Föreläsning 1 Föreläsning 2

Föreläsning 1
Definition: underrum
Ett underrum H till ett vektorrum V är en
delmängd av V som har egenskaperna:
1. Nollvektorn i V finns ocks˚a iH.
2. H är sluten under vektoraddition, dvs
u, v ∈ H ⇒ u + v ∈ H.
3. H är sluten under multiplikation med
skalär, dvs u ∈ H, c ∈ R ⇒ c u ∈ H.
Definition: kolonnrum
Kolonnrummet till en m × n-matris A,
dvs Col(A), är mängden av alla linjärkombinationer
av kolonnerna i A. Dvs om
A =
a1 a2 ... an s˚aär
Col(A) = Span{a1, a2,...,an}
Sats 3
Kolonnrummet till en m × n-matris A är
ett underrum till R m .
Ove Edlund
Rum: A3448
Tel: 0920 - 491511
E-post: ove.edlund@sm.luth.se
Hemsida: http://www.sm.luth.se/˜jove
Kursens hemsida:
http://www.sm.luth.se/math/MAM131-142/3/
Exempel
Ett underrum som spänns upp av tv˚a vektorer:
Sats 1
x 1
x 3
0
v 1
v 2
Om v1, v2,...vp är i vektorrummet V
s˚a är Span{v1, v2,...vp} ett underrum
till V .
Definition: Linjär avbildning
En avbildning T är linjär om
1. T (u + v) =T (u)+T (v) för alla u, v i
definitionsmängden för T .
2. T (c u) =c (T (u))
skalärer c.
för alla u och
Definitionen leder till följande egenskaper:
T (0) =0
T (c u + d v) =cT(u)+dT(v)
T (c1 v1 + c2 v2 + ···+ cp vp)
= c1 T (v1)+c2 T (v2)+···+ cp T (vp)
x 2
Definition: vektorrum
Ett vektorrum V är en icke-tom mängd av
vektorer vilka man kan addera och multiplicera
med en skalär enligt reglerna nedan. För
vektorerna u, v, w ∈ V , och skalärerna c, d ∈ R
ska gälla:
1. u + v ∈ V
2. u + v = v + u
3. (u + v)+w = u +(v + w)
4. Det finns en nollvektor 0 s˚a att
u + 0=u
5. För alla u ∈ V existerar en vektor −u s˚a
att u +(−u) =0
6. c u ∈ V
7. c(u + v) =c u + c v
8. (c + d)u = c u + d u
9. (cd)u = c(d u)
10. 1 u = u
Definition: nollrum
Nollrummet till en m × n-matris A, dvs
Nul(A), är mängden av lösningar till den homogena
ekvationen A x = 0, dvs
Sats 2
Nul(A) ={x ∈ R n | A x = 0}
Nollrummet till en m × n-matris A är ett
underrum till R n .
Föreläsning 2

Sats 4
En mängd {v1, v2,...,vp} av minst tv˚a
vektorer, där v1 = 0, är linjärt beroende
om och endast om n˚agot vj kan uttryckas
som en linjärkombination av de
föreg˚aende vektorerna v1, v2,...,vj−1.
Definition: Bas
Om H är ett underrum till V , s˚a är
vektormängden B = {b1, b2,...,bp} i V en bas
för H om
(i) B är en linjärt oberoende mängd, och
(ii) underrummet som spänns upp av B är
hela H, dvs
H = Span{b1, b2,...,bp}.
Koordinatbytesmatris fr˚an B till R m
Givet basen B = {b1, b2,...,bn}, där b k ∈ R m
gäller att
x = P B [x] B
där x ∈ Rm , [x] B ∈ Rn och PB är m × n-matrisen
PB =
b1 b2 ... bn .
Om m = n ges avbildningen [x] B ↦→ x av
[x] B = P −1
B x
Sats 11
L˚at H vara ett underrum till ett
ändligtdimensionellt vektorrum V .
a. Varje linjärt oberoende mängd i
H kan, om s˚a behövs, kompletteras/utökas
till en bas för H.
b. H är ocks˚a ändligtdimensionellt och
dim(H) ≤ dim(V ).
Sats 12
L˚at V vara ett p-dimensionellt vektorrum,
där p ≥ 1.
a. Varje mängd av p linjärt oberoende
vektorer i V är en bas för V .
b. Varje mängd av p vektorer som
spänner upp V är en bas för V .
Sats 5
L˚at S = {v1, v2,...,vp} där vi ∈ V ,ochl˚at
H = Span{v1, v2,...,vp}.
a. Om vk kan uttryckas som en
linjärkombination av de övriga elementen
i S, s˚akanvktas bort ur S,
utan att Span(S) p˚averkas.
b. Om H = {0}, s˚a finns en delmängd av
S som är bas för H.
Sats 6
Piv˚akolonnerna i matrisen A bildar en bas
för Col(A).
Sats 8
L˚at B = {b1, b2,...,bn} vara en bas för
vektorrummet V . Koordinatavbildningen
x ↦→ [x] B är d˚a en linjär avbildning fr˚an V
till R n som b˚ade är injektiv och surjektiv.
Om det finns en injektiv och surjektiv avbildning
fr˚an ett vektorrum till ett annat är
vektorrummen isomorfa, dvs de har ”samma
form”.
Föreläsning 4
Sats 7
L˚at B = {b1, b2,...,bn} vara en bas för
vektorrummet V .För varje x ∈ V finns d˚a
unika skalärer c1,c2,...,cn s˚a att
x = c1 b1 + c2 b2 + ···+ cn bn.
Definition: Koordinater
Om B = {b1, b2,...,bn} är en bas för vektorrummet
V och x ∈ V , s˚a ges koordinaterna
för x is basen B av vikterna c1,c2,...,cn som
uppfyller
x = c1 b1 + c2 b2 + ···+ cn bn.
Vektorn i Rn med c1,c2,...,cn som element
kallas B-koordinatvektorn för x, och skrivs
⎡ ⎤
c1
⎢ ⎥
⎢ c2 ⎥
[x] B = ⎢ ⎥
⎣ . ⎦
cn
.
Sats 9
Om ett vektorrum V har bas
B = {b1, b2,...,bn}, s˚aär varje mängd av
mer än n vektorer i V linjärt beroende.
Sats 10
Om ett vektorrum V har en bas best˚aende
av n vektorer, s˚a best˚ar alla baser som
spänner upp V av n vektorer.
Definition: Dimension
Om det finns en ändlig mängd som spänner
upp V , s˚a är V ändligtdimensionellt, och
dim(V ) är dimensionen för V och ges av
antalet element i vektorrummets bas.
Nollvektorrummet {0} har dimension 0.
Om V ej är ändligtdimensionellt s˚a är det
oändligtdimensionellt.
Definition: radrum
Radrummet till en m × n-matris A, dvs
Row(A), är mängden av alla linjärkombinationer
av raderna i A. Dvs om
⎡
a
⎢
A = ⎢
⎣
T 1
aT 2.
aT ⎤
⎥
⎦
s˚aär
m
Row(A) = Span{a1, a2,...,am}
vilket ocks˚a innebär att Row(A) = Col(AT ).
Sats 13
Om tv˚a matriser A och B är radekvivalenta
s˚a har de samma radrum.
(A ∼ B ⇒ Row(A) =Row(B))
Om B är p˚a trappstegsform, bildar raderna
som ej endast best˚ar av nollor, en bas
för Row(A).

Definition: rang
Rangen av en matris A, är lika med dimensionen
hos kolonnrummet, dvs
Sats 14
rank(A) = dim(Col(A)).
Dimensionerna hos kolonnrummet och
radrummet är lika. B˚ada har dimension
rank(A) vilket ocks˚a är lika med antalet
piv˚apositioner i A.
Om A är en m × n-matris gäller ocks˚a att
rank(A) + dim(Nul(A)) = n.
Exempel: basbyten
B = {b1, b2} och C = {c1, c2} är b˚ada baser i
R 2 . Figuren nedan visar hur en vektor x ∈ R 2
bildas i de b˚ada baserna:
b 2
0
c 2
0
c1 Uppenbarligen är
dvs
b 1
6c 1
(a)
4c 2
(b)
x
x
3b 1
x =3b1 +1b2 och x =6c1 +4c2
Definition: determinant
3
[x] B =
1
Determinanten till en 1 × 1-matris är matrisens skalära värde (ex.
det[5] = 5).
Determinanten till en n × n-matris, d˚a n ≥ 2, är en viktad summa av
determinanter till n st. (n − 1) × (n − 1)-matriser enligt formeln
6
och [x] C =
4
det(A) =a11 det(A11) − a12 det(A12)+···+(−1) 1+n a1n det(A1n)
n
= (−1)
j=1
1+j a1j det(A1j)
där Aij är den matris som erh˚alls om rad i och kolonn j tas bort fr˚an
A.
Sats: Inverterbarhet
L˚at A vara en n × n-matris. D˚a är de
följande p˚ast˚aendena ekvivalenta, dvs om
ett är sant s˚a är alla sanna.
a. A är inverterbar.
b. A är radekvivalent med In.
c. A har n piv˚apositioner.
d. Den homogena ekvationen Ax = 0 har
endast den triviala lösningen x = 0.
e. Kolonnerna i A är linjärt oberoende.
f. Avbildningen x ↦→ Ax är injektiv.
g. Ax = b har lösning för varje b.
h. Kolonnerna i A spänner upp Rn .
i. Avbildningen x ↦→ Ax är surjektiv.
j. Det finns en matris C s˚a att CA = In.
k. Det finns en matris D s˚a att AD = In.
l. AT är inverterbar.
Om A är en n × n-matris som ej är inverterbar
säger vi att A är singulär.
Sats 15
Om B = {b1, b2,...,bn} och
C = {c1, c2,...,cn} är baser för vektorrummet
V , s˚a existerar en n × n-matris
P s˚a att
C←B
[x] C = P [x] B.
C←B
Kolonnerna i P
C←B
ges av basvektorerna
b1, b2,...,bn uttryckta som Ckoordinatvektorer,
dvs
P = [b1] C
C←B
[b2] C
... [bn] C .
Matrisen P ovan, kallas koordinatsby-
C←B
tesmatrisen. Matrisen är inverterbar vilket
medför att
−1[x]C P =[x] B
C←B
allts˚a gäller
P
B←C
−1. = P
C←B
Utveckling efter rad och kolonn
L˚at
Cij =(−1) i+j det(Aij)
beteckna kofaktorn för rad i och kolonn j
till matrisen A. D˚agäller enligt definitionen
av determinant
det(A) =a11 C11 + a12 C12 + ···+ a1n C1n.
Detta är utvecklingen efter rad 1. Man kan
dock utveckla efter en godtycklig rad eller
kolonn
Sats 1
Utveckling efter rad i:
det(A) =ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + ···+ ain Cin
Utveckling efter kolonn j:
det(A) =a1j C1j + a2j C2j + ···+ anj Cnj
Sats: Inverterbarhet, forts
L˚at A vara en n × n-matris. D˚a utökar
vi listan med de följande ekvivalenta
p˚ast˚aendena:
m. Kolonnerna i A bildar bas för Rn .
n. Col(A) =Rn .
o. dim(Col(A)) = n.
p. rank(A) =n.
q. Nul(A) ={0}.
r. dim(Nul(A))=0.
Föreläsning 5
Sats 2
Om A är en triangulär matris, s˚a är
det(A) produkten av elementen p˚a diagonalen
av A.
Sats 3: Radoperationer
L˚at A vara en kvadratisk matris.
a. Om matrisen B bildas genom att ta
en multipel av en rad i A och lägga
till en annan, s˚a gäller
det(B) = det(A).
b. Om B bildas genom att byta plats p˚a
tv˚a rader i A, s˚agäller
det(B) =−det(A).
c. Om B bildas genom multiplicera en
rad i A med k, s˚agäller
det(B) =k det(A).

Sats 4
En kvadratisk matris A är inverterbar,
om och endast om det(A) = 0.
Sats 5
Om A en kvadratisk matris s˚a gäller
Sats 6
det(A T ) = det(A)
Om A och B är n × n-matriser s˚a gäller
det(AB) = det(A) det(B)
Föreläsning 6
Föreläsning 7
Sats: Inverterbarhet, forts
L˚at A vara en n × n-matris. D˚a utökar
vi listan med de följande ekvivalenta
p˚ast˚aendena:
m. Kolonnerna i A bildar bas för Rn .
n. Col(A) =Rn .
o. dim(Col(A)) = n.
p. rank(A) =n.
q. Nul(A) ={0}.
r. dim(Nul(A))=0.
t. det(A) = 0.
Sats 10
L˚at T : R2 −→ R2 vara den linjära avbildning som alstras
av 2 × 2-matrisen A. OmS är ett parallellogram i R2 ,
s˚aär
{arean av T (S)} = |det(A)|·{arean av S}
L˚at istället T : R3 −→ R3 vara den linjära avbildning som
alstras av 3 × 3-matrisen A. OmS är en parallellepiped
i R3 ,s˚aär
{volymen av T (S)} = |det(A)|·{volymen av S}
Sats 9
Om A är en 2 × 2-matris s˚a är |det(A)|
arean av parallellogrammet som spänns
upp av kolonnerna i A.
Om A är en 3 × 3-matris s˚a är |det(A)|
volymen av parallellepipeden som spänns
upp av kolonnerna i A.
Ett generellt omr˚ade approximerat med ”parallellogram”:
0 0
Linjär avbildning av approximerat omr˚ade:
R’
0 0
T
T(R’)
Slutsats: Sats 10 gäller för generella begränsade
omr˚aden.

Sats 1: Summationsformler
n
= n
1=1+1+1+···+1
n st.
(a)
i=1
n(n +1)
2
n
i =1+2+3+···+ n =
(b)
Bestämd integral
i=1
n(n + 1)(2n +1)
6
n
i 2 =1 2 +2 2 +3 2 + ···+ n 2 =
(c)
i=1
n
r i =1+r + r 2 + r 3 + ···+ r n = rn+1 − 1
r − 1
(d)
i=0
Om det för alla partitioner P finns endast ett
värde I som alltid uppfyller
L(f, P) ≤ I ≤ U(f, P)
säger vi att f är integrerbar i intervallet
[a, b].
Vi benämner I den bestämda integralen av
f p˚a [a, b], och skriver
b
I = f(x) dx.
a
Partition
En partition är en ordnad mängd med punkter
p˚a ett intervall [a, b], s˚a att partitionen P
som ges av
P = {x0,x1,x2,...xn}
uppfyller a = x0

Sats 4: Medelvärdessatsen
Om f är kontinuerlig p˚a [a, b] s˚a existerar
en punkt c i intervallet [a, b] s˚a att
b
f(x) dx =(b− a)f(c).
a
Med ledning av satsen ovan s˚a definierar vi
medelvärdet ¯f av en funktion enligt
¯f = 1
b
f(x) dx.
b − a a
Elementära obestämda integraler
7.
8.
9.
10.
11.
x r dx = 1
r+1 xr+1 + C, (r = −1)
1
dx =ln|x| + C
x
sin ax dx = − 1
cos ax + C, (a = 0)
a
cos ax dx = 1
sin ax + C, (a = 0)
a
1
cos2 1
dx = tan ax + C, (a = 0)
ax a
1
15.
a2 x
dx = arcsin + C, (a >0)
− x2 a
1
16.
a2 1 x
dx = arctan + C, (a = 0)
+ x2 a a
17.
e ax dx = 1
a eax + C, (a = 0)
Trigonometriska integraler
Integraler av typen
sin m x cos n xdx
där m, n ∈ N, hanteras p˚a ett av tv˚a sätt:
1. Om m och/eller n är udda kan substitutionsmetoden
utnyttjas.
2. Om b˚ade m och n är jämna utnyttjas
sambanden
cos 2 x = 1
(1 + cos 2x)
2
sin 2 x = 1
(1 − cos 2x)
2
för att reducera gradtalet hos exponenterna.
Analysens huvudsats
Antag att f är kontinuerlig p˚a intervallet
I och att a ∈ I.
1. L˚at funktionen F vara definerad p˚a I
av
x
F (x) = f(t) dt.
a
D˚a är F deriverbar p˚a I och
F ′ (x) =f(x), dvs F är primitiv funktion
till f, dvs
d x
f(t) dt = f(x).
dx a
2. Om G är en primitiv funktion till f p˚a
I och b ∈ I s˚aär
b
f(x) dx = G(b) − G(a).
a
Substitution i obestämd integral
Om f är kontinuerlig med primitiv funktion
F ,ochgär deriverbar, s˚a är
f
g(x)
g ′ (x) dx = F
g(x)
+ C.
Substitution i bestämd integral
Sats 6
Om g är deriverbar p˚a [a, b], och f är
kontinuerlig p˚a värdemängden av g, och
A = g(a), B = g(b), s˚aär
b
f g(x)
a
g ′ B
(x) dx = f(u) du,
A
där u = g(x) och du = g ′ (x) dx.
Föreläsning 10
Föreläsning 8
Trigonometriska integraler
(a) tan xdx= − ln | cos x| + C
(b) cot xdx=ln| sin x| + C
1
1
+ sin x
(c) dx =ln
+ C
cos x cos x
1
1
+ cos x
(d) dx = − ln
+ C
sin x sin x
Integral (c) och (d) kräver ganska märkliga
substitutioner för att härledas.
Definition: Egenvektor, egenvärde
En egenvektor till en n × n-matris, är en
vektor x skilld fr˚an nollvektorn, som uppfyller
A x = λ x
för n˚agon skalär λ. Denna skalär λ kallas för
ett egenvärde till matrisen.
Definition: Samma sak igen
Om man vänder p˚a steken, kan man uttrycka
sig s˚ahär :Enskalär λ är ett egenvärde till
matrisen A om det finns en icketrivial lösning
x till
A x = λ x.
En s˚adan lösning x kallas för en egenvektor
som hör till egenvärdet λ.

Egenvektor, egenvärde, egenrum
Egenvärden och egenvektorer till en n × nmatris
A kan undersökas med det homogena
linjära ekvationssystemet
(A − λI)x = 0.
Skalären λ är ett egenvärde om och endast
om systemet har icketrivial lösning.
Givet ett egenvärde λ, är varje icketrivial
lösning x en egenvektor som hör till λ.
Mängden av alla egenvektorer som hör
till egenvärdet λ, tillsammans med nollvektorn
0, bildar ett underrum till R n och
benämns därför egenrummet. Egenrummet
som hör till egenvärdet λ ges följdaktligen av
Nul(A − λI).
Karakteristisk ekvation
En skalär λ är ett egenvärde till n × nmatrisen
A om och endast om λ uppfyller
den karakteristiska ekvationen
det(A − λI)=0.
Man kan visa att att det(A − λI) bildar
ett n-tegradspolynom i λ. Detta polynom
kallas det karakteristiska polynomet.
Egenvärdena ges av nollställena till detta polynom.
Nollställenas multiplicitet blir ocks˚a multipliciteten
för egenvärdena.
Diagonaliserbarhet
En matris A sägs vara diagonaliserbar om
den är similär med n˚agon diagonalmatris, dvs
om det finns en inverterbar matris P s˚a att
A = PDP −1 för n˚agon diagonalmatris D.
Sats 5: Diagonalisering
En n × n-matris A är diagonaliserbar
om och endast om A har n st. linjärt oberoende
egenvektorer.
Matrisen P bildas d˚a med n-st linjärt oberoende
egenvektorer som kolonner, och
D bildas av egenvärdena som diagonalelement,
p˚a s˚a sätt att egenvärdet för
egenvektorn i varje kolonn i P hamnar p˚a
diagonalen i motsvarande kolonn i D.
Sats 1
Om A är en triangulär matris, s˚a ges
egenvärdena av diagonalelementen.
Sats 2
Om v1, v2,...,vr är egenvektorer som
svarar mot var sitt unikt egenvärde
λ1,λ2,...,λr till en kvadratisk matris A,
s˚a är mängden {v1, v2,...,vr} linjärt oberoende.
Similaritet
Om A och B b˚ada är n × n-matriser, s˚a är A
och B similära om det finns en inverterbar
n × n-matris P s˚a att
Sats 4
P −1 AP = B.
Om n × n-matriserna A och B är similära,
s˚a har de samma karakteristiska polynom,
dvs de har samma egenvärden.
Sats 6
Om en n × n-matris har n st. unika
egenvärden s˚a är matrisen diagonaliserbar.
Sats 7
L˚at A vara en n × n-matris med p st. unika
egenvärden λ1,λ2,...,λp.
a. Dimensionen hos egenrummet för λk är mindre än eller lika med multipliciteten
för λk b. Matrisen A är diagonaliserbar
om och endast om summan av egenrummens
dimensioner är lika med n.
Detta inträffar endast om dimensionerna
för alla egenrum är lika med
multipliciteten för motsvarande
egenvärden.
c. Om A är diagonaliserbar, bildar basvektorerna
för samtliga egenrum, tillsammans
en bas för Rn .
Sats: Inverterbarhet, forts
L˚at A vara en n × n-matris. D˚a utökar
vi listan med de följande ekvivalenta
p˚ast˚aendena:
m. Kolonnerna i A bildar bas för Rn .
n. Col(A) =Rn .
o. dim(Col(A)) = n.
p. rank(A) =n.
q. Nul(A) ={0}.
r. dim(Nul(A))=0.
s. Talet 0 är inte ett egenvärde till A.
t. det(A) = 0.
Föreläsning 11
Matrisen för linjär avbildning
L˚at T : V −→ W vara en linjär avbildning,
B = {b1, b2,...,bn} vara en bas för V , och
C = {c1, c2,...,cm} vara en bas för W .
D˚a ges avbildningsmatrisen M för koordinatvektorer
i respektive bas, motsvarande avbildningen
T ,av
M =
[T (b1)] C [T (b2)] C ... [T (bn)] C ,
dvs
[T (x)] C = M[x] B,
Avbildning fr˚an V till V
Om avbildningen är fr˚an V
matrisen [T ] B, dvs
till V , s˚a skrivs
[T ] B =
[T (b1)] B [T (b2)] B
och
... [T (bn)] B
,
[T (x)] B =[T ] B[x] B.
Matrisen [T ] B kallas B-matris.

Egenvektorbaser i R n
Om man l˚ater n st. linjärt oberoende egenvektorer
till en avbildningsmatris vara en bas
i R n ,s˚a blir avbildningsmatrisen i egenvektorbasen
en diagonalmatris med egenvärden p˚a
diagonalen.
Sats 8
Antag att A = PDP−1 ,där D är en diagonal
n × n-matris. Om B är den bas för
Rn som bildas av kolonnerna i P ,s˚aär D
den B-matris som motsvarar avbildningen
x ↦→ Ax.
Föreläsning 13
Omvänd substitution med sinus
Integraler som inneh˚aller
a 2 − x 2 1/2
blir ibland enklare med substitutionen
x = a sin θ.
Omvänd substitution med tangens
Integraler som inneh˚aller
a 2 + x 2 1/2
eller
1
a 2 + x 2
blir ibland enklare med substitutionen
x = a tan θ.
Föreläsning 12
Partiell integration
Vi söker lösa
f(x)g(x) dx.
Om n˚agon primitiv funktion F (x) till
f(x) är känd och vi lätt kan bestämma
F (x)g ′ (x) dx s˚a är partiell integrering ett
intressant alternativ:
f(x)g(x) dx = F (x)g(x) − F (x)g ′ (x) dx.
Min minnesregel ser ut s˚ahär:
f(x) g(x) dx = F (x) g(x) − F (x) g
↑ → → ↓
′ (x) dx.
Föreläsning 14
Exempel: Dynamiska system
0,95
Om A =
0,05
0,03
400000
och x0 =
s˚a
0,97
600000
ger differensekvationen xk+1 = Axk upphov
till serien
400000
x0 =
600000
390159
x6 =
609841
398000
x1 =
602000
388946
x7 =
611054
396160
x2 =
603840
387830
x8 =
612170
394467
x3 =
605533
386804
x9 =
613196
392910
x4 =
607090
385860
x10 =
614140
391477
x5 =
608523
384991
x11 =
615009
375387
x50 =
624613
Omvänd substitution
375356
x51 =
624644
Använd Sats 6 baklänges, dvs gör integralen
till synes ”mer komplicerad”. S˚a istället för
att lösa
b
f(x) dx,
a
löser vi
g−1 (b)
g−1
f g(u)
(a)
g ′ (u) du.
Integraler av rationella funktioner
Alla integraler av rationella funktioner kan
styckas sönder till följande komponenter:
1.
2.
1
dx =ln|x + a| + C
x + a
x
x2 1
dx =
+ a2 2 ln(x2 + a 2 )+C
1
3.
x2 1 x
dx = arctan + C, (a = 0)
+ a2 a a
och d˚a gradtalen i nämnarna är högre:
4.
1
−1
dx =
(x + a) n n − 1 ·
1
+ C,
(x + a) n−1
5.
x
x2 + a2 n dx
=
−1
2(n − 1) ·
1
x2 + a2 + C,
n−1
6.
1
x2 + a2
l˚angt och tr˚akigt
n dx =
uttryck, se tabell!

Sats 1
Om P och Q är polynom och P har lägre
gradtal än Q s˚agäller att
(a) Q kan faktoriseras enligt
Q = k(x − a1) m1(x − a2) m2 ···(x − aj) mj
reella rötter
· (x 2 + b1x + c1) n1 ···(x 2 + b kx + c k) n k
komplexa rötter
(b) Den rationella funktionen P
kan par-
Q
tialbr˚aksuppdelas:
Varje faktor (x − a) m i Q ger upphov till
termer
A1
x − a +
A2
+ ...+
(x − a) 2 Am
(x − a) m.
Varje faktor (x2 + bx + c) n i Q ger upphov
till termer
B1x + C1
x2 Bnx + Cn
+ ...+
+ bx + c (x2 + bx + c) n.
Summan av alla s˚adana termer bildar partialbr˚aksuppdelningen
av P
. De okända
Q
konstanterna bestäms genom att sätta alla
br˚aken p˚a gemensam nämnare, och se
till att täljaren blir P .
Generaliserade integraler (2)
Om funktionen f är obegränsad (±∞) i
ena integrationsgränsen, definierar vi den
generaliserade integralen som
eller
b
b
f(x) dx = lim f(x) dx
a c→a+ c
b
c
f(x) dx = lim f(x) dx .
a c→b− a
Om gränsvärdet existerar, säger vi att den
generaliserade integralen konvergerar. Annars
divergerar den.
Längd, norm
Längden (eller normen) av en vektor v i R n
är den ickenegativa skalär v som definieras
av
v = √
v • v = v 2 1 + v2 2 + ···+ v2 n
För alla skalärer c gäller att cv = |c|v.
En enhetsvektor är en vektor vars längd
(norm) är 1. Givet en vektor v f˚ar vi en enhetsvektor
som pekar i samma riktning som
v genom att normera den, dvs bilda
1
v v.
Avst˚and
Avst˚andet mellan vektorerna u och v skrivs
dist(u, v), och definieras som längden (normen)
av u − v, dvs
dist(u, v) =u − v.
Föreläsning 15
Föreläsning 16
Ortogonala vektorer
Tv˚a vektorer u och v i R n är ortogonala om
u • v =0.
Sats 2: Pythagoras sats
Tv˚a vektorer u och v är ortogonala
om och endast om
u + v 2 = u 2 + v 2 .
Generaliserade integraler (1)
Om den ena integrationsgränsen är oändligheten
(±∞), definierar vi den generaliserade
integralen som
eller
∞
R
f(x) dx = lim f(x) dx
a R→∞ a
b
b
f(x) dx = lim f(x) dx .
−∞ R→−∞ R
Om gränsvärdet existerar, säger vi att den
generaliserade integralen konvergerar. Annars
divergerar den.
Skalärprodukt, inre produkt
Om vi har tv˚a vektorer
⎡ ⎤
u1
⎢ ⎥
⎢ u2 ⎥
u = ⎢ ⎥
⎣ . ⎦
och
⎡ ⎤
v1
⎢ ⎥
⎢ v2 ⎥
v = ⎢ ⎥
⎣ . ⎦
un
vn
s˚a ges skalärprodukten eller inre produkten
av
u • v = u T v = u1v1 + u2v2 + ···+ unvn
Sats 1
L˚at u, v och w vara vektorer i Rn ,ochc
vara en skalär. D˚a gäller
a. u • v = v • u
b. (u + v) • w = u • w + v • w
c. (cu) • v = c(u • v) =u • (cv)
d. u • u ≥ 0, ochu•u =0⇔ u = 0.
OBS! Satsen ger att
(c1u1 + c2u2 + ···+ cpup) • w
= c1u1 • w + c2u2 • w + ···+ cpup • w
Ortogonala komplementet
Om en vektor z är ortogonal mot varje vektor
i ett underrum W ,iR n ,s˚asäger vi att z är
ortogonal mot W .
Mängden av alla vektorer z som är ortogonala
mot W kallas ortogonala komplementet till
W , och betecknas W ⊥ .
1. En vektor x tillhör W ⊥ om och endast
om x är ortogonal mot varje vektor i
en mängd som spänner upp W .
2. W ⊥ är ett underrum till Rn .
Sats 3
Om A är en m × n-matris, s˚a är
och
(Row(A)) ⊥ = Nul(A)
(Col(A)) ⊥ = Nul(A T ).

Ortogonala mängder
En mängd vektorer {u1, u2,...,up} är en ortogonal
mängd om varje vektor i mängden
är ortogonal mot alla andra, dvs ui • uj =0
d˚a i = j.
Sats 4
Om S = {u1, u2,...,up} är en ortogonal
mängd av vektorer skilda fr˚an nollvektorn
0, s˚a är S linjärt oberoende och
därmed en bas för Span(S).
Ortonormerade mängder
En mängd vektorer {u1, u2,...,up} är en ortonormerad
mängd om det är en ortogonal
mängd av enhetsvektorer.
Om mängden är en bas för ett underrum W
säger vi att det är en ortonormerad bas för
W .
Sats 6
En m × n-matris U har ortonormerade kolonner
om och endast om U T U = I.
Sats 7
Om U är en m × n-matris med ortonormerade
kolonner, och x, y ∈ Rn ,s˚aär
a. Ux = x
b. (Ux) • (Uy) =x • y
c. (Ux) • (Uy) =0⇔ x • y =0
Sats 10
Om {u1, u2,...,up} är en ortonormerad bas för W ,s˚a
är
proj W (y) =(y • u1)u1 +(y • u2)u2 + ···+(y • up)up.
Om vi bildar matrisen U =[u1 u2 ... up ], kan detta
uttryckas enligt
proj W (y) =UU T y.
Ortogonala baser
En ortogonal bas för ett underrum W ,är en
bas för W som ocks˚a är en ortogonal mängd.
Sats 5
L˚at {u1, u2,...,up} vara en ortogonal bas
för W .För varje vektor y ∈ W gäller d˚a
y = c1u1 + c2u2 + ···+ cpup
där vikterna c1,c2,...,cp ges av
y • ui
ci = .
ui • ui
Ortogonal projektion
Sats 8
L˚at W vara ett underrum till Rn .D˚akan
varje y ∈ Rn entydigt uttryckas av
y =ˆy + z
där ˆy ∈ W och z ∈ W ⊥ .
Om {u1, u2,...,up} är en ortogonal bas
för W , uttrycks dessa vektorer av
y • u1 y • u2
y • up
ˆy = u1 + u2 + ···+ up
u1 • u1 u2 • u2
up • up
och
z = y − ˆy.
Vektorn ˆy ovan kallas för den ortogonala
projektionen av y p˚a W , och betecknas
proj W (y).
ON-matriser, ortogonala matriser
Om U är en n × n-matris vars kolonner bildar
en ortonormerad bas, s˚a är Col(U) =R n .Av
sats 10 följer, att för alla y ∈ R n gäller
y = projRn(y) =UU T y = I y,
dvs
UU T = I.
Enligt sats 6 gäller ocks˚a
Slutsats:
U T U = I.
U T = U −1
om U är en kvadratisk matris med ortonormerade
kolonner.
En s˚adan matris kallas för en ON-matris eller
ortogonal matris.
Ortogonal projektion
Ortogonala projektionen av y p˚a u ges av
y • u
ˆy =
u • u u
Komposanten av y som är ortogonal mot u
ges av
y • u
z = y −
u • u u
Sats 9
L˚at W vara ett underrum till R n , y ∈ R n
och ˆy = proj W (y). D˚aär ˆy den punkt i W
som är närmast y, i avseendet att
y − ˆy < y − v
för alla v ∈ W som är skilda fr˚an ˆy.
Dvs ˆy är den vektor i W som är den bästa
approximationen av y.
Föreläsning 17

Grahm-Schmidt-ortogonalisering
Sats 11
Givet en bas {x1, x2,...,xp} för ett underrum W till Rn ,l˚at
Sats 14
v1
v1 = x1
v2 = x2 − x2 • v1
v1 • v1
v2
v1 − x3 • v2
v2 • v2
v3 = x3 − x3 • v1
v1 • v1
.
xp • vp−1
vp−1
v2 −···−
xp • v2
v2 • v2
v1 −
xp • v1
v1 • v1
vp = xp −
vp−1 • vp−1
D˚aär {v1, v2,...,vp} en ortogonal bas för W .
Matrisen AT A är inverterbar om och endast
om kolonnerna i A är linjärt oberoende.
Om s˚a är fallet har minstakvadratproblemet
A x = b endast en lösning ˆx, som ges
av
ˆx =(A T A) −1 A T b.
Sats 15
Om A är en m × n-matris med linjärt
oberoende kolonner, och A har QRfaktorisering
A = QR, s˚a har ekvationen
A x = b minstakvadratlösning
ˆx = R −1 Q T b.
Kända begrepp i ny tappning
I ett inreproduktrum V definieras längden eller
normen av en vektor av
v = 〈v, v〉.
Uppenbarligen gäller d˚a ocks˚a att
v 2 = 〈v, v〉.
En enhetsvektor är en vektor vars
längd/norm är 1.
Avst˚andet mellan tv˚a vektorer u och v är
u − v.
Vektorerna u och v är ortogonala om
〈u, v〉 =0.
Ortonormerad bas
Vi kan naturligtvis lätt skapa en ortonormerad
bas, efter Grahm-Schmidt-ortogonaliseringen,
genom att normera basen.
QR-faktorisering
Sats 12
Om A är en m × n-matris med linjärt oberoende
kolonner, s˚a kanAfaktoriseras enligt
A = QR
där Q är en m × n-matris vars kolonner är
en ortonormerad bas för Col(A), ochR är
en övertriangulär n × n-matris.
Föreläsning 18
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
0
Minstakvatdratproblemet
Om A är en m × n-matris och b är en vektor
i R n ,s˚aär minstakvadratlösningen till
A x = b en vektor ˆx i R n s˚a att
b − A ˆx ≤b− A x
för alla x i Rn .
Sats 13
Mängden av minstakvadratlösningar till
A x = b sammanfaller med den icke tomma
mängden av lösningar till normalekvationen
A T A x = A T b.
Definition: inre produkt,
inreproduktrum
En inre produkt i ett vektorrum V . är en
funktion som givet tv˚a vektorer u och v i
V , ger tillbaka ett reellt tal 〈u, v〉, och som
dessutom uppfyller följande räknelagar:
1. 〈u, v〉 = 〈v, u〉
2. 〈u + v, w〉 = 〈u, w〉 + 〈v, w〉
3. 〈cu, v〉 = c〈u, v〉
4. 〈u, u〉 ≥0, och〈u, u〉 =0⇔ u = 0.
Ett vektorrum med inre produkt, kallas för
ett inreproduktrum.
Sats 16: Cauchy-Schwarz olikhet
För alla u, v ∈ V gäller
|〈u, v〉|≤uv.
Sats 17: Triangelolikheten
För alla u, v ∈ V gäller
u + v ≤u + v.

Föreläsning 19
Ortogonalt diagonaliserbara matriser
En matris A sägs vara ortogonalt diagonaliserbar
om det finns en ON-matris (ortogonal
matris) P och en diagonalmatris D s˚a att
A = PDP T .
Eftersom P T = P −1 för ON-matriser innebär
det
A = PDP T = PDP −1 .
Sats 2
En n × n-matris är ortogonalt diagonaliserbar
om och endast om A är symmetrisk.
Sats 4
L˚at A vara en symmetrisk n × n-matris.
D˚a finns en ON-matris P som genom variabelbytet
x = P y omvandlar den kvadratiska
formen x T A x till en kvadratisk form
y T D y, där D är en diagonalmatris, dvs
det finns inga blandade produkter.
Symmetriska matriser
En symmetrisk matris är en matris vars element
ovanför diagonalen är en spegelvänd
upplaga av elementen under diagonalen. Detta
innebär att A är symmetrisk om och endast
om
A = A T .
Exempel p˚a symmetriska matriser
⎡ ⎤
1 2 3
2 −1 ⎢ ⎥
, ⎣ 2 4 5⎦,
−1 3
3 5 6
⎡
⎤
9 5 0 1 0
⎢
⎥
⎢
5 7 2 0 0 ⎥
⎢ 0 2 5 1 0 ⎥
⎢
⎣ 1 0 1 5 3
⎥
⎦
0 0 0 3 4
Sats 3: Spektralsatsen
En symmetrisk n × n-matris A har
följande egenskaper:
a. A har n reella egenvärden, om man
räknar dem med multiplicitet.
b. Dimensionen hos egenrummet för varje
egenvärde λ är samma som multipliciteten
hos λ.
c. Egenrummen är ortogonala mot
varandra, i den meningen att tv˚a
egenvektorer fr˚an olika egenrum är ortogonala.
d. A är ortogonalt diagonaliserbar.
Ellips och hyperbel i
”standardposition”
b
b
x 2
x 2
a
a
x 1
x 1
= 1
a2 b2 x2 x2 1 2
— + —
a > 0, b > 0
= 1
a2 b2 x2 x2 1 2
— – —
a > 0, b > 0
Sats 1
Om A är symmetrisk, s˚a är tv˚a egenvektorer
som hör till olika egenvärden, dvs är
hämtade fr˚an olika egenrum, alltid ortogonala.
Kvadratiska former
En kvadratisk form i Rn är en funktion
Q : Rn −→ R som kan beräknas av ett uttryck
p˚a formen
Q(x) =x T A x,
där A är en symmetrisk n × n-matris. Exempel:
Q(x) =x 2 1 − 6x1x2 +10x 2 2
=
x1 x2
1 −3 x1
−3 10 x2
Q(x) =−3x 2 1 +8x22 +3x23 + x1x2 − x1x3 + x2x3
=
⎡
⎤ ⎡ ⎤
−3 1/2 −1/2 x1
⎢
⎥ ⎢ ⎥
x1 x2 x3 ⎣ 1/2 8 1/2⎦⎣x2⎦
−1/2 1/2 3 x3
Uppenbarligen hamnar koefficienter framför
kvadrater p˚a diagonalen, medan koefficienter
för blandade produkter halveras och läggs p˚a
b˚ada sidor av diagonalen.
Ellips och hyperbel ej i
”standardposition”
y 2
1
x 2
x 2
1
1
1
y 2
y 1
y 1
x 1
x 1
(a) 5x 2 – 4x 1 x 2 + 5x 2 = 48
1 2
(b) x 2 – 8x 1 x 2 – 5x 2 = 16
1 2

Grafer av kvadratiska former
x 1
x 1
z
(a) z = 3x 2 + 7x 2
1 2
z
x 2
x x2 (c) z = 3x 2 – 7x 2
1 2 (d) z = –3x2 – 7x 2
1 2
Föreläsning 20
y
y Ô a 2 x b 2
x 1
x 1
b
z
(b) z = 3x 2
1
z
x
b a
x 2
x 2
b a
Definition
En kvadratisk form är
a. positivt
x = 0.
definit om Q(x) > 0 för alla
b. negativt definit om Q(x) < 0 för alla
x = 0.
c. indefinit om Q(x) antar b˚ade positiva
och negativa värden.
Om Q(x) ≥ 0 för alla x = 0, säger vi att Q är
positivt semidefinit.
Om Q(x) ≤ 0 för alla x = 0, säger vi att Q är
negativt semidefinit.
B˚aglängd
Längden av det svarta strecket mellan a och
b kallas b˚aglängden och beräknas enligt
b
s = 1+(f
a
′ (x)) 2 dx .
Sats 5
L˚at A vara en symmetrisk n × n-matris.
D˚aär den kvadratiska formen xT A x:
a. positivt definit om och endast om alla
egenvärden till A är positiva.
b. negativt definit om och endast om alla
egenvärden till A är negativa.
c. indefinit om och endast om A b˚ade
har positiva och negativa egenvärden.
Föreläsning 21

Arean ”under” en polär kurva
Om r = f(θ) gäller att
A = 1
β
2 α (f(θ))2 dθ .
Tangenten och normalen till
en kurva i parameterform
Tangenten i parameterform
x = f(t0)+sf ′ (t0)
y = g(t0)+sg ′ .
(t0)
Normalen i parameterform
x = f(t0)+sf ′ (t0)
y = g(t0) − sg ′ .
(t0)
x = f(t)
y = g(t)
B˚aglängd för polär kurva
Om r = f(θ), s˚a har den bl˚a kurvan längd
β
s = (f
α
′ (θ)) 2 +(f(θ)) 2 dθ .
B˚aglängd för kurva i parameterform
x = f(t)
y = g(t)
B˚aglängden för den bl˚a kurvan, mellan t = a
och t = b, är
b
s = (f
a
′ (t)) 2 +(g ′ (t)) 2 dt .
En kurva p˚a parameterform
x = f(t)
y = g(t)
sägs vara glatt eller slät p˚a ett intervall I, om
kurvan har tangentlinje för alla t i intervallet.
Sats 1
L˚at C vara den kurva p˚a parameterform
som ges av
x = f(t)
y = g(t)
d˚a t är i intervallet I.
Om f ′ (t) och g ′ (t) är kontinuerliga p˚a intervallet
I, ochf ′ (t) = 0p˚a intervallet I,
s˚a är C glatt/slät, och
dy
dx = g′ (t)
f ′ (t) .
P˚a samma sätt gäller att
g ′ (t) = 0 ⇒ dx
dy = f ′ (t)
g ′ (t) .
Dvs kurvan är glatt/slät, utom möjligtvis i de
punkter där b˚ade f ′ (t) =0och g ′ (t) =0.