dinamica mecanismelor articulate modelate ca sisteme de puncte ...

UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRAOV
Catedra Design de Produs "i Robotic$
Simpozionul naional cu participare internaional
PRoiectarea ASIstat de Calculator
P R A S I C ' 02
Vol. I – Mecanisme "i Tribologie
7-8 Noiembrie Braov, România
ISBN 973-635-064-9
DINAMICA MECANISMELOR ARTICULATE MODELATE CA SISTEME
DE PUNCTE MATERIALE
Doru TALAB
Universitatea "Transilvania" din Braov
Abstract: This paper presents a model-based overview of the formalisms for the simulation of the
mechanisms. This approach provides a clear background for any formulation including specific formulas for
mobility. In this context a new model is proposed namely the multi-particle model for the articulated
mechanisms. The kinematics and dynamic formulations are outlined for all identified models. For the multiparticle
model proposed, the kinematic and dynamic mathematical formulation are given in more detail. A
sample mechanism is modelled following each individual approach, which eventually allows a comparison
between the various models.
Cuvinte cheie: Mecanisme articulate, sisteme multicorp, sisteme multi-punct.
1. Introducere
În ultimii ani, softurile de analiz automat a
mecanismelor au devenit un instrument uzual în
industrie, cercetare i dezvoltare. Pachetele
comerciale includ în mod current o larg gam de
faciliti, care permit simularea de experimente
sofisticate, cu prototipuri virtuale ale mecanismelor.
Cercetarea de vârf în domeniu este focalizat pe
dezvoltarea de noi faciliti de modelare i simulare
în dou direcii principale: (i) includerea în
formalismele analitice a neliniaritilor complexe
date de flexibilitatea corpurilor, contactul mecanic
intermitent i frecare pe de o parte i (ii) creterea
eficienei de calcul în vederea simulrilor în timp
real, pe de alt parte.
Exist un mare numr de softuri dezvoltate pe
baza a diverse formalisme matematice [9]. În funcie
de principiul utilizat la formularea ecuaiilor
dinamice acestea se împart în dou mari categorii :
Euleriene i Lagrangiene, [8]. Cele dou tipuri de
metode definesc diferit modelul geometric al
corpurilor i ca atare formulrile cinematice i
dinamice difer. Alte clasficri se bazeaz pe tipul
implementrii (prin calcul simbolic sau numeric).
În aceast lucrare se prezint tipurile de modele
mecanice ale mecanismelor asociate diverselor
formalisme cinematico-dinamice. Aceast abordare
ofer o viziune integrat a metodelor cunoscute.
Principiul avut în vedere este acela c orice
formalism reflect o reprezentare idealizat (model)
a sistemului fizic, care permite scrierea ecuaiilor
cinematico-dinamice.
În literatura de specialitate [3,4,5,6,7,8,9,11],
pentru studiul mecanismelor se cunosc trei tipuri
principale de metode: metoda coordonatelor relative
[8,11], metoda coordonatelor absolute [5,7] i
metoda coordonatelor naturale [6]. Prima metod se
bazeaz pe modelul lan"ului cinematic, iar ultimele
dou pe modelul multicorp. În prezenta lucrare se
descrie un formalism lagrangian simplu, bazat pe un
nou model mecanic al mecanismului propus de autor

i anume sistemul de puncte materiale
interconectate (multi-particle system - MPS).
Pentru a se putea face o comparaie, mai întâi se
prezint succint caracteristicile modelului lanului
cinematic i al celui multicorp, apoi structura i
relaiile matematice aferente modelului multi-punct.
2. Metoda coordonatelor relative (modelul
lan,ului cinematic)
În cadrul acestui model mecanic, mecanismul
este privit ca un lan" cinematic de cuple care leag
corpurile componente (fig.1,a). Lanul cinematic
poate fi deschis (serial) sau închis (paralel), iar
structura sa este reprezentat de regul printr-un graf
(fig.1,b), care permite algoritmizarea identificrii
C 12
contururilor închise. Acest model este foarte utilizat
în robotic [6,8] deoarece entitatea principal este
cupla cinematic', ceea ce faciliteaz controlul i
comanda articulaiilor
motorizate.
În cazul lanurilor
seriale, corpul terminal
cumuleaz toate
gradele de liberatate ale
cuplelor precedente
(fig.2), în consecin
mobilitatea se
calculeaz cu relaia:
M = i .f (1)
Fig.2.
Lanurile cu contururi
închise sunt privite ca o combina"ie de lan"uri
deschise interconectate la nivelul a dou dintre
corpuri. Conexiunea (în fond o restricie între cele
dou lanuri deschise) poate fi materializat printr-o
cupl sau o asamblare între dou dintre corpuri. Prin
urmare, mobilitatea lanului închis cumuleaz
mobilitile lanurilor deschise componente, din care
se scad restriciile conexiunii de inchidere a
conturului :
2
C 23
C 34
1
C 45
4
C 01 C 03
5
C 05
a
3
4
f i
=
Fig.1
1 2
M = f i Sk
. (2)
0
5
b
3
4
În relaia (2) S k este numrul gradelor de libertate
suprimate de fiecare conexiune între dou ramuri (în
cazul asamblrii, acesta este egal cu dimensiunea
spaiului micrii, respectiv S=3 pentru mecanismele
plane i S=6 pentru mecanismele spaiale).
De exemplu, mecanismul plan din fig.3
conine dou contururi închise care sunt echivalente
cu trei lanuri deschise interconectate prin dou
asamblri (f=0, r=3): 2B2’ i 4B4’. Mobilitatea este :
M = f S = (2 + 3 + 2) (3 + 3) 1 (3)
1
i k
=
În afar de mobilitatea global a mecanismului,
relaia (2) înglobeaz informaii eseniale privind
numrul coordonatelor generalizate ale
mecanismului i relaiile geometrice dintre acestea.
Astfel, la mecanismul din fig.3 coordonatele
generalizate sunt variabilele articulare, i anume 6
unghiuri de rotaie relativ în cuplele de rotaie i o
deplasare relativ în cupla de translaie. Acestea nu
sunt toate independente datorit restriciilor de
închidere a celor dou contururi materializate prin
asamblrile I i II, care dau fiecare câte 3 ecuaii
scalare de dependen, în total 6 ecuaii.
În general, pentru un mecanism cu contururi
închise numrul ecuaiilor care compun modelul
cinematic este
2
3
4
5
Fig. 3
f i = M + Sk
, (4)
în care M este numrul ecuaiilor ce corespund
micrilor conductoare, iar Sk
numrul
ecuaiilor de restricie geometric. De regul
ecuaiile geometrice se obin prin egalarea poziiilor
celor dou corpuri asamblate determinate cel mai
adesea prin transformri omogene tip Hartenberg-
Denavit. Sistemul ecuaiilor cinematice este neliniar
i se rezolv prin metode numerice (Newton-
Raphson). Prin derivare, se obin apoi relaiile
vitezelor i acceleraiilor care constituie sisteme
liniare. În forma matriceal modelul cinematic al
lanului cu contururi închise se scrie:
[ (q, t)] = 0, [ & (q, t)] = 0, [ &
(q, t)] = 0. (5)
Pentru analiza dinamic, cel mai des se
utilizeaz formalismul Newton-Euler, care
presupune scrierea ecuaiilor de echilibru pentru
1
2
2`
3
4
4`

fiecare corp al mecanismului (inclusiv corpurile
virtuale obinute prin secionarea contururilor, în
total n+k corpuri, k – numrul contururilor închise).
În plan, pentru fiecare corp se scriu S ecuaii (S=3
pentru mecanisme plane i S=6 pentru mecanisme
spaiale), rezultând în final S(n+k) ecuaii dinamice
care se scriu matriceal:
T
[m][q] & [J] [ ]
= [Q] + [R]. (6)
În aceast ecuaie matriceal [Q] este vectorul
forelor exterioare generalizate, iar [R] vectorul
reaciunilor care introduce ca necunoscute
suplimentare un numr de S(n+k)- f i reaciuni în
cuple. Termenul [J] T [ ]
reprezint eforturile interne
(alte S·k reaciuni necunoscute) ce corespund
restriciilor de închidere a contururilor. Ecuaiile
dinamice conin ca necunoscute f i acceleraii,
Sn+Sk- f i reaciuni i Sk multiplicatori ai lui
Lagrange, în total S(n+2k) necunoscute. Pentru
rezolvare este necesar s se constituie sistemul
ecuaiilor diferenial algebrice (EDA) prin
includerea ecuaiilor acceleraiilor:
[ &&
(q, t)] = 0,
T
[m][q]
&& [J] [ ]
= [Q] + [R].
(7)
Pentru mecanismul din fig.3, în afar de cele 6
ecuaii de acceleraii menionate anterior, se mai
scriu înc 21 de ecuaii dinamice pentru cele 7
corpuri, sistemul EDA cumulând astfel 27 ecuaii cu
27 de necunoscute: 6 acceleraii 14 reaciuni în cuple
i 7 multiplicatori ai lui Lagrange.
3. Metoda coordonatelor absolute (modelul
multicorp - Multibody System, MBS)
În cadrul acestui model mecanic, mecanismul
este reprezantat printr-un set de corpuri a cror
micare este restricionat relativ prin cuple
cinematice [6,8]. Entitatea principal a modelului
este corpul. Mobilitatea modelului se obine prin
cumularea gradelor de libertate ale corpurilor din
care se scade numrul restriciilor introduse de
cuplele cinematice (criteriul Gruebler):
M = Sn - iC i . (8)
în care S este dimensiunea spaiului (S=3 în plan i
S=6 în spaiu), n este numrul corpurilor mobile, iar
C i este numrul cuplelor de clasa i.
Pentru ilustrare, mecanismul plan din fig.3 are 5
corpuri i 7 cuple plane de clasa a II-a, adic:
M = 35-72 = 1.
În cazul unui model cinematic determinat,
aceast valoare a mobilitii este egal cu numrul
micrilor conductoare independente.
Fiecrui corp îi este asociat un reper cartezian
(BRF – Body Refernce Frame) a crui poziie în
spaiul 3D este definit în raport cu un reper fix
(Global Rference Frame – GRF) prin 6 coordonate
generalizate: 3 coordonate carteziene ale originii i 3
unghiuri de orientare relativ (de exemplu unghiurile
lui Euler). În acest fel poziia mecanismului este
caracterizat prin 6n coordonate generalizate [5] (3n
coordonate generalizate în plan). De pild,
mecanismul din fig.3 este caracterizat prin 15
coordonate generalizate.
Vectorul coordonatelor generalizate este:
[q] = [x 1 y 1 z 1 1 1 1 x 2 y 2 z 2 … x n y n z n n n n ] T
(9)
sau
[q] = [q 1 q 2 …q 6n ] T (10)
Între acestea se pot scrie ecuaiile de restricie
corespunztoare cupleleor cinematice. Fiecare
restricie introdus de o cupl este reprezentat
printr-o condiie geometric scris printr-o ecuaie
algebric între coordonatele generalizate ale
corpurilor adiacente. De exemplu o cupl de clasa a
treia introduce trei ecuaii algebrice, o cupl de clasa
a V-a – cinci ecuaii etc. În total, numrul ecuaiilor
de restricie este de iC i , în care C i este numrul
cuplelor de clasa i.
Prin urmare nu toate coordonatele generalizate
sunt independente, ci doar
N qi = M = 6n - iC i . (11)
Ecuaiile de vitez i acceleraii se obin prin
derivarea ecuaiilor de restricie în raport cu timpul,
obiându-se ecuaii cu forma general (5). Micarea
mecanismului este cinematic determinat dac
fiecrei coordonate generalizate independente îi
corespunde o micare conductoare, care se exprim
printr-o ecuaie cinematic suplimenatar.
Pentru modelul multicorp cel mai adesea,
formularea dinamic include 6n ecuaii difereniale
cu forma general:
T
[ m][q] & [J] [ ]
= [Qex
] , (12)
în care J este iacobianul restriciilor, , vectorul
multiplicatorilor lui Lagrange, iar Q ex vectorul
forelor exterioare generalizate. Numrul
necunoscutelor este 6n+iC i Pentru rezolvarea
acestui sistem este necesar includerea celor iC i

ecuaii difereniale ale restriciilor rezultând sistemul
diferenial algebric (EDA) cu forma general:
[ &&
(q, t)] = 0,
(13)
T
[m][q]
&& [J] [ ]
= [Q ex ].
De exemplu, pentru mecanismul din fig.3 se pot
scrie 15 ecuaii difereniale i 72=14 ecuaii de
restricie, în total un set de 29 ecuaii cu 29
necunoscute: 15 coordonate generalizate i 14
multiplicatori ai lui Lagrange.
4. Metoda coordonatelor naturale (MBS)
Pi în cadrul acestui model mecanic, sistemul este
reprezentat printr-un set de corpuri interconectate
prin cuple cinematice.
Modelul a fost dezvoltat de ctre Jalon i Bayo [6].
Corpurile sunt reprezentate prin entiti geometrice
de nivel inferior în raport cu solidele, cum sunt
vectori unitari (versori) i puncte fundamentale.
Acest model conduce la formulri mult mai simple
ale restriciilor introduse de culple, care exprim în
principal poziia relativ a punctelor fundamentale i
versorilor ce definesc diversele corpuri. În funcie de
tipul cuplelor adiacente, fiecare corp este reprezentat
printr-un numr diferit de puncte fundamentale i
versori, prin urmare un numr de coordonate
generalizate variabil de la un corp la altul. De
exemplu, un corp modelat prin dou puncte
fundamentale introduce 6 coordonate generalizate
dintre care numai 5 sunt independente datorit
distanelor constante dintre ele. Un element cu dou
puncte fundamentale i un versor introduce 9
coordonate generalizate, dintre care numai 6 sunt
independente (3 distane constante) s.a.m.d.
Pentru mecanismul plan din fig.3, modelul
corespunztor este prezentat în fig.4. Toate
cinematice. Mobilitatea mecanismului se calculeaz
cu relaia:
M=Pv i -r i , (14)
în care Pv i este numarul punctelor fundamentale i
versorilor care definesc corpul i, iar r i este numrul
total al restriciilor.
Pentru formularea cinematic, ecuaiile de
restricie au expresii destul de simple (ecuaii de
distan sau coinciden). De exemplu, pentru
mecanismul din fig.3 se pot formula 7 ecuaii scalare
de distan i alte 7 ecuaii vectoriale de coinciden
(echivalente cu 14 ecuaii scalare), în total 21 ecuaii
de restricie:
M=22-21=1.
Dac se adaug ecuaia cinematic a micrii
conductoare, modelul cinematic este determinat i
se poate rezolva prin metoda Newton-Rhapson.
Pentru modelul dinamic, este necesar
determinarea expresiilor matricei maselor i a
forelor generalizate în raport cu setul de coordonate
generalizate ales. Aceste matrice sunt calculate
pentru fiecare corp inând cont de reperul BRF
asociat. Pentru calculul acestor matrice se utilizeaz
principiul puterilor virtuale [6]. În etapa urmtoare,
se scriu ecuaiile dinamice care au aceeai form
general (12) ca i pentru modelul MBS.
Numrul ecuaiilor dinamice este egal cu
numrul coordonatelor naturale. De exemplu, pentru
mecanismul bicontur din fig.4, numrul ecuaiilor
difereniale este de 22. Prin adugarea celor 21 de
ecuaii algebrice ale acceleraiilor se obine sistemul
EDA cu 43 ecuaii i 43 de necunoscute: 22 de
coordonate generalizate (naturale) si 21 de
multiplicatri ai lui Lagrange, corespunztor celor 21
de restricii.
5. Modelul multi-punct (Multi-Particle System
- MPS)
Fig.4.
elementele sunt modelate prin puncte fundamentale
(corpurile 1…4 prin 2 puncte, iar corpul 3 prin 3
puncte), cu excepia corpului 5 care este modelat
printr-un punct fundamental i un versor. Numrul
coordonatelor generalizate este 22.
Restriciile sistemului includ distanele interne
ale corpurilor (distane constante intre punctele si
versorii aceluiai corp în cazul corpurilor rigide) i
legturile dintre corpuri, corespunztoare cuplelor
În contrast cu toate celelalte modele descrise pân
acum, mecanismul modelat ca un sistem multi-punct
(MPS) const într-un set de puncte materiale între
care sunt definite restricii relative. Aceast
reprezentare a mecanismului este radical diferit de
modelul MBS (inclusiv de cel cu coordonate
naturale), în primul rând prin înlocuirea noiunii de
corp solid cu cea de punct material. Pentru aceasta,
fiecare corp este înlocuit printr-un set echivalent de
puncte materiale supuse la restricii de distan
constant, astfel încât modelul mecanismului nu mai
include explicit no"iunea ce solid. În acest fel,

micarea sistemului este complet descris de
micarea echivalent a sistemului de puncte
materiale înlocuitor. Drept consecin, apare o serie
de importante simplificri ale modelului:
• Pentru urmrirea micrii nu mai este necesar
definirea de repere BRF asociate;
• Micarea de rotaie nu mai are relevan
(punctele materiale au momentele masice
nule).
• Matricea maselor (care nu mai include
momente masice) i vectorul forelor
generalizate sunt calculate pentru întregul
sistem de puncte materiale.
În esen modelul MPS al mecanismului se bazeaz
pe un model multi-punct al rigidului i un model cu
contacte punctiforme pentru fiecare tip de cupl
cinematic.
Modelul rigidului const într-un set de puncte
materiale separate prin
distane constante. Fiecare
punct material este asociat cu
o mas concentrat, în
conformitate cu principiile de
echivalen inerial utilizate
în mod curent în cadrul
Fig.5
metodei concentrrii maselor,
[2]. În spaiul 3D, pentru un
rigid sunt necesare minim 4
puncte materiale (fig.5), între care exist 6 distane
constante. Cele 4 puncte sunt date prin 3x4=12
coordonate generalizate, între care exist 6 relaii
algebrice de distan:
2
2
(x P x P ) + (yP
yP
) + (z P z P ) = P1
P
1 2
1 2
1 2
2
2
2
2 2
(x P x P ) + (yP
yP
) + (z P z P ) = P1
P
1 3
1 3
1 3
3
2
2
2 2
(x P x P ) + (yP
yP
) + (z P z P ) = P2P
2 3
2 3
2 3
3
(14)
2
2
2 2
(x P x P ) + (yP
yP
) + (z P z P ) = P1
P
1 4
1 4
1 4
4
2
2
2 2
(x P x P ) + (yP
yP
) + (z P z P ) = P2P
2 4
2 4
2 4
4
2
2
2 2
(x P x P ) + (yP
yP
) + (z P zP
) = P3
P
3 4
3 4
3 4
4
În anumite situaii constructive particulare este
posibil îns ca un corp s fie definit chiar i cu mai
puine puncte materiale (cazul discurilor subiri în
spaiul 3D care se pot reprezenta i prin 3 puncte,
sau al barelor subiri în plan cer se pot reprezenta i
numai prin 2 puncte materiale)
Fig.6
Modelul cuplei cinematice se bazeaz pe faptul
c în spaiul 3D un punct material are 3 grade de
2
2
libertate i prin urmare maximum 3 tipuri de
restricii pot fi impuse (fig.6):
(i) Coincidena cu un alt punct f = 0, r = 3.
(ii) Contactul cu o curb 3D f = 1, r = 2.
(iii) Contactul cu o suprafa 3D f = 2, r = 1.
Modelul cuplei este definit ca o combinaie a acestor
restricii între punctele materiale ce corespund
corpurilor adiacente. Modelul contactului
punctiform permite definirea practic a oricrui tip de
cupl. În tabelul 1 sunt prezentate modelele cuplelor
uzuale întâlnite la mecanismele articulate. Cu aceste
modele definite pentru entitile mecanismului,
mobilitatea se poate calcula cu relaia:
M = Sp - r i , (15)
în care p este numrul punctelor materiale care
compun modelul, S dimensiunea spaiului (S=3
pentru spaiul 3D i S=2 pentru spaiul 2D), iar r i
este numrul total al restriciilor. Vectorul
coordonatelor generalizate conine coordonatele
tuturor punctelor materiale ale modelului i are
expresia:
[q] = [x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3
z 3 … x p y p z p ] T , (16)
Vectorul [q] înmagazineaz toate informaiile
privind poziia instantanee a mecanismului si se
poate determina prin rezolvarea numeric a
sistemului de ecuaii de restricii geometricocinematice.
În cazul analizei cinematice, acesta
conine M + r i ecuaii algebrice, în care M este
Fig. 7.
numrul micrilor conductoare.
Prin derivarea succesiv a ecuaiilor de restricie,
modelul cinematic se conpleteaz într-o manier
relativ simpl cu ecuaiile de viteze i acceleraii,
cptând în final forma (5).
Pentru modelul dinamic, ecuaiile se scriu în
form condensat la fel ca pentru modelul MBS
(relaia 12), în care îns matricele au expresii mult
mai simple. Astfel, matricea maselor este

m = diag[m
1
m
1
m
1
m
2
m
2
m
2
...
m
p
m
p
m ]
(21)
Cei r i multiplicatori ai lui Lagrange reprezint
fore de reaciune (nu momente) din cuplele
cinematice, precum i eforturile interne dintre
punctele materiale ale rigidului.
TIPUL
CUPLEI
MODELUL MULTI-
PUNCT
p
Pentru mecanismul plan din fig.7, fiecare corp este
modelat prin câte 2 puncte materiale cu excepia
corpurilor 3 i 5, care sunt definite prin câte 3 puncte
materiale fiecare. Numrul total al punctelor
materiale mobile este p=12 (A 1 , B 1 , B 2 , C 2 , C 3 , D 3 ,
RESTRIC5II
Tabelul 1
ECUA5II DE RESTRIC5IE
Cupl
sferic
P 1 Q 1
c = 3
f = 3
x P1 =x Q1,
y P1 =y Q1,
z P1 =z Q1.
Cupl
cilindric
P 1 axei Q 1 Q 2
P 2 axei Q 1 Q 2
c = 4
f = 2
x
x
x
x
P1
Q2
P2
Q2
x
x
x
x
Q1
Q1
Q1
Q1
=
=
y
y
y
y
P1
Q 2
P2
Q 2
y
y
y
y
Q1
Q1
Q1
Q1
z
=
z
z
=
z
P1
Q 2
P2
Q 2
z
z
z
z
Q1
Q1
Q1
Q1
Cupl de
translaie
P 1 axei Q 1 Q 2
P 2 axei Q 1 Q 2
P 3 planului Q 1 Q 2 Q 3
c = 5
f = 1
Idem i
x y
x
x
x
P3
Q1
Q2
Q3
y
y
y
P3
Q1
Q2
Q3
z
z
z
z
P3
Q1
Q2
Q3
1
1
= 0 .
1
1
Cupl
rotaie
de
P 1 Q 1
P 2 axei Q 1 Q 2
c = 5
f = 1
x P1 =x Q1, y P1 =y Q1, z P1 =z Q1,
x P x
2 Q y
1 P y
2 Q z
1
= =
x x y y z
Q2
Q1
Q 2
Q1
P2
Q 2
z
z
Q1
Q1
Cupl
plan
P 1 planului Q 1 Q 2 Q 3
P 2 planului Q 1 Q 2 Q 3
P 3 planului Q 1 Q 2 Q 3
c = 3
f = 3
x
x
x
x
Pi
Q1
Q2
Q3
y
y
y
y
Pi
Q1
Q2
Q3
z
z
z
z
Pi
Q1
Q2
Q3
1
1
= 0 , i=1,2,3.
1
1
E 3 , E 4 , F 4 , F 5 , G 5 , H 5 ), adic Sp=2×12=24
coordonate generalizate (câte 2 coordonate pentru
fiecare punct material în plan):
q = [x A1 y A1 z A1 x B1 y B1 z B1 x B2 y B2
z B2 … x H5 y H5 z H5 ] T , (16)
Ca i restricii, avem 9 distane rigide (AB, BC,
CD, DE, CE, EF, FG, FH, GH) i 14 restricii în
cuplele cinematice, rezultând astfel în total ri=23
de restricii. Mobilitatea mecanismului este
M=Sp-r i =24-23=1.
Setul ecuaiilor de restricie este:
2
B )
1
2
C )
2
2
D )
3
2
(x A x
1
(x B x
2
(x C x
3
(x C x E )
3 3
2
(x
D x E )
3 3
(x
E x F )
4 4
2
(x F x G )
5
5
2
(x F xH
)
5
5
2
(xG
xH
)
5
5
2
+ (y
+ (y
+ (y
+ (y
+ (y
+ (y
+ (y
+ (y
+ (y
A1
B2
C3
C3
D3
E4
F5
F5
G5
y
y
y
y
y
y
y
y
y
2
B )
1
2
C )
2
2
D )
3
2
E )
3
2
E )
3
2
F )
4
2
G )
5
2
H )
5
2
H )
5
= l
= l
= l
= l
= l
= l
= l
= l
= l
2
1
2
2
2
3
2
CE
2
DE
2
4
2
FG
2
FH
2
GH
(17)

x
x
x
x
x
x
A
B
C
D
E
1
2
3
3
4
F
5
x
x
x
x
x
x
y
A
B
C
D
E
F
H
0
1
2
0
3
4
5
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= a,
y
y
y
y
y
y
y
A
B
C
D
E
F
5
G
1
2
3
3
4
5
y
y
y
y
y
y
F
= a
A
B
C
D
E
4
0
1
2
0
3
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
(18)
În cazul modelului cinematic, cea de-a 24-a
ecuaie corespunde micrii conductoare. Ecuaiile
de viteze i acceleraii sunt obinute prin derivarea
ecuaiilor de poziie în raport cu timpul:
[J][q] & = [ ]
, (19)
[J][q]
&& = [ ]
în care matricea iacobianului 24x24 are de asemenea
o expresie relativ simpl, neinclus în limitele
restrânse ale prezentei lucrri.
Pentru analiza dinamic, trebuie avut în vedere
c asupra punctelor materiale acioneaz fore
exterioare, reaciuni, precum i fore de inerie.
Pentru a putea fi luate în considerare, cuplurile
exterioare trebuie descompuse în cupluri de fore
echivalente. În acest scop, la modelarea corpurilor
trebuie avut în vederea alegerea punctelor materiale
astfel încât s poat fi modelate i cuplurile de fore.
Ecuaiile dinamice au forma (12), în care
matricea maselor 24×24 are forma:
m = diag[mA1
mA1
mA1
... mH5
mH5
mH5]
,
matricea iacobianului 23×24 corespunde restriciilor
geometrice, iar vectorul multiplicatorilor lui
Lagrange are 23 de componente. Sistemul DAE
are 47 de ecuaii cu 47 de necunoscute: 24 de
coordonate generalizate i 23 de multiplicatori
Lagrange.
6. Concluzii
Definirea clar a modelului mecanic al
mecanismelor permite formularea unui model
matematic coerent de analiz, începând cu relaiile
de calcul al mobilitii i terminând cu sistemele de
ecuaii diferenial algebrice ale modelului dinamic.
Modele prezentate conduc la formulri
matematice diferite care, în funcie de tipul
mecanismului i scopul aplicaiei, sunt mai mult sau
mai puin avantajoase.
Toate abordrile prezentate în aceast lucrare
au fost exemplificate prin conceperea de modele
pentru acelai mecanism - mecanismul plan bicontur
cu culis. Pe aceast baz se poate face o comparaie
între ele, din care rezult
(tabelul 2):
urmtoarele aspecte
Tabelul 2
MODEL
MECANIC
Ecua,ii
cinematice
Ecua,ii
dinamice
Sistem
EDA
Lan
cinematic
6 21 27
MBS
(coord.abs)
14 15 29
MBS
(coord nat.)
21 22 43
MPS 23 24 47
(i) modelul lanului cinematic conduce la cel mai
redus numr de ecuaii, în contrast cu modelul
MPS propus în aceast lucrare, care se exprim
prin cel mai mare numr de ecuaii. Numrul
ecuaiilor este important din punctul de vedere
al eficienei de calcul (timp de rulare), i este
de presupus c modelul MPS este mai lent,
deci mai puin potrivit pentru aplicaiile care
vizeaz simularea în timp real.
(ii) Modelul lanului cinematic conduce la relaii
deosebit de complexe, din acest motiv este
utilizat, în general, în programe de calcul
simbolic, care furnizeaz la ieire ecuaiile
cinematico-dinamice sub form simbolic.
Rezolvarea în sine a acestora presupune
parcurgerea unei etape numerice suplimentare
prin utilizarea unui program specializat. Acest
model este deosebit de avantajos în cazul
mecanismelor cu micri conductoare
controlate (sistemele mecatronice), datorit
accesului la variabilele cuplelor chiar prin
intermediul coordonatelor generalizate ale
modelului. Un dezavantaj major al acestui
model îns este dificultatea de a integra
deformabilitatea corpurilor, în cazul sistemelor
flexibile.
(iii) Modelul MBS este foarte potrivit pentru
implementarea numeric, motiv pentru care st
la baza tuturor pachetelor comerciale de pe
pia. În plus, se preteaz la includerea unor
modele deformabile pentru corpuri, prin
discretizarea corpurilor prin metoda
elementului finit [4].
(iv) Modelul MPS utilizeaz un set de coordonate
generalizate mai extins, ceea ce conduce la un
numr mai mare de ecuaii. Din punctul de
vedere al eficienei de calcul, acesta este un
dezavantaj. În schimb, d.p.d.v. al potenialului
de modelare creterea gradului de discretizare
a mecanismului ofer un potenial ridicat de
modelare a unor fenomene neliniare, cum ar fi
în primul rând deformabilitatea corpurilor.
(v) Modelul MPS aduce numeroase simplificri,
dintre care cele mai importante sunt:

(x
P
• Reprezentarea forelor i a proprietilor
masice este simplificat considerabil.
• Restriciile i ecuaiile algebrice
corespunztoare sunt de o varietate redus.
Cuplele uzuale din tabelul 1 utilizeaz un
numr de doar 4 tipuri de restricie, dup
cum urmeaz:
- Ecuaii de distan
1
P
2
P
P
2
P
P
2
2
1P2
x ) + (y y ) + (z z ) = P (17)
2
- Ecuaii de coinciden
1
2
x P1 =x Q1, y P1 =y Q1, z P1 =z Q1 , (20)
x
x
P1
Q2
x
x
x
x
P
Q
Q
Q
3
1
2
3
- Ecuaii de colinearitate
x
x
Q1
Q1
y
=
y
P1
Q2
y
y
Q1
Q1
z
=
z
P1
Q2
z
z
1
Q1
Q1
- Ecuaii de coplanaritate
y
y
y
y
P
Q
Q
Q
3
1
2
3
z
z
z
z
P
Q
Q
Q
3
1
2
3
2
(21)
1
1
= 0 . (22)
1
1
(vi) Modelul MPS permite o integrare “natural” a
flexibiltii corpurilor, prin înlocuirea în
modelul dinamic a ecuaiilor de distan
constant cu ecuaii ce reflect flexibilitatea
acestor distane.
Not$:Cercetrile cuprinse în prezenta lucrare sunt
finanate de ctre Comisia European, în cadrul
programului FP5 – GROWH „IRMA - A
Configurable Virtual Reality System for Multi-
Purpose Plant Simulation”, grant de cercetare
nr. GRD3-2001-61804.
Bibliografie
1. Alexandru, P., Via, I., Talab, D. Utilizarea
metodei coordonatelor în studiul mecanismelor
articulate. Simpozionul Naional de Mecanisme
i Organe de Maini, MTM '88, Institutul
Politehnic din Cluj-Napoca, vol. I, 1988, pg.1-
10.
2. Alexandru, P., Via, I., Bobancu P. Mecanisme,
vol I, Reprografia Universiii Transilvania,
Braov, 1982.
3. Dudi F., Diaconescu D. Optimizarea
structural' a mecanismelor. Ed. Tehnic,
Bucureti, 1987.
4. Geradin, M., Cardona, A. Flexible multibody
systems. John Wiley and sons, 2001.
5. Haug, J.E. Computers Aided Kinematics and
Dynamics of Mechanical System, vol. I. Ed.
Allyn and Bacon, 1989.
6. Jalon, J.G., Bayo, E. Kinematic and Dynamic
Simulation of Multibody Systems, Springer-
Verlag, New York, 1994.
7. Orlandea, N., Chace, M.A., Calahan, D.A. A
Sparsity Oriented Approach to the Dynamics
Analysis and Design of Mechanical Systems,
Journal of Engineering for Industry, August,
1977, 773-784.
8. Roberson, R., Schwertassek, R. Dynamics of
Multibody Systems. Springer Verlag, Berlin-
New York, 1988.
9. Schiehlen, W.O. Multibody Systems Handbook,
Springer Verlag, Berlin-New York, 1990.
10. Talaba D. A particle model for mechanical
system simulation. NATO Advanced Study
Institute Series, Praga, 2002, p. 190-195.
11. Wittemburg, J. Analytical Methods in the
Dynamics of Multibody Systems. Proc.
IUTAM / ISIMM Symposium on Modern
Developments in Analytical Mechanics, Turin,
1984, pg.835-858.