
Ee 1
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, o -沿 方向传播的e-光和o-光的单位矢量
和频极化: P 1 2 0 e e 1 2)
其在o-光偏振方向的分量(即有效极化强度 ):
( 2)
( 2)
Peff ( ω1
+ ω2
) = a o⋅
P ( ω1
+ ω2
) = 2ε
0 a o⋅
d : a ea
eE(
ω1)
E( ω2
)
( 2)
Peff ( ω1 + ω2
) = 2ε
0deff
E( ω1)
E( ω2
)
(4.10)
deff = a ⋅ d : a a
其中有效非线性系数为:
o e e (4.11)
( 2)
2
同样,倍频极化强度: Peff ( 2ω
) = ε0d
eff [E( ω)]
(4.12)
●用同样方法可得单轴晶所有允许偏振配置的 d :
d
o + o →e deff = ao⋅
: aea
e
e + o →e deff = ae⋅ d : aea
o
o + o →e deff = ae⋅
d : aoa
o
e + o →o deff = ao⋅ d : aea
o
eff
93

94
o
z
图4.4
y
x
k
θ
φ
o
a
e
a
z
y
x
o
o
o
o a
a
a
a 3
2
1
+
+
=
z
y
x
e
e
e
e a
a
a
a 3
2
1
+
+
=
z
y
x
a
,
a
,
a
-主轴x、y、z的单位矢量
0
,
cos
,
sin 3
2
1
=
−
=
= o
o
o φ
φ
θ
θ
φ
θ
φ
sin
cos
sin
,
cos
cos
3
2
1
=
−
=
−
=
e
e
e
▲利用上述一些关系式,即可
针对各种不同对称性的晶体,
计算出各种允许偏振配置时
的有效非线性系数
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晶体类型
表4.1 各类单轴晶体的有效非线性系数
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e + e → o
e + o → e
6和4
622和422
6mm和4mm
− d14
sin 2θ
− d14
sin 2θ
0
d14
sinθ
cosθ
d14
sinθ
cosθ
0
6m2 cos θ cos3φ
2
cos θ ( d 11 sin 3φ
+ d22
cos3φ
)
2
d22 cos θ cos3φ
2
3m
d22
cos θ cos3φ
2
d22 cos θ cos3φ
2
6
3
32
d22
2
cos θ ( d 11 sin 3φ
+ d22
cos3φ
)
2
2
cos θ ( d 11 sin 3φ
+ d22
cos3φ
) cos θ ( d 11 sin 3φ
+ d22
cos3φ
)
− d14
sin 2θ
+ d14
sinθ
cosθ
2
2
d11 cos θ sin 3φ
− d14
sin 2θ
d 11 cos θ sin 3φ
+ d14
sinθ
cosθ
4 d14
sin 2θ
cos2φ
− d sin 2θ
sin 2φ
( d 14 + d36)
sinθ
cosθ
cos2φ
− d + d ) sinθ
cosθ
sin 2φ
15
( 14 31
42m d sin 2θ
cos2φ
d + d ) sinθ
cosθ
cos2φ
14
( 14 36
95

晶体类型 o + o → e
o + e → o
6和4
622和422
d31 sinθ
0
d15
sinθ
0
6mm和4mm d31 sinθ
d15
sinθ
6 m2
3m
− d22
cosθ
sin 3φ
d31 sinθ − d22
cosθ
sin 3φ
− d22
cosθ
sin 3φ
d15 sinθ − d22
cosθ
sin 3φ
6 θ ( d cos3φ
− d sin 3φ
) θ ( d cos3φ
− d sin 3φ
)
国家自然科学基金委员会
数理学部实验物理讲习班
3
32
4
42m
cos 11
22
cosθ ( d11 cos3φ
− d22
sin 3φ
)
+ d sinθ
31
cos 11
22
cosθ ( d11 cos3φ
− d22
sin 3φ
)
+ d sinθ
d cosθ
cos3φ
d cosθ
cos3φ
11
− θ ( d cos2φ
− d sin 2φ
) − θ ( d cos2φ
+ d sin 2φ
)
sin 31
36
11
15
sin 15
14
− d sinθ
sin 2φ
− d sinθ
sin 2φ
36
14
96

表4.2 各类单轴晶体在满足全置换对称性时的有效非线性系数
e + e → o
o + o → e
o + e → o
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数理学部实验物理讲习班
晶体类型
6和4
622和422
6mm和4mm
6 m2
3m
6
3
32
4
42m
e + o →
e
0
d15
sinθ
0 0
0
d sinθ
cos θ cosφ
2
d22 − d22
cosθ
sin 3φ
cos θ cos3φ
2
d d θ − d cosθ
sin 3φ
22
15
15 sin 22
θ ( d 11 sin 3φ
+ d cos3φ
) cosθ ( d11 cos3φ
− d22
sin 3φ
)
θ ( d sin 3φ
+ d cos3φ
) d sinθ
2
cos 22
2
cos 11
22
15
+ cosθ
( d
11
cos3φ
− d
cos θ sin 3φ
2
d d cosθ
cos3φ
11
11
22
97
sin 3φ
)
2θ
( d cos2φ
− d sin 2φ
) − θ ( d cos2φ
+ d sin 2φ
)
sin 14
15
sin 15
14
d sin 2θ
cos2φ
− d sinθ
sin 2φ
14
14

§4.3 光学二次谐波产生
ω 光→ 2ω
极化→二次谐波
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2 ω光
→ ω 极化
ω 光
利用(2.57)并令 ω 1 = ω ω2 2ω
→ =
−i(
ωt−k1
z)
−i(
2ωt−k
2z
)
E(
ω)
= E1e
E(
2ω
) = E2e
k 1 = k(
ω)
k 2 = k(
2ω
)
∂E2 i2ω
i(
2ωt−k
2z
)
= PNL(
K2,
2ω)
e
∂z
2ε0cn(
2ω
)
∂E1 iω
i(
ωt−k1
z)
= PNL(
K1,
ω)
e
∂z
2ε0cn(
ω)
( 2)
PNL ( K
2,
2ω
) =
P ( 2ω
) = ε0χ
( −2ω,
ω,
ω)
: E(
ω)
E(
ω)
( 2)
PNL ( K1,
ω) = P ( ω)
= ε0
2χ
( −ω,
2ω,
−ω
) : E(
2ω
) E∗
( ω)
用有效非线性极化: ∂E2 iω
i(
2ωt−k
2z
)
= Peff
( K2,
2ω
) e
∂z
ε0cn(
2ω
)
∂E1 iω
(4.13)
i(
ωt−k1
z)
= Peff
( K1,
ω)
e
∂z
2ε
cn(
ω)
(4.14)
0
98

99
2
0
2
eff
)]
(
E
[
)
2
,
K
(
P ω
ε
ω eff
d
=
)
(
)E
E(2
2
)
,
K
(
P 0
1
eff
ω
ω
ε
ω
∗
= eff
d
)
(
1
1
e
)
(
E
z
k
t
i
E
−
−
=
ω
ω
)
2
(
2
2
e
)
2
(
E
z
k
t
i
E
−
−
=
ω
ω eff
d 与基频光的
偏振配置有关
kz
i
eff E
d
cn
i
dz
d Δ
−
= e
)
2
(
2
1
2
ω
ω
E
由(4.13)及(4.14)→
kz
i
eff
E
E
d
cn
i
dz
dE Δ
∗
= e
)
(
1
2
1
ω
ω
(4.15)
(4.16)
)
(
2
)
2
( ω
ω k
k
k −
=
Δ
1
2
2k
K =
-因为 ,故是
倍频光波波矢与倍频
极化波波矢之差
小讯号近似
当基频光只有很小部份能量转给倍频光→
由(4.15):
)
0
(
)
( 1
1
E
z
E ≅
∫
=
Δ
−
z
kz
i
eff
dz
e
E
d
cn
i
z
E
0
2
1
2
)]
0
(
[
)
2
(
)
(
ω
ω
]
1
[
)]
0
(
[
)
2
(
2
1
−
Δ
−
=
Δ
− kz
i
eff
e
E
d
k
cn ω
ω
(4.17)
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数理学部实验物理讲习班

1
2
2
2ω
( ω)
n(
2ω
) ε
2
因光强 I = ε0cn
E 故→
国家自然科学基金委员会
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2
I2 ( L)
=
d
3 2
eff
c n
0
[ I
1
( 0)]
2
L
2
2
sin ( ΔkL
/ 2)
2
( ΔkL
/ 2)
100
(4.18)
L -作用长度 I1( 0)
-基频光的光强
因光功率 S = IA ( A 为光束截面),故倍频效率为:
S(
2ω
)
2ω
S(
ω)
( ΔkL
/ 2)
2
2
η =
S(
ω)
2
=
d
3 2
eff
c n ( ω)
n(
2ω
) ε0
A
2
L
2
( ΔkL
/ 2)
(4.19)
Δk = 0 →
2
2ω
2
η max =
d
3 2
eff
c n ( ω)
n(
2ω
) ε0
S(
ω)
2
L
A
sin
★基频振幅不能看作恒量:若 = 0则
(4.15)和(4.16)→ d iω
2
Δk n ( 2ω)
= n(
ω)
= n
E ρ
E 2 = deff
E1
dz cn
E 2 = iρ2
D deff
cn
dE1
iω
∗
= deff
E2E1
dz cn
ω
= →
令: 1 = 1

dρ
101
2 2
dρ1
= Dρ1
(4.20) = −Dρ1ρ
2 (4.21)
dz
dz
d 2 2
2 2
2 2
[ ρ1
+ ρ2
] = 0 → ρ 1 ( z)
+ ρ2
( z)
= const.
= ρ1
( 0)
+ ρ2
( 0
dz
2
2 2
ρ 2 ( 0)
= 0 ρ 1(
0)
= E1(
0)
→ ρ1 ( z) = E1
( 0)
− ρ2
( z)
dρ2
2 2
= D[
E1
( 0)
− ρ2
( z (4.22)
dz
dv −1 = tanh v
2 →
1−
v
ρ 2(
z ) = iE1(
0)
tanh[ DE1(
0)
z]
ρ1(
z ) = E1(
0)
sech[
DE1(
0)
z]
2
2
2 2 z
E 1(
z)
= | ρ1(
z)
| = E1(
0)
tanh ( ) (4.23)
Ls
2
2
2 2 z
E 2(
z)
= | ρ2
( z)
| = E1(
0)
sech
( ) (4.24)
Ls
1 cn
其中 Ls
= =
(4.25)
DE ( 0)
ωd
E ( 0)
国家自然科学基金委员会
数理学部实验物理讲习班
→ )
因
代入(4.20)→ )]
利用公式: ∫
1
eff
1

102
§4.4 光学和频
2
1
3
2
1 , ω
ω
ω
ω
ω +
=
→ 2
,
1
3
1
,
2
2
,
1
3 , ω
ω
ω
ω
ω −
=
→
在共线(沿z方向)传播时,由(2.55)-(2.57)描述,因此时
光波简并因子为2,故改用 表示,则振幅耦合方程为:
eff
d
z
k
k
k
i
eff
E
E
d
cn
i
dz
dE )
(
2
1
3
3
3 2
1
3
e
)
(
−
−
−
=
ω
ω
z
k
k
k
i
eff
E
E
d
cn
i
dz
dE )
(
2
3
1
1
1 2
3
1
e
)
(
+
−
−
∗
=
ω
ω
z
k
k
k
i
eff
E
E
d
cn
i
dz
dE )
(
1
3
2
2
2 1
3
2
e
)
(
−
−
−
∗
=
ω
ω
(4.26)
(4.27)
(4.28)
小讯号近似 )
0
(
)
( 1
1
E
z
E ≅ )
0
(
)
( 2
2
E
z
E ≅
∫
=
Δ
−
z
kz
i
eff
dz
e
E
E
d
cn
i
z
E
0
2
1
3
3
3
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
ω
ω
]
1
)[
0
(
)
0
(
)
(
2
1
3
3 −
Δ
−
=
Δ
− kz
i
eff
e
E
E
d
k
cn ω
ω
)
(
3
3
1
2
3
K
k
k
k
k
k
−
=
−
−
=
Δ
国家自然科学基金委员会
数理学部实验物理讲习班

经作用长度 L 后 :
国家自然科学基金委员会
数理学部实验物理讲习班
2ω
2
3
2
I3( L)
=
d
3
eff
c n(
ω1)
n(
ω2)
n(
ω3)
ε0
I
1
( 0)
I
§4.5 非线性光学中的相位匹配
2
( 0)
L
光学二次谐波输出光强表示式含因子:
2
sin ( ΔkL
/ 2)
2
( ΔkL
/ 2)
= 0
≤ 1
[ Δk
= k(
2ω)
− 2k(
ω)]
Δk 该因子等于1,倍频输出
最大, 称相位匹配
Δk ≠ 0 称相位失配 Δk
k → 2π / L L → 2π / Δ
Δ 或 k
L c
2
S ω
( L)
→
= π / | Δk
| 称为相干长度
0
-波矢的失配量
6π
−
L
4π
−
L
2π
−
L
2
2
sin ( ΔkL
/ 2)
2
( ΔkL
/ 2)
0
S ω
2
( L)
2π
L
图4.5
4π
L
6π
L
103
Δk

▲相位匹配问题在非线性光学的光混频
和参量过程中具有普遍性,因其
输出强度均出现因子 :
国家自然科学基金委员会
数理学部实验物理讲习班
k = k(
Ω)
− K(
Ω)
k (Ω)
K(Ω)
2
sin ( ΔkL
/ 2)
2
( ΔkL
/ 2)
104
, -输出光波矢 -极化波波矢
相位匹配要求 Δk = 0,实质就是要光波传播的相速度
与产生它的极化波传播的相速度相等
●非共线相位匹配 : 要求 Δk
= k(
Ω)
− K(
Ω)
= 0
例如: ω , k ) ω , k ) → ( ω3,
k3)
( 1 1
( 2 2
K
= k + k
k + k
极化波波矢为 3 1 2
要求 k3
= K3
= 1 2
k
3
k1 2 k

如何实现相位匹配
以共线传播二次谐波为例:
k ( ω ) = n(
ω)
ω / c
k ( 2ω
) = n(
2ω)
2ω
/ c
国家自然科学基金委员会
数理学部实验物理讲习班
Δk = k(
2ω)
− 2k(
ω)
= 0 → n ( 2ω)
= n(
ω)
介质的透明区,由于存在正常色散,一般
为实现相位匹配,求助于晶体的双折射特性
例如,对于负单轴晶,让基频光为o-光,倍频光为e-光
图4.6: 较小(大)的球面和椭球面
θm
(
-基频光(倍频光)折射率面
图4.6
▲在 k ω 方向即能实现共线相位
( )
匹配,因此时有
n ( ) =
2ω
ω
e θm o
ω −2
2ω
−2
2 ( no
) − ( no
)
sin θm
= 2ω
−2
2ω
−2
( ne
) − ( no
)
o + o → e -第一类相位匹配
n
(4.29)
105
n ( 2ω
) 〉 n(
ω)
n
ω
e
n
ω
o
n
n
k ω)
2ω
o
2ω
e

o + e → e -第二类相位匹配 正单轴晶
国家自然科学基金委员会
数理学部实验物理讲习班
e + e → o(
1)
o + e → o(
2)
温度匹配:在特定偏振配置下,固定光波传播方向与
晶体光轴的夹角 θ,调节温度(因而晶体的折射率和双
2ω
ω
折射特性也在变化)使之实现相位匹配[如 n e ( θ ) = no
]
临界相位匹配 θ θ + Δθ
= m
θ θ
⎛ ∂Δk
⎞
θ
⎛ ∂Δk
Δk(
) = Δk(
Δ + ≅
⎞
m) + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ∂θ
⎠θ
⎝ ∂θ
⎠
m
⎛ ∂Δk
⎞
⎜ ⎟ ≠ 0
Δθ
⎝ ∂θ
⎠
θ
m
Δθ
当 时称之,因很小的 →很大的失配量
θ
m
非临界相位匹配(90度相位匹配)
⎛ ∂Δk
⎞
当 ⎜ ⎟ = 0 时称之,因很大的 Δθ
→极小的失配量
⎝ ∂θ
⎠θ
m
o o → e
+ :发生在基频o-光的折射率面与倍频e-光的
折射率面相切之时(光波传播方向垂直光轴)
106

离散(walk-off)效应: 存在于有e-光参与时,因其波
前(相位)传播方向与能量(光线)传播方向不一致
国家自然科学基金委员会
数理学部实验物理讲习班
o + o → e
1 2ω
2 1 2 1 2
[ ne ( θm
)] [( ) − ( ) ]
2ω
2ω
2 no
ne
sin 2θ
2
例如共线传播倍频
tanδ
=
× (4.30)
▲行进距离 La = d / tanδ
后,两光束
m
分开而不再作用
d
δ
L
a
图4.7
▲在90度相位匹配时 δ = 0 ,不存在离散效应
§4.6 光学参量放大与振荡
ω p (泵光,强) ω s(
ωs
〈 ωP
) (讯号光,弱) →泵光能量
会转移而使讯号光放大,并产生闲置光 ωi = ω p −ω
s
2ω
107
ω

−i(
ω t k z)
108
p −
p
−i(
ωst
−ks
z)
−i(
ωit
−ki
z)
( ω p)
= Epe
E(
ωs
) = Ese
E(
ωi
) = Eie
E
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ω → ω
ω → ω
ω → ω
将(4.26)-(4.28)中的 3 p 1 s 2 i :
dE p iω
p
−i(
k p −ks
−ki
) z
= deff
EsEie
dz cn(
ω p)
dE s iωs
∗ −i(
ks
−k
p + ki
) z
= deff
E pEi
e
dz cn(
ωs
)
dE i iωi
∗ −i(
ki
−k
p + ks
) z
= deff
E pEs
e
dz cn(
ωi
)
dEp ≅ 0 E p z)
=
(4.31)
(4.32)
(4.33)
小讯号近似:设 或 E ( 0)
→
dz
iωsd
eff Ep
( 0)
=
cn(
ωs
)
∗ i
i e
=
iωid
eff E p(
0)
cn(
ω )
se
dEs Δkz
E
dz
∗
dE − i −iΔkz
E
dz
( p
(4.34)
(4.35)
Δk
= k − k −
p
s
k
i

109
s
s
s
s
E
n
A
2
/
1
]
/
)
(
[ ω
ω
= i
i
i
i
E
n
A
2
/
1
]
/
)
(
[ ω
ω
=
令:
kz
i
i
s A
g
i
dz
dA Δ
∗
2
= e kz
i
s
i A
g
i
dz
dA Δ
−
∗
−
= e
2
→ (4.36) (4.37)
)
0
(
]
)
(
)
(
[
2
2
1
p
eff
i
s
i
s E
c
d
n
n
g
ω
ω
ω
ω
=
解该联立方程(4.36)-(4.37)可得:
)]
sinh(
)
)[cosh(
0
(
e
)
(
)
2
/
(
bz
b
k
i
bz
A
z
A s
kz
i
s
Δ
−
=
Δ
−
)
sinh(
)
0
(
2
bz
A
b
g
i i
∗
+
)]
sinh(
)
)[cosh(
0
(
e
)
(
)
2
/
(
bz
b
k
i
bz
A
z
A i
kz
i
i
Δ
−
= ∗
Δ
+
∗
)
sinh(
)
0
(
2
bz
A
b
g
i s
−
2
1
2
2
]
)
(
[
2
1
k
g
b Δ
−
=
(4.38)
(4.39)
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1/
2
起始条件: A ( 0)
= [ n(
ω ) / ω ] E ( 0)
故在 Δk = 0 时有:
A s
s
s
s
s
Ai
( 0)
=
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∗
s ( z)
= A ( 0)
cosh( gz / 2)
( z)
= −iA
( 0)
sinh( gz / 2)
Is ( z)
= Is
(
ωi
i(
z)
= I
ωs
gz〉〉
1
I s
Es s
( z)
= E ( 0)
cosh( gz / 2)
Ai s
n(
ωs
) ωi
( z)
= −i
E ( 0)
sinh( gz / 2)
n(
ω ) ω
∗
Ei s
i s
2
0)
cosh ( gz / 2)
2
( 0)
sinh ( gz / 2)
1
I z I ( 0)
e
(4.40)
0
110
★都随作用距离增加
(4.41) ω
p
1 ω
ωs
ω
gz
s(
) = i gz
s Ii ( z)
= Is
( 0)
e
4
4ω
s
▲当 Δk ≠ 0 ,由(4.38)和(4.39)可知参量过程增益不
再由 g 而是由 b决定
i

光学参量振荡
将非线性介质(晶体)置于光腔中使该腔与讯号光
频率或与闲置光频率,或同时与二者共振,当足够强
的泵光射入共振腔中的介质时,便可能同时产生讯
号光与闲置光;讯号光的起始强度来自参量荧光
●需要满足一定的阈值条件。考虑损耗后 :
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dAs s g ∗ iΔkz
= − As
+ i Ai
e
dz
有效增
益系数
γ ≥
α
2 2
∗
dAi αi
∗ g −iΔkz
= − Ai
− i Ase
dz 2 2
1 1
γ = − ( α s + αi
) +
4 2
2 2 1
g − ( Δk)
−α
sαi
+ ( α s + αi
)
4
0
要求 →
2
gt = α sαi
+ ( Δk)
-阈值增益
g ≥ gt
时振荡才会产生
111
2

§4.7光学参量振荡的频率调谐
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数理学部实验物理讲习班
相位匹配 ( Δk = 0 )才有足够的增益使参量振荡产生
共线传播的前提下 ∵ = n(
ω ) ω / c ( j = p,
s,
i)
k j j j
∴Δk = k p − ks
− ki
= 0 → ω pn(
ω p)
−ω sn(
ωs
) −ωin(
ωi
) = 0
ω p = ωs
+ ωi
→ ωs[
n( ω p)
− n(
ωs
)] + ωi[
n(
ω p)
− n(
ωi)]
= 0
正常色散情况 ( p) ( s)
, →不可能成立
n n ω 〉 ω
) ( ) ( p i n n ω 〉 ω
借助晶体的双折射 例如负单轴晶 e→o+o ,e→o+e
适当的 θ (光束传播方向与晶体光轴夹角)可使之成立
▲据此可进行输出频率的调谐
角调谐 例:负单, e→o+o, ω p = ωs
+ ωi
e
o
o
设 θ 满足: ω pn
( ω p,
θ ) = ωsn
( ωs
) + ωin
( ωi
)
固定 ω p ,改变 θ →满足上式的 ωs 和 ωi
也随之变化
112

113
θ
θ Δ
+
→
θ
ω
ω Δ
+
s
→
s
ω →
i
ω ω
ω Δ
−
i
→
)
,
( θ
ω p
e
n θ
θ
θ
ω
θ
ω Δ
∂
∂
+
)
,
(
)
,
(
p
e
p
e
n
n
]
)
[(
)
(
)
(
2
ω
ω
ω
ω
ω Δ
+
Δ
∂
∂
+ O
n
n
s
s
o
s
o
]
)
[(
)
(
)
(
2
ω
ω
ω
ω
ω Δ
+
Δ
∂
∂
− O
n
n
i
i
o
i
o
→
)
( s
o
n ω
→
)
( i
o
n ω
忽略 →
+
Δ
+
=
Δ
∂
∂
+ )
(
){
(
]
)
,
(
)
,
(
[ s
o
s
p
e
p
e
p
n
n
n ω
ω
ω
θ
θ
θ
ω
θ
ω
ω
]}
)
[(
)
( 2
ω
ω
ω
ω
Δ
+
Δ
∂
∂
O
n
s
s
o
]
)
[(
2
ω
Δ
O
(4.42)
]
)
[(
)
(
)
(
)[
(
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω Δ
+
Δ
∂
∂
−
Δ
−
+ O
n
n
i
i
o
i
o
i
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
i
o
s
o
i
i
o
i
s
s
o
s
p
e
p
n
n
n
n
n
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
θ
θ
θ
ω
ω
ω
−
+
∂
∂
−
∂
∂
Δ
∂
∂
≅
Δ
(4.43)
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∂n
e
2
⎛ 1 ⎞
∵⎜
⎟
⎜ e
( , ) ⎟
⎝ n ω p θ ⎠
⎛ cos ⎞
⎜
θ
= ⎟
⎜ o
( ) ⎟
⎝ n ω p ⎠
⎛ sin ⎞
+ ⎜
θ
⎟
⎜ e
( ) ⎟
⎝ n ω p ⎠
e
3
2
( ω , θ ) [ ( ω , θ )] ⎡
p n p ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
= − ⎢⎜
⎟ ⎜ ⎟
θ
2 ⎢
⎜
−
e
( ω ) ⎟ ⎜ o
∂
( ω ) ⎟
⎣⎝
n p ⎠ ⎝ n p ⎠
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2
2
2
⎤
⎥sin
2θ
⎥⎦
(4.44)
★将(4.44)代入(4.43),即可由晶体在不同频率时的
o
e
主折射率 n ( ω p)
和 n ( ω p)
计算出当 θ 发生变化时输出
频率 ωs和 ωi 的增减 Δω
,从而可得到所谓角调谐曲线
2
★当 ωs →ω
p / 2时,
ωi ≈ ωs
≈ ω p / 2,
O[(
Δω)
] 不能忽略,否则
(4.43)分毋将趋
e
1/
2
⎡ ⎛ ∂n
( ω , θ ) ⎤
p ⎞
于零 ;此时在 ⎢ ω ⎜ ⎟
p⎜
⎥
θ ⎟
1
θ = θ 附近有: ⎢ ⎝ ∂ ⎠θ
= θ ⎥
2
ω = ω = ω
i
0
s
p
/ 2
Δω
=
⎢ o
⎛ ∂n
( ω)
ω p
⎢⎜
2 +
⎢ ω 2
⎣
⎝ ∂
∂
2
114
0 ( Δθ
)
o
n ( ω)
⎞ ⎥
2 ⎟ ⎥
∂ω
⎠ω
= ω / 2 ⎥ p ⎦
(4.45)

115
▲用(4.43)与(4.45)可作完整的参量振荡角调谐曲线
λ(
μm)
温度调谐
利用折射率随温度变化来实现。 4
λp = 1.
06μm
LiNbO3
此时 θ 是固定的,设温度为 T 时输出 3
频率为 ωs和 ωi
,故有:
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2
e
o
o
ω pn
( ω p,
θ , T ) = ωsn
( ωs
, T ) + ωin
( ωi,
T )
T → T + ΔT
ωs → ωs + Δω
ωi →ωi
− Δω
e
远离简并点: e ∂n
( ω p,
θ , T )
ω p[
n ( ω p,
θ , T ) + ΔT
] =
∂T
o
o
o ∂n
( ωs
, T ) ∂n
( ωs
, T )
( ωs + Δω)[
n ( ωs
, T ) + ΔT
+ Δω]
∂T
∂ω
1
θ
50 48 46 44
o
o
o ∂n
( ωi,
T ) ∂n
( ωi,
T )
+ ( ωi − Δω)[
n ( ωi,
T ) + ΔT
− Δω]
∂T
∂ω
i
s

116
T
n
n
T
n
T
n
T
T
n
T
T
n
T
T
n
i
o
s
o
i
i
o
i
s
s
o
s
i
o
i
s
o
s
p
e
p
Δ
−
+
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
≅
Δ
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
θ
ω
ω
ω
在简并点 (此时 )附近:
o
T
T =
2
/
p
i
s
ω
ω
ω =
=
2
1
2
/
1
2
/
2
2
)
(
)
(
2
)
(
2
)
,
(
)
,
,
(
0 T
n
n
T
T
n
T
T
n
p
o
p
o
T
T
s
o
p
e
p
Δ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
Δ
=
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
θ
ω
ω
ω
(4.46)
(4.47)
▲用以上两式可作完整的参量振荡温度调谐曲线
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数理学部实验物理讲习班

参量输出频率的带宽
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数理学部实验物理讲习班
以上用 Δk = k p − ks
− ki
= 0 决定的只是参量振荡输出的
中心频率,当讯号光和闲置光频率稍偏离中心频率,
致使 Δk
稍偏离零时,仍有输出,虽己下降,这表现为输
出有一定带宽,它决定于 Δk L = 2π
设 ω p = ωs
+ ωi
时严格满足相位匹配,则
ω ( ω + δω)
+ ( ω −δω)
时失配量为:
p = s
i
o
o
⎛ n ( ω s)
ωs
⎞ ⎛ n ( ωi
) ωi
⎞
Δk
= Δ(
k p − ks
− ki)
= −Δ⎜
⎟ − Δ⎜
⎟
⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠
o
o
1 o ∂n
( ωs
)
o ∂n
( ωi
)
= − [ n ( ωs ) δω + ωsδω
− n ( ωi
) δω − ωiδω]
c ∂ωs
∂ωi
δω
令 Δk L = 2π
→
(保留 的一级小项)
117

118
i
i
o
i
s
s
o
s
i
o
s
o
n
n
n
n
L
c
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
π
δω
∂
∂
−
∂
∂
+
−
=
)
(
)
(
)
(
)
(
2
在输出频率的简并点附近,要保留二级小项,从而有:
2
/
2
2
)
(
2
)
(
2
2
p
o
p
o
n
n
L
c
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
π
δω
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
50 48 46 44
30
60
90
)
(
1
−
cm
δω
θ
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数理学部实验物理讲习班

§4.8 Maker条纹与非线性系数测量
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数理学部实验物理讲习班
A-被测样品
R-参考晶体
图 4.9
F-滤光片, D-光电管
S(
2ω
)
S ( 2ω)
R
=
d
通过拟合,由
d
n
2
eff
2 2
R,
eff n
d R,
eff → deff
∵d eff = a2ω ⋅ d ⋅a
d ( 2)
χ
2
R
( ω)
n
R
ω
ω
( 2ω)(
Δk
( ω)
n(
2ω)
sin
S(
2ω)
S ( 2ω)
而 与 又有确定关系
( 2)
故此法即可用以测 χ
ω
a
ω
R
2
R
( Δk
A
R
/ 2)
R
L
F
ω
2ω
ω
2ω
R
2
40 30 2010
F
2ω
2ω
D
D
S(
2ω
)
S
R
( 2ω
)
2
sin ( ΔkL
/ 2)
⋅
2
/ 2)
( Δk
/ 2)
图 4.10
010203040
θ
119

§4.9 准相位匹配与光学超晶格
非线性系数(光)栅
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1 iGz
deff
= dqcosGz
= dqe
+ c.
c.
2
dE 2 1 iω
2 −iΔkq
z
= dqE1
e
dz 2 cn(
2ω
)
dE1 1 iω
∗ iΔkqz
= dqE2
E1
e
dz 2 cn(
ω)
Δ kq = Δk
− G = k(
2ω
) − 2k(
ω)
− G
Δk q = 0 → G = Δk
= k(
2ω
) − 2k(
ω)
Λ g π π
→ = = = lc
2 G Δk
I
2ω
eff
d d eff eff deff
P
s
0 c
120
− d − deff
− deff
l c
z
2l 3lc 4lc 5lc 6lc
图 4.11
a + b
− d − d eff − d eff
eff
d eff d eff d eff
有(光)栅参与的波矢匹配条件:
k( 2ω
) − 2k(
ω)
− G = 0 ▲对任意光学超晶格:
m=
+∞
d ( z)
= d ∑ A exp( iG z)
eff
m=
−∞
m
m
Λ
=
a b a b a b
图 4.12
Gm = 2πm / Λ k ( 2ω
) − 2k(
ω)
= Gm
z

§4.10 表面(界面)对二阶非线性光学效应的影响
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数理学部实验物理讲习班
●二次谐波反射、光学和频反射
z = 0 -界面
kR R
( 2ω
) sinθ
( 2ω
) = k(
2ω
) sinθ
( 2ω
)
= 2kI ( ω) sinθ
I ( ω)
●表面(界面)产生的二阶光
学非线性
表面处中心对称受到破坏,因而
便可以产生二阶极化
靠近表面的数层分子相
ε
具有不同的几何形态
P
( 2)
z = z
( 2)
( 2)
0
χ s = ∫ χv
dz
( 2)
( r)
= ε
ε
0χ1
( r)
: E1E2
+
( 2)
ε χ ( r)
: E E + ε χ ( r)
δ ( z −
0
2
1
2
0
( 2)
s
=
k ( ω)
I
θ I (ω )
θ R ( 2ω
)
k ( 2ω
)
R
( 2)
, χ 1 1
( 2)
2 , χ 2
z
0
) : E
z
1
X
E
2
图 4.13
Z
k( 2ω
)
121
θ ( 2ω
)
图 4.14
( 2
χ s
)