CURSO de ENGENHARIA (MECÂNICA) – VOLTA REDONDA ... - Uff

PROAC / COSEAC - Gabarito3 a QUESTÃO: (2,0 pontos)Seja o operador linear T(x, y,z) = (x + 2y + 2z , x + 2y −z , − x + y + 4z) .3a) Calcule [T] , onde [T] é a matriz de [T] na base canônica de R .b) Calcule os autovalores e os autovetores de T . c) T é diagonalizável ? Em caso afirmativo, encontre uma base Β = u , u , } de3R e [T]Β, ondematriz diagonal.d) Seja a base Α = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) } dede T na base Α .Cálculos e respostas:{1 2u3[T]Βé a matriz de T na base Β tal que esta matriz seja uma3R . Calcule[T]Α, onde[T]Αé a matriza) Notemos que,T (1,0,0) = (1,1, −1)T (0,1,0) = (2,2,1)T (0,0,1) = (2, −1,4)⎡ 1 2 2 ⎤então [T] =⎢ ⎥⎢1 2 −1⎥⎢⎣−11 4 ⎥⎦⎡1b) Autovalores: seja a matriz identidade I =⎢⎢0⎢⎣0P(x)= det[ A − λI]Autovetores:• λ =1:3P(λ)= −λ+ 7λ−15λ+ 9P(λ)= (1 − λ)(3− λ)como P(λ)= 0220100⎤0⎥⎥1⎥⎦então λ = 1 e λ = 3 são os autovalores do operador linear T⎡x⎤⎡0⎤[A −λ I]⎢y⎥ ⎢0⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢⎣z⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡x⎤⎡0⎤[A − I]⎢y⎥ ⎢0⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢⎣z⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡0 2 2⎤ ⎡x⎤ ⎡0⎤⎢1 1 1⎥ ⎢y⎥ ⎢0⎥⎢−⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥...(I)⎢⎣−1 1 3 ⎥⎦ ⎢⎣z⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦5