Teoria de Grafos - Unisul

Teoria de Grafos
Problemas de Coloração
Prof. Max Pereira
http://paginas.unisul.br/max.pereira
1

Problemas de Coloração
Problemas nos quais dois vértices
adjacentes não podem ter a mesma cor e
que utilize o número mínimo de cores para
colorir os vértices do grafo.
2

Problemas de Coloração
Tendo pintado os vértices, é possível
agrupá-los em diferentes conjuntos -
problemas de particionamento.
A coloração (particionamento) pode ser
executada em arestas, vértices ou faces do
grafo.
3

Problemas de Coloração
A coloração clássica pode ser utilizada para
resolver uma série de problemas de otimização
combinatória que envolve o gerenciamento de
determinado recurso.
Os problemas podem ser modelados e
solucionados utilizando-se um grafo não
orientado e em seguida determinando sua k-
coloração.
4

Problemas de Coloração
Programação de horários
Alocação de faixas de frequências (rádios)
5

Número Cromático
Uma coloração de interesse é aquela que
utiliza um número mínimo de cores.
Um grafo G, que exige k cores para pintar
seus vértices, e não menos, é chamado um
grafo k-cromático.
O número k é chamado número cromático
de G.
6

Número Cromático
Exemplo
7

O Problema da Coloração
Um problema comum que ocorre quando
se trabalha com a representação de
regiões na forma de mapas coloridos é
como representá-las de forma que cada
região fique visivelmente clara e distinta
das demais.
8

O Problema da Coloração
9

Teoria da Coloração
A teoria da coloração de mapas diz ser
possível colorir qualquer mapa planar
utilizando no mímino quatro cores.
10

O Problema da Coloração (Grafos)
Uma possível abordagem seria representar
o problema proposto por uma lista de
adjacências onde temos um vetor com as
regiões que devem ser coloridas e uma
lista com os demais elementos que são as
regiões adjacentes a este.
11

O Problema da Coloração (Grafos)
O procedimento para se atribuir as cores certas a cada região é o
seguinte:
Escolhe-se uma região inicial, como por exemplo a região A e
atribui-se uma cor a ela.
para atribuir uma cor para B é verificado se dentre as cores
existentes, existe uma que não esteja colorindo nenhuma
região adjacente a B, então essa cor deverá ser escolhida. Se
todas as cores existentes estiverem sendo utilizadas em
regiões vizinhas a B, então uma nova cor é criada.
o raciocínio é repetido analogamente para cada uma das
regiões subsequentes.
12

Representação através de Grafos
Seja G=(V,E) um grafo e C um conjunto de
cores. Uma coloração de G é uma
atribuição de alguma cor de C para cada
vértice de G, tal que dois vértices
adjacentes sempre possuam cores
distintas.
13

Algoritmo de Coloração
(Busca em Profundidade)
Programa Principal
especificar a lista de adjacências;
determinar a estrutura de cores;
escolher o vertice Vi de maior grau;
chamar o método Colorir_Vertice (Vi);
Colorir_Vertice (Vk)
se o vertice Vk ainda nao foi colorido {
procurar a cor C apropriada
se nao existir cor apropriada para colorir o vertice
criar uma nova cor C;
colorir o vertice Vk com a cor C;
para todo vertice Vj adjacente a Vk faça
chamar o método Colorir_Vertice (Vj)
}
14

Representação através de Grafo
15

A: [B, F]
B: [A, C, D]
C: [B, D, E]
D: [B, C, E, F]
E: [C, D, F]
F: [A, D, E]
Algoritmo de Coloração
(Lista de Adjacência)
16

Algoritmo de Coloração
(Busca em profundiade)
17

Algoritmo de Coloração
(Busca em profundiade)
18

Algoritmo de Coloração
(Busca em profundiade)
19

Algoritmo de Coloração
(Busca em profundiade)
20

Algoritmo de Coloração
(Busca em profundiade)
21

Algoritmo de Coloração
(Busca em profundiade)
22

Algoritmo de Coloração
(Busca em Largura)
Programa Principal
lista de adjacências; estrutura de cores; criar a estrutura de fila Q;
vertice Vi de maior grau e chamar o método Colorir_Vertice (Vi);
marcar Vi como visitado;
inserir o vertice Vi na fila Q;
enquanto a fila Q nao estiver vazia
u=remove o vertice da fila;
para todo vertice Vj adjacente a u
Se Vj não foi visitado
marcar Vj como visitado;
chamar o método Colorir_Vertice (Vj);
inserir Vj na fila Q;
Colorir_Vertice (Vk)
procurar a cor C apropriada
se nao existir cor apropriada para colorir o vertice Vk
criar uma nova cor C;
colorir o vertice Vk com a cor C
23

Algoritmo de Coloração
(Busca em Largura)
24

Algoritmo de Coloração
(Busca em Largura)
25

Algoritmo de Coloração
(Busca em Largura)
26

Algoritmo de Coloração
(Busca em Largura)
27

Algoritmo de Coloração
(Busca em Largura)
28

Algoritmo de Coloração
(Busca em Largura)
29

Problema do Semáforo
Sistema de controle das fases de semáforo
em um determinado cruzamento.
Definem-se quais fluxos de veículos não são
permitidos simultaneamente e o objetivo é
planejar o controle dos semáforos com o menor
número de fases possível.
O problema do semáforo consiste em como
programar um sistema de semáforos para
controlar o tráfego dos veículos em um
cruzamento entre ruas de modo a evitar colisões
30

Problema do Semáforo
As pistas AD e CB admitem tráfego
nas duas direções simultaneamente,
porém, entre as pistas AB e CD existe
uma incompatibilidade que não pode
ocorrer tráfego simultâneo.
31

Problema do Semáforo
Resolvendo esse problema, o número cromático de G é
2, sendo uma 2-coloração. Dessa forma são
necessárias apenas duas fases, sendo:
A para B – fase 1 (AB)=1
A para D – fase 2 (AD)=2
C para B – fase 1 (CB)=1
C para D – fase 2 (CD)=2
D para B – fase 1 (DB)=1
32