Hugo Cardoso Albuquerque Lógica Proposicional via Lindenbaum ...

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CAPÍTULO 13. CURRY-HOWARD PARA LPI
Definição 13.8. A relação β em L λ é dada por:
β = {〈 (λx.M)N , M[N/x] 〉 : M, N ∈ L λ , x ∈ Π λ }
∪ {〈 p 1 〈M, N〉 , M 〉 : M, N ∈ L λ }
∪ {〈 p 2 〈M, N〉 , N 〉 : M, N ∈ L λ }
∪ {〈 〈i 1 N, δx.K, δy.L〉 , K[N/x] 〉 : K, L, N ∈ L λ , x, y ∈ Π λ }
∪ {〈 〈i 2 N, δx.K, δy.L〉 , L[N/y] 〉 : K, L, N ∈ L λ , x, y ∈ Π λ } ∈ L 2 λ .
Definição 13.9. A relação η em L λ é dada por:
η = {〈 λx.Mx , M 〉 : M ∈ L λ , x ∈ Π λ }
∪ {〈 〈p 1 M, p 2 M〉 , M 〉 : M ∈ L λ }
∪ {〈 〈M, δx.i 1 x, δy.i 2 y〉 , M 〉 : M ∈ L λ , x, y ∈ Π λ } ∈ L 2 λ .
As relações → β , ։ β e → η , ։ η definem-se da maneira óbvia.
13.3 〈L LPI , ⊢ i N〉 = 〈L λ : L Types , ⊢ λ 〉
Munidos dos novos tipos e das novas regras de tipificação, estamos em condições de
demonstrar a extensão do isomorfismo de Curry-Howard para LPI. Detalhamos apenas a
demonstração para o caso do Cálculo Natural.
É de bom gosto prevenir o leitor que a demonstração do próximo teorema é um mero,
mas longo, exercício de paciência, e podia ser omitida uma vez provado o isomorfismo para
o fragmento implicacional intuicionista. A sua cobertura exaustiva prende-se simplesmente
com o facto do teorema 13.10 representar, enfim, o culminar do presente trabalho, e a sua
não inclusão pecaria por incoerência, ainda que certamente desculpada pelo bom-senso.
Teorema 13.10 (Isomorfismo de Curry-Howard para o Cálculo Natural).
(i) Se Γ ⊢ λ M : σ, então Im(Γ) ⊢ i N→ σ;
(ii) Se Γ ⊢ i N ϕ, então existe M ∈ L λ tal que {(x γ : γ) : γ ∈ Γ} ⊢ λ M : ϕ.
Demonstração.
(i) Prova por indução no comprimento da tipificação Γ ⊢ λ M : σ.
Base:
Igual ao isomorfismo para LPI →.
Passo:
O último passo da tipificação é dado por:
Γ, M : ρ ⊢ λ N : τ Γ, M : ρ ⊢ λ L : ¬τ
NegI ,
Γ ⊢ λ M : ¬ρ
com σ ≡ ¬ρ.
Segue por hipótese de indução que Im(Γ), ρ ⊢ i N τ e Im(Γ), ρ ⊢i N ¬τ. Logo,
Im(Γ), ρ ⊢ i N τ Im(Γ), ρ ⊢ i N ¬τ
¬I .
Im(Γ) ⊢ i N ¬ρ
O último passo da tipificação é dado por: