Hugo Cardoso Albuquerque Lógica Proposicional via Lindenbaum ...

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CAPÍTULO 0. PRELIMINARES
Definição 0.8. Sejam Σ uma assinatura e X um conjunto tais que T(Σ, X) é não vazio. A
Σ-álgebra dos termos sobre X, que denotaremos por T (Σ, X), é a Σ-álgebra com universo
T(Σ, X) e tal que para cada símbolo de função n-ário f ∈ Σ e quaisquer termos t i ∈ T(Σ, X),
com i = 1, . . . , n, tem-se f T (Σ,X) (t 1 , . . . , t n ) = f(Σ, X)(t 1 , . . . , t n ).
Todos os conceitos e resultados comuns à teoria de grupos, teoria de anéis, teoria de
reticulados, etc., (p.e., as definições de subgrupo, subanel, subreticulado, e os teoremas de
homomorfismos para grupos, anéis, reticulados), encontram versões mais gerais na teoria de
álgebra universal. Uma referência é [Meinke and Tucker, 1993].
Reticulados
Existem duas abordagens para introduzir a noção de reticulado. Uma privilegia a sua
natureza algébrica, e outra a sua natureza de conjunto ordenado. A escolha entre ambas
prende-se com a intuição subjacente à propriedade que se pretende exprimir.
As próximas definições formalizam as duas abordagens referidas, e o lema que se lhes
segue estabelece a“equivalência”entre ambas (no sentido em que uma induz a outra).
Definição 0.9. Um reticulado é um s.p.o. 〈L, ≤〉 tal que quaisquer dois elementos de L
possuem ínfimo e supremo. Denotamos o ínfimo e o supremo de x, y ∈ L por inf(x, y) e
sup(x, y), respectivamente.
Definição 0.10. Um reticulado é uma álgebra 〈L, ∧, ∨〉, tal que para quaisquer x, y ∈ L
verificam-se as seguintes condições:
Comutatividade de ∧ e ∨:
Associatividade de ∧ e ∨:
Idempotência de ∧ e ∨:
Absorção de ∧ e ∨:
x ∧ y = y ∧ x ;
x ∨ y = y ∨ x ;
(x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) ;
(x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) ;
(x ∧ x) = x ;
(x ∨ x) = x ;
x ∧ (x ∨ y) = x ;
x ∨ (x ∧ y) = x .
Chamamos às operações binárias ∧ e ∨, ínfimo e supremo, respectivamente.
É prática comum identificar, ora o s.p.o. 〈L, ≤〉, ora a álgebra 〈L, ∧, ∨, 〉, com o conjunto
L, e referir-mo-nos simplesmente ao reticulado L. Atente-se ainda na ambiguidade que surge
ao referir-mo-nos à operação ínfimo ∧ (respectivamente, à operação supremo ∨) e ao elemento
ínfimo x ∧ y (respectivamente, ao elemento supremo x ∨ y). Estes abusos de notação ficam
claros consoante o contexto, e são legitimados pelo próximo lema.
Lema 0.11. Um reticulado enquanto s.p.o. induz um reticulado enquanto álgebra, e viceversa.