Hugo Cardoso Albuquerque Lógica Proposicional via Lindenbaum ...

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CAPÍTULO 0. PRELIMINARES
Existência de complementos em 〈L, ∧, ∨, 〉:
\∀x ∈ L ∃|y ∈ L x ∧ y = ⊥ , x ∨ y = ⊤ .
Fica aqui bem patente quão artificiais se podem revelar alguns conceitos quando traduzidos
para a abordagem que lhes é“contra-natura”. As noções de distributividade e complementação
são melhor descritas segundo a abordagem algébrica, pois exprimem precisamente
conceitos de natureza algébrica. Por outro lado, a noção de elementos mínimo e máximo é
mais intuitiva na presença de uma relação de ordem parcial.
Estas condições motivam as próximas definições.
Definição 0.12. Um reticulado L diz-se distributivo, se o ínfimo e o supremo verificam as
leis da distributividade.
Na verdade, basta exigir uma das condições da respectiva distributividade para que se
verifiquem ambas [Rasiowa and Sikorski, 1963, p. 48].
Definição 0.13. Um reticulado L diz-se limitado, se existem elementos topo e base em L.
Definição 0.14. Um reticulado limitado L diz-se complementado, se qualquer elemento em
L possui complemento.
Esta definição per se não garante a unicidade dos complementos. Num reticulado distributivo,
porém, um complemento é único. De facto, sejam y, z ∈ L dois complementos de
x ∈ L e suponha-se L distributivo. Tem-se:
y = y ∧ ⊤ = y ∧ (x ∨ z) = (y ∧ x) ∨ (y ∧ z) = ⊥ ∨ (y ∧ z) = y ∧ z ,
i.e., y ≤ z. Analogamente para z ≤ y.
Existeaindaoutraformadecomplementaçãoquedaráorigemàclassedereticuladossobre
aqualestetrabalhosedebruça, ditapseudo-complementação. Estanoçãoéumageneralização
da complementação usual (mais fraca, portanto). Vejamos as condições que definem ambas
as noções.
Um complemento de x ∈ L, que denotaremos por −x, verifica as seguintes condições:
Complemento de x em 〈L, ≤〉:
Complemento de x em 〈L, ∧, ∨, 〉:
inf(x, −x) = ⊥ , sup(x, −x) = ⊤ .
x ∧ −x = ⊥ , x ∨ −x = ⊤ .
Um pseudo-complemento de x, que continuaremos a denotar por −x, verifica agora a seguinte
condição:
Pseudo-complemento de x em 〈L, ≤〉:
Pseudo-complemento de x em 〈L, ∧, ∨, 〉:
−x = max{y : inf(x, y) = ⊥} .
−x = max{y : x ∧ y = ⊥} .