CURSO de ENGENHARIA (MECÂNICA) – VOLTA REDONDA ... - Uff

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSETRANSFERÊNCIA – 2 o semestre letivo de 2008 e 1 o semestre letivo de 2009CURSO de ENGENHARIA (MECÂNICA) – VOLTA REDONDA -GabaritoINSTRUÇÕES AO CANDIDATO• Verifique se este caderno contém:PROVA DE CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS – enunciadas questões discursivas, totalizandodez pontos.• Se este caderno não contiver integralmente o descrito no item anterior, notifique imediatamente aofiscal.• No espaço reservado à identificação do candidato, além de assinar, preencha o campo respectivocom seu nome.• Não é permitido fazer uso de instrumentos auxiliares para o cálculo e o desenho, portar materialque sirva para consulta nem equipamento destinado à comunicação.• Na avaliação do desenvolvimento das questões será considerado somente o que estiver escrito acaneta, com tinta azul ou preta, nos espaços apropriados.• O tempo disponível para realizar estas provas é de quatro horas.• Ao terminar, entregue ao fiscal este caderno devidamente assinado. Tanto a falta de assinaturaquanto a assinatura fora do local apropriado poderá invalidar sua prova.• Certifique-se de ter assinado a lista de presença.• Colabore com o fiscal, caso este o convide a comprovar sua identidade por impressão digital.• Você deverá permanecer no local de realização das provas por, no mínimo, noventa minutos.AGUARDE O AVISO PARA O INÍCIO DA PROVARESERVADO À IDENTIFICAÇÃO DO CANDIDATORESERVADO AOS AVALIADORESREDAÇÃOrubrica: ___________C. ESPECÍFICOSrubrica: ___________

PROAC / COSEAC - Gabarito3Prova de Conhecimentos EspecíficosObservação: Todas as respostas devem estar justificadas, isto é, acompanhadasdos cálculos e argumentações feitas.1 a QUESTÃO: (1,4 ponto)Determine as derivadas parciais da função)3cos(2)(),( 42yxysenxyxf−= .Cálculos e respostas:)3(2)]3(2)[()3(2))((),(4224242xxCosyxCosyxSenyxCosyxSenyxxfxx−−−−=∂∂)3(2])43(2)[()3(2)(),(4224242xxCosxyxSenyxSenyxCosySenyxxf−−−−−=∂∂)3(2)3(2)(4)3(2)(),(42242242xxCosyxSenySenxyxCosySenyxxf−−+−=∂∂)3(2)]3(2)[()3(2))((),(4224242xxCosyxCosyxSenyxCosyxSenyxxfyy−−−−=∂∂)3(2)]12)(3(2)[()3(2)(),(42234242xxCosyyxSenyxSenyxCosyxCosyxxf−−−−−−=∂∂)3(2)]3(2)(12)3(2)(),(42242342xxCosyxSenySenxyyxCosyxCosyxxf−−−−=∂∂

PROAC / COSEAC - Gabarito2 a QUESTÃO: (1,6 ponto)funçõesCalcule∫∫By = x eCálculos e respostas:∫10(x + y) dx dyx⎡ e ⎤ 1 2y⎢∫ ( x + y)dx⎥dy= xyx ∫+0⎣ ⎦2∫= 1 0∫= 1 0⎡⎛⎢⎜xe⎢⎣⎝⎡⎢xe⎢⎣xx2xe+22xe+22x⎞ ⎛⎟ ⎜−x⎠ ⎝223xdx⎥ ⎥ ⎤−2 ⎦3xy = e com 0 ≤ 12x ⎞dx⎥ ⎥ ⎤+ ⎟2⎠⎦] 1 0x x e x= xe − e + −4 2⎛2⎞⎜e 1⎟⎛ 1 ⎞= 1−1+−− ⎜0−1+− 0⎟⎝ 4 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠212= e − +421= e +4 434xe] dxx, onde B é a região compreendida entre os gráficos das≤ x .4

PROAC / COSEAC - Gabarito3 a QUESTÃO: (2,0 pontos)Seja o operador linear T(x, y,z) = (x + 2y + 2z , x + 2y −z , − x + y + 4z) .3a) Calcule [T] , onde [T] é a matriz de [T] na base canônica de R .b) Calcule os autovalores e os autovetores de T . c) T é diagonalizável ? Em caso afirmativo, encontre uma base Β = u , u , } de3R e [T]Β, ondematriz diagonal.d) Seja a base Α = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) } dede T na base Α .Cálculos e respostas:{1 2u3[T]Βé a matriz de T na base Β tal que esta matriz seja uma3R . Calcule[T]Α, onde[T]Αé a matriza) Notemos que,T (1,0,0) = (1,1, −1)T (0,1,0) = (2,2,1)T (0,0,1) = (2, −1,4)⎡ 1 2 2 ⎤então [T] =⎢ ⎥⎢1 2 −1⎥⎢⎣−11 4 ⎥⎦⎡1b) Autovalores: seja a matriz identidade I =⎢⎢0⎢⎣0P(x)= det[ A − λI]Autovetores:• λ =1:3P(λ)= −λ+ 7λ−15λ+ 9P(λ)= (1 − λ)(3− λ)como P(λ)= 0220100⎤0⎥⎥1⎥⎦então λ = 1 e λ = 3 são os autovalores do operador linear T⎡x⎤⎡0⎤[A −λ I]⎢y⎥ ⎢0⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢⎣z⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡x⎤⎡0⎤[A − I]⎢y⎥ ⎢0⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢⎣z⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡0 2 2⎤ ⎡x⎤ ⎡0⎤⎢1 1 1⎥ ⎢y⎥ ⎢0⎥⎢−⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥...(I)⎢⎣−1 1 3 ⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦5

PROAC / COSEAC - GabaritoCálculos e respostas:⎡ 0 2 2 ⎤Escalonando⎢1 1 1⎥⎢−⎥temos que (I) é equivalente a⎢⎣−11 3 ⎥⎦⎡11 −1⎤⎡x⎤⎡0⎤⎢0 1 1⎥⎢⎥ ⎢0⎥⎢ ⎥⎢y⎥=⎢ ⎥⎢⎣0 0 0 ⎥⎦⎢⎣z⎥⎦⎢⎣0⎥⎦x + y − z = 0y + z = 0Possui infinitas soluções. Se y=t então z=-t e x=-2t logo,(x,y,z)=(-2t,t, -t) = t(-2,1,-1)W = { t(−2,1,−1) / t ∈R}éo conjunto de todos os autovetores associados a λ = 11• λ = 3⎡x⎤⎡0⎤[ A − λI]⎢ ⎥ ⎢0⎥⎢y⎥=⎢ ⎥⎢⎣z⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡x⎤⎡0⎤[ A − 3I]⎢ ⎥ ⎢0⎥⎢y⎥=⎢ ⎥⎢⎣z⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡−2 2 2 ⎤ ⎡x⎤⎡0⎤⎢1 1 1⎥ ⎢ ⎥=⎢0⎥⎢− −⎥ ⎢y⎥ ⎢ ⎥...(II)⎢⎣−11 1 ⎥⎦⎢⎣z⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡−2 2 2 ⎤Escalonando⎢1 1 1⎥⎢− −⎥temos que (II) é equivalente⎢⎣−11 1 ⎥⎦⎡1−1−1⎤⎡x⎤⎡0⎤⎢0 0 0⎥⎢⎥ ⎢0⎥⎢ ⎥⎢y⎥=⎢ ⎥⎢⎣0 0 0 ⎥⎦⎢⎣z⎥⎦⎢⎣0⎥⎦x − y − z = 0Possui infinitas soluções. Se y=t e z=s então x=t+s logo,(x,y,z)=( t+s,t, s) = t(1,1,0)+s(1,0,1)W 3 = { t(1,1,0)+ s(1,0,1) / t,s ∈R}éo conjunto de todos os autovetores associados a λ = 33c) Notemos que, pelo item b), o conjunto B={(2,1,-1),(1,1,0),(1,0,1)} é uma base de R formado porautovetores de T. Portanto T e diagonalizavél. Nesta base B temos que :⎡10 0⎤[ T ] =⎢ ⎥B ⎢0 3 0⎥⎢⎣0 0 3⎥⎦d) Seja o conjunto A={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} uma base de• T(1,1,1) = (5,2,4)=a(1,1,1)+b(1,1,0)+c(1,0,0)(5,2,4)=(a+b+c, a+b, a)Então: a=4, b=-2 e c=33R6

PROAC / COSEAC - GabaritoCálculos e respostas:• T(1,1,0) = (3,3,0)=l(1,1,1)+m(1,1,0)+n(1,0,0)(3,3,0)=(l+m+n, l+m, l)Então: l=0, m=3 e n=0• T(1,0,0) = (1,1,-1)=p(1,1,1)+q(1,1,0)+r(1,0,0)[ T ] A =(1,1,-1)=(p+q+r, p+q, p)Então: p=-1, q=2 e r=0Logo a matriz a matriz de T na base A é dado por:⎡al p⎤⎡ 4 0 −1⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢b m q⎥ ⎢− 2 3 2⎥⎢⎣c n r ⎥⎦⎢⎣3 0 0 ⎥⎦7

PROAC / COSEAC - Gabarito4 a QUESTÃO: (1,0 ponto)Na tradicional história do caçador e do macaco, este se encontra pendurado em umgalho. O caçador aponta para o macaco e atira. O macaco se assusta com o estrondo esolta-se do galho no mesmo instante em que o projétil da arma é atirado. Mostreanaliticamente que o projétil atinge o alvo.Cálculos e respostas:O macaco abandona-se de modo que sua velocidade inicial é v 0y = 0 , e ele se move só nadireção vertical.O projétil tem componentes de velocidade nas duas direções.v 0y = v 0 sen ( θ ) e v 0x = v 0 cos ( θ ). (1)Da figura acima, sendo D a distância em linha reta do projétil à posição inicial do macaco,temos quesen ( θ ) = h / D e cos ( θ ) = d / D , (2)que juntamente com as equações (1) nos levam a:( v 0y / v 0x ) = ( h / d ), logo v 0y = v 0x ( h / d ) . (3)Tomando o sentido para cima para velocidades positivas, temos, para o macaco:y m = h - ½ g t 28

PROAC / COSEAC - GabaritoCálculos e respostas:para o projétil temos movimentos nas duas direções:x p = v 0x t e y p = v 0y t - ½ g t 2 (4)usando o resultado da equação (3)y p = v 0x (h/d)t - ½ g t 2O instante em que o projétil atinge a coordenada horizontal d é dado por t d = d / v 0x , logoy p = v 0x (h / d) (d / v 0x ) - ½ g(d/ v 0x ) 2 , logo, y p = h - ½ g(d / v 0x ) 2 . (5)No instante t d a cordenada vertical do macaco é:y m = h - ½ g(d / v 0x ) 2 (6)idêntico à coordenada vertical do projétil, equação (5), provando que o projétil atinge omacaco.9

PROAC / COSEAC - Gabarito5 a QUESTÃO: (2,0 pontos)Compara-se o estudo realizado em dois planos inclinados. Em um deles (Figura 1-A) é abandonado um bloco de massa M, cujo atrito entre ele e o plano é desprezível. Nosegundo plano (Figura 1-B), um disco homogêneo de raio R, com mesma massa M dobloco, é abandonado da mesma altura H da qual foi abandonado o bloco na situação A.Neste caso, o disco desce em rolamento puro. Os planos têm a mesma inclinação.Figura 1: A) Plano sem atrito com bloco de massa M abandonado à altura H, B) Planocom atrito com disco de raio R e massa M abandonado à altura H.a) Calcule a aceleração do bloco ao descer o plano 1 (Figura 1-A) e sua velocidade naparte mais baixa do plano.b) Calcule a aceleração do disco ao descer o plano 2 (Figura 1-B) e sua velocidade naparte mais baixa.c) Considerando o rolamento puro do disco ao longo do plano 2, discuta a direção daforça de atrito estático quando o disco está descendo e quando o disco está subindo oplano. Ela tem o mesmo sentido nos dois casos? Justifique sua resposta.Cálculos e respostas:a) As forças que atuam em Msão :a)Pela segunda lei de Newton:P sen ( θ ) = M a , logo a = g sen ( θ )10

PROAC / COSEAC - GabaritoCálculos e respostas:Usando a conservação de energia:½ M v 2 = M g H , logo v = (2gH ) ½b) No disco, atuam o peso P e o atrito estático f, já que o rolamento é puroA segunda lei de Newton fica:P sen ( θ ) - f = M a (7)A dinâmica de rotações diz queτ = I α, sendo α = a/ R, no rolamento puro. O torque devido ao atrito éτ = f R , o que nos leva a f = I a / R 2 (8)Substituindo em (7) temos:P sen ( θ ) = (M + I a / R 2 ).Se usamos o momento de inércia do disco em relação ao CM (½ MR 2 ) temosa = (2/3) g sen ( θ )Para calcular a velocidade, usamos novamente a conservação de energia, mas levando emconta o rolamento:½ M v 2 + ½ I ω 2 = M g H ,onde ω = v / R, devido ao rolamento puro. Se usamos o momento de inércia do discoobtemosv = [(4/3) gH ] ½c) Descendo o atrito é contra o movimento: para cima ao longo do plano.Subindo o atrito é a favor o movimento: para cima ao longo do planosubindo, o atrito é responsável pelo fim do rolamento.11

PROAC / COSEAC - Gabarito6 a QUESTÃO: (2,0 pontos)Um gás ideal realiza o ciclo apresentado na Figura 2. Partindo do ponto A, ele écomprimido isobaricamente até B; a partir daí, é aquecido isovolumetricamente até oponto C; desse ponto, o gás se expande isobaricamente até o ponto D e então é resfriadoisovolumetricamente até o ponto inicial A .Figura 2 : ciclo de transformações sofridas por um gás idealSabendo que no ponto A o gás está a uma temperatura T, calculea) as temperaturas nos pontos B, C e D em função da temperatura no ponto A;b) o rendimento do ciclo.Dados: dQ = n c dT, c : calor específicoγ = (c P/c V )c P (c V ) : calor específico à pressão (volume) constanteCálculos e respostas:a)No ponto A, sendo um gás ideal, temos:P A V A = n RT Ao que nos leva a T = 4 P 0 V 0 / nRNo ponto B: P B V B = n RT B o que nos leva a T B = P 0 V 0 / nR = T / 412

PROAC / COSEAC - GabaritoCálculos e respostas:No ponto C: P C V C = n RT C o que nos leva a T C = 2 P 0 V 0 / nR = T / 2No ponto D: P D V D = n RT D o que nos leva a T D = 8 P 0 V 0 / nR = 4 Tb)e = W / Q enportantoe =| Q en | - | Q sai | | Q sai |_______= 1 -Q em | Q en |__________________(9)Q en = Q BC + Q CD Q sai = Q AB + Q DAQ BC = nc V ∆T = nc V (T C -T B ) Q AB = nc P ∆T = nc P (T B -T A )= nc V T/4 = - nc P 3T/4Q CD = nc P ∆T = nc P (T D -T C ) Q DA = nc V ∆T = nc V (T A -T D )= nc P 5T/2 = - nc V 3T/4Q en = nc V T/4 + nc P 5T/2 |Q sai | = nc P 3T/4 + nc V 3T/4usando o fato de que (c P /c V )= γ podemos escrever:Q en = n c V T ( 1 + 10γ ) / 4 |Q sai | = n c V T ( 12 + 3γ ) / 4 (10)Substituindo (10 ) em (9) temos:e = 1 - ( 12 + 3γ )/ ( 1 + 10γ )13