Introduç˜ao `a´Algebra Linear com o gnu-Octave - Departamento de ...

2.2.
OPERAÇÕES MATRICIAIS 27
> A=[sqrt(2)/2 sqrt(2)/2; -sqrt(2)/2 sqrt(2)]
A =
0.70711 0.70711
-0.70711 1.41421
Verifique-se se AA T = A T A:
> all(all(A*A’==A’*A))
ans = 0
A proposição é falsa! Calcule-se, então, AA T − A T A:
> A*A’-A’*A
ans =
0.0000e+00
-8.5327e-17
-8.5327e-17
0.0000e+00
É premente alertar para o facto de erros de arredondamento provocarem afirmações falsas. Teste
algo tão simples como
> (sqrt(2))^2==2
A transconjugada de A é a matriz A ∗ = ĀT . Ou seja, (A ∗ ) ij = (A) ji . Esta diz-se hermítica
(ou hermitiana) se A ∗ = A.
Sejam A, B matrizes complexas de tipo apropriado e α ∈ C. Então
1. (A ∗ ) ∗ = A;
2. (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗ ;
3. (αA) ∗ = ᾱA ∗ ;
4. (AB) ∗ = B ∗ A ∗ ;
5. (A n ) ∗ = (A ∗ ) n , para n ∈ N;
A prova destas afirmações é análoga à que apresentámos para a transposta, e fica ao
cuidado do leitor.
Uma matriz unitária é uma matriz (quadrada) invertível, e cuja inversa iguala a sua
transconjugada. De forma equivalente, uma matriz A invertível diz-se unitária se AA ∗ =
A ∗ A = I.
Teorema 2.2.6.
1. A inversa de uma matriz unitária é também ela unitária.
2. O produto de matrizes unitárias é de novo uma matriz unitária.