Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al ...

Ecuatia de gradul al doilea cu a = 1 se numeste ecuatie patrata redusa si se noteaza de
regula
x 2 + px + q = 0 (4)
si formulele (2) si (3) de calcul ale radacinilor devin
Ecuatiile de forma
x1,2 = − p
2 ±
p 2 − q, (∆ > 0) (5)
2
x1 = x2 = − p
, (∆ = 0). (6)
2
ax 2 + bx = 0, (7)
ax 2 + c = 0. (8)
se numesc ecuatii de gradul al doilea incomplete. Ecuatiile (7), (8) pot fi rezolvate cu ajutorul
afirmatiei 1 sau altfel, mai simplu:
ax 2 + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔
ax 2 + c = 0 ⇔ x 2 = − c
a ⇔
Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile
⎡
⎣ x1 = 0;
x2 = − b
a .
⎡ ⎧
⎪⎨
⎢ x1,2 = ± −
⎢
⎪⎩
⎢
⎣
c
a ,
ac ≤ 0,
x ∈ ∅,
ac > 0.
a) 2x 2 − 7x = 0; b) 9x 2 − 25 = 0; c) √ 2x 2 + 3 = 0.
Rezolvare. a) 2x 2 − 7x = 0 ⇔ x(2x − 7) = 0 ⇔
⎡
⎢
⎣
x1 = 0,
x2 = 7
2 ;
b) 9x 2 − 25 = 0 ⇔ 9x 2 = 25 ⇔ x 2 = 25
9 ⇔ x1,2 = ± 5
3 ;
c) √ 2x 2 + 3 = 0 ⇔ x 2 = − 3 √ 2 , de unde rezulta ca ecuatia nu are radacini (membrul din
stanga egalitatii este nenegativ, iar cel din dreapta - negativ).
In continuare vom analiza cateva exemple de ecuatii ce se reduc la rezolvarea ecuatiilor de
gradul al doilea.
0 Copyright c○1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md
2