Hugo Cardoso Albuquerque Lógica Proposicional via Lindenbaum ...

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CAPÍTULO 0. PRELIMINARES
x → x é o elemento topo em L. Reciprocamente, se existe ⊤ ∈ L, então segue por definição
de topo que \∀x ∈ L x ≤ ⊤, i.e., \∀x ∈ L x ∧ ⊤ = x, donde \∀x ∈ L x ∧ ⊤ ≤ x. Mas ⊤ é
por defeito o maior elemento que verifica esta condição. Logo, ⊤ é o pseudo-complemento de
x relativo a x. Concluímos que num reticulado relativamente pseudo-complementado, tem-se
⊤ = x → x, com x ∈ L.
A última noção que precisamos da teoria de reticulados é a de filtro.
Definição 0.19. Seja L um reticulado. Um subconjunto não-vazio F ⊆ L diz-se um filtro,
se verifica as seguintes condições:
x, y ∈ F ⇒ x ∧ y ∈ F;
x ∈ L, y ∈ F e x ≥ y ⇒ x ∈ F.
Note-se que ⊤ pertence a qualquer filtro. Caso não exigíssemos F não-vazio, teríamos
que adicionar ⊤ ∈ F como condição extra à definição.
Um filtro F ⊆ L diz-se próprio, se F ≠ L. É fácil verificar que um filtro F é próprio sse
⊥ /∈ F. Um filtro próprio P ⊂ L diz-se primo, se satisfaz adicionalmente a seguinte condição:
x, y ∈ L e x ∨ y ∈ P ⇒ x ∈ P ou y ∈ P.
Finalmente, note-se que o conjunto ↑ x é um filtro, dito filtro principal gerado por x ∈ L.
A noção dual de filtro é a de ideal, da qual apenas precisaremos da definição de ideal
principal gerado por x ∈ L, i.e., ↓ x.
Lógica
Assumimos por fim como conhecida a definição usual de lógica, i.e., a definição Tarskiana
de lógica enquanto um conjunto e uma relação de consequência (cf. definição A.3). Acontece
que no seguimento também referiremos propriedades das lógicas enquanto um conjunto e
um operador de consequência. Mais, na verdade, apresentá-las-emos segundo conjuntos de
axiomas e regras de inferência. Assim sendo, pareceu-nos mais apropriado dedicar um anexo
próprio às várias definições de lógica e respectivas“equivalências”(cf. anexo A).
Dado o carácter mais exaustivo e pormenorizado imprimido ao tratamento destes conteúdos,
no que respeita às noções preliminares neles presentes, bastar-nos-ão as várias definições
de lógica, e, enfim, reconhecer que todas elas se equiparam.
Referências
[Rasiowa and Sikorski, 1963]
[Meinke and Tucker, 1993]
[Davey and Priestley, 2002]