Hugo Cardoso Albuquerque Lógica Proposicional via Lindenbaum ...

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CAPÍTULO 0. PRELIMINARES
Transitividade:
Anti-simetria:
x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z ;
x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y .
Também denotamos x ≤ y por y ≥ x. Denotamos ainda por < a relação estrita induzida
por ≤, i.e., a relação em S definida por
x < y ⇔ x ≤ y e x ≠ y .
Um conjunto munido de uma relação de ordem parcial recebe um nome próprio.
Definição 0.2. Um sistema parcialmente ordenado (s.p.o.) é um par 〈S, ≤〉 tal que ≤ é uma
ordem parcial em S.
Seja 〈S, ≤〉ums.p.o.. Algunselementosem S sãodistinguidosemvirtudedaspropriedades
que gozam face a ≤. Um elemento ⊥ ∈ S diz-se base em S, se ⊥ ≤ x para todo x ∈ S;
analogamente, um elemento ⊤ ∈ S diz-se topo em S, se ⊤ ≥ x para todo x ∈ S. A unicidade
dos elementos topo e base em S segue imediatamente da anti-simetria de ≤.
Seja agora P ⊆ S. Um elemento x ∈ P diz-se maximal em P, se não é menor que nenhum
elemento em P, i.e., se x ≤ y , y ∈ P ⇒ x = y; analogamente, um elemento x ∈ P diz-se
minimal em P, se não é maior que nenhum elemento em P, i.e., se x ≥ y , y ∈ P ⇒ x = y.
Um elemento x ∈ S diz-se majorante de P, se é maior ou igual que todos os elemento em P,
i.e., se x ≥ y para todo y ∈ P; e diz-se minorante de P, se é menor ou igual que todos os
elemento em P, i.e., se x ≤ y para todo y ∈ P. Ao menor majorante de P chamamos supremo
de P; e ao maior minorante de P chamamos ínfimo de P. No caso em que x é supremo de
P e x ∈ P, diz-se máximo de P; no caso em que x é ínfimo de P e x ∈ P, diz-se mínimo de
P. A unicidade dos elementos máximo e mínimo de P segue mais uma vez imediatamente
da anti-simetria de ≤.
Uma ordem (parcial) diz-se total, ou linear, se todos os elementos são comparáveis entre
si, i.e., se para quaisquer x, y, z ∈ S verifica-se adicionalmente a seguinte condição:
Tricotomia:
x ≤ y ou x ≥ y ou x = y .
Finalmente, denotamos por ↑ x o conjunto de todos os elementos em S maiores ou iguais que
x, i.e.,
↑ x = {y ∈ S : y ≥ x} ,
e por ↓ x o conjunto de todos os elementos em S menores ou iguais que x, i.e.,
Assinaturas e Álgebras
↓ x = {y ∈ S : y ≤ x} .
As noções de assinatura e álgebra (livre) serão a base comum à sintaxe e semântica de
todas as entidades que estudaremos neste trabalho.
Definição 0.3. Uma assinatura é um conjunto Σ, cujos elementos se designam por símbolos
de função, tal que a cada elemento f ∈ Σ corresponde um inteiro não negativo, dito aridade
de f. Um símbolo de função de aridade n diz-se um símbolo n-ário.