FGE0270 – Eletricidade e Magnetismo I - Plato

FGE0270 – Eletricidade e Magnetismo I
Lista de exercícios 1 – 2008
1. As cargas q 1 = q 2 = 20 µC na Fig. 1a estão fixas e separadas por d = 1,5m. (a) Qual é a força
elétrica que age sobre q 1 ? (b) Colocando-se uma terceira carga q 3 = 20 µC na posição
indicada na Fig.1b, qual é agora a força que age em q 1 ?
Respostas: a) F 12 = 1,6 N (o vetor esta ubicado na reta que une as cargas e aponta pra cima);
b) a força resultante tem módulo F R = 1 ,6 3 N, e o vetor forma um ângulo de 30 0 com a reta
que une as cargas q 2 e q 1 .
2. Quais são as componentes horizontal e vertical da resultante das forças eletrostáticas que
atuam na carga +2q da Fig. 2, se q = 1,0×10 -7 C e a = 5 cm? Dê o módulo, a direção e o
sentido desta resultante.
Resposta: a força resultante é
r
F R
2
q ⎡⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎤
⎢⎜
2
⎟ ⎜
2
= k
+ ⎟
4 +
iˆ
− 2 ˆ
j⎥
; o módulo do vetor é
2
a ⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
F R
= a
q
k
2
2
( 21+
2 2) ≈ 0, 176
⎛ 2 / 2 − 2 ⎞
0
N, e a direção é θ = arctg⎜
⎟
≈ −15,36
4 2 / 2
.
⎝ + ⎠
3. Duas cargas puntiformes livres +q e +4q estão a uma distância L uma da outra.Uma terceira
carga é colocada de tal forma que todo o sistema fica em equilíbrio. (a) Qual é a posição e o
valor da terceira carga? (b) O equilíbrio do sistema é estável?
Resposta: a) para que o sistema fique em equilíbrio devemos colocar uma terceira carga (na
reta de união das duas primeiras e entre elas) de valor –(4/9)q a uma distância L/3 da carga
+q. b) O equilíbrio das cargas é instável.
4. Uma carga Q é dividida em duas partes (q e Q-q) e separadas por uma distância d. Qual o
valor de q para que a força de repulsão entre elas seja máxima?
Resposta: q = Q/2
5. Duas pequenas esferas metálicas iguais, com massa m e carga q, estão suspensas por fios
isolantes de massas desprezíveis de comprimento L, como mostrado na Fig. 3. Se o ângulo θ
for suficientemente pequeno, de modo que sen( θ ) ≈ tg(
θ ) (a) mostrar que, quando as esferas
1

estão em equilíbrio,
x
2
1/ 3
= ( q L / 2πε
0mg)
. Se L = 120 cm, m = 10 g e x = 5 cm: (b) verificar
a aproximação trigonométrica acima e calcular q.
Resposta: a) para obter o resultado utilize a condição de equilíbrio estático ∑ F r
= 0
e leve
em conta que sobre cada massa m as forças atuantes são o peso, a tensão da corda e a força de
Coulomb aplicada pela outra esfera. Vai... você consegue. b) O valor da carga é q = 0,024
µC.
6. Duas partículas com cargas iguais e afastadas de 3, 2×10 −3 m são largadas a partir do repouso.
A aceleração da primeira partícula é medida como sendo de 7, 0 m/s 2 e a da segunda como
sendo 9, 0m/s 2 . Sendo a massa da primeira partícula de 6, 3×10 −7 kg, quais são (a) a massa da
segunda partícula e (b) a carga comum a ambas?
Resposta: a) m = 4,9x10 -7 kg; b) q = 7,08x10 -11 C
7. Três pequenas bolas, cada qual com a massa de 10 g, estão suspensas de um mesmo ponto
por três fios de seda de 1, 0m de comprimento. As bolas têm cargas idênticas e estão situadas
nos vértices de um triângulo equilátero de 0,1m de lado. Qual o valor da carga de cada bola?
Resposta: q = 5,1x10 -8 C
8. Calcule o campo elétrico resultante E no ponto P produzido (a) pelas quatro cargas da Fig. 4
e (b) pelas três cargas da Fig. 5.
Resposta: a) o campo é nulo; b) o campo tem módulo E = 4kq
/ a
2
e o vetor está na reta que
une a carga 2q e o ponto P.
9. Calcular o campo elétrico do dipolo elétrico da Fig. 6 no ponto P sobre a mediatriz e a uma
distância r >> d. Expressar o resultado em termos do momento de dipolo elétrico p.
2

Resposta:
r
E = −k
p / r
3
yˆ
10. Um dipolo elétrico é constitutido de cargas +2e e –2e separadas por 0.78 nm. Ele está num
campo elétrico de intensidade 3.4×10 6 N/C. Calcular o modulo do torque sobre o dipolo
quando o mesmo está (a) paralelo, (b) perpendicular e (c) oposto ao campo elétrico.
Resposta: a) zero; b) τ = 8,5x10 -22 Nm; c) zero.
11. Uma linha contínua de carga encontra-se ao longo do eixo x, estendendo-se de x = +x 0 até o
infinito positivo. A linha é carregada com densidade linear de carga λ 0 . Quais são a
magnitude e a direção do campo elétrico na origem?
Resposta:
r
E = −k
x
λ 0
0
iˆ
12. Uma carga Q = −7,50 µC é distribuída uniformemente sobre uma haste isolante semicircular
de raio R = 4,5 cm. (a) Encontre a magnitude e a direção do campo elétrico em O, o centro do
semicírculo. (b) Calcule a força que atua sobre uma carga q = 2,00 µC colocada em O. (c)
Encontre a magnitude e a direção do campo elétrico num ponto posicionado verticalmente
acima de O a uma distância D.
Resposta: em relação ao sistema de coordenadas da figura, temos:
r | Q |
a) ˆ
7
E
2 10 ˆ
0
= − i ≈ − x i N/C ; b) F
r = qE r
40ˆ N
2 2
0
≈ − i ;
2π
ε R
0
r 1 | Q | R ⎛ 2 D ⎞
c) E D
= −
⎜ iˆ
+ kˆ
2 2 2
⎟
4πε ( R + D )
3/
0 ⎝ π R ⎠
3

13. Um modelo clássico de uma molécula ionizada é constituído por um par de partículas fixas,
ambas de carga +e, separadas por uma distãncia 2a, com uma terceira partícula, de carga −e,
massa m, descrevendo uma órbita circular de raio r em torno do eixo que liga as duas outras
cargas. Obtenha:(a) o campo elétrico que atua sobre a carga −e; (b) a relação entre o raio r e a
freqüência angular de revolução ω.
Resposta: a)
r 1 e r
E =
2 πε
2 2
0
( a + r )
3/ 2
⎡ e
rˆ
; b) ω ( r)
= ⎢
⎢⎣
2πε
0m a
2
2 2
( + r )
3 / 2
⎤
⎥
⎥⎦
1/ 2
14. Uma haste fina de comprimento l e densidade de carga linear uniforme λ se encontra sobre o
eixo x, como mostrado na Figura 7. (a) Mostre que o campo elétrico em P, a uma distância |y|
r
sobre sua mediatriz, não tem nenhuma componente x e é dado por E = ( kλsen(
θ ) / y)yˆ
. (b)
2
0
Use o resultado anterior para mostrar que quando o comprimento da haste é infinito ( l → ∞ ),
r
o campo em P fica E = ( 2kλ / y)yˆ
.
Resposta: a) é isso ai... vai, mostre que sabe...; b) e continue mostrando, você consegue!.
P
Fig. 7 Fig. 8
15. Uma esfera com 4,0 cm de raio tem uma carga líquida de +29 µC. (a) Se esta carga estiver
uniformemente distribuída no volume da esfera, qual será a densidade volumétrica de carga?
(b) Se esta mesma carga estiver uniformemente distribuída sobre a superfície da esfera, qual
será a densidade superficial de carga?
3
−3
Resposta: a) ρ ≈ 0,11C
/ m ; b) σ ≈ 1,44
x10
C / m
2
z
d
d
+q
-q
-q
+q
+p
-p
4

16. Um disco fino de raio R é uniformemente carregado com densidade superficial de carga
σ. (a) Determine o campo elétrico E r
(x)
a uma distância x sobre o eixo do disco. (b)
Considere R= 35 cm e σ = 7,9×10 −3 C/m 2 e calcule a intensidade de E a uma distância x=5cm.
Resposta: a)
r σ ⎛ x
E( x)
= ⎜1−
1/ 2
2 ε 2 2
0 ⎝ ( x + R )
⎞
⎟iˆ
8
; b) E (0,05m)
= 3,84 x10
N / C
⎠
17. A figura 8 mostra um quadrupolo elétrico. Ele consiste em 2 dipolos cujos momentos de
dipolo p tem módulos iguais e sentidos opostos. Mostre que o valor de E sobre o eixo do
quadrupolo, em pontos que distam de z do seu centro (suponha z>>d), é dado
3Q
por E = , onde
4
4πε
z
0
2
Q = 2qd é o momento quadrupolar da distribuição de carga.
Resposta: para chegar no resultado some (vetorialmente) os quatro campos elétricos no ponto
considerado, que fica a uma distância z do centro de cargas. Considere a variável x = d/z.
α 1
2 3
Depois, utilize as expansões (1 + x ) ≈ 1+
αx
+ α(
α −1)
x + O(
x ) , e
2
α 1
2
(1 − x ) ≈ 1−αx
+ α(
α −1)
x + O(
x
2
3
) , válidas quando x

Qual o campo elétrico no ponto P a uma distãncia a da extremidade da barra? (c) Se o ponto
P estivesse a uma distância muito grande da barra comparada com L, ela se comportaria com
uma carga puntiforme. Mostre que a sua resposta para o item (b) se reduz ao campo elétrico
de uma carga puntiforme para a >> L.
q r 1 ⎛ 1 1 ⎞
Resposta: a) λ = − ; b) E P
= − | λ | ⎜ − ⎟iˆ
L
4πε
⎝ a L + a ⎠
0
20. Na figura 11, um campo elétrico E r , de módulo 2.0 × 10 3 N/C, apontando para cima, é
estabelecido entre as duas placas horizontais, carregando-se a placa inferior positivamente e a
placa superior negativamente. As placas têm comprimento l =10.0 cm e separação d = 2.0 cm.
Um elétron é então lançado entre as placas a partir da extremidade esquerda da placa inferior.
A velocidade inicial v r
0
do elétron faz um ângulo θ = 45 o com a placa inferior e tem um
módulo de 6.0 × 10 6 m/s. (a) Atingirá o elétron uma das placas? (b) Sendo assim, qual delas e
a que distância horizontal da extremidade esquerda?
Resposta: a) e b) sim, o elétron atinge a placa superior a uma distância de 2,73 cm desde a
extremidade esquerda.
v 0
θ
E
d
Fig. 11
l
6