Aula - Sistemas Lineares - Aldo Vieira

Sistemas Lineares
Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma:
Exemplos:
2 3 6
a)
5 2
3 7
b) 9
2 3
Resolução de sistemas lineares
Metodo da adição
Exemplo:
4 100
1) Resolver o sistema
2 3 90
O metodo da soma consiste em eliminar uma das incógnitas “x” ou “y” e desta forma trabalhar com a
solução primeiro de uma incógnita e depois da outra.
Para eliminarmos a incógnita “x”, por exemplo, devemos multiplicar os valores da primeira equação por (-2)
e depois somar o resultado com a segunda equação.
4 100 2
2 3 90
2 8 200
2 3 90
0 5 110
Substituindo 22 çã 4 100 obtemos o valor de x.
4 100
422 100
88 100
100 88
12
12; 22
22
Metodo da substituição
Exemplo:
4 100
Resolver o sistema anterior pelo método da substituição
2 3 90
O objetivo do método é o mesmo do metodo da adição, porem devemos isolar uma das incógnitas da
primeira equação e substituí-lo na segunda equação
Isolando x incógnita “x” 4 100
100 4

Substituindo na segunda equação 2 3 90
2100 4 3 90
200 8 3 90
200 5 90
22
90 200
5
Substituindo o valor de y na primeira equação 4 100
422 100
88 100
100 88
12
12; 22
40
20
S(12;22)
4 100
2 3 90
0
-5 0 5 10 15 20 25
Representação gráfica
Classificação dos sistemas lineares
Os sistemas lineares podem ser classificados quanto a obtenção de soluções, dentro do conjunto numérico
ao qual os sistemas devem ser resolvidos.
• Sistema possivel e determinado: são os sistemas que possuem apenas uma solução
Exemplo
4 100
2 3 90
12; 22
Este exemplo foi resolvido no ítem anterior. Note que no gráfico há um só ponto de intersecção entre as
duas retas que representam a solução do sistema.
• Sistema possivel e indeterminado: são os sistemas que permitem infinitas soluções
Exemplo
8
2 2 16
10; 2, 12; 4, 19; 11,
• Sistema impossível: são os sistemas que não tem soluções. Geralmente formado sor equações que
se contradizem

Exemplo
12
20
ã çã
Matrizes e resolução de sistemas
3 2 6
Considere o sistema
6 4 2
Temos associada as matrizes: 3 2
2 6
incompleta e 3
6 4 6 4 2 completa
Representação matricial de um sistema
3 2 6
Sistema
6 4 2
: 3
2
6 4 x y 6 2
3 2 é a matriz incompleta dos coeficientes
6 4
x y
é a matriz das incógnitas
6 é a matriz dos termos independentes
2
Sistemas homogêneos
Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes das equações são nulos
Exemplo
3 2 0
5 2 0
√2 3 0
A n –upla (0, 0, 0, ⋅⋅⋅, 0) é sempre solução de um sistema homogêneo e recebe o nome de solução trivial.
Quando existem outras soluções são chamadas de não triviais.
Sistema Normal
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações e de incógnitas e o determinante da
matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Exercícios
1) Resolver os sistemas
2 5
4 2 10
3 16
2 3 7

6
2 2
4 6
2 8 16
5 12
5 24
2) Construa a matriz incompleta e a matriz completa de :
√3 4 2
a)
1
3 2 5
b) 1
4 6
0
3) Verifique se a terna ordenada (1, 1, 1) é solução do sistema: 2 1
2 2 2
Regra de Cramer
O estudo dos determinantes consiste em uma forma de resolver sistemas n x n com a vantagem de permitir
que os sistemas sejam analizados a partir do determinante da sua matriz incompleta. O método de resolver
sistemas a partir de determinantes é conhecido como Regra de Cramer.
Todo sistema linear normal tem uma única solução dada por:
Exemplo:
2 5
Resolva o sistema 2 3 3, usando a regra de cramer
4 4
Resolução :
Calculando o determinante principal “D”
1 2 1
1 2 3 36 0 Portanto S.P.D. (Se det A fosse nulo não continuaríamos a resolução
4 1 1
pelo sistema de Cramer.
Calculando o determinante das incógnitas
5 2 1
3 2 3 36 (Substituir os termos independentes na 1ª coluna)
4 1 1
1 5 1
1 3 3 72 (Substituir os termos independentes na 2ª coluna)
4 4 1

1 2 5
1 2 3 72 (Substituir os termos independentes na 3ª coluna)
4 1 4
Daí vem:
36
36 1
72
36 2
72
36 2
Portanto, , , 1, 2, 2 é çã
Exercícios
1 ) Resolva os sistemas lineares, usando “Cramer” :
a) 2 3
2 3 4
1, 2
3 4
b) 2 5
2 6
, ,
2 1
c) 3
2 1
3, 1, 2
Discussão de um sistema linear
Se um sistema tem o mesmo número de linhas e incógnitas ele pode ser classificado como:
a) Possível e Determinado (S.P.D.) → quando det 0 o sistema apresenta solução única
Exemplo:
3
2 0 3 0
3 2 6
çã ú
b) Possível e indeterminado (S.P.I.) → 0, para n = 2. Se 3
essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas
respectivamente proporcionais e termos independentes não proporcionais.
Exemplo:
3 2 1
2 2 0, 0, 0, 0 çõ
4 3 1
c) Impossível (S.I.) 0 0

Exemplo:
2 1
2 3 4 0, 35 0
3 3 2 0
Exemplos :
1) Discuta o sistema 3
2 2 em função de “m”
Solução
1 1
2 m 2
0 çã ú . . .
2 0 2
O sistema terá solução única se 2
0 çõ
1 1
2 2 0
3 1
2 2 4 0
O sistema não é S.P.I.
Exercícios
1
1) Discuta o sistema 2 3 6 em função de “m”
5 9
2) Classifique os sistemas abaixo:
5
a) 2 3 1
2 2 1
2 3
b) 1
2 3 4
3) Classifique os sistemas abaixo e apresente os resultados dos S.P.D.
0
a) 3 5 0
2 3 1
b) 3 2
2 1