Hugo Cardoso Albuquerque LÃ³gica Proposicional via Lindenbaum ...

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ii ÍNDICE 5 <strong>Lindenbaum</strong>-Tarski para LPC 49 5.1 〈L LPC , BA 〉 ≤ 〈L LPC , ⊢ c N 〉 ≤ 〈L LPC, 2 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 〈L LPC , BA 〉 ≤ 〈L LPC , ⊢ c H 〉 ≤ 〈L LPC, 2 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3 〈L LPC , BA 〉 ≤ 〈L LPC , ⊢ c G 〉 ≤ 〈L LPC, 2 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.4 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6 <strong>Lindenbaum</strong>-Tarski para LPI 79 6.1 〈L LPI , HA 〉 = 〈L LPI , ⊢ i N 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2 〈L LPI , HA 〉 = 〈L LPI , ⊢ i H 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.3 〈L LPI , HA 〉 = 〈L LPI , ⊢ i G 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.4 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7 Uma consequência para LPC e LPI 95 II Lógica vs. Lambda 8 Fragmento Implicacional Intuicionista 101 8.1 Linguagem para LPI → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.2 Cálculos para LPI → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.2.1 Cálculo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.2.2 Cálculo de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.2.3 Cálculo de Gentzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.3 Semânticas para LPI → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.3.1 〈L LPI→ , ⊢ i N→ 〉 = 〈L LPI→, K 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.3.2 〈L LPI→ , ⊢ i H→ 〉 = 〈L LPI→, K 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.3.3 〈L LPI→ , ⊢ i G→ 〉 = 〈L LPI→, K 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9 Cálculo Lambda sem tipos 107 9.1 Linguagem para λ → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.2 Congruência-α, redução-β e redução-η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.3 Confluência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.4 Normalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 10 Cálculo Lambda com tipos 117 10.1 Linguagem para Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 10.2 Cálculo para λ → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 10.3 Confluência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 10.4 Semântica para λ → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.4.1 〈L λ→ : L Types , ⊢ λ→ 〉 ≤ 〈L λ→ : L Types , λ→ 〉 . . . . . . . . . . . . . . . 123 10.5 Normalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 11 Curry-Howard para LPI → 125 11.0.1 〈L LPI→ , ⊢ i N→ 〉 = 〈L λ→ : L Types , ⊢ λ→ 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.0.2 〈L LPI→ , ⊢ i H→ 〉 = 〈L λ→ : L Types , ⊢ λ→ 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11.0.3 〈L LPI→ , ⊢ i G→ 〉 = 〈L λ→ : L Types , ⊢ λ→ 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 11.1 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 12 Reduções -β e -η nos Cálculos Lógicos 133 12.1 Redução-β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.2 Redução-η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
ÍNDICE iii 12.3 Ou, MTD e MTMP no Cálculo Lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 13 Curry-Howard para LPI 137 13.1 Linguagem para λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 13.2 Cálculo para λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 13.3 〈L LPI , ⊢ i N 〉 = 〈L λ : L Types , ⊢ λ 〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 14 Uma consequência para LPI e LPC 145 Conclusões 149 Anexo A Definição de lógica 157 A.1 Lógica segundo uma relação de consequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 A.2 Lógica segundo um operador de fecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 A.3 Lógica segundo um sistema de fecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 A.4 Lógica enquanto um sistema dedutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Bibliografia 165
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Bibliografia [Barendregt, 1997] Bar
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BIBLIOGRAFIA 167 [van Dalen, 2002]
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