10. Análise de Fourier usando DFT 10.1. Introdução

TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR
10. Análise de Fourier usando
DFT
10.1. Introdução
Análise de Fourier : Avaliação explícita da
Transformada de Fourier (sinais limitados e amostrados)
Na verdade o que se deseja é: TDFT
Transformada de Fourier para Sinais Discretos
No entanto o que é realmente realizado é a : DFT
Transformada Discreta de Fourier
DFT é uma amostragem da TDFT
1
10.1 Análise de Fourier usando DFT
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Diversas aplicações: - Análise, Síntese e Codificação de Voz
- Sinais de Radar por efeito Doppler
- Avaliação de falhas mecânicas – motores
- Análise de harmônicos da rede – cos(φ)
- Análise de imagens (bordas, ruídos,etc)
- Modulação – Telecomunicações
- etc ... ... ...
A análise de Fourier de sinais contínuos envolve:
2

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Sinal contínuo a ser analisado.
Filtro de Anti-aliasing
Sinal filtrado – espectro limitado.
Sinal filtrado amostrado.
Resposta em frequência da Janela.
Espectro do Sinal Janelado (convolução periódica)
DFT do sinal janelado (amostragem)
3
10.2. DFT de sinais sinusoidais
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Como vimos na aula passada:
Se o número de amostras do sinal
sinusoidal não for tal que haja um
número inteiro de ciclos amostrados
há o efeito de espalhamento espectral
4

10.2.1. Efeito do Janelamento
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Consideremos um sinal contínuo composto por duas componentes:
c
( ω θ ) ( ω θ )
S () t = A cos t+ + A cos t+
0 0 0 1 1 1
E sua amostragem ideal (sem aliasing e erros de quantização)
( θ ) ( θ )
xn [ ] = A cos Ω n+ + A cos Ω n+
Onde : Ω=ωT
0 0 0 1 1 1
A sequência janelada será:
( θ ) ( θ )
vn [ ] = Awn [ ]cos Ω n+ + Awn [ ]cos Ω n+
0 0 0 1 1 1
Cujo espectro, convolução de W(Ω) e X(Ω). É:
A0 jθ
A
0 0 − jθ0
V( Ω ) = e W ( Ω−Ω
0) + e W ( Ω+Ω
0)
+
2 2
A1 jθ
A
1 1 − jθ1
e W ( Ω−Ω
1) + e W ( Ω+Ω1)
2 2
5
Ex.:10.3
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Leakage ou Vazamento : redução da
amplitude das componentes devido à
iteração de fase das duas componentes.
6

A resolução de frequência é
definida pela largura do lóbulo
principal da janela. → Ajustar
L tamanho da Janela
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O leakage é definido pela
relação entre as amplitudes do
lóbulo principal e os
secundários. → Tipo da Janela
Exemplo: Janela Kaiser
7
10.2.2. Efeito da Amostragem do Espectro
Ex.10.5:
⎧ ⎛2π
⎞ ⎛2π
⎞
⎪cos n + 0.75cos n , 0≤n≤63
vn [ ] =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎨ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 8 ⎠
⎪
⎩0,
outros
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v[n] zero-padding
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Ex.10.6: uso da janela de Kaiser
⎛2π
⎞ ⎛4π
⎞
vn [ ] = wK[ n]cos⎜ n⎟+
0.75 wK[ n]cos⎜ n⎟
⎝14 ⎠ ⎝ 15 ⎠
Escolha:
β=5.48
∆ = 0.401
ml
Largura do lóbulo principal
Como:
4π
2π
− = 0,389
15 14
Logo a janela ainda
consegue distinguir
as 2 componentes
Lóbulo lateral com –40dB
9
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Porém, reduzindo para L=32
∆
ml
=
0.815
Já não se consegue perceber
os dois picos.
Aumentar a resolução
da DFT resolve
10

Ex.: 10.7
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Usando zero-padding no sinal anterior para fazer
a DFT de 64 pontos.
N=32
N=64
11
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N=128
N=1024
DTFT estimada
do sinal com L=32
12

Ex.:10.8
DFT N=1024
L=32
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L=42
L=54
L=64
13
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10.3. Transformada de Fourier Dependente do Tempo
Até agora consideramos que os sinais eram estacionários
no tempo, isto é, as propriedades dos sinais não variavam
do início ao fim da janela.
No entanto a maioria dos sinais naturais não são
estacionários. Ex.: Voz, música, imagem, vídeo.
Nestes casos as propriedades espectrais dos sinais
variam com o tempo. Necessitamos de uma ferramenta
capaz de fazer esta análise.
Short-Time Fourier Transform: STFT
ou Transformada de Fourier dependente do tempo.
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∞
∑
Xn [ , Λ ) = xn [ + mwm ] [ ]. e
m=−∞
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A transformada de Fourier dependente do tempo de um
sinal x[n] é definida como:
− jΛm
Onde:
n: amostra temporal (discreta)
Λ: Frequência (Contínua: análoga ao Ω, porém dependente do tempo)
w[n]: Janela
Logo X[n,Λ) é uma função de duas variáveis, 2-D
Pode ser vista como a Transformada de Fourier do sinal
deslocado no tempo x[n+m] janelado por w[m].
15
Ex.: 10.9
xn [ ] = cos
2
( ω0n
)
ω0 = 2π× 7.5×
10
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−6
Espectrograma:
16

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10.5. Análise de Fourier de Sinais Não-Estacionários
Sinais Estacionários: Sinais cujas propriedades estatísticas
(momentos) não se alteram com o tempo.
A magnitude da Transformada de Fourier não se altera
no tempo, apenas a fase das componentes.
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Exemplo de aplicação: Análise de Sinais de Voz
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- Sons Vozeados: A E I O U
- Sons Fricativos: X, S - Sons Fricativo-Vozeados: V, F, Z
- Sons explosivos: B, P
Formantes: Frequências naturais de ressonância
das cavidades que compõe o trato vocal.
Faixa de frequências: 50 a 15kHz (20kHz mulheres e crianças)
Porém: mantém alta inteligibilidade mesmo limitada 3kHz
Telefonia: considera-se 300Hz a 3400kHz, usa-se fs=8kHz
O sistema vocal pode ser pensado como um sistema variante
no tempo. E a voz como a resposta desse sistema à uma entrada
trem de pulso quase-periódico (vozeados) ou ruído branco (fricativos).
A voz pode ser considerada um sinal estacionário em janelas de
15ms a 20ms.
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Mostrar: SpectroLab
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10.6. Análise de Fourier de Sinais Randômicos
Sinais randômicos (estocásticos): Sinais que não possuem
uma formulação matemática definida, porém podem ser
caracterizados por medidas estatísticas (momentos).
Média:
L−1
1
mˆ x
= ∑ xn [ ]
L
1
L
n=
0
L−1
2
Variância: σˆ
= ( xn [ ] −mˆ
)
x
∑
n=
0
Estas são estimativas das verdadeiras varáveis
baseados em L amostras. A estimativa tende ao valor
verdadeiro a medida que L→∝
' x
2
20

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Problema mais comum:
Como estimar a densidade Espectral de Potência
de um sinal randômico contínuo s () c
t
Pss
( ω)
( )
Podemos estimar através do Espectro V
do sinal amostrado e janelado vn [ ] = xnwn [ ] [ ]
Através da Relação:
1
I( Ω ) = V( Ω)
LU
2
L−1
Ω =∑
L−1
1
U = ∑
L
n=
0
n=
0
wnxne [ ][ ]
( wn [ ])
2
− jΩn
Se w[n] é a Janela Retangular I(Ω) é dito periodograma
Se w[n] é outra janela I(Ω) é dito periodograma modificado
Usando a DFT para calcular o espectro V(Ω) temos:
1
I( Ω
k
) = Vk [ ]
LU
2
21
Cuidado no cálculo do periodograma amostrado I(Ω k ):
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- Se o sinal x[n] possuir um nível DC (média não nula),
este deve ser retirado de modo a não obscurecer possíveis
baixas frequências existentes, devido ao leakage.
No entanto demostra-se que:
2
[ Ω ] ;
Var I( ) P xx
( Ω)
Não é um estimador consistente
uma vez que a variância não tende a zero
apenas com o incremento da Janela
22

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Ex.: Ruido branco
distribuição uniforme.
Idealmente:
2
P ( Ω ) = σ = 1
xx
x
Periodogramas
calculados por:
L−1
2
2 − jkn(2 π / N)
1 1
Ik [ ] = I( Ω
k
) = Vk [ ] = ∑ wnxn [ ][ ]. e
L L
n=
0
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Um estimador consistente é a média de K periodogramas:
1
Var⎡⎣I ⎤⎦ ; P xx
K
2
( Ω) ( Ω)
Uma vez que a variância tente a zero com o aumento de K
24

Ex.: ( ω θ)
xn [ ] = Acos n+ + en [ ]
0
A=0.5 ω 0 =2π/21 e θ fase randômica 0≤ θ

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10.7. Analise espectral de sinais randômicos usando
a função de autocorrelação.
Baseia-se no Princípio que:
A Densidade Espectral de Potência de um Sinal pode
ser calculada como a Transformada de Fourier da
função de autocorrelação do sinal.
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Ex.1: Deseja-se analisar em frequência um sinal estacionário
cuja frequência máxima é 1.25kHz, com resolução de 5Hz.
a)Qual a taxa de amostragem mínima a ser utilizada
b)Quantas amostras necessito adquirir
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a) Mínima freq. de amostragem:
Taxa de Nyquist
Fs>2*1.25kHz Fs>2.5kHz
Logo
T 1 ≤ ≤ 400 s
s
2.5k
µ
b) P/ resolução de 5Hz
Tamanho da janela:
1
= 5 To = 0.2s
To
Logo necessito:
To
N ≥
T
=
0.2
400
s
µ
N ≥ 500
Uso N=512 p/ Radix-2 FFT
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Ex.2: Um certo processador de FFT tem uma capacidade
máxima de computar FFT 2048 pontos e o tempo requerido
para carregar e computar um espectro é de 200ms.
O processador atua em tempo real, e uma memória
auxiliar é utilizada para fazer a aquisição enquanto a FFT
e computada.
a) Qual a mais alta frequência que pode ser resolvida
b) Qual a resolução em frequência obtida
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Sistema processa/captura 2048 amostras em 200ms, logo
O período de amostragem é:
200m
T s
= = 97.65µ
s fs = 10. 24kHz
2048
fs
a) Maior frequência resolvível: fh = 12kHz
2 = 5.
1 1
b) Resolução em frequência: fo = = = 5Hz
To 200m
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