MATLAB 1) IntroduÃ§Ã£o 2) GeraÃ§Ã£o de Sinais Amostrados

Tópicos em Processamento de Sinais 

Departamento de Engenharia Elétrica 

Faculdade de Tecnologia 

Universidade de Brasília 

MATLAB 

1) Introdução 

O aplicativo Matlab é uma das ferramentas mais úteis para as áreas de processamento de 

sinais, controle, e outras aplicações. O “Mat” do nome Matlab está relacionado com “Matriz”, ou 

seja, é um laboratório que permite a manipulação eficiente de matrizes. Pode-se dizer também que o 

Matlab permite também a manipulação eficiente de vetores, já que um vetor de tamanho N pode ser 

visto como uma matriz de Nx1. 

Uma das melhores formas de se familiarizar com o Matlab é através do comando intro, que 

provê uma turnê pelas características básicas do programa. 

Exercício 1 

Use o comando intro e, com atenção, procure entender todos os exemplos fornecidos. 

A aplicação predominante no presente curso será o processamento digital se sinais. Para 

isto, preparamos algumas técnicas em Matlab que facilitarão o uso do aplicativo para esta tarefa. 

2) Geração de Sinais Amostrados 

Como primeiro exemplo, geraremos a seguinte função senoidal no Matlab: 

f(t)=sin(2*pi*fo*t) 

Onde fo=1 Hz. 

A função é mostrada na seguinte figura: 

1 

Senoide de 1 Hz 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

f(t) 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 

Tempo (seg.) 

1





Para permitir o processamento de sinais por computador, o sinal analógico deve ser 

digitalizado por um conversor analógico para digital (A/D). Neste processo o sinal é amostrado em 

vários instantes, em intervalos de tempo constante. O intervalo de tempo é o período de amostragem 

(T), e o recíproco de T é a freqüência de amostragem (f s = 1/T). A unidade de tempo do período de 

amostragem em geral é segundos, e a de Freqüência é em Hz. 100 Hz significa que 100 amostras do 

sinal são tomadas em 1 segundo. 

Pode-se simular funções amostradas no Matlab. O exemplo abaixo mostra como se pode 

simular a amostragem de uma senóide no Matlab: 

Exercício 2 

Siga os passos descritos para simular a amostragem de uma onda senoidal no seguinte 

exemplo. Digite os comandos na Matlab, e observe os efeitos. 

1) Crie o eixo do tempo: 

t=0:0.05:1; 

O comando acima cria uma variável (vetor) com os elementos 0, 0.05, 0.1, ..., 1. O ponto e 

vírgula evita que a variável seja exibida na tela. Tente rodar o comando acima e observe o que 

acontece. Caso você tenha errado, e o vetor inteiro comece a aparecer na tela, você pode parar o 

processo usando CTRL-C. 

O comando size(t) exibe o tamanho da matriz t, e o comando length(t) mostrará o comprimento do 

vetor. Experimente estes comandos. 

2) Crie a função: 

f=sin(2*pi*t); 

O comando acima cria um vetor cujas componentes são a função senoidal calculada a cada valor do 

vetor t. Assim, no Matlab, você pode calcular o seno de um vetor, ou mesmo de uma matriz. 

Execute este comando. 

3) Plotar a função: 

plot(t,f) 

Este comando faz a plotagem do sinal, tendo f no eixo y, e o correspondente t no eixo x. 

Execute este comando. 

4) Coloque o Titulo e as variáveis dos eixos x e y: 

title(‘Funcao Senoidal’) 

xlabel(‘Tempo (segundos)’) 

ylabel(‘Amplitude (Volts)’) 

2





Experimente os comandos acima. 

Tente também os seguintes comandos: 

plot(f,t) 

plot(f) 

plot(t) 

O que aconteceu no primeiro comando No segundo comando, a senóide foi plotada, mas o 

eixo y mostrou simplesmente o número da amostra, mas não o tempo correspondente a cada abcissa 

y. Explique o que acontece no terceiro exemplo. 

Tente também as seguintes opções: 

plot(t,f,’*’) 

plot(t,f,’b*’) 

plot(t,f,’.’) 

plot(t,f,’c.’) 

plot(t,f,’-’) 

plot(t,f,’y-’) 

Observe as cores e características dos gráficos. Agora digite help plot, e leia 

cuidadosamente as descrições da função plot. 

Agora digite a seguinte função: 

grid 

Note o efeito da função, e digite help grid, para ver as características desta função. 

Agora gere uma segunda função: 

f2=sin(2*pi*2*t) 

E plote as funções f e f2 no mesmo gráfico: 

plot(t,f,t,f2) 

Verifique as cores dos gráficos. Agora digite: 

plot(t,f,’b*’,t,f2,’c-.’) 

E verifique os efeitos. 

Agora tente os seguintes comandos: 

stem(t,f) 

stem(t,f2) 

3





O que estes comandos fazem Digite help stem, e estude o funcionamento desta função. 

Tente mudar as cores dos traçados desta função. Note que a função não é tão flexível quanto a cores 

do traçado quanto a função plot. 

3) Geração de sinais mais complexos 

Digite os seguintes vetores: 

A=[0 1 2 3 4 5 6]; 

B=[0 2 4 6 8 10 12]; 

Tente multiplicar A*B. Note que o Matlab não realizará tal operação. O fato é que o Matlab 

sempre interpretará o vetor como uma matriz, e o programa sempre interpreta uma multiplicação 

como uma multiplicação de matrizes. Entretanto, há uma opção que permite ao usuário fazer uma 

multiplicação ponto a ponto de dois vetores ou matrizes (isto é o primeiro elemento do resultado é o 

produto dos primeiros elementos dos fatores, o segundo elemento do resultado é o produto dos 

segundos elementos dos fatores, e assim por diante). Tente digitar: 

C=A.*B 

Note que o vetor C é o resultado da multiplicação ponto a ponto do dos vetores A e B. 

Exercício 3 

Queremos plotar a seguinte função no intervalo 0





Para isto, criamos primeiro o vetor representando a variável x, e em seguida a função em 

questão: 

x=0:0.05:4; 

y=x.^3-6*x.^2+11*x-6; 

plot(x,y) 

Note que o operador “.^” é também um operador ponto a ponto, que eleve cada elemento da 

matriz à potência desejada. Tente digitar x^2, e veja que este comando não funcionará. Tente 

descobrir porque (lembre-se que o Matlab sempre assume operações matriciais). 

PROBLEMAS 

1) Gere e plot a função f(t)=exp(-t)sin(2*5*pi*t), no intervalo 0





EXERCÍCIOS COM O MATLAB 

Nesta seção, veremos algumas funções extras do Matlab. Primeiramente, consideremos o 

seguinte trecho a seguir. Analise atentamente o programa abaixo (consulte o help para as funções 

que você não conhece): 

% exemplo: geracão de uma forma de onda ruidosa 

t=0:0.01:pi; %linha 1 

y=2*sin(5*t); %linha 2 

figure(GCF) %linha 3 

plot(t,y) %linha 4 

pause %linha 5 

ruido=randn(1,length(t)); %linha 6 

plot(t,ruido) %linha 7 


y_ruido=y+ruido; %linha 9 

plot(t,y_ruido); %linha 10 

Execute o programa. A linha 1 cria o vetor do tempo de amostragem. A linha 2 cria uma 

função senoidal (qual é a freqüência). A linha três faz com que a janela com o gráfico seja 

colocada à frente de todas as outras. A linha 4 plota uma senóide, como mostrado abaixo: 

2 

1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

-2 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 

O comando pause, na linha 5, causa uma pausa no programa. Para continuar o programa, o 

usuário deve pressionar . [Pergunta: o que acontece se este comando for substituído por 

pause(2) Dica: use o comando help]. 

A linha 6 utiliza o comando randn (utilize o help para aprender sobre este comando). Este 

comando gera uma seqüência de números aleatórios com distribuição normal, com uma linha e 

tantas colunas quanto for o comprimento do vetor t. O comando lenght(t) fornece o número de 

elementos de t. Observe a plotagem do sinal de ruído: 

6





3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 

Em seguida, a linha 9 calcula uma nova variável y_noise, que é o sinal senoidal mais o 

ruído. Observe o resultado: 

4 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 

Neste exemplo, você aprendeu como gerar um sinal com ruído. 

Agora, vejamos outros comandos. Para isto considere o seguinte código: 

% Exemplo 2 

A=[1 2 3; 4 5 6] 

B=[3 4 ; 3 6 ; 7 8] 

C=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9]; 

D=[5 6 ; 7 8 ; 9 10]; 

pause 

size(A) 

size(B) 

pause 

7





length(A) 

length(B) 

Após executar o código acima, realize manualmente, e em seguida usando o Matlab, as 

seguintes operações (indique quando a operação não é possível): 

A*B= 

B*A= 

A*C= 

A^2= 

A.^2= 

C^2= 

C.^2= 

A’= 

C*inv(C)= 

[B B B]= 

[A;A;A] 

% exemplo 3 

Veremos agora alguns comandos estatísticos. Considere o seguinte trecho de código: 

A=[ 1 2 3 4 5 6 7] %linha 1 

B=mean(A) %linha 2 

C=std(A) %linha 3 

Pause %linha 4 

RUIDOSO=randn(1,5000); %linha 5 

figure(gcf) %linha 6 

plot(RUIDOSO) %linha 7 

title('sinal ruidoso') %linha 8 


MEDIA_RUIDOSO=mean(RUIDOSO) %linha 10 

DP_RUIDOSO=std(RUIDOSO) %linha 11 

Pause %linha 12 

MAISRUIDO=5*randn(1,5000); %linha 13 

MEDIA=mean(MAISRUIDO) %linha 14 

DP=std(MAISRUIDO) %linha 15 

8





Use o comando help para estudar os comandos mean, e std. Execute o programa. Tome 

cuidado de só incluir o ponto-e-vírgula quando necessário. Estes comandos calculam a média e o 

desvio padrão dos vetores em questão (relembre na literatura o que estes termos significam). Na 

linha 2, o resultado, B, será a média dos elementos do vetor A Na linha 3, o resultado C será o 

desvio padrão dos elementos do vetor A. Calcule A e B manualmente, e cheque os resultados com 

os resultados do Matlab. 

Na linha 5 um sinal de ruído normal é gerado, e é plotado na linha 6. A média e o desvio 

padrão são calculados e mostrados nas linhas 10 e 11. Note que a função randn gera ruído aleatório 

com média 0, e desvio padrão 1 (na verdade, próximos de 0 e 1). Para obter um ruído com maior 

intensidade (maior desvio padrão), basta multiplicar o ruído pelo desvio padrão desejado, como é 

feito nas linhas 13, 14 e 15. Analise com cuidado estas três últimas linhas. 

EXERCÍCIOS 

1) Usando o comando help, aprenda a lidar com os comandos max, min, mean, median, sort. 

2) Usando o comando help, aprenda a usar os comandos fix, floor, ceil, round, mod, 

rem, sign. 

3) Gere uma senóide com freqüência de 50 Hz e amplitude 3V, amostrada a uma freqüência de 

amostragem de 1 kHz. Adicione a esta senóide ruído gaussiano com desvio padrão de 2V. Plote 

o sinal resultante. Determine os valores máximo e mínimo deste sinal. Não se esqueça de incluir 

título e unidades. Procure plotar o sinal de forma que suas características fiquem claras ao leitor 

(deve ficar claro que o sinal é uma senóide com ruído). 

4) Usando o comando help square, aprenda como gerar uma onda quadrada. Gere uma onda 

quadrada de 10 Hz, amostrada a uma freqüência de 1 KHz. 

9





REVISÃO: NÚMEROS COMPLEXOS 

1) Representação dos Números Complexos 

Números complexos são uma estrutura criada como uma extensão dos números reais. À 

primeira vista, esta estrutura parece ser artificial e inútil. Entretanto, na prática suas aplicações são 

inúmeras. Este capítulo apresentará uma revisão resumida do tópico, devida à sua importância nas 

séries de Fourier. 

Um número complexo é um par ordenado de números reais (R,I), e é muito usualmente 

representado na seguinte forma: 

C=R+iI, ou C=R+jI 

Sendo que matemáticos preferem o uso do i, enquanto os engenheiros preferem o j. R é 

chamado parte real, e I é chamado parte imaginária do número complexo. Note que se I é zero, o 

número se transforma em puramente complexo, e se R é zero, o número é puramente imaginário. 

Os números complexos seguem certas regras algébricas, que a princípio parecem estranhas, 

mas que permitem a extensão de várias técnicas matemáticas, bem como possibilitam um grande 

números de aplicações. É muito comum se representar os números complexos em um plano 

ordenado x,y, da forma ilustrada na Figura 1. 

imaginario 

M cos(α) 

(x,y) 

M 

a=tan -1 (y/x) 

X=M sin(α) 

Real 

Figura 1 - Representação gráfica de um número complexo 

O módulo ou magnitude M de um número complexo é representado geometricamente pela 

reta ligando a origem à coordenado do par ordenado, e é definido como: 

M=sqrt(x 2 +y 2 ) 

O ângulo ou fase α, do número complexo é o ângulo entre a reta mencionada e o eixo x, e é 

definido como: 

α=tan -1 (I/R) 

É fácil mostrar, observando a geometria da Figura 1 que: 

10





R=M cos(α) 

I=M sin(α) 

Muitas vezes o número complexo é representado por seu módulo e sua fase, da seguinte 

maneira: 

M ∠ α 

Exercício 1: 

Considere os seguintes números: 

A=1+j2 

B=-2+j3 

C=4-j1 

D=-2-j2 

1) Plote manualmente cada um do números, e enumere em que quadrante o número está (1 o ., 2 o ., 

3 o ., ou 4 o .) e depois plote os mesmo usando o Matlab (plot(A) plota o número complexo, caso o 

mesmo realmente seja complexo). 

2) Para cada número, calcule manualmente o módulo M, e depois faça os cálculos com o Matlab 

(comando abs(A)). Confira os resultados com os cálculos manuais. 

3) Calcule manualmente os ângulos α (atente para os quadrantes) e em seguida repita os cálculos 

em Matlab (comando atan(x/y)). Tente também a função atan2(x/y), e observe que a mesma 

leva em consideração o quadrante em que o número está. 

4) A partir dos valores de M e α calculados, determine x e y. Faça o mesmo em Matlab (Exemplo, 

x=M*cos(alfa), y=M*sin(alfa)). 

5) Digite A=1+j2, e em seguida, digite: 

real(A) 

imag(A) 

O que acontece Qual é a função dos comandos acima1 

6) Digite o seguinte código: 

A=[ 1+j*2 ; 2+j*3 ; 4-j*1 ; 2-j*2 ] 

plot(A) 

M=abs(A) 

grid 

alfa1=atan(real(A)./imag(A)) 

11





alfa2=atan2(real(A),imag(A)) 

Areal=M.*cos(alfa2) 

Aimag=M.*sin(alfa2) 

Tente entender todos os comandos. Note que os exercícios de 1 a 4 foram implementados 

nesta linha. Note o caráter matricial (ou vetorial) das variáveis (preste atenção nos pontos do .*, e ./ 

. 

6) Converta os seguintes números para a forma R+jI: 

2 π/3 

3 60 o 

4 π/2 

2) Álgebra dos Números Complexos 

Os números complexos são sujeitos a regras de álgebra, algumas delas semelhantes à 

álgebra dos números reais, e algumas diferentes. Quando os números complexos são puramente 

reais, a álgebra simplesmente se transforma na álgebra dos números reais. 

Suponha os números complexos A e B: 

A=A r + j A i 

B=B r + j B i 

Estes números complexos são sujeitos às seguintes regras: 

Soma: A+B=(A r + B r ) + j ( A i + B i ) 

Valor de j: j=i=sqrt(-1) 

Quadrado de i: i 2 =-1 

Multiplicação: A . B=( A r + j A i ).( B r + j B i )= A r B r +j A i B r +j B r A i +j 2 A i B i 

= (A r B r - A i B i )+j (A r B i +A i B r ) 

Raiz n-ésima (fórmula de de Moivre): 

a+2kp 

A 1/n = n |A| ∠ n 

Complexo conjugado de R+jI : R-jI 

Multiplicação de um número complexo por seu conjugado: 

(A+jB)(A-jB)=A 2 +B 2 (note a eliminação da parte complexa) 

12





Eliminação de partes complexas no denominador: 

A+jB = A+jB C-jD = (AC-BD) + j(AD-BC) 

C+jD C+jD C-jD C 2 +D 2 

Exercício 2 

Suponha: 

M= 1+j2 

N= 3+j4 

Calcule primeiro manualmente, e depois em Matlab. Dê os resultados na forma R+jI : 

1) M+N 

2) MN 

3) M/N 

4) M 2 

5) sqrt(M) 

6) M 1/3 

7) M 1/5 

8) Determine todas as raízes cúbicas de 8 (Fórmula de de Moivre ou Matlab) 

9) Eleve todas as raízes encontradas em na questão 8 ao cubo. 

3) Fórmula de Euler: 

Duas fórmulas fazem os números complexos muito úteis: 

e jω = cos ω + j sin ω 

e -jω = cos ω - j sin ω 

Ou equivalentemente: 

cos ω = e jω + e -jω 

2 

sin ω = e jω − e -jω 

Note que 

j2 

cos ω = Re (e jω ) 

sin ω = Im (e jω ) 

13





Exercício 3 

1) Defina uma variável de tempo com 0





FFTdeA=fft(A); 

E para a FFT inversa, é usada a seguinte forma: 

IFFTdeA=ifft(FFTdeA); 

Caso o número de elementos de A seja da forma 2 k , o Matlab usa o algoritmo da FFT (mais 

rápido). Caso contrário, é usado o algoritmo da DFT. Considere o seguinte exemplo: 

t=(0:.01:.99); 

f=sin(2*pi*2*t); 

F=fft(f); 

subplot(2,1,1) 

plot(abs(F),'ko') 


plot(angle(F),'ko') 

O resultado é mostrado a seguir: 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 

4 

2 

0 

-2 

-4 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 

Note que foram plotados o ângulo e a fase da FFT. Isto porque o resultado é um vetor com 

números complexos. Tente plotar o vetor sem a função abs. Explique a razão para o resultado 

aparentemente absurdo. 

Neste exemplo, é calculada a DFT de 1 segundo de amostragem de uma senóide com 2 Hz. 

15





Note que o resultado da fase foi estranho. A razão é que a fase é o resultado de divisões de 

números muito pequenos por números muito pequenos, resultando num valor não significativo. 

Substitua agora a primeira linha por 

t=(0:.01:1.3); 

e execute o programa. O resultado é mostrado a seguir: 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 

4 

2 

0 

-2 

-4 

0 20 40 60 80 100 120 140 

Nota-se que neste último caso ocorreu o fenômeno do “leakage”. Este fenômeno não 

ocorreu no primeiro caso porque as amostras completavam um ciclo completo (a menos de uma 

amostra). Para que não ocorra leakage, é necessário que esta precaução seja tomada. 

Voltemos agora ao primeiro exemplo. Nota-se que o eixo dos x não corresponde ã 

freqüência e sim ao número da amostra. Para que seja mostrada a amostra, é necessário que a 

mesma seja calculada. Para tal, suponhamos que a freqüência de amostragem seja f s e que o sinal 

contenha N amostras. Neste caso, a primeira amostra corresponderia à freqüência zero, e a amostra 

N (que não existe, já que as amostras vão de 0 a N-1) corresponderia à freqüência de amostragem. 

Assim, a freqüência de cada amostra, na DFT resultante corresponderia a f s /N. Por exemplo, a 

16





primeira amostra corresponderia à freqüência zero, a Segunda a f s N, a terceira a 2f s /N, e a n-ésima a 

(n-1)f s /N. 

Outra observação importante é com respeito à amplitude. A amplitude da senóide no 

exemplo é de 1 V, e a amplitude da DFT foi de 50. Isto se deve ao fato de que o resultado da 

FFT é sempre multiplicado pelo número de amostras. Assim, para se Ter uma estimativa 

confiável das componentes espectrais, é necessário que se divida o resultado por N. 

Tendo essas considerações em mente, execute o seguinte código: 

clear 

% Limpa variáveis 

clf 

% Limpa gráficos 

t=(0:.01:.99); 

% Gera instantes das amostras 

fs=100; 

% Freqüência de amostragem 

N=length(t); % Determina o número de amostras 

f=1+sin(2*pi*10*t);% Amostra o sinal formado por 

% uma cte + senóide 

F=fft(f); 

% Calcula a DFT 

Fesc=F/N; 

% Escalona para o valor correto 

freq=(0:N-1)*fs/N; % Calcula eixo das freqüências 

plot(freq,abs(Fesc),’ko’) % Plota o módulo da DFT 

xlabel(‘Freqüência ’) % Label do eixo x 

ylabel(‘Amplitude’) 

% Label do eixo y 

O resultado é mostrado a seguir: 

17





1.4 

1.2 

1 

Amplitude 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 

Freqüência 

FILTROS DIGITAIS 

O Matlab apresenta muitas funções que facilitam a implementação de filtros digitais. 

Observe o help da função filter. 

FILTER One-dimensional digital filter. 

Y = FILTER(B,A,X) filters the data in vector X with the 

filter described by vectors A and B to create the filtered 

data Y. The filter is a "Direct Form II Transposed" 

implementation of the standard difference equation: 

a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb) 

- a(2)*y(n-1) - ... - a(na+1)*y(n-na) 

If a(1) is not equal to 1, FILTER normalizes the filter 

coefficients by a(1). 

When X is a matrix, FILTER operates on the columns of X. When X 

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is an N-D array, FILTER operates along the first non-singleton 

dimension. 

[Y,Zf] = FILTER(B,A,X,Zi) gives access to initial and final 

conditions, Zi and Zf, of the delays. Zi is a vector of length 

MAX(LENGTH(A),LENGTH(B))-1 or an array of such vectors, one for 

each column of X. 

FILTER(B,A,X,[],DIM) or FILTER(B,A,X,Zi,DIM) operates along the 

dimension DIM. 

See also FILTER2, FILTFILT (in the Signal Processing Toolbox). 

Assim, a função tem, em geral, três argumentos: os vetores A e B, correspondentes aos 

coeficientes dos filtros, e o vetor de entrada. O resultado da função é o vetor de saída. 

Antes de fazermos um exemplo com a função filter, vamos observar que o Matlab possui 

várias ferramentas que permitem a determinação dos coeficientes A e B. Um exemplo é a função 

butter. Observe o help desta função: 

BUTTER Butterworth digital and analog filter design. 

[B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an N'th order lowpass digital 

Butterworth filter and returns the filter coefficients in length 

N+1 vectors B and A. The cut-off frequency Wn must be 

0.0 < Wn < 1.0, with 1.0 corresponding to half the sample rate. 

If Wn is a two-element vector, Wn = [W1 W2], BUTTER returns an 

order 2N bandpass filter with passband W1 < W < W2. 

[B,A] = BUTTER(N,Wn,'high') designs a highpass filter. 

[B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') is a bandstop filter if Wn = [W1 W2]. 

When used with three left-hand arguments, as in 

[Z,P,K] = BUTTER(...), the zeros and poles are returned in 

length N column vectors Z and P, and the gain in scalar K. 

When used with four left-hand arguments, as in 

[A,B,C,D] = BUTTER(...), state-space matrices are returned. 

BUTTER(N,Wn,'s'), BUTTER(N,Wn,'high','s') and BUTTER(N,Wn,'stop','s') 

design analog Butterworth filters. In this case, Wn can be bigger 

than 1.0. 

See also BUTTORD, BESSELF, CHEBY1, CHEBY2, ELLIP, FREQZ, FILTER. 

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Vê-se que esta função determina os coeficientes de um filtro de Butterworth de ordem n, com uma 

freqüência de corte fc. A freqüência de corte é indicada de forma que o valor 1 corresponda à 

metade da freqüência de amostragem fs. Por exemplo, se fs=100Hz, 0.1 corresponderia a uma 

freqüência de corte de 5 Hz. 

Como exemplo, será filtrada uma senóide de 15 Hz, amostrada a 100 Hz, por um filtro com 

fc=10 Hz. 

clear 

clf 

t=(0:.01:1); 

f=sin(2*pi*5*t); % amostragem do sinal 


plot(t,f) % Sinal de entrada 

[B,A]=butter(1,0.1); % Calcula coeficientes do filtro de 2 ª ordem, 

% fs/2=50Hz e fo=5Hz, entao Wn=5/50=0.1 

saida=filter(B,A,f); % Filtra o sinal. Resultando no vetor de 

% saída. 


plot(t,saida) 

Execute este código, e explique o resultado. 

EXERCÍCIOS 

1) Gerar um sinal f(x)=1+sin(2100t), amostrado a 1KHz. 

2) Passar o sinal por um filtro passa-baixas Butterworth com fc=50 Hz. 

3) Passar o sinal por um filtro passa-baixas Butterworth com fc=50 Hz. 

4) O Matlab possui a função freqz, que permite plotar a resposta em freqüência de filtros digitais. 

Examine o help desta função, e use-a para plotar a resposta em freqüência do filtro do último 

exemplo. 

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MATLAB 1) IntroduÃ§Ã£o 2) GeraÃ§Ã£o de Sinais Amostrados

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