Lista de exercícios de funções, logaritmos e trigonometria. Questões ...
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<strong>Lista</strong> <strong>de</strong> <strong>exercícios</strong> <strong>de</strong> <strong>funções</strong>,<br />
<strong>logaritmos</strong> e <strong>trigonometria</strong>.<br />
<strong>Questões</strong> UFPR 2003 a 2012 1˚ e 2˚<br />
fase<br />
Professor Carlos (KIKO)<br />
1) (UFPR-2003)Um grupo <strong>de</strong> estudantes<br />
<strong>de</strong>cidiu viajar <strong>de</strong> ônibus para participar <strong>de</strong><br />
um encontro nacional. Ao fazerem uma<br />
pesquisa <strong>de</strong> preços, os estudantes receberam<br />
<strong>de</strong> uma empresa a seguinte proposta, na qual<br />
o preço <strong>de</strong> cada passagem <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> do total<br />
<strong>de</strong> passageiros: cada passageiro pagará R$<br />
90,00 mais o valor <strong>de</strong> R$ 5,00 por lugar que<br />
eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo<br />
que o ônibus tem 52 lugares, é correto<br />
afirmar:<br />
01) Se viajarem 30 passageiros, cada um <strong>de</strong>les<br />
pagará R$ 110,00.<br />
02) Se o total <strong>de</strong> passageiros for x, o preço (em<br />
reais) <strong>de</strong> cada passagem será calculado pela<br />
expressão 90 + 5(52 – x).<br />
04) Se viajarem 40 pessoas, a empresa <strong>de</strong>verá<br />
receber um total <strong>de</strong> R$ 6.000,00, referente ao<br />
pagamento das passagens.<br />
08) Se viajarem x pessoas, o valor total (em<br />
reais) que a empresa <strong>de</strong>verá receber, referente<br />
ao pagamento das passagens, é calculado pela<br />
expressão 300x – 5x 2 .<br />
16) O valor total máximo que a empresa po<strong>de</strong>rá<br />
receber pelo pagamento das passagens ocorrerá<br />
quando o total <strong>de</strong> passageiros for igual a 35.<br />
2) (UFPR-2003 ) O nível sonoro <strong>de</strong> um som<br />
<strong>de</strong> intensida<strong>de</strong> I, medido em <strong>de</strong>cibéis, é<br />
calculado pela fórmula 10 × log0II, on<strong>de</strong> log<br />
representa logaritmo na base 10, e I 0<br />
é um<br />
valor <strong>de</strong> referência que correspon<strong>de</strong><br />
aproximadamente à menor intensida<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
som audível ao ouvido humano. Com base<br />
nessas informações, é correto afirmar:<br />
01) Se um som tem intensida<strong>de</strong> I 0<br />
, então o seu<br />
nível sonoro é igual a zero.<br />
02) Um som <strong>de</strong> 1 <strong>de</strong>cibel tem intensida<strong>de</strong> igual<br />
a 10 × I 0<br />
.<br />
04) Um som <strong>de</strong> 40 <strong>de</strong>cibéis tem intensida<strong>de</strong><br />
igual a 10000 × I 0<br />
.<br />
08) Se um som tem nível sonoro <strong>de</strong> 10 <strong>de</strong>cibéis,<br />
então outro som que é <strong>de</strong>z vezes mais intenso<br />
que aquele tem nível sonoro igual a 100<br />
<strong>de</strong>cibéis.<br />
16) Se três sons têm níveis sonoros <strong>de</strong> 50, 60 e<br />
70 <strong>de</strong>cibéis, e suas intensida<strong>de</strong>s são,<br />
respectivamente, I 1<br />
, I 2<br />
, e I 3<br />
, então esses números<br />
formam, nessa or<strong>de</strong>m, uma progressão<br />
geométrica.<br />
3)(UFPR-2004)Em <strong>de</strong>terminado país, o<br />
imposto <strong>de</strong> renda a ser pago por cada pessoa<br />
é calculado da seguinte forma:<br />
a) o rendimento bruto é <strong>de</strong>composto em<br />
faixas <strong>de</strong> valores;<br />
b) ao valor compreendido em cada uma<br />
<strong>de</strong>ssas faixas é aplicado um percentual;<br />
c) os valores que resultam da aplicação dos<br />
percentuais às diversas faixas <strong>de</strong> valores são<br />
somados;<br />
d) o resultado <strong>de</strong>ssa soma correspon<strong>de</strong> ao<br />
imposto total a ser <strong>de</strong>scontado. As faixas <strong>de</strong><br />
valores são:<br />
1ª) até $1.000,00;<br />
2ª) acima <strong>de</strong> $1.000,00, até $2.000,00;<br />
3ª) acima <strong>de</strong> $2.000,00, até $3.000,00;<br />
4ª) acima <strong>de</strong> $3.000,00.<br />
O gráfico abaixo representa a relação entre o<br />
rendimento bruto, x, e o rendimento líquido,<br />
y, após o <strong>de</strong>sconto doimposto <strong>de</strong> renda.<br />
Com base nessas informações, é correto<br />
afirmar:<br />
01) Não há <strong>de</strong>sconto para rendimentos brutos<br />
inferiores a $1.000,00.<br />
02) O percentual aplicado à segunda faixa é <strong>de</strong><br />
5%.<br />
04) Para um rendimento bruto <strong>de</strong> $1.050,00, o<br />
rendimento líquido<br />
após o <strong>de</strong>sconto do imposto <strong>de</strong> renda é $997,50.<br />
08) Se 2000 < x ≤ 3000, então y = 0,85(x -2000)<br />
+ 1900.<br />
16) Para um rendimento bruto <strong>de</strong> $3.500,00, o<br />
<strong>de</strong>sconto do imposto <strong>de</strong> renda é igual a 10%<br />
<strong>de</strong>sse rendimento.<br />
4)(UFPR-2004) Uma pessoa <strong>de</strong> 2 m <strong>de</strong> altura,<br />
passeando pela cida<strong>de</strong>, caminha em linha<br />
reta em uma rua horizontal, na direção da<br />
portaria <strong>de</strong> um edifício. A pessoa pára para
ver o topo <strong>de</strong>sse edifício, o que a obriga a<br />
olhar para cima num ângulo <strong>de</strong> 30 graus com<br />
a horizontal. Após caminhar 49 m, pára uma<br />
segunda vez para ver o topo do edifício e tem<br />
que olhar para cima num ângulo <strong>de</strong> 45 graus<br />
com a horizontal. Suponha que cada andar<br />
do edifício tenha 3 m <strong>de</strong> altura. Utilize 3 1,7.<br />
Nessa situação, é correto afirmar:<br />
01) O edifício tem menos <strong>de</strong> 30 andares.<br />
02) No momento em que a pessoa pára pela<br />
primeira vez, ela está a 160 m da portaria do<br />
edíficio.<br />
04) Quando a pessoa pára pela segunda vez, a<br />
distância em que ela se encontra da portaria é<br />
igual à altura do edifício.<br />
08) Se, <strong>de</strong>pois da segunda vez em que pára, a<br />
pessoa caminhar mais 35 m em direção à<br />
portaria, para ver o topo do edifício será<br />
necessário erguer os olhos num ângulo maior do<br />
que 60 graus com a horizontal.<br />
5)(UFPR-2005 1˚ fase)Calcule o seno do<br />
maior ângulo <strong>de</strong> um triângulo cujos lados<br />
me<strong>de</strong>m 4, 6 e 8 metros.<br />
a)<br />
b) √<br />
c)<br />
d) √<br />
e) √<br />
6)(UFPR-2005 1˚fase) Consi<strong>de</strong>re as seguintes<br />
afirmativas a respeito da função f: D → R<br />
<strong>de</strong>finida por ( )<br />
I . O ponto x=1 não pertence ao conjunto D.<br />
II. ( )<br />
III. ( ) .<br />
IV. A função inversa <strong>de</strong> ( ) .<br />
Assinale a alternativa correta.<br />
a) Somente as afirmativas I, II e III são<br />
verda<strong>de</strong>iras.<br />
b) Somente as afirmativas I e IV são<br />
verda<strong>de</strong>iras.<br />
c) Somente as afirmativas II e III são<br />
verda<strong>de</strong>iras.<br />
d) Somente as afirmativas I, III e IV são<br />
verda<strong>de</strong>iras.<br />
e) Todas as afirmativas são verda<strong>de</strong>iras.<br />
7)(UFPR 2006 1˚fase) O período da função f:<br />
R → R, <strong>de</strong>finida por f(x)= sen(2x ), é:<br />
a) π<br />
b)π/2<br />
c)π/4<br />
d) 2π<br />
e) 8<br />
8)(UFPR-2006 1˚fase) Dadas as <strong>funções</strong> f :R<br />
→R e g :R →R <strong>de</strong>finidas por f(x) = ax + b e<br />
g(x) = x² , consi<strong>de</strong>re as seguintes afirmativas:<br />
I. (g o f)(1) = (a + b)² .<br />
II. (f o g)(−x) = (f o g)(x) , para qualquer x R.<br />
III. (g o f)(x) = (f o g)(x) , para qualquer x R.<br />
Assinale a alternativa correta.<br />
a) Somente as afirmativas I e II são verda<strong>de</strong>iras.<br />
b) Somente a afirmativa I é verda<strong>de</strong>ira.<br />
c) Somente as afirmativas II e III são<br />
verda<strong>de</strong>iras.<br />
d) Somente as afirmativas I e III são<br />
verda<strong>de</strong>iras.<br />
e) As afirmativas I, II e III são verda<strong>de</strong>iras.<br />
9)(UFPR-2006 1˚ fase) Na figura ao lado está<br />
representado um período completo do gráfico<br />
da função:<br />
` ( )<br />
Para cada ponto B sobre o gráfico <strong>de</strong> f, fica<br />
<strong>de</strong>terminado um triângulo <strong>de</strong> vértices O, A e<br />
B, como na figura ao lado. Qual é a maior<br />
área que um triângulo obtido <strong>de</strong>ssa forma<br />
po<strong>de</strong> ter?<br />
a)3<br />
b)12<br />
c)6<br />
d)8<br />
e)9<br />
10)(UFPR-2006 1˚fase) Uma <strong>de</strong>terminada<br />
substância radioativa <strong>de</strong>sintegra-se com o<br />
tempo, segundo a função ( )<br />
sendo a massa inicial, k uma constante<br />
característica da substância e t o tempo dado<br />
em anos. Sabendo que a quantida<strong>de</strong> inicial <strong>de</strong><br />
100 g <strong>de</strong>ssa substância radioativa diminui<br />
para 50 g em 28 anos, calcule quanto tempo<br />
será necessário para que 100 g <strong>de</strong>ssa
substância se reduzam a 25 g. (Consi<strong>de</strong>re<br />
2 = 0,7 )<br />
a) 64 anos<br />
b) 48 anos<br />
c) 72 anos<br />
d) 42 anos<br />
e) 56 anos<br />
11)(UFPR-2006 1˚ fase)O tanque <strong>de</strong><br />
combustível <strong>de</strong> um posto <strong>de</strong> gasolina possui o<br />
formato <strong>de</strong> um cilindro circular reto e está<br />
instalado <strong>de</strong> modo que as bases estão na<br />
vertical. Para saber o volume <strong>de</strong> combustível<br />
presente no tanque, o funcionário utiliza uma<br />
régua graduada e só necessita observar a<br />
altura alcançada pelo combustível <strong>de</strong>ntro do<br />
tanque. Essa régua foi confeccionada com<br />
base no estudo da função que relaciona o<br />
volume v com a altura h, <strong>de</strong>s<strong>de</strong> zero até a<br />
altura total T. Qual dos gráficos abaixo mais<br />
se aproxima do gráfico <strong>de</strong>ssa função?<br />
a) b) c) d) e)<br />
12)(UFPR-2006 2˚fase) Uma empresa possui<br />
uma máquina que fabrica discos <strong>de</strong> metal a<br />
partir da especificação do raio r. O controle<br />
<strong>de</strong> qualida<strong>de</strong> <strong>de</strong>ssa empresa <strong>de</strong>tectou que<br />
essa máquina está produzindo discos <strong>de</strong> raio<br />
maior que o especificado, ocasionando um<br />
<strong>de</strong>sperdício <strong>de</strong> material acima do esperado.<br />
Para quantificar o erro E cometido na<br />
fabricação <strong>de</strong> um disco <strong>de</strong> raio r+x, o<br />
controle <strong>de</strong> qualida<strong>de</strong> utiliza a seguinte<br />
expressão:<br />
E = A (r+x ) − A (r)<br />
sendo A (r) a área do disco <strong>de</strong> raio r e<br />
A(r+x) a área do disco <strong>de</strong> raio r + x , com x ><br />
0<br />
Fixando r = 10 cm, resolva os itens abaixo.<br />
a) Qual é o erro E cometido na fabricação <strong>de</strong><br />
um disco <strong>de</strong> raio 10,5 cm?<br />
b) O controle <strong>de</strong> qualida<strong>de</strong> <strong>de</strong>ssa empresa<br />
estipulou que o erro máximo aceitável na<br />
fabricação <strong>de</strong>sses discos é <strong>de</strong> 1% do valor da<br />
área A(r). Para aten<strong>de</strong>r essa exigência, qual é<br />
o valor máximo permitido para x?<br />
A<br />
13)(UFPR-2006 1˚fase) O lucro diário L é a<br />
receita gerada R menos o custo <strong>de</strong> produção<br />
C. Suponha que, em certa fábrica, a receita<br />
gerada e o custo <strong>de</strong> produção sejam dados,<br />
em reais, pelas <strong>funções</strong> R(x) = 60x–x² e<br />
C(x) = 10(x+40), sendo x o número <strong>de</strong> itens<br />
produzidos no dia. Sabendo que a fábrica<br />
tem capacida<strong>de</strong> <strong>de</strong> produzir até 50 itens por<br />
dia, consi<strong>de</strong>re as seguintes afirmativas:<br />
I. O número mínimo <strong>de</strong> itens x que <strong>de</strong>vem ser<br />
produzidos por dia, para que a fábrica não<br />
tenha prejuízo, é 10.<br />
II. A função lucro L(x) é crescente no<br />
intervalo [0, 25].<br />
III. Para que a fábrica tenha o maior lucro<br />
possível, <strong>de</strong>ve produzir 30 itens por dia.<br />
IV. Se a fábrica produzir 50 itens num único<br />
dia, terá prejuízo.<br />
Assinale a alternativa correta.<br />
a) Somente as afirmativas II e IV são<br />
verda<strong>de</strong>iras.<br />
b) Somente as afirmativas I e II são verda<strong>de</strong>iras.<br />
c) Somente as afirmativas I, II e IV são<br />
verda<strong>de</strong>iras.<br />
d) Somente as afirmativas II e III são<br />
verda<strong>de</strong>iras.<br />
e) Somente as afirmativas I, III e IV são<br />
verda<strong>de</strong>iras.<br />
14)(UFPR-2007 1˚ fase) Abaixo estão<br />
representados os gráficos das <strong>funções</strong> f e g.<br />
Sobre esses gráficos, consi<strong>de</strong>re as seguintes<br />
afirmativas:<br />
1. A equação f(x).g(x) = 0 possui quatro<br />
soluções no intervalo fechado [-10, 10] .<br />
2. A função y = f(x).g(x) assume apenas<br />
valores positivos no intervalo aberto (0, 3) .<br />
3. f(g(0)) = g(f(0)).<br />
4. No intervalo fechado [3, 10], a função f é<br />
<strong>de</strong>crescente e a função g é crescente.<br />
Assinale a alternativa correta.<br />
a) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são<br />
verda<strong>de</strong>iras.
) Somente as afirmativas 3 e 4 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são<br />
verda<strong>de</strong>iras.<br />
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
e) Somente as afirmativas 1 e 2 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
15)(UFPR-2007 1˚fase) Consi<strong>de</strong>re a função f<br />
<strong>de</strong>finida no conjunto dos números naturais<br />
pela expressão f(n + 2) = f(n) + 3, com n IN, e<br />
pelos dados f(0) = 10 e f(1) = 5. É correto<br />
afirmar que os valores <strong>de</strong> f(20) e f(41) são,<br />
respectivamente:<br />
a) 21 e 65.<br />
b) 40 e 56.<br />
c) 40 e 65.<br />
d) 21 e 42.<br />
e) 23 e 44.<br />
16)(UFPR-2007 1˚fase) Um medicamento é<br />
administrado continuamente a um paciente, e<br />
a concentração <strong>de</strong>sse medicamento em mg/ml<br />
<strong>de</strong> sangue aumenta progressivamente,<br />
aproximando-se <strong>de</strong> um número fixo S,<br />
chamado nível <strong>de</strong> saturação. A quantida<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>sse medicamento na corrente sangüínea é<br />
dada pela fórmula q(t) = S.[1- 0,2 t ], sendo t<br />
dado em horas.<br />
Com base nessas informações, consi<strong>de</strong>re as<br />
afirmativas a seguir:<br />
1. Se q(t 0 ) = S / 2 , então t 0 = log2<br />
2. Se t > 4 , então q(t) > 0,99.S<br />
3. q(1) = 8.S/10<br />
Assinale a alternativa correta.<br />
a) As afirmativas 1, 2 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
b) Somente as afirmativas 2 e 3 são verda<strong>de</strong>iras<br />
c) Somente a afirmativa 2 é verda<strong>de</strong>ira.<br />
d) Somente a afirmativa 3 é verda<strong>de</strong>ira.<br />
e) Somente as afirmativas 1 e 2 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
17)(UFPR-2007 2˚fase) Um <strong>de</strong>terminado tipo<br />
<strong>de</strong> canhão para artilharia antiaérea dispara<br />
projéteis que <strong>de</strong>screvem uma trajetória<br />
parabólica. Após vários disparos, um grupo<br />
<strong>de</strong> engenheiros militares constatou que,<br />
<strong>de</strong>sprezando-se a resistência do ar, os<br />
projéteis lançados a partir do solo <strong>de</strong>screvem<br />
uma parábola <strong>de</strong> equação<br />
sendo x e y dados em metros e k um fator<br />
positivo relacionado à inclinação que po<strong>de</strong><br />
ser ajustado diretamente no canhão.<br />
18)(UFPR-2007 2˚fase)Em um experimento<br />
feito em laboratório, um pesquisador colocou<br />
numa mesma lâmina dois tipos <strong>de</strong> bactérias,<br />
sabendo que as bactérias do tipo I são<br />
predadoras das bactérias do tipo II. Após<br />
acompanhar o experimento por alguns<br />
minutos, o pesquisador concluiu que o<br />
número <strong>de</strong> bactérias tipo I era dado pela<br />
função f(t)= 2.3 t+1 e que o número <strong>de</strong><br />
bactérias do tipo II era dado pela função ,<br />
g(t) 3.2 4-2t ambas em função do número t <strong>de</strong><br />
horas.<br />
a) Qual era o número <strong>de</strong> bactérias, <strong>de</strong> cada um<br />
dos tipos, no instante inicial do experimento?<br />
b) Esboce, no plano cartesiano ao lado, o<br />
gráfico das <strong>funções</strong> f e g apresentadas acima.<br />
c) Após quantos minutos a lâmina terá o mesmo<br />
número <strong>de</strong> bactérias do tipo I e II?<br />
(Use log2 = 0,30 e log3 = 0,47 )<br />
19)(UFPR-2007 2˚fase) O retângulo ao lado<br />
está inscrito em uma circunferência <strong>de</strong> raio<br />
r=1, com os lados paralelos aos eixos<br />
coor<strong>de</strong>nados.<br />
a) Que valor se <strong>de</strong>ve atribuir a k para que um<br />
projétil lançado por esse canhão atinja o solo a<br />
exatamente 400 m do ponto <strong>de</strong> disparo?<br />
b) Qual é o menor valor que se <strong>de</strong>ve atribuir a k<br />
para que um projétil lançado por esse canhão<br />
atinja a altura <strong>de</strong> 1000 m?
e) Somente a afirmativa 2 é verda<strong>de</strong>ira.<br />
21) (UFPR-2008 1˚fase) Na figura ao abaixo,<br />
os pontos A e P pertencem à circunferência<br />
<strong>de</strong> centro na origem e raio 1, o ponto R<br />
pertence ao eixo das abscissas e o ângulo t,<br />
em radianos, po<strong>de</strong> variar no intervalo (0, ) ,<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ndo da posição ocupada por P.<br />
a) Encontre a área e o perímetro do retângulo<br />
em função do ângulo α (0≤ α ≤ ).<br />
b) Determine α para que a área do retângulo seja<br />
máxima.<br />
c) Determine α para que o perímetro do<br />
retângulo seja máximo.<br />
20)(UFPR-2008 1˚fase) Alguns processos <strong>de</strong><br />
produção permitem obter mais <strong>de</strong> um<br />
produto a partir dos mesmos recursos, por<br />
exemplo, a variação da quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> níquel<br />
no processo <strong>de</strong> produção do aço fornece ligas<br />
com diferentes graus <strong>de</strong> resistência. Uma<br />
companhia si<strong>de</strong>rúrgica po<strong>de</strong> produzir, por<br />
dia, x toneladas do aço tipo Xis e y toneladas<br />
do aço tipo Ypsilon utilizando o mesmo<br />
processo <strong>de</strong> produção. A equação<br />
,chamada <strong>de</strong> curva <strong>de</strong><br />
transformação <strong>de</strong> produto, estabelece a<br />
relação <strong>de</strong> <strong>de</strong>pendência entre essas duas<br />
quantida<strong>de</strong>s. Obviamente <strong>de</strong>ve-se supor x ≥ 0<br />
e y ≥ 0 . Com base nessas informações,<br />
consi<strong>de</strong>re as seguintes afirmativas:<br />
1. É possível produzir até 20 toneladas do aço<br />
tipo Xis por dia.<br />
2. A produção máxima <strong>de</strong> aço tipo Ypsilon,<br />
por dia, é <strong>de</strong> apenas 2 toneladas.<br />
3. Num único dia é possível produzir 500 kg<br />
<strong>de</strong> aço tipo Ypsilon e ainda restam recursos<br />
para produzir mais <strong>de</strong> 12<br />
toneladas do aço tipo Xis.<br />
Assinale a alternativa correta.<br />
a) Somente as afirmativas 1 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
d) Somente a afirmativa 1 é verda<strong>de</strong>ira.<br />
Com base nessas informações, consi<strong>de</strong>re as<br />
afirmativas a seguir:<br />
1. O comprimento do segmento AP é 2cos t.<br />
2. A área do triângulo OAP, em função do<br />
ângulo t, é dado por f(t) = ½ sen t.<br />
3. A área do triângulo ORP, em função do<br />
ângulo t, é dado por g(t) = ¼ sen(2t).<br />
Assinale a alternativa correta.<br />
a) Somente a afirmativa 3 é verda<strong>de</strong>ira.<br />
b) Somente a afirmativa 2 é verda<strong>de</strong>ira.<br />
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
e)Somente as afirmativas 1 e 2 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
22)(UFPR-2008 1˚fase) Um método para se<br />
estimar a or<strong>de</strong>m <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>za <strong>de</strong> um número<br />
positivo N é usar uma pequena variação do<br />
conceito<strong>de</strong> notação científica. O método<br />
consiste em <strong>de</strong>terminar o valor x que satisfaz<br />
a equação = N e usar<br />
proprieda<strong>de</strong>s dos <strong>logaritmos</strong> para saber o<br />
número <strong>de</strong> casas <strong>de</strong>cimais <strong>de</strong>sse número.<br />
Dados log2 = 0,30 e log3 = 0,47, use esse<br />
método para <strong>de</strong>cidir qual dos números<br />
abaixo mais se aproxima <strong>de</strong> N = .<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
e)<br />
23)(UFPR-2008 2˚fase) O teste <strong>de</strong> alcoolemia<br />
informa a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> álcool no sangue<br />
levando em conta fatores como a quantida<strong>de</strong><br />
e o tipo <strong>de</strong> bebida ingerida. O Código <strong>de</strong><br />
Trânsito Brasileiro <strong>de</strong>termina que o limite<br />
tolerável <strong>de</strong> álcool no sangue, para uma
pessoa dirigir um automóvel, é <strong>de</strong> até 0,6 g/L.<br />
Suponha que um teste <strong>de</strong> alcoolemia acusou a<br />
presença <strong>de</strong> 1,8 g/L <strong>de</strong> álcool no sangue <strong>de</strong><br />
um indivíduo. A partir do momento em que<br />
ele pára <strong>de</strong> beber, a quantida<strong>de</strong>, em g/L, <strong>de</strong><br />
álcool no seu sangue <strong>de</strong>cresce segundo a<br />
função ( ) sendo o tempo t<br />
medidos em horas.<br />
a) Quando t = 2, qual é a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> álcool<br />
no sangue <strong>de</strong>sse indivíduo?<br />
b) Quantas horas após esse indivíduo parar <strong>de</strong><br />
beber a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> álcool no seu sangue<br />
atingirá o limite tolerável para ele po<strong>de</strong>r dirigir?<br />
(Use log2 = 0,30 e log3 = 0,47 )<br />
a) Se o retângulo tiver a medida da altura igual a<br />
um terço da medida da base, qual é a sua área?<br />
24)Consi<strong>de</strong>re x,y [ ] tais que e<br />
.<br />
b) Se a medida da base do retângulo inscrito for<br />
x, obtenha uma expressão da área do retângulo<br />
em função <strong>de</strong> x.<br />
a) Calcule os valores <strong>de</strong> cos x e cos y.<br />
c) Calcule a maior área possível <strong>de</strong>sses<br />
retângulos inscritos.<br />
b) Calcule os valores <strong>de</strong> sen(x + y) e cos(x − y) .<br />
25)(UFPR-2008 2˚fase) Consi<strong>de</strong>re as <strong>funções</strong><br />
reais<br />
f(x) = 2 + √ e g(x) = (x² − x + 6).(2x – x²):<br />
a) Calcule (f o g)(0) e (g o f )(1) .<br />
27)(UFPR-2009 1˚fase) A estrutura <strong>de</strong> um<br />
telhado tem a forma <strong>de</strong> um prisma triangular<br />
reto, conforme o esquema ao lado. Sabendo<br />
que são necessárias 20 telhas por metro<br />
quadrado para cobrir esse telhado, assinale a<br />
alternativa que mais se aproxima da<br />
quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> telhas necessárias para<br />
construí-lo. Consi<strong>de</strong>re √<br />
b) Encontre o domínio da função (f o g)(x) .<br />
26)(UFPR-2008 2˚fase) Num triângulo ABC<br />
com 18 cm <strong>de</strong> base e 12 cm <strong>de</strong> altura, é<br />
inscrito um retângulo com a sua base sobre o<br />
lado AB, conforme a figura ao lado.<br />
a) 4080<br />
b) 5712<br />
c) 4896<br />
d) 3670<br />
e) 2856
28)(UFPR-2009 1˚fase)Em estudos realizados<br />
numa área <strong>de</strong> proteção ambiental, biólogos<br />
constataram que o número N <strong>de</strong> indivíduos<br />
<strong>de</strong> certa espécie primata está crescendo em<br />
função do tempo t (dado em anos), segundo a<br />
expressão N(t)=<br />
Supondo que o<br />
instante t = 0 corresponda ao início <strong>de</strong>sse<br />
estudo e que essa expressão continue sendo<br />
válida com o passar dos anos, consi<strong>de</strong>re as<br />
seguintes afirmativas:<br />
1. O número <strong>de</strong> primatas <strong>de</strong>ssa espécie<br />
presentes na reserva no início do estudo era<br />
<strong>de</strong> 75 indivíduos.<br />
2. Vinte anos após o início <strong>de</strong>sse estudo, o<br />
número <strong>de</strong> primatas <strong>de</strong>ssa espécie será<br />
superior a 110 indivíduos.<br />
3. A população <strong>de</strong>ssa espécie nunca<br />
ultrapassará 120 indivíduos.<br />
Assinale a alternativa correta.<br />
a) Somente a afirmativa 1 é verda<strong>de</strong>ira.<br />
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
29)(UFPR-2009 2˚fase) Para atrair novos<br />
clientes, um supermercado <strong>de</strong>cidiu fazer uma<br />
promoção reduzindo o preço do leite. O<br />
gerente <strong>de</strong>sse estabelecimento estima que,<br />
para cada R$ 0,01 <strong>de</strong> <strong>de</strong>sconto no preço do<br />
litro, será possível ven<strong>de</strong>r 25 litros <strong>de</strong> leite a<br />
mais que em um dia sem promoção. Sabendo<br />
que, em um dia sem promoção, esse<br />
supermercado ven<strong>de</strong> 2600 litros <strong>de</strong> leite ao<br />
preço <strong>de</strong> R$ 1,60 por litro:<br />
a) qual é o valor arrecadado por esse<br />
supermercado com a venda <strong>de</strong> leite em um dia<br />
sem promoção?<br />
atinge certo nível previamente estabelecido.<br />
Sabe-se que a quantida<strong>de</strong> Q(t) <strong>de</strong> poluentes<br />
no ar <strong>de</strong>ssa fábrica, <strong>de</strong>pois <strong>de</strong> ligado o<br />
sistema <strong>de</strong> filtragem, é dada em função do<br />
tempo pela expressão:<br />
( ) sendo a quantida<strong>de</strong><br />
Q(t) medida e partícula por litro <strong>de</strong> ar e o<br />
tempo t eminutos.<br />
a) Qual a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> poluentes existente no<br />
ar no instante inicial t=0 em que o sistema <strong>de</strong><br />
filtragem foi acionado? E quinze minutos <strong>de</strong>pois<br />
da filtragem ter sido iniciada?<br />
b)Esse sistema <strong>de</strong> filtragem está programado<br />
para <strong>de</strong>sligar automaticamente no momento em<br />
que a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> poluentes no ar atingir 12<br />
partículas por litro <strong>de</strong> ar. Quantas horas esse<br />
sistema <strong>de</strong> filtragem precisa funcionar até<br />
atingir o ponto <strong>de</strong> <strong>de</strong>sligamento automático?<br />
c) Encontre constantes a, b e c tais que ( )<br />
, examinando essa expressão, justifique<br />
a seguinte afirmação: “o sistema <strong>de</strong> filtragem<br />
<strong>de</strong>ssa fábrica não é capaz <strong>de</strong> reduzir a<br />
quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> poluentes no ar para valores<br />
abaixo <strong>de</strong> 10 partículas por litro <strong>de</strong> ar.<br />
b) qual será o valor arrecadado por esse<br />
supermercado com a venda <strong>de</strong> leite em um dia,<br />
se cada litro for vendido por R$ 1,40?<br />
31)(UFPR-2009 2˚fase) O gráfico ao lado<br />
correspon<strong>de</strong> a uma função exponencial da<br />
forma ( ) , sendo a e b constantes e<br />
c) qual é o preço do litro <strong>de</strong> leite que fornece a<br />
esse supermercado o maior valor arrecadado<br />
possível? De quanto é esse valor arrecadado?<br />
30)(UFPR-2009 2˚fase)Uma fábrica <strong>de</strong><br />
produtos químicos possui um sistema <strong>de</strong><br />
filtragem do ar que é ligado automaticamente<br />
toda vez que a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> poluentes no ar
a)Calcule os valores a e b da expressão<strong>de</strong> f(x)<br />
que correspon<strong>de</strong>m a este gráfico<br />
b) Costuma-se assumir que a velocida<strong>de</strong> do som<br />
é <strong>de</strong> 340 m/s (metros por segundo). Isso ocorre<br />
a que temperatura?<br />
b) Calcule o valor <strong>de</strong> x para o qual se tem f(x) =<br />
1.<br />
c) Dado k> 0qualquer, mostre que o ponto<br />
( ) satisfaz a equação f(x)=k.<br />
34)(UFPR-2010 2˚fase)Suponha que o tempo<br />
t (em minutos) necessário para ferver água<br />
em um forno <strong>de</strong> micro-ondas seja dado pela<br />
função t(n) = a.<br />
sendo a e b constantes e n o número <strong>de</strong> copos<br />
<strong>de</strong> água que se <strong>de</strong>seja aquecer.<br />
32)(UFPR-2010 1˚fase) Suponha que o<br />
horário do pôr do sol na cida<strong>de</strong> <strong>de</strong> Curitiba,<br />
durante o ano <strong>de</strong> 2009, possa ser <strong>de</strong>scrito pela<br />
função f(t) = 18,8 − 1,3 sem( )<br />
sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1o<br />
<strong>de</strong> janeiro. Com base nessas informações,<br />
consi<strong>de</strong>re as seguintes afirmativas:<br />
1. O período da função acima é 2π .<br />
2. Foi no mês <strong>de</strong> abril o dia em que o pôr do<br />
sol ocorreu mais cedo.<br />
3. O horário em que o pôr do sol ocorreu<br />
mais cedo foi 17h30.<br />
Assinale a alternativa correta.<br />
a) Somente a afirmativa 3 é verda<strong>de</strong>ira.<br />
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verda<strong>de</strong>iras.<br />
33)(UFPR-2010 2˚fase) Sabe-se que a<br />
velocida<strong>de</strong> do som no ar <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> da<br />
temperatura. Uma equação que relaciona<br />
essa velocida<strong>de</strong> v (em<br />
metros por segundo) com a temperatura t<br />
(em graus Celsius) <strong>de</strong> maneira aproximada é<br />
v = 20 √ . Com base<br />
nessas informações, responda às seguintes<br />
perguntas:<br />
a) Qual é a velocida<strong>de</strong> do som à temperatura <strong>de</strong><br />
27 ˚ C? (Sugestão: use √ = 1,73)<br />
a) Com base nos dados da tabela ao lado,<br />
<strong>de</strong>termine os valores <strong>de</strong> a e b.<br />
Sugestão: use log2 = 0,30 e log3 = 0, 45.<br />
b) Qual é o tempo necessário para se ferverem 4<br />
copos <strong>de</strong> água nesse forno <strong>de</strong> micro-ondas?<br />
35)(UFPR-2010 2 ˚fase) Uma calha será<br />
construída a partir <strong>de</strong> folhas metálicas em<br />
formato retangular, cada uma medindo 1 m<br />
por 40 cm. Fazendo-se duas dobras <strong>de</strong><br />
largura x, paralelas ao lado maior <strong>de</strong> uma<br />
<strong>de</strong>ssas folhas, obtém-se três faces <strong>de</strong> um bloco<br />
retangular, como mostra a figura da direita.
a) Obtenha uma expressão para o volume <strong>de</strong>sse<br />
bloco retangular em termos <strong>de</strong> x.<br />
b) Para qual valor <strong>de</strong> x o volume <strong>de</strong>sse bloco<br />
retangular será máximo?<br />
36)(UFPR-2010 2˚fase) Consi<strong>de</strong>re a função f<br />
<strong>de</strong>finida pela expressão<br />
38)(UFPR-2011 1˚fase) Um importante<br />
estudo a respeito <strong>de</strong> como se processa o<br />
esquecimento foi <strong>de</strong>senvolvido pelo alemão<br />
Hermann Ebbinghaus no final do século XIX.<br />
Utilizando métodos experimentais,<br />
Ebbinghaus <strong>de</strong>terminou que, <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong><br />
certas condições, o percentual P do<br />
conhecimento adquirido que uma pessoa<br />
retém após t semanas po<strong>de</strong> ser aproximado<br />
pela fórmula ( ) , sendo<br />
que a e b variam <strong>de</strong> uma pessoa para outra.<br />
Se essa fórmula é válida para um certo<br />
estudante, com a = 20 e b = 0,5 , o tempo<br />
necessário para que o percentual se reduza a<br />
28% será:<br />
a) entre uma e duas semanas.<br />
b) entre duas e três semanas.<br />
c) entre três e quatro semanas.<br />
d) entre quatro e cinco semanas.<br />
e) entre cinco e seis semanas.<br />
39)(UFPR-2011 1˚fase) O gráfico ao lado<br />
representa a velocida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um veículo<br />
durante um passeio <strong>de</strong> três horas, iniciado<br />
às 13h00. De acordo com o gráfico, o<br />
percentual <strong>de</strong> tempo nesse passeio em que o<br />
veículo esteve a uma velocida<strong>de</strong> igual ou<br />
superior a 50 quilômetros por hora foi <strong>de</strong>:<br />
a)Calcule f(0) e f(π/4) .<br />
b) Para quais valores <strong>de</strong> x se tem f(x) = 0?<br />
37) (UFPR-2010 2˚fase)Uma parábola é o<br />
gráfico <strong>de</strong> uma função da forma y = ax²+ bx<br />
+ c, com a ≠ 0.<br />
a) Encontre a função cujo gráfico é a parábola<br />
que contém os pontos P = (–1,2), Q = (1,2) e<br />
R = (2,5).<br />
Sugestão: utilize os pontos dados para construir<br />
um sistema linear.<br />
b) Existe uma parábola que contém os pontos<br />
P = (–1, –1), Q = (1,3) e R = (2,5)? Justifique.<br />
a) 20%.<br />
b) 25%.<br />
c) 30%.<br />
d) 45%.<br />
e) 50%.<br />
40)(UFPR-2011 2 ˚fase) 100 litros <strong>de</strong> uma<br />
solução contêm inicialmente 75% <strong>de</strong> álcool e<br />
25% <strong>de</strong> água. Indiquemos por f(x) a<br />
concentração <strong>de</strong> água nessa solução após x<br />
litros da água serem removidos, isto é,<br />
( )<br />
a)Qual o valor <strong>de</strong> f(0)?<br />
á çã á<br />
çã<br />
á
) Obtenha a expressão <strong>de</strong> f(x) em termos <strong>de</strong> x.<br />
41)(UFPR-2011 2˚fase) Suponha que a<br />
expressão P = 100 + 20 sen(2 t) <strong>de</strong>screve <strong>de</strong><br />
maneira aproximada a pressão sanguínea P,<br />
em milímetros <strong>de</strong> mercúrio, <strong>de</strong> uma certa<br />
pessoa durante um teste. Nessa expressão, t<br />
representa o tempo em segundos. A pressão<br />
oscila entre 20 milímetros <strong>de</strong> mercúrio acima<br />
e abaixo dos 100 milímetros <strong>de</strong> mercúrio,<br />
indicando que a pressão sanguínea da pessoa<br />
é 120 por 80. Como essa função tem um<br />
período <strong>de</strong> 1 segundo, o coração da pessoa<br />
bate 60 vezes por minuto durante o teste.<br />
a) Dê o valor da pressão sanguínea <strong>de</strong>ssa<br />
pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s.<br />
Sendo assim, calcule o ponto em que os raios<br />
<strong>de</strong> luz verticais refletidos em (1,1) e (2,4) se<br />
encontrarão.<br />
b) Em que momento, durante o primeiro<br />
segundo, a pressão sanguínea atingiu seu<br />
mínimo?<br />
42)(UFPR-2011 2˚fase) Alguns telescópios<br />
usam espelhos parabólicos, pois essa forma<br />
geométrica reflete a luz que entra para um<br />
único ponto, chamado foco. O gráfico <strong>de</strong> y =<br />
x², por exemplo, tem a forma <strong>de</strong> uma<br />
parábola. A luz que vem verticalmente, <strong>de</strong><br />
cima para baixo (paralelamente ao eixo y),<br />
encontra a parábola e é refletida segundo a<br />
lei <strong>de</strong> que o ângulo <strong>de</strong> incidência é igual ao<br />
ângulo <strong>de</strong> reflexão. Essa lei implica que os<br />
raios <strong>de</strong> luz verticais, encontrando a parábola<br />
no ponto (a,a2), serão refletidos na direção da<br />
reta<br />
( )<br />
43)(UFPR-2012 1˚fase) Para se calcular a<br />
intensida<strong>de</strong> luminosa L, medida em lumens, a<br />
uma profundida<strong>de</strong> <strong>de</strong> x centímetros num<br />
<strong>de</strong>terminado lago, utiliza-se a lei <strong>de</strong> Beer-<br />
Lambert, dada pela seguinte fórmula:<br />
log(<br />
)= -0,08x<br />
Qual a intensida<strong>de</strong> luminosa L a uma<br />
profundida<strong>de</strong> <strong>de</strong> 12,5 cm?<br />
a) 150 lumens.<br />
b) 15 lumens.<br />
c) 10 lumens.<br />
d) 1,5 lumens.<br />
e) 1 lúmen.<br />
Gabarito<br />
1-22<br />
2-21<br />
3-25<br />
4-09<br />
5-b<br />
6-a<br />
7-a<br />
8-a
9-b<br />
10-e<br />
11-a<br />
12-a)10,25<br />
b) O valor máximo é x = √ – 10 ou x ≅<br />
0,05 cm<br />
13-c<br />
14-e<br />
15-c<br />
16-b<br />
17-a)O projétil <strong>de</strong>ve atingir o solo (or<strong>de</strong>nada<br />
y=0) a 400 metros do ponto <strong>de</strong> lançamento<br />
(abscissa x = 400), portanto, <strong>de</strong>ve-se<br />
<strong>de</strong>terminar k <strong>de</strong> modo que 400 seja raiz da<br />
equação 16k²x-kx²=0. Assim, 400k(16k -<br />
400)= 0<br />
0 =16k (400) k(400)<br />
Como 0 k > 0, o produto acima é nulo apenas<br />
quando 16k - 400 = 0, o que fornece<br />
K=25<br />
b) Como o projétil <strong>de</strong>screve um movimento<br />
parabólico, a altura máxima H será atingida<br />
no vértice da parábola, o qual possui<br />
or<strong>de</strong>nada<br />
, então<br />
t ≅ 0,84 horas , ou seja, após 50,4 minutos<br />
19-a) Como o retângulo está em um círculo<br />
<strong>de</strong> raio 1 e seus lados são paralelos aos eixos<br />
coor<strong>de</strong>nados, segue das <strong>de</strong>finições <strong>de</strong> seno e<br />
cosseno do ângulo α que a base b do<br />
retângulo é 2 cosα e a altura h 2 senα é .<br />
Logo:<br />
A área A é dada por:<br />
A = b.h = (2 cos α).( 2 sen α) = 4.(cosα).(sen α)<br />
= 2.sen (2α).<br />
O perímetro P é dado por:<br />
P = 2 b + 2 h = 4 (cos α + sen α).<br />
b) No intervalo [0,π/ 2] a função sen(2α)<br />
atinge seu máximo quando sen(2α) = 1, ou<br />
seja, quando α = π /4. Logo o máximo da<br />
função<br />
A = 2sen(2α) ocorre em α = π /4.<br />
c)<br />
18-a) O instante inicial ocorre quando t = 0,<br />
assim o número <strong>de</strong> bactérias é:<br />
Tipo I: ( ) = 6.<br />
Tipo II ( ) = 48.<br />
b)<br />
c)<br />
20-c<br />
21-c<br />
22-b<br />
23-a) Basta substituir t = 2 na função dada<br />
obtendo o valor <strong>de</strong> 0,9 g/L <strong>de</strong> álcool no<br />
sangue.<br />
( )<br />
b) Basta <strong>de</strong>terminar o valor t1 para o qual<br />
Q(t1) = 0,6; pois Q é uma função exponencial<br />
com expoente negativo e tempos maiores que<br />
t1 implicarão uma quantida<strong>de</strong> menor <strong>de</strong><br />
álcool no sangue do indivíduo. Sendo assim<br />
( )<br />
( ) ( )<br />
E portanto a lâmina terá o mesmo número <strong>de</strong><br />
bactérias <strong>de</strong> ambos os tipo após t =
24) a) Como x e y correspon<strong>de</strong>m a ângulos<br />
agudos, uma forma válida <strong>de</strong> resolver a<br />
questão é construir um triângulo retângulo<br />
<strong>de</strong> lados 3, 4 e 5 e usar as expressões do seno<br />
e cosseno como quociente entre catetos e<br />
hipotenusa para<br />
obter os valores.<br />
Outra forma <strong>de</strong> resolver esta questão é<br />
utilizar a relação trigonométrica sen²a + cos²<br />
a = 1 para obter os valores<br />
cos x = ± e . cos y = ± Como , x, y<br />
[ 0, ,<br />
∈ <strong>de</strong>ve-se concluir que os cossenos<br />
procurados são os valores<br />
positivos.<br />
b) Aqui basta utilizar as fórmulas da soma e<br />
diferença <strong>de</strong> arcos e os valores calculados<br />
anteriormente para obter:<br />
( )<br />
( )<br />
Logo h=4, e a área do retângulo A= 12.4=<br />
48cm².<br />
b) Denotando por h a altura do triângulo<br />
CDE segue por semelhança <strong>de</strong> triângulos,<br />
que<br />
Logo a altura do retângulo será<br />
12 − e a área do retângulo, em função<br />
<strong>de</strong> x, será A(x) = base × altura, ou seja,<br />
25)a) Como g(0) = 0, f(1) = 3 e g(3) = −36<br />
então<br />
c)Basta encontrar o ponto <strong>de</strong> máximo da<br />
função quadrática A(x), o qual ocorre no<br />
vértice, com x = 9, e<br />
b) Para que seja possível calcular o valor da<br />
função<br />
em um ponto x, é necessário garantir que o<br />
valor <strong>de</strong>ntro da raiz quadrada seja um<br />
número maior ou igual a zero, ou seja,<br />
Logo o domínio da função pertence ao<br />
intervalo fechado [0,2]<br />
26) a) Usando semelhança <strong>de</strong> triângulos<br />
27 – a<br />
28 - c<br />
29-a)Multiplicar a quantida<strong>de</strong> <strong>de</strong> litros <strong>de</strong><br />
leite vendida pelo preço <strong>de</strong> cada litro, ou seja,<br />
2600 × R$ 1,60 = R$ 4160,00.<br />
b) Observar que quando é dado um <strong>de</strong>sconto <strong>de</strong> R$<br />
0,20, será possível ven<strong>de</strong>r 20 × 25 = 500 litros <strong>de</strong><br />
leite a mais que em um dia sem promoção. Neste<br />
caso, será possível ven<strong>de</strong>r 2600 + 500 = 3100 litros a<br />
R$ 1,40, e o valor arrecadado será <strong>de</strong> 3100 × R$ 1,40<br />
= R$ 4340,00<br />
c) O valor arrecadado V(x) é função do<br />
<strong>de</strong>sconto x dado por sendo o valor do<br />
<strong>de</strong>sconto<br />
dado em reais e<br />
V(x)=(1,60-x).(2600+25.100x) =<br />
2500x²+1400x+4160.<br />
Como V é uma função quadrática com<br />
coeficiente negativo no termo <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m 2,<br />
então o valor máximo <strong>de</strong> V(x) é atingido no<br />
vértice da parábola correspon<strong>de</strong>nte, ou seja,
em<br />
V(0,28)= 4356,00<br />
30)a)No instante t=0 tem –se Q(0)=50<br />
partículas por litro <strong>de</strong> e após 15 minutos tem<br />
se Q(15)=30 partículas por litro <strong>de</strong> ar.<br />
b) O objetivo é encontrar o valor t para o<br />
qual se tem Q(t) = 12, ou seja, resolver a<br />
equação<br />
t = 289 − 273 = 16˚C.<br />
34-a) fazendo t(1,5) teremos a=1,<br />
Logo ( )<br />
Também se sabe que<br />
t(2) = 2, <strong>de</strong> on<strong>de</strong> se conclui que 2 = 1,5⋅ .<br />
Aplicando <strong>logaritmos</strong> obtemos b=0,5<br />
por isso t(n)=1,5.<br />
b) Quando n = 4 temos t(4) = 1,5⋅ = 1,5⋅ 2<br />
= 3 min<br />
Obtendo t = 285 minutos, que correspon<strong>de</strong> a<br />
4,75 horas , ou 4 horas e 45 minutos.<br />
c)Como<br />
E procuramos as constantes a, b,c tais que<br />
Comparando as duas expressões para Q(t),<br />
concluímos que c=15 e a=10 e ac+b=750 é igual<br />
b=600.<br />
Analisando a expressão ( ) po<strong>de</strong>-se<br />
concluir que à medida que o valor <strong>de</strong> t aumenta, o<br />
quociente<br />
diminui, ficando cada vez mais<br />
próximo <strong>de</strong> zero, porém será sempre positiva.<br />
Assim o valor ( ) ficará cada vez<br />
mais próximo <strong>de</strong> 10, porém sempre maior que 10.<br />
31) a)Substituir os valores f(0)=1/2 e f(4)=2<br />
na expressão ( )<br />
obtendo duas<br />
equações exponencias.De f(0)=1/2, obtém – se<br />
b= - 1, e <strong>de</strong> f(4)=2, e b= -1 obtém – se a =1/2.<br />
b) Resolver a equação exponencial<br />
obtendo x=2.<br />
c)Calcular (( ( ))<br />
32-d<br />
=K<br />
33-a)substituindo t=27˚C, temos<br />
= 20 √ = 20 √ = 20.10 √ =<br />
200. 1,73 = 346 m/s.<br />
Para v = 340m/s temos 340 = 20. √<br />
<strong>de</strong> on<strong>de</strong> se obtém que t + 273 = 17² , ou seja,<br />
35-a) O volume V do bloco retangular, em<br />
metros cúbicos, é dado por V = 1⋅ (0, 4 − 2x)⋅<br />
x = −2x² + 0, 4x<br />
b) O volume V será máximo quando o valor<br />
<strong>de</strong> x correspon<strong>de</strong>r ao vértice da parábola<br />
dada pela função quadrática<br />
V = −2x² + 0, 4x , isto é, quando<br />
( )<br />
36-a) Calculando diretamente o <strong>de</strong>terminante<br />
temos<br />
f(x) = 2⋅ ⋅ cos(2x) − 2⋅ cosx⋅ senx = cos(2x) −<br />
sen(2x). Logo,<br />
f(0) = cos(2⋅ 0) − sen(2⋅ 0) = 1<br />
f(( )<br />
b) Para que f(x) = 0 <strong>de</strong>vemos ter cos(2x) =<br />
sen(2x), ou seja,<br />
37-a) Substituindo os pontos P, Q e R na<br />
função y = ax² + bx + c obtemos o sistema<br />
{<br />
Subtraindo a segunda equação da primeira<br />
temos b = 0, <strong>de</strong> modo que nosso sistema se<br />
torna:<br />
{<br />
fornecendo a = 1 e c = 1. Portanto, a função<br />
procurada é y = x² + 1.<br />
b) Proce<strong>de</strong>ndo como antes, substituindo os<br />
pontos P, Q e R na função y = ax² + bx + c,<br />
obtemos o sistema<br />
{<br />
Resolvendo <strong>de</strong> forma análoga ao item<br />
anterior, encontramos a = 0, b = 2 e c = 1, ou<br />
seja, y = 2x + 1, cujo gráfico não é<br />
uma parábola segundo a <strong>de</strong>finição<br />
apresentada.<br />
38-c<br />
39-e
40-a)Pelos dados temos f(0)=<br />
b) ( )<br />
41-a) P(0) 100 20sen(20) 100 mmHg e<br />
P(0,75) 100 20sen(20,75) 80 mmHg<br />
b) O mínimo ocorrerá quando<br />
2t 32ou seja, quandot 3/4 0,75 s .<br />
42-Em (1,1) a reta será: 4× 1× y + (1- 4× 1)x =<br />
1, ou 4y - 3x = 1.<br />
Em (2,4) a reta será: 4× 2× y + (1- 4× 4)x = 2 ,<br />
ou 8y -15x = 2.<br />
Resolvendo o sistema{ temos 9×<br />
x = 0. Assim, x = 0 e<br />
y = 1/4<br />
, e portanto os raios <strong>de</strong> luz se encontrarão<br />
em[ ]<br />
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