RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG) 1 ... - Saunalahti

RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG) 

1. Relativ rörelse 

2. Ljushastighetens konstans 

3. Lorentz transformationen 

3.1 "Superluminal jets" 

4. Kausal struktur och metrik 

5. Egentiden och "tvillingparadoxen" 

5.1 Experiment och observationer 

6. Relativistisk dynamik 

7. E = mc 2 

8. Hyperbolisk bana och relativistisk raket 

9. Accelererande referenssystem 

10. Allmän relativitetsteori (ART) 

10.1 Differentialgeometri 

10.2 Fältekvationerna 

10.3 Schwarzschild lösningen 

10.4 Gravitationell strålning 

10.5 Kosmologi 

11. Historik och litteratur 

*** 

"Namnet 'relativitetsteori' sammanhänger med det faktum 

att rörelse för en iakttagare alltid framstår som relativ rörelse 

av ett föremål i förhållande till ett annat". 

A Einstein, "Relativitetsteorin" (1949). 

1. Relativ rörelse 

Newtons "första lag", F = ma, gäller för inertiala referenssystem. Fysikaliska 

kinematiska och dynamiska storheter hänvisar till ett visst referenssystem (frame of 

reference, Bezugsystem). En partikels hastighet beror exv på om den mäts från en fast punkt 

på marken (referenssystem R) eller från ett rullande tåg (referenssystem R'). För att ge 

storheterna numeriska värden behöver vi för varje referenssystem också ett koordinatsystem 

K. I det enklaste fallet kan vi tänka oss K som ett cartesiskt rätvinkligt koordinatsystem med 

x-, y- och z-axlar, samt en t(ids)-axel. För att mäta längden längs dessa axlar behöver vi 

också en fixerad längdenhet. Tiden igen bestäms med hjälp av en "standardklocka". 

Matematiskt sett kan vi identifiera ett referenssytem med en punkt (origo, "observatören", 

osv) och riktningsaxlar som utgår därifrån (vilka anger orienteringen). 

Som liten grabb kommer jag ihåg att jag under en bilfärd satt i baksätet och lekte 

med en vante. Plötsligt fann jag det konstigt (som många andra) att vanten föll rakt ned när 

jag släppte den, och inte lämnade efter, sas. Man hade gjort liknande observationer redan 

långt före automobilernas tidevarv. I likhet med bilen (under jämn körning) är dynamiken

ombord på ett lugnt seglande skepp densamma som på fasta land. Galilei insåg att vi här har 

att göra med en generell relativitetsprincip. 

· Dynamiken är densamma för referenssystem med konstant relativ hastighet. 

Ett inertialt referenssystem är ett sådant där kroppar rör sig likformigt (eller inte alls) och 

rätlinjigt ifall de inte påverkas av yttre krafter (Galileis tröghetsprincip.) 

Relativitetsprincipen innebär att om R är ett inertialt referenssytem, och R' rör sig med 

konstant hastighet relativt R, då är också R' ett inertialt referenssytem. 

R 

K 

K' 

x x' 

Två referenssystem med konstant relativ hastighet. 

Dynamiken är densamma i de båda. Det går lika bra 

att spela bordtennis i det "rörliga" systemet R' som 

på "fast mark", R. Bollen "beter sig" på samma sätt. 

Figuren illustrerar två referenssystem R ("fast mark") och R' (vagnen) med konstant 

relativ hastighet (V). Vi antar att koordinatsystemen K och K' har parallella axlar så att de 

sammanfaller vid tiden t = 0 och att den relativa hastigheten sammanfaller med x-riktningen. 

Relationen mellan bollens x-koordinater i systemen R-K och R'-K' blir uppenbarligen 

x' = x - Vt eller x = x' + Vt. 

Om exv bollen befinner sig i vila visavi R' då har vi x' = konstant och, eftersom bollen 

följer med vagnen, har vi relativt R, x = konstant + Vt, där Vt är sträckan som vagnen 

tillryggalagt i x-riktningen under tiden t. Eftersom den relativa rörelsen mellan R och R' 

endast sker längs x-axeln, kan vi skriva de kompletta transformationsformlerna mellan R-K 

och R'-K' som 

x' = x - Vt; 

(G) y' = y; (Galilei transformation) 

z' = z; 

t' = t. 

Här har vi antagit att om de två (ideala) identiska klockorna i R och R' synkroniserats vid en 

viss tidpunkt, då kommer de att visa precis samma tid om de återförs och jämförs vid någon 

v 

R'

senare tidpunkt, t' = t. Detta är Newtons hypotes om den "absoluta unversella tiden" som är 

densamma för alla "observatörer". 

Ifall bollens hastighet i x-riktningen visavi R'-K' systemet (vagnen) är u', kommer 

dess x-hastighetskomponent visavi R-K till följd av transformationen (G) att bli 

♦ u = u' + V (Galileisk addition av hastigheter) 

Nämligen, sätt x' = u't' = u' t och x = ut i x' = x - Vt, då följer Galileis additionsteorem för 

hastigheter, u = u' + V. 

Den Galileiska transformationen (G) kan geometriskt beskrivas med följande 

diagram: 

O 

t 

T T' 

E E' 

t' 

P 

x' x 

Vt 

x' = x - Vt 

måttlinje 

Geometrisk beskrivning av Galileis transformation. Det "rörliga" systemets 

tids-axel (t') lutar i förhållande till t-axeln; den satsifierar ekvationen 

0 = x' = x - Vt, dvs, x = Vt. Rum-tid punkten P:s x'-koordinat fås alltså genom att 

dra en linje parallell med t'-axeln som skär x'-axeln (x- och x'-axeln sammanfaller). 

Punkt P:s tidskoordinater sammanfaller och fås genom att dra en linje parallell 

till x-axeln som skär t'- och t-axlarna. Uppenbarligen kan vi inte använda samma 

gradering på t- och t'-axeln, skalan på t'-axeln måste minska för att koordinaterna 

(mätt med linjal längs axlarna t ex) skall ge samma tid. Sträckorna OE och OE' i 

diagrammet motsvarar samma tid. Väljer vi OE (OE') till tidsenehet kallas linjen 

genom E och E' för måttlinje. 

Observera betydelsen av "måttlinjen" (ty. Eichkurve) i diagrammet. Ifall sträckan OE (OE') 

motsvarar t ex tidsenheten 1 sekund då motsvarar en sträcka OT (OT') tiden t = OT/OE (= 

OT'/OE' = t') mätt i sekunder. 

2. Ljushastighetens konstans 

"Då jag frågade mig själv, varför det var just jag som uppfann 

relativitetsteorin, så förefaller mig orsaken vara följande. 

En normal vuxen stannar inte i allmänhet upp och börjar tänka 

på tidens och rummets problematik. Han anser sig ha grubblat 

färdigt på dessa frågor redan som barn. Jag däremot utvecklades

i intellektuellt hänseende så långsamt att jag började grubbla 

över rum och tid först i vuxen ålder. Då kunde jag förstås 

tränga djupare i frågan än ett normalt begåvat barn." 

A Einstein i samtal med J Franck. 

Galileis relativitetsprincip hänger intimt samman med Newtons lag, F = ma. 

Accelerationen, och därmed kraften, är enligt Newtons lag oberoende av en konstant relativ 

hastighet. Inget verkar kunna hota dessa grundläggande principer. Däremot leder Galileis 

transformationer och additionsteorem för hastigheter, ifall vi önskar förena mekaniken med 

den elektromagnetiska teorin, till problem. Dessa båda teorier måste hänga ihop på något 

sätt eftersom elektriska partiklar, vilka påverkas av elektromagnetiska fält, också måste 

R 

K 

K' 

x x' 

c = 299792456.2 m/sek; ljusets hastighet i vakuum 

Mäter man ljushastigheten för ljusstrålen längs x-axeln 

i vagnen erhåller man ett värde u' = -c. Enligt Galileis transformation 

och additionsteorem blir ljusets hastighet i referenssystemet R 

u = u' + V = -c + V. 

underlyda mekanikens lagar. Elektromagnetiska vågor utbreder sig med en ändlig och 

konstant hastighet i vakuum. En planvåg beskrivs t ex som 

(1) E(x,t) = E0 cos(k.x - ωt) (E står här för elektriskt fält). 

Denna funktion satisfierar vågekvationen 

(2) (∂x 2 +∂y 2 + ∂z 2 - c -2 ∂t 2 )E(x,t) = 0 

med c = ω/|k|. Här står k = |k| för vågtalet (vågvektorn k är för en planvåg med 

utbredning i x-axelns riktning lika med vektorn (k,0,0)) som är relaterat till våglängden λ 

genom k = 2π/λ. Frekvensen ƒ är relaterad till ω genom ω = 2πƒ. I elektromagnetisk teori 

ges konstanten c av 

(3) c = (ε μ) -½ ≈ 300 000 km/sek, 

där ε är vakuumets dielektriska konstant och μ är vakuumets magnetiska permeabilitet. 

Detta värde c är samma som ljushastigheten, ty ljuset är en form av elektromagnetiska 

strålning. Eftersom vågekvationen i vakuum gäller för vilket intertialt referenssystem som 

v 

R'

helst följer att den elektromagnetiska strålningens utbredningshastighet är densamma i alla 

inertiala referenssystem och lika med ljushastigheten c. Detta strider tydligen mot Galileis 

transformationsregler (G) och additionsteorem för hastigheter. 

En signalfronts utbredning från origo kan beskrivas med ekvationerna 

(4) x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2 = 0 (i R-K systemet) 

x' 2 + y' 2 + z' 2 - c 2 t' 2 = 0 (i R'-K' systemet). 

Dessa ekvationer beskriver den sk ljuskonen (light cone), ljusstrålarna som utbreder sig 

från origot. 

ct 

Ljuskonen: |x| - ct = 0. Ljuskonens ekvation invariant för 

alla inertiala referenssystem. 

3. Lorentz transformationen 

"Men tom de bästa av dessa framställningar kan inte 

övertyga en läsare som är ärlig mot sig själv att han 

verkligen begriper relativitetsteorins grunddrag. Idéerna 

och paradoxerna är omsorgsfullt framlagda. Utrustningen 

av mätstavar, ljussignaler och klockor uppvisas och 

effekten är densamma som av en trolleriuppvisning. 

Tricken visas för åskådaren, men förklaras inte för 

honom. Han blir underhållen, kanske imponerad men 

förvisso inte upplyst." 

JR Newman, "Sigma" (Bonniers 1977), Kommentar s. 845. 

Newman medger att relativitetsteorin är abstrakt: "Den är 

abstrakt, men inte mer än begrepp som negativa tal och fri 

företagsamhet." --- 

y 

x

I föregående avsnitt såg vi hur Galilei transformationen (G) leder till problem när vi 

söker kombinera denna med elektromagnetisk teori. 

O 

ct 

x - ct = 0 

T T' 

ct' 

P 

x' x 

Vt 

x' = x - Vt 

E E' måttlinje 

Ljuskonen har inte en invariant ekvation visavi Galilei transformationen. 

Enligt denna följer från x - ct = 0 att x' + Vt - ct = x' - (c - V)t = 0 istället 

för x' - ct' = 0. Observera att vi i diagrammet ersatt tidskoordinaten t med 

ct vilken har längdenhet liksom x, y, och z-koordinaterna. I detta koordinatsystem 

bildar ljusstrålarna 45 graders vinkel med ct-axeln. 

Inför index-beteckningarna 

x 0 = ct 

x 1 = x 

x 2 = y 

x 3 = z 

då kan exv ljusstrålens ekvation x - ct = 0 skrivas som x1 - x0 = 0. Betraktar vi den 

geometriska beskrivningen av Galilei transformationen inser man efter en del begrundan att 

ekvationen x1 - x0 = 0 överförs på formen x'1 - x'0 = 0 om vi också låter luta x'-axeln mot 

x. Koordinaterna x0 och x1 behandlas därmed symmetriskt.

x 

0 

x' 

0 

P 

x' 1 

x 

1 

x' 

1 

= 

= 

x' 0 

x 0 

Ljusstrålens ekv 

invariant visavi 

Lorentz transformationen. 

Lorentz transformationen erhålls genom en symmetrisering 

mellan tids- och rumskoordinaterna. Detta gör att ekvationen 

|x| blir invariant för de inertiala referenssystemen. 

2 - (ct) 2 

Den nya transformationen för referenssytemen med relativ hastighet längs x-axeln skrivs (se 

diagrammet) 

(L) x' 1 = γ(x 1 - βx 0 ) 

x' 2 = x 2 

x' 3 = x 3 (Lorentz transformation) 

x' 0 = γ(x 0 - βx 1 ) 

(med beteckningen β = V/c) 

vilken är symmetrisk för x 1 och x 0 . Parametern γ bestäms från invarianskravet 

som ger 

x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2 = x' 2 + y' 2 + z' 2 - c 2 t' 2 

(6) γ = (1 - β 2 ) -½ . 

Detta resultat kan också härledas utgående från ett symmetrikrav. Nämligen, inversionen R' 

ρεφ R till (L) måste ha precis samma form som (L) förutom att β ändrar tecken (den 

relativa hastigheten sett från R' är -V och V sett från R): 

x 1 = γ(x' 1 + βx' 0 ) 

(L') x 2 = x' 2 

x3 = x'3 (Lorentz transformation) 

x0 = γ(x'0 + βx'1 ) 

(med beteckningen β = V/c)

Sätter vi in värden för x' 1 och x' 0 från (L) i (L') erhåller vi ekvationen γ 2 (1 - β 2 ).= 1. 

(I härledningen har vi tyst antagit att γ(−β) = γ(+β). Motivering ?) 

Einstein kallade transformationen (L) för Lorentz transformationen efter en av de 

första fysikerna som studerade dylika transformationer inom ramen för den 

elektromagnetiska teorin. Vi ser att för hastigheter V små relativt ljushastigheten (β = V/c 

for so long and they were not part of the common 

everyday culture in the way that, for example, 

Darwin's theory of the evlution was. " 

Prof Russell Stannard i Physics World 6/96. 

Stannard skriver bl a om relativitetsteori och kvantmekanik 

för barn i sina Uncle Albert böcker. 

Inom astronomin har man observerat materiestrålar (jets) från stjärnor vilka 

skenbart har en överljushastighet (supraluminala). Detta är en optisk effekt som kan inträffa 

då strålen bildar en vinkel mindre än 45 grader med siktlinjen till stjärnan. Föreställ 

materiestrålen som en lysande projektil med hastigheten v (se figuren). När den avancerar 

mot oss har ljuset en allt kortare väg (r) att nå oss. 

d 

S 

θ 

y1 

y2 

O 

t1 

r1 

r2 

t2 

En "projektil" från stjärnan S utskickar ljussignaler 

vid tiden t1 och t2 som observeras vid O vid tiden 

T1 och T2. Projektilens skenbara hastighet vinkelrätt 

mot stjärnans siktlinje OS blir 

u = (y2 - y1)/(T2 - T1). 

Två signaler som utsänds från projektilen vid tiden t1 och t2, räknad från det att projektilen 

utskickats från stjärnan, når observatören vid tiden T1 och T2. Tidsskillnaden bestäms 

genom 

med 

T2 - T1 = t2 - t1 - (r2 - r1)/c, 

r2 - r1 = [(vt2) 2 + d 2 - 2 vt2 d cosθ] ½ - [(vt1) 2 + d 2 - 2 vt1 d cosθ] ½ . 

För en liten tidsdifferens dt, t2 = t1 + dt, ger föregående ekvation (t = t1),

dT = T2- T1 = {1 - (1/c)(v 2 t - v d cosθ)[(vt) 2 + d 2 - 2 vt d cosθ] -½ }dt. 

Den skenbara radiala hastigheten (vinkelrät mot siktlinjen till stjärnan) blir 

u = (y2 - y1)/dT = vdt sinθ/dT 

som för vt c /√2 (θ < 45 grader). Dylika relativistiska hastigheter 

kan uppnås exv genom accelererande elektromagnetfält eller genom "presstub-effekten" när 

gaser från en närbelägen stjärna dras in i ett svart hål. 

4. Kausal struktur och metrik 

Matematiskt sett verkar Lorentz transformationen (L) bara vara en liten modifikation 

av Galilei transformationen. Einstein var den första som insåg att Lorentz transformationen 

innebar ett radikalt nytänkande inom fysiken. Exempelvis måste vi revidera Newtons 

begrepp om den universella tiden. Istället har varje referenssystem sin egen tid. En följd av 

detta är att två händelser som uppfattas som samtidiga i ett referensystem inte behöver vara 

det i ett annat referenssystem.

ct 

x 

0 

c t1' 

c t2' 

x' 

0 

P1 

P2 

x' 

1 

x 

1 

Händelserna P1 och P2 är samtidiga enligt 

referenssytemet R (båda har tidskoordinaten t) 

men inte enligt R' systemet där tidskoordinaterna 

är t1' och t2'. 

Hotar då denna tidsrelativitet kausalitetsprincipen ? Nämligen, enligt kausalitetsprincipen 

måste orsak föregå verkan. Om händelse A orsakar händelse B (identifierade som punkter i 

rum-tiden) måste A förekomma tidigare än B: t(A) < t(B). För att kausalitetsprincipen skalll 

gälla inom relativitetsteorin måste tidsordningen vara invariant mellan kausalt förknippade 

händelser för alla referenssystem. Det vore en motsättning ifall A är orsak till B i ett 

referenssystem medan däremot B är orsak till A i ett annat referenssystem. 

Postulatet om ljushastigheten som maximal hastighet i fysiken innebär att två 

händelser A och B kan vara kausalt förbundna endast om 

♦ (K) |x(A) - x(B)| < c |t(A) - t(B)| (nödvändigt villkor för kausalt 

samband mellan två händelser) 

Väljer vi A som origo i ett referenssytem så innebär kausalitetsvillkoret (K) att händelsen B 

måste befinna sig inom ljuskonen med spetspunkten i A.

A 

ct 

Punkterna B (verkan) och C (orsak) inom A:s ljuskon kan vara kausalt 

förknippade med A, men däremot inte punkten D som ligger utanför 

A:s ljuskon och som skulle kunna nås från A endast via en överljushastighetssignal. 

Eftersom vi i uppbyggnaden av relativitetsteorin utgått från invariansen av ljuskonstrukturen 

(ekvationen x2 + y2 + z2 - c2t2 = 0) följer också att den kausala strukturen är 

invariant. 

Från analytisk geometri vet att vi att längden av en vektor, |x|, är invariant för 

"euklidiska transformationer" bestående av rotationer och translationer. Denna invarians kan 

formuleras såsom invariansen hos formen x2 + y2 + z2 vilken kan skrivas som g(x,x) med 

g() definierad genom (med hjälp av index-notationen) 

♦ (E) g(x,y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 . 

Detta är den vanliga "punktprodukten" x.y för vektorer och är exempel på en metrik. Det 

är metriken g( ) som bestämmer längden för vektorer och deras innebördes vinklar. Formen 

(E) beskriver en euklidisk metrik vilken är invariant för alla euklidiska transformationer. I 

analogi med detta kan vi införa en relativistisk metrik, punktprodukt, för rum-tiden, enligt 

en idé som först lanserades av Minkowski, 

♦ (M) x . y = g(x, y) = -x 0 y 0 + x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 . 

Här utgör argumenten fyr-vektorer, x = (x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ), osv. Minkowski metriken (M) är 

invariant för alla Lorentz transformationer: g(Lx,Ly) = g(x,y), där x → Lx är en Lorentz 

transformation. 

B 

C 

D 

x

Ett intressant exempel på en invariant produkt av fyr-vektorer har vi i fasen för 

planvågen 

för de två fyr-vektorerna 

(9) k = (ω/c,k) 

x = (ct,x) 

med Minkowki produkten 

E(x,t) = E0 cos(k.x - ωt) 

(10) k . x = k.x - ωt (fasen). 

Fasens invarians följer fysikaliskt från kravet, att för en given ljusstråle, som passerar genom 

två givna punkter A och B, måste antalet svängningar mellan punkterna A och B 

(fasskillnaden) vara oberoende av referenssystemet. I annat fall skulle förekomsten av exv 

interferens bero från vilket referenssystem fenomenet studeras. 

Obervera att ljusstrålar satisfierar ekvationen 

(11) k 2 = k . k = k 2 - (ω/c) 2 = 0. 

5. Egentiden och "tvillingparadoxen" 

"There was once a lady named Bright 

who travelled much faster than light. 

She departed one day in a relative way 

and came home the previous day." 

(Limerick som relativisterna minns från sin barndom.) 

"Morgonposten ligger oöppnad på mitt skrivbord. Jag har en 

halvtimma dyrbar tid att ögna igenom den. I den vanliga högen av 

brev, cirkulär och memoranda ligger tre tjocka manuskript som 

tillsänts mig från privata adresser. England, Kalifornien och västra 

Australien. Alla har anlänt utan att jag bett om dem, och alla åtföljs 

av brev som börjar på samma sätt: 'Fastän jag inte är vetenskapsman ... .' 

Jag skummar trött igenom sidorna i dessa manuskript. I likhet med 

många kolleger får jag flera sådana varje månad. Idag är de likartade 

i stil och innehåll. Två innehåller en del handskriven matematik på 

grundskolenivå. Budskapet är detsamma: ‘Einstein hade fel: jag har 

rätt. Hjälp mig att meddela världen’." 

Paul Davies, "I Rättan Tid - Einsteins Ofullbordade Revolution" (1995). 

Relativitetsteorin kan sägas bygga på insikten att de fysikaliska storheterna är 

definierade lokalt. Det är inte givet att det t ex finns en universell tid som är densamma för 

alla referenssystem. Storheterna är istället definierade visavi referenssystemen. För att

jämföra beskrivningar i de olika referenssystemen av ett och samma fysikaliska händelse, 

eller tillstånd, med varandra behöver vi "översättningar" - transformationer. Fysiken handlar i 

hög grad om att undersöka invarianser under dylika transformationer. 

Varje kropp definierar en invariant tid; nämligen, dess egentid. Föreställer vi oss att 

en (idealisk) klocka följer med kroppen kommer den att per definition visa kroppens 

egentid. Antag att kroppen passerar genom två rum-tid punkter A och B. Vi har följande 

invarianta uttryck 

(I) (x 1 (B) - x 1 (A)) 2 + (x 2 (B) - x 2 (A)) 2 + (x 3 (B) - x 3 (A)) 2 - (x 0 (B) - x 0 (A)) 2 

Beräknar vi uttrycket i kroppens referenssytem R' erhåller vi formen 

- (c Δτ) 2 

eftersom Δx' = x'(B) - x'(A) = 0. Här betecknar Δτ = t'(B) - t'(A) kroppens egentid. 

Formen (I) kan i "laboratoriesystemet" R skrivas som 

-c 2 (1 - (v/c) 2 ) Δt 2 

med v = | Δx/Δt| och Δt = t(B) - t(A). Identifierar vi dessa båda uttryck kan vi skriva 

egentiden som en funktion av laboratorietiden, 

(12) Δτ = (1 - (v/c) 2 ) ½ Δt. 

Innebörden av denna relation är följande: Ifall vi i laboratoriesystemet (det inertiala 

referenssystemet R) observerar en kropp R' som följer en bana x(t) = (ct,x(t)) så kan vi 

beräkna egentiden för kroppen R' (den tid som dess klocka visar) enligt 

(12') Δτ = ∫ (1 - (v/c) 2 ) ½ dt 

där v = |dx(t)/dt| är kroppens hastighet i laboratoriesystemet. Integralen utsträcks över 

kroppens bana mellan A och B. 

Det är relationen (12) mellan koordinattid och egentid som ger upphov till den sk 

"tviliingparadoxen". Nämligen, antag att vi har två identiska klockor som är synkroniserade i 

A och därfefter följer skilda banor för att åter jämföras i B. Då kan dessa klockor komma 

att visa olika tider eftersom integralen i (12') är vägberoende. Tydligen kommer den klocka 

att visa mindre tid som har valt en längre väg eftersom den måste då använda en högre 

hastighet v som i sin tur gör faktorn (1 - (v/c) 2 ) ½ i integralen mindre. Låt oss studera ett 

enkelt exempel med ett tvillingpar, Castor och

ct 

C 

A 

"Tvillingparadoxen". Castor blir kvar på rymdstationen 

som definerar referenssystemet R. Castors bana i 

rum-tiden blir visavi R ett rakt streck AC parallell med 

tidsaxeln (rumskordinaterna är konstanta). Pollux 

däremot ger sig av från rymdstationen till punkt B 

B 

därifrån han vänder tillbaka och möter Castor i C. 

x 

Castor finner då att han haft fler 

födelsedagar än Pollux sedan de 

skildes. 

Pollux, på en rymdbas. Castor förblir kvar på basen medan Pollux gör en avstickare med sin 

raket, exv till stjärnan Sirius (ett populärt resemål bland relativister) som han möter i punkten 

B (se diagrammet). Antag Pollux förflyttar sig med jämn hastighet till punkt B där han 

svänger tillbaka och fortsätter med samma hastighet tills han möter Castor i punkt C. Då har 

Castor åldrats med tiden t(C) - t(A) sedan deras förra möte medan Pollux har endast åldrats 

med tiden (t(C) - t(A)) (1 - (v/c) 2 ) ½ , enligt (12). Vari ligger då det paradoxala ? En 

invändning kanske är att situationen mellan Castor och Pollux är symmetrisk och att det 

därför inte kan uppkomma någon "tidsdilatation" mellan dem. Faktum är dock att det råder 

en asymmetri mellan Castor och Pollux. Nämligen, Pollux' raket hamnar att accelerera och 

bromsa för att följa banan ABC och definierar därför inte ett inertialt referenssystem. 

Situationen kan åskådliggöras med följande diagram som också illustrerar den sk Doppler 

effekten.

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

2 

1 

3 

ct 

C 

1 

E E' 

A 

7 

2 

6 

3 

5 

B 

4 

x 

Måttkurvan EE' ges av ekvationen 

(med punkten A som origo) 

(ct) x 2 2 

- = 1 

som definerar sträckan för tidsenheten 

AE för Castor och AE' för Pollux. För 

varje "klick" på klockan sänder Pollux 

en ljussignal till Castor. Vi ser att 

tidsskillnaderna mellan signalerna 

som Castor mottar tänjs ut då 

Pollux är på väg bort, och krymps 

ihop då Pollux närmar sig (Doppler 

effekten). Samma fenomen gäller 

inom Newtonsk mekanik. För 

relativitetsteorin tillkommer en 

"dilatationsfaktor". Punkterna 1, 2, osv 

anger klockornas "ticks". Vi ser att 

Pollux' klocka hinner ticka ca 8 ggr 

innan han återser Castor, medan 

Castors klocka då har hunnit ticka 

10 ggr ("tvillingparadoxen"). 

Måttlinjen (x 0 ) 2 - (x 1 ) 2 = 1 (med A som origo) skär AC i punkten E med x 0 = 1, och AB 

i punkten E' med x' 0 = 1 i Pollux' referenssytem (som är ett inertial referenssytem mellan 

punkterna A och B var måttlinjen därför satsifierar (x' 0 ) 2 - (x' 1 ) 2 = 1). Relationen (12') 

gäller för en godtycklig bana och acceleration (vi måste naturligtvis ha v < c) trots att vi 

utgick från transformationer mellan inertiala referenssystem. Nämligen, för varje punkt av 

banan kan vi betrakta ett kort tidsintervall under vilken hastigheten förändras infinitesimalt. 

Vi föreställer oss ett inertialt referenssystem R'' som följer med kroppen (comoving) under 

detta tidsintervall. Då kommer dess klocka att ticka i samma takt som den accelererande 

kroppens egentid i detta intervall. Relationen (12) som gäller för R'' gäller då också för den 

accelererande kroppen. 

Generellt är det komplicerat att explicit konstruera en transformation mellan en 

kropps referenssystem med varierande acceleration och ett inertialt system. En dylik 

problemställning pekar vidare mot den allmänna relativitetsteorin (där det också finns endast 

ett fåtal exakta analytiska lösningar för gravitationsfälten). För konstant acceleration erhåller 

man emellertid en elementär lösning på transformationen. Detta fall leder oss in på den 

relativistiska dynamiken. 

5.1 Experiment och observationer 

"Det är omöjligt att tro, att människor med 

intelligens nog att åstadkomma den modärna 

teknologins mirakler kan vara så dumma".

Den antirelativistiska filosofen Herbert Dingles 

kommentar om dem tror på relativitetsteori, 

i "Science at the Crossroads" (1972), citerad av 

P Davies (op. cit.). 

Kosmisk strålning innehåller de mest energirika partiklar man känner till. År 1993 

upptäckte man t ex med detektorn Fly's Eye en partikel, troligen en proton, med en 

hastighet som motsvarar en relativistisk uttänjningsfaktor på γ = 10 11 ! Fria neutroner är 

instabila och har en halveringstid på omkr 15 minuter. För en neutron med en hastighet som 

motsvarar γ = 10 11 (vad blir hastigheten i procent av ljushastigheten) kommer dess 15 

minuter i egentid att motsvara 10 11 x 15 min = 2.85 miljoner år i jordtid. Denna neutron 

hinner under en livstid på 15 minuter färdas ca tre miljoner ljusår genom rymden. 

Tidsdilatationen ger en förklaring till varför avlägsna astronomiska objekt kan skicka 

"kortlivade" neutroner till jorden. Tidsdilatationen har bekräftats t ex för myoner som är 

instabila partiklar vilka påträffas i kosmisk strålning. Ett direkt test av tidsdilatationen 

genomfördes 1971 av JC Hafele och R Keating som fick låna fyra noggranna cesiumur som 

flögs först österut och sedan västerut. På resan österut hade klockorna i medeltal saktat 59 

nanosekunder jämfört med uret vid observatoriet, medan klockorna som flögs västerut 

avancerade i medeltal 273 nanosekunder. Tänker vi oss ett plan genom jordens ekvator 

och att uren håll i detta plan kan egentiden för ett ur skrivas användande polära koordinater, 

-(cdτ) 2 = -(cdt) 2 + dr 2 + r 2 (d(θ + ωt)) 2 

Här betecknar ω jordens vinkelhastighet; (r, θ) är urets läge i det polära koordinatsystemet 

som är fixerat visavi jorden; kordianttiden t hänvisat till ett intertialsystem som följer med 

jordens mittpunkt (vi kan försumma jordens acceleration i sin bana kring solen). 

ω 

θ 

Atomur flygs växelvis mot öster och väster, 

varefter urens eftersläpning el avancemang, 

visavi ett kvarblivet atomur i observatoriet, 

kan studeras. Vi har ritat ekvatorialplanet sett 

från nordpolen. Jorden roterar österut.

För obervatorieuret har vi dθ = dr = 0, r = r0, 

-(cdτo) 2 = -(cdt) 2 + dr 2 + r 2 (d(θ + ωt)) 2 = -(cdt) 2 (1 - r0 2 ω 2 /c 2 ), 

medan vi för de flygande uren har (vi antar att de flyger på konstant höjd), 

-(cdτ) 2 = -(cdt) 2 (1 - r 2 (ω + dθ/dt) 2 /c 2 ), 

där dθ/dt har olika tecken beroende på om man flyger österut (dθ/dt > 0) eller västerut 

(dθ/dt < 0). Till detta kommer ytterligare en tidsdilatation som beror på gravitationen (se 

nedan ekv (60)), den sk gravitationella rödförskjutningen. Om uren flygs på medelhöjden L 

relativit det markbaserade uret kommer de att pga rödförskjutnngen gå före det 

markbundna atomuret enligt dτo = (1 - gL/c 2 )dτ, där g betecknar 

tyngdkraftsaccelerationen. När alla dessa effekter räknats ihop är överenstämmelsen mellan 

Einsteins teori och observationerna närmast perfekt. 

6. Relativistisk dynamik 

Hur förändrar den relativistiska kinematiken, som vi hittills utvecklat, den klassiska 

mekaniken och dynamiken ? Enligt tröghetsprincipen kommer en kropp som inte påverkas 

av yttre krafter att inte accelerera visavi inertiala referenssystem. Enligt Newtons lag 

accelererar en kropp (massa m) med konstant acceleration a = F/m om den påverkas av en 

konstant kraft F. Newtons lag är en generalisering av begreppet tyngden (tyngdkraften) som 

verkar med kraften (tyngden) mg på en kropp med massan m; g är 

tyngdkraftsaccelerationen. Inom relativitetsteorin verkar en konstant acceleration var 

omöjlig, annat än temporärt, ty hastigheten skulle ju till slut nå bortom ljushastigheten efter 

tiden t > c/a. Men här handlar det om accelerationen som upplevs av den som följer med 

kroppen, sas. 

Antag en kropp R' känner av en konstant kraft F och accelererar i x-riktningen. Vi 

kan föreställa att R' är en raket med massan m. Om denna drivs fram med en kraft F och 

astronauten släpper en liten boll borde han observera hur den accelererar med 

accelerationen a = F/m (m, raketens massa) åt det negativa hållet längs x-axeln.

x 

F 

Raketen med massan m 

drivs fram av en kraft 

F i x-riktningen. Bollen 

som får "falla" fritt 

accelererar med accele- 

rationen a = F/m relativt 

raketen. 

Det är samma sak som att raketen ses öka sin hastighet med a Δτ under ett tidsintervall Δτ 

(raketens egentid) sett från ett inertialt medföljande (comoving) referenssystem vid en viss 

tidpunkt. Sett från "laboratoriesystemet" R ökar raketens hastighet under detta tidsintervall, 

enligt additionsteoremet, med 

Δv = (v + a Δτ)/(1 + v a Δτ/c 2 ) - v = a Δτ (1- (v/c) 2 )/(1 + v a Δτ/c 2 ) 

som leder till rörelse-ekvationen 

(13) dv/dτ = a (1- (v/c) 2 ) 

eller (enligt (12)) 

(14) dv/dt = a (1- (v/c) 2 ) 3/2 (gäller också för varierande acceleration a). 

Från detta följer att kraften F = ma kan erhållas från fyr-vektorn F definierad genom 

(15) F = dp/dt 

ifall vi definierar fyr-impulsen genom 

(16) p = m dx/dτ. 

Nämligen, denna definition ger för den relativistiska impulsen i x-riktningen (enligt 12) 

(17) p = m dx/dτ = m γ v.

Lite algebra ger vidare d(γ v)/dt = γ 3 dv/dt som tillsammans med ekvationen (14) visar att vi 

faktiskt har dp/dt = ma. Vi observerar följande intressanta egenskap hos fyr-impulsen: Den 

Lorentz invarianta storheten p . p har nämligen det konstanta värdet 

(18) p 2 = m 2 (dx/dτ) 2 = - m 2 (cdτ/dτ) 2 = - m 2 c 2 . 

var vi nyttjat relationen dx.dx = - (cdτ) 2 som gäller för ett bansegment dx. Differentierar vi 

p 2 visavi t följer vidare 

(19) 0 = dp 2 /dt = 2 F . p; 

dvs, fyr-kraften och fyr-impulsen är "ortogonala" enligt Minkowski geometrin. 

7. E = mc 2 

"Einstein framställer kravet att atombomben inte 

får utelämas till andra makter, särskilt inte Sovjetunionen (...) 

Den 'världsregering' som Einstein kräver tycks vara tänkt 

med Standard Oil som förebild (...) Den briljanta fackhjärnan 

instoppad i en usel fiolspelare och evig gymnasist med en 

svaghet för politiska generaliseringar." 

Bertol Brecht, Arbeitsjournal 28 oktober 1945. 

(Citerad i Francoise Balibar, "Einstein - Tänkaren och Fysikern", 

Berghs 1995.) 

Vi fortsätter med fallet den konstant accelererande raketen och skall beräkna dess 

energiökning på grund av accelerationen. Energin beräknas utifrån definitionen dE = F dx då 

kraften verkar i rörelseriktningen x. Eftersom F = ma i detta fall är konstant erhåller vi för en 

integration från x = 0 till x = L, 

(20) ΔE = ∫ F dx = m a L. 

I Newtons mekanik har vi L = ½ a t 2 som ger ΔE = m a (½ a t 2 ) = ½ m v 2 (då v = at) 

vilket är det bekanta uttrycket för kinetisk energi. Den relativistiska rörelse-ekvationen för 

konstant acceleration (14) (gäller också för varierande acceleration) kan enligt föregående 

skrivas (från dp/dt = ma med p = m γ v) 

(21) d(γ v)/dt = a 

som ger 

(22) γ v = at ⇒ v(t) = at (1 + (at/c) 2 ) -½ ⇒ 

γ = (1 + (at/c) 2 ) -½

För energiökningen maL erhåller vi alltså 

(23) ΔE = maL = ma ∫ v dt = ma (c 2 /a) ((1 + (at/c) 2 ) -½ - 1) = 

mc 2 (γ - 1). 

Från detta resultat ser vi att det är omöjligt att accelerera en kropp till ljushastighet eftersom 

detta kräver oändligt med energi iom att γ → ∞ då v → c. Utvecklar vi γ = (1 - (v/c) 2 ) -½ 

som en serie i v/c (< 1) kan de första termerna för ΔE skrivas 

(24) ΔE = ½ m v 2 + (3/4) m v 2 (v/c) 2 + .... 

(Vad blir exv den relativistiska korrektionen för den kinetiska energin för en 70 kg person 

som cyklar modesta 25 km/h ? För elektroner i partikelacceleratorer hamnar man att 

använda den relativistiska formeln (23). Typisk acceleratorenergi för elektroner är omkr 10 

GeV = 10 10 eV. Vilken hastighet har dessa elektroner ?) 

Ett mer formellt sätt att härleda uttrycket för energin utgår från att skriva definitionen 

dE = F. dx på formen dE = v. dp genom att använda F = dp/dt och dx = v dt. Detta kan i 

sin tur skrivas som en differentialekvation 

(25) dE/dp = v (dE/p i = v i ; i = 1,2,3 ). 

Specialiserar vi oss till vårt föregående fall med rörelse och kraft längs x-axeln har vi att lösa 

ekvationen dE/dp = v med p = m γ v. Ekvationen kan skrivas som dE/dv = vdp/dv = 

mv.d(γv)/dv = mvγ3 som har lösningen 

(26) E = m c 2 γ = m c 2 (1 - (v/c) 2 ) -½ 

För v = 0 erhåller vi viloenergin E = m c2 , eller den sk mass-energin.(Einstein 

bifogade den 27 september 1905 en sorts "PS" till sin huvudartikel i relativitetsteorin, från 

fyra månader tidgare, där han tillägger formeln E = m c2 med kommentaren: "Det är inte 

uteslutet att teorin kan prövas på kroppar, vilkas energiinnehåll är höggradigt föränderligt." 

(A Einstein, "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieneinhalt abhängig ?", Ann. d. 

Phys. Ser 4, Vol. 18; 639-641 (1905).) 

Innebörden av mass-energiformeln kan illustreras med följande exempel. Har vi t ex 

en kropp på en våg och värmer upp kroppen genom att tillföra en energimängd ΔE kommer 

dess vikt att öka med Δmg där Δm ges av Δm = ΔE/c2 . Ett analogt exempel är att tänka sig 

en behållare som vi fyller med N partiklar med massan m och hastighet v (en "gas"). Väger 

vi behållaren (ifall vi har en tillräckligt noggrann våg) kommer innehållets massa inte att visa 

sig vara Nm utan NE/c2 = Nmγ. Vi har alltså att skilja mellan en partikels massa som är 

konstant och behållaren+innehållets massa som är en funktion av partiklarnas dynamiska 

verkan på behållarens väggar (i gravitationsfältet accelererar partiklarna nedåt och stöter

med lite högre hastighet botten i behållaren - denna kraft mäter vi som tyngden Mg från 

vilken vi beräknar massan M). Har vi sammansatta partiklar så kommer deras massa på 

liknande sätt att vara en dynamiska funktion av konstituenternas energi i enlighet med massenergi 

formeln. Mass-energi formeln betyder alltså inte att massan som "sådan" är 

"ekvivalent" med energi utan att energin E i diverse situationer har en tröghet som motsvarar 

massan m = E/c 2 . I allmän relativitetsteori (ART) visar det sig att energin också utövar 

gravitationell attraktion på samma sätt som en massa m = E/c 2 . (I föregånde exempel kan vi 

också använda reaktion = verkan satsen.) Detta följer av Ekvivalensprincipen som 

identifierar trög massa m (som används i F = ma) och graviterande massa.m (som används i 

F = Gm' m/r 2 ). 

Lagen om massans konstans från kemin, och impulsens konservering, ersätts med 

konserveringen av fyr-impulsen p inom relativitetsteorin. Fyr-vektorn har nämligen 

komponent-uppdelningen 

(27) p = (mγc, mγv) = (E/c, p). 

Konserveringen av 0-komponenten p 0 = E/c ger alltså mass-energins konservering. 

Det kan verka egendomligt att massans totala energi-innehåll är förknippat med 

ljushastigheten enligt E = m c 2 . Eftersom ljuset är ett elektromagnetiskt fenomen har 

energiformeln föranlett spekulationer att massan har ett sorts elektromagnetiskt ursprung 

(dessa idéer dateras eg till tiden före relativitetsteorin). Man kan också resonera att det är 

Lorentz gruppen (transformationerna) som är det väsentliga i teorin och att 

elektromagnetismen bara är en instans av en teori som är Lorentz kovariant. Den maximala 

signalhastigheten och ljushastigheten c kommer från Lorentz transformationerna och 

Minkowski strukturen, och inte omvänt. Detta är det moderna synsättet. Man utgår från att 

fysikens alla fundamentala teorier måste vara Lorentz kovarianta. (Lorentz kovarians 

betyder att teorins storheter transformerar mellan referenssystemen enligt Lorentz 

transformationerna.) 

Vi har tidigare visat att p 2 = -(mc) 2 som tillsammans med (27) ger 

(28) -(mc) 2 = -(E/c) 2 + p 2 

vilket är ekvivalent med 

(29) E 2 = (mc 2 ) 2 + (cp) 2 . 

(Använder vi den tidigare formeln dE/dp = v får vi från energiformeln, v = c|p| ((mc 2 ) 2 + 

(cp) 2 ) -½ . Tillåter vi formellt partiklar med imaginär massa ser vi att de enligt formeln har 

hastighet v > c, vilket konstaterades i en tidigare kommentar om tachyoner.) 

Relativistiska effekter är försumbara vad gäller normala problem inom mekaniken. 

När det gäller partikelfysik, atomfysik. astrofysik, osv, spelar relativitetsteorin en 

fundamental roll.

(Vad blir exv en elektrons hastighet i väteatomen - utgå från det lägsta energitillståndet - om 

man betraktar den som en liten kula som cirklar kring protonen ?) Våra resultat för konstant 

acceleration kan exv tillämpas på en elektron som accelereras i ett konstant elektriskt fält E 

(a = eE/m där e är elektronens laddning). Vid höga accelerationer hamnar vi i detta fall 

beakta att elektronen utstrålar elektromagnetsk energi. Detta är en egenskap som utnyttjas 

hos cyklotroner. 

8. Hyperbolisk bana och relativistisk raket 

Vi fortsätter exemplet med den konstanta accelerationen. Vi definierar fyrhastigheten 

u enligt 

(30) u = dx/dτ = γ(c, v). 

Då skrivs fyr-impulsen som p = mu. Enligt definitionen av egentidsintervallet dτ har vi dx 2 = 

- (c dτ) 2 som ger 

(40) u 2 = -c 2 . 

För den accelerarande kroppen (i x-riktningen) gäller alltså sambandet 

(41) (u 0 ) 2 - (u 1 ) 2 = c 2 . 

Jämför detta med ekvationen för en cirkel med radien r, 

(42) x 2 + y 2 = r 2 . 

Cirkeln är invariant för rotationer kring origo. En rotation med en infinitesimal vinkel ε skrivs 

som 

(43) x → x' = x - εy: Δx = - εy 

y → y' = y + εx.: Δy = εx. 

Insätter vi x' och y' i (42) ser vi att relationen bibehålles för x' och y' förutom en infintesimal 

term av andra ordningen (som kan försummas).

x' = x - εy 

y' = y + εx 

y' 

y 

x' 

x 

ε 

Rotation med en 

infinitesimal vinkel 

Använder vi den imaginära enheten i, som satisfierar i 2 = -1, kan vi skriva (42) på formen 

(42') (x + iy)(x - iy) = r 2 . 

Inför vi hjälpvariabeln z = x + iy innebär (42') att vi måste ha r 2 /z = x - iy. Omvänt ges x 

och y i term av z enligt 

(44) x = (1/2)(z + r 2 /z) 

y = (1/2i)(z - r 2 /z). 

Den infinitesimala rotationen (43) representeras i term av z genom (vi har "diagonaliserat" 

matrisen för transformationen (43)) 

(43') Δz = Δx + iΔy = iε (x + iy) = iε z. 

En rotation med den finita vinkeln ϕ kan framställas som N successiva rotationer med 

vinkeln ε = ϕ/N. För stort N blir ε = ϕ/N infintesimal och vi kan tillämpa (43') N ggr för att 

erhålla den finita transformationen 

(45) z → z' = (1 + iϕ/N) N z = e iϕ z (då N → ∞). 

Startar vi rotationen från punkten x = r, y = 0, och insätter föregående resultat i (44) erhåller 

vi för de nya koordinaterna 

x = r cos ϕ (cirkeln som parametriserad kurva) 

y = r sin ϕ

där sin ϕ och cos ϕ ges av de Eulerska formlerna cos ϕ = (1/2)(e iϕ + e -iϕ ) och sin ϕ = 

(1/2i)(e iϕ - e -iϕ ). 

En analog metod kan tillämpas på ekvationen 

(46) x 2 - y 2 = c 2 

som motsvarar (41) med x = u 0 och y = u 1 . Istället för (43) ser vi genom insättnng att (46) 

är invariant (vi försummar termen av andra ordningen i den infintesimala parametern) för den 

infinitesimala (Lorentz-) transformationen 

(47) x → x' = x + εy: Δx = εy 

y → y' = y + εx.: Δy = εx. 

Ekvationen (U') kan skrivas som (x + y)(x - y) = c 2 . Inför vi alltså hjälpvariabeln z = x + y 

måste vi ha c 2 /z = x - y. Omvänt kan vi skriva x och y i termer av z, 

(48) x = (1/2)(z + c 2 /z) 

y = (1/2)(z - c 2 /z). 

Den infinitesimala transformationen (47) representerad i term av z blir 

(49) Δz = Δx + Δy = ε (y + x) = ε z. 

För en finit transformation med "vinkeln" ϕ kan vi resonera som i föregående fall och erhåller 

(50) z → z' = (1 + ϕ/N) N z = e ϕ z (då N → ∞). 

Därmed ges fyr-hastigheten till slut på parameterformen 

(51) u 0 = c cosh ϕ 

u 1 = c sinh ϕ 

där cosh ϕ (cosinus hyperbolicus) och sinh ϕ (sinus hyperbolicus) är definierade genom 

(52) cosh ϕ = (1/2)(e ϕ + e -ϕ ) 

sinh ϕ = (1/2)(e ϕ - e -ϕ ). 

Ekvationen för den accelererande kroppen kan skrivas d(γv)/dτ = (a/c) cγ som 

motsvarar du 0 /dτ = (a/c) u 1 . Insätter vi formerna (51) i denna ekvation ser vi att vi måste ha 

ϕ = aτ/c då a är konstant. Den generella rörelse-ekvatioen skrivs elegant som 

(53) dϕ/dτ = (1/c) a(τ).

Kroppens "hyperboliska bana", för konstant acceleration, uttyckt på parameterform som 

funktion av egentiden τ blir alltså 

(54) u 0 (τ) = c cosh (aτ/c) 

Hastigheten v = dx/dt ges genom 

u 1 (τ) = c sinh (aτ/c). 

(55) v = c (γv/γc) = c u 1 (τ)/u 0 (τ) = c tanh(aτ/c). 

Den relativistiska additionsformeln för hastigheter kan nu representeras som en 

addition av "hyperboliska vinklar". Har vi hastigheterna u' = c tanh(ϕ') och u'' = c tanh (ϕ'') 

i x-riktningen, då ges deras relativistiska summa av u = c tanh (ϕ' + ϕ'') = c(tanh(ϕ') + 

tanh(ϕ''))/(1 + tanh (ϕ') tanh (ϕ'')) = (u' + u'')/(1 + u' u''/c 2 ). Nämligen, en Lorentz 

transformation L(u') mellan inertiala referenssystem med den relativa hastigheten u' = c tanh 

ϕ' 

utgör en hyperbolisk rotation med vinkeln ϕ'. Två efterföljande Lorentz transformationer (de 

relativa hastigheterna längs x-axeln) ger upphov till transformationen L(u) = L(u'')L(u') och 

motsvarar en addition av de hyperboliska rotationsvinklarna, ϕ = ϕ' + ϕ'', analogt med 

rotationer i den Euklidiska geometrin. I term av hjälpvariabeln z = x 0 - x 1 beskrivs de 

successiva Lorentz transformationerna som 

(56) z → z' = e ϕ' z: z' → z'' = e ϕ' z' = e ϕ' + ϕ'' z 

vilket visar att produkten faktiskt motsvarar en addition av de hyperboliska vinklarna. 

U 

0 

U 

U' 

U 

1 

Fyr-hastigheten U hålls på hyperbeln U 2 = - C 2 

Under acceleration företer fyr-hastigheten en 

"hyperbolisk rotation" från U till 

U'

Som en praktisk tillämpning av teorin skall vi härleda den relativistiska 

raketekvationen. Raketdriften baserar sig på konservering av impulsen. Om raketen med 

massan m spottar ut en massa med hastigheten u i - x -riktningen, och raketens massa 

ändras med dm (< 0), blir raketens hastighetsökning dv bestämd från relationen u dm + (m 

+ dm)dv = 0 (totala impulsförändringen är noll). (Observera att vi för raketens 

massändring har |dm| = γ(u)dmo = dE/c 2 , där dmo är massan av den utblåsta materien 

som har impulsen −γ(u)udmo = udm, och dE betecknar dess energi - det gäller alltså inte 

att dm = -dmo som Newtons mekanik skulle föreskriva. Ett intressant exempel på massenergi 

relationen.) Detta leder till ekvationen 

(57) a = dv/dτ = - (u/m) dm/dτ = -u d(ln m)/dτ. 

för accelerationen (visavi ett medföljande inertialt referenssystem vid en viss tidpunkt). Detta 

resultat kombineras med den tidigare härledda ekvationen (21). Räkningarna förenklas om 

vi använder representationen 

(58) γv = c sinh ϕ 

γ = cosh ϕ. 

Rörelse-ekvationen (21) kan skrivas som d(γv)/dτ = γ a. Nyttjar vi (58) leder rörelseekvationen 

till relationen (eller använd direkt (53) från föregående avsnitt) 

dϕ/dτ = (1/c) a = -(u/c) d (ln m)/dτ. 

Om utblåsningshastigheten u är konstant följer alltså ϕ = (u/c) ln (m(0)/m(τ)), och 

hastigheten v = c tanh ϕ skrivs 

(59) v = c (1 - (m(τ)/m(0)) (2u/c) )/(1 + (m(τ)/m(0)) (2u/c) ). 

Här betecknar m(0) raketens initialmassa, och m(τ) massan vid egentiden τ. Desto högre 

utblåsningshastighet u desto högre hastighet når raketen. För en fotonraket når man den 

maximala "utblåsningshastigheten" u = c. 

(Hur mycken nyttolast kan man maximalt ta med på en fotonraket som skall 

accelerera till 90% av ljushastigheten och sedan bromsa in igen ? Dylika numeriska 

överläggningar antyder att science fiction författare i regel har ganska optimistiska 

föreställnigar om kapaciteten hos sina rymdraketer av taxibils format. Andelen nyttolast kan 

ökas ifall drivkraftsanläggningen sätts utanför raketen; exv i form av en laserkanon 

placerad på månen som rikats in på rymdskeppet, vilket försetts med stora speglar som 

fungerar som ljussegel. Versioner av denna idé har lanserats av RL Forward.) 

Betraktar vi ljushastigheten c som en variabel parameter, och låter den gå mot 

oändlighet, då reduceras föregående uttryck (59) till den klassiska raketekvationen, v(t) = 

u.ln(m(0)/m(t)), som härleddes (utgående från Newtons mekanik förstås) av 

rymdfartspionjären KE Tsiolkovski den 25 augusti 1898 (enligt dagboksanteckning). 

(Tsiolkovski förslog raketdrift bl a baserad på kärnkraft, och acceleration av elektroner med 

elektriska fält.)

"Out there in vacuum, what could a space craft be able to push against ?" 

(Classic question by New York Times, enligt P Nicholls (ed.) i "The science of science 

fiction", London 1982. Hur skulle du besvara frågan för tidningsläsare som har glömt all 

fysik de eventuellt lärde sig skolan?) 

9. Accelererande referenssystem 

Vi återvänder igen till fallet med den accelererande raketen. Antag att vi före starten 

har två synkroniserade identiska klockor som vi placerar vid x' = 0 och x' = L i raketen. 

När vi gjort en rundtur med raketen och sedan jämför klockorna märker vi att de visar olika 

tider. 

x 

L 

x' 

0 

I ett accelererande referenssystem 

går klockorna på olika 

nivåer med olika "hastighet". 

Om vi, enligt klockan vid x' = 0, har accelererat under tidintervallet t' när vi stänger av 

raketmotorn, visar klockan vid x' = L istället tiden t'' = t'(1 + aL/c 2 ); dvs, vi kommer att ha 

en tidsdifferens på 

(60) Δt' = t' (a x'/c 2 ). (x' = L) 

Klockornas tid skiljer eftersom de följt något annorlunda banor i rum-tiden (genom sina 

olika placeringar i raketen - jmf "tvillingparadoxen" i avsnitt 5). 

Vi skall konstruera ett speciellt koordinatsystem (motsvarigheten till fig. 2 i avsnitt 3) 

för det accelererande referenssytemet R' (raketen) och transformationen till det inertala 

referenssystemet R. Av rums-koordinaterna behöver vi bara bry om x-axeln längs vilken 

accelerationen sker. För koordinatlinjen x' = 0 väljer vi den bana i det inertiala 

referenssystemet som raketsystemets origo beskriver i rum-tiden. Vid starten, t = 0, 

sammanfaller x- och x'-axeln. För tidpunkten t > 0, betrakta ett medföljande (comoving) 

inertialt referenssystem R'' vars origo och koordinatsystem sammanfaller med raketsystemets 

dito vid denna tidpunkt. Antag raketens klocka i origo visar t'. Vi använder Lorentz 

transformationen från R'' till R,

Δx 1 = γ(Δx' 1 + βΔx' 0 ) = γΔx' 1 

(L'') Δx 0 = γ(Δx' 0 + βΔx' 1 ) = γ βΔx' 1 

(med beteckningen β = v/c; 

Δx' 0 = 0 eftersom vi transformerar längdkoordinaten 

vid en fix tidpunkt t'; en sk "Lorentz kontraktion") 

för att upprätta en relationen mellan R' och R för tiden t som motsvaras av tiden t' i R'. Enligt 

denna konstruktion kommer linjerna t' = konst att motsvara punkterna med samma hastighet 

v = c tanh (at'/c). 

x 

0 

c 2 /a 

x' = 0 

P Q 

x' = konst 

t' = konst 

x 

1 

Transformationen mellan det accelererande referenssystemets 

(R') kordinater och det inertiala referenssystemet. 

Observera att koordinatsystemet (x',t') bara 

täcker en del av rum-tiden. 

dr 

R'' 

x' = r + dr 

x' = r 

Ekvationerna (54) för den accelererande raketens origo kan skrivas som 

(60) dt/dτ = cosh (aτ/c) 

dx/dτ = c sinh (aτ/c) 

vilka integreras till 

(61) x1 = x = c2 /a cosh (aτ/c) = c2 /a cosh (ax'0 /c2 ) 

x0 = ct = c2 /a sinh (aτ/c) = c2 /a sinh (ax'0 /c2 ) 

(x'0 = cτ)

Vi sätter banan (61) som koordinatlinjen x' = 0 (se diagrammet). Tidsaxeln för raketens 

referenssystem i varje punkt P är parallell med fyr-hastigheten i P eftersom vi har u = (1,0) i 

referensystemet R''. Vi konstruerar alltså x''-axeln i samma punkt P genom att spegla 

tidsaxeln i ljuskonens 45-graders linje (se diagrammet). Ligger punkten P på kurvan x' = r 

då skär x''-axeln kurvan x = r + dr i punkten x'' = dr (man måste samtidigt komma ihåg att 

beakta skalningen av axlarna när man ritar diagrammet - se avsnitt 3). På detta sätt kan man 

geometriskt konstruera (x',t') -koordinatnätverket. 

Det analytiska uttrycket för denna konstruktion erhålls från (L''). Vi noterar att γ = 

cosh (ax' 0 /c 2 ), γv = sinh (ax' 0 /c 2 ), och skriver x' = 0 + Δx' = Δx', samt x = x(raketens 

origo) + Δx, vilket slutligen ger, 

(62) x 1 = (c 2 /a + x' 1 ) cosh (ax' 0 /c 2 ) 

Från (62) ser man att 

x 0 = (c 2 /a + x' 1 ) sinh (ax' 0 /c 2 ). 

(63) (x 0 ) 2 - (x 1 ) 2 = (c 2 /a + x' 1 ) 2 

vilket ger en ger en algebraisk representation för banorna x' 1 = konstant. Vi oberverar 

också att linjerna t' = konst bildar räta linjer genom origot i (x 0 ,x 1 )-systemet. Uppenbart är 

också att raketens koordinatsystem inte täcker hela rum-tiden. Koordinatsystemet krymps 

ihop till en punkt för x' 1 = - c 2 /a. Som framgår av diagrammet kan ingen signal som startar 

vid en punkt med t > 0 och x < 0 nå fatt raketen fastän signalen avancerar med ljushastighet. 

Ljuskonen genom x = 0 bildar en sorts horisont (horizon) (ett begrepp som används inom 

teorin för svarta hål). 

(Antag man gör en expedition till Vintergatans centrum på 30 000 ljusårs avstånd. 

Raketen accelererar med samma acceleration som jordens tyngdkraftsacceleration, och 

bromsar in på sluthalvan genom att raketen vänds180 grader. Hur mycket har astronauterna 

åldrats under resan när de anländer till Vintergatans centrum, och hur mycket tid har då 

förlöpt mätt i jordtid ? Vad ger motsvarande räkning enligt Newtons mekanik ?) 

Den fysikaliska betydelsen av koordinaterna x' 0 och x' 1 , enligt vår konstruktion, är 

att x' 1 betecknar den fysikaliska längdkoordinaten i raketen, medan x' 0 motsvarar egentiden 

för klockan i origo x' = 0. Vi kan nu beräkna egentiden för en klocka vid godtycklig x'koordinat 

i raketen enligt (22), integrerat längs x' = konst och med användande av (62), 

(64) Δτ(x') = ∫ (1 - (v/c) 2 ) ½ dt = ∫ (1/cosh(at'/c)) dt = (1 + a x'/c 2 ) Δt'. 

Av detta ser vi att klockor på olika nivåer (olika x'-koordinater) kommer att "dra" i 

förhållande till varandra. Tidskoordinaten t' ger egentiden för klockan i origo (nivån x' = 0). 

Detta resultat (64) är speciellt intressant om vi kombinerar det med Einsteins (1907) tes att 

· fysiken är densamma i ett gravitationsfält med tyngdkraftsaccelerationen g som i ett 

accelererande referenssytem med accelerationen g ("Ekvivalenspincipen").

Därmed skulle klockor på olika nivåer i gravitationsfältet gå med olika "hastighet" relativt 

varandra. Denna effekt har kunnat mätas i jordens gravitationsfält i form av 

frekvensförskjutning. Nämligen, om vi skickar en ljussignal med frekvensen ƒ = 1/Δt' från 

höjden x' = L kommer den enligt (64) att ha frekvensen (Einstein, 1908) 

(65) ƒo = 1/Δτ = (1 + g L/c 2 ) ƒ (g = tyngdkraftsaccelerationen) 

vid "marknivån" x' = 0. (Alternativt, föreställ att vi från x' = L skickar ljusignaler med 

regelbunden intervall Δt', då observeras de vid x' = 0 med intervallen Δτ givet genom (64).) 

Skickas signalen i omvänd riktning minskar frekvensen, vilket kallas för "rödförskjutning". 

Denna effekt är exv mätbar hos stjärnor vars ljus rödförskjuts när ljuset tar sig ur deras 

gravitationsfält. Enligt kvantteorin kan man föreställa sig ljuset som en ström av fotoner med 

energin hƒ (h = Plancks konstant; ƒ = frekvensen). Ekv (65) kan då heuristiskt tolkas som 

att fotonen har en gravitationell lägesenergi av storleken (hƒ/c 2 ) g L, motsvarande en 

"massa" = hƒ/c 2 för fotonen. (Rödförskjutningsformeln (65) bekräftades av RV Pound och 

GA Rebka år 1959. De sågade upp en kanal mellan bottenvåningen och översta våningen - 

med en höjdskillnad på 22.5 meter - i Jefferson Physical Laboratory vid Harvard University. 

För mätningen begagnade de sig av Dopplerprincipen. Man bestämde hastigheten v med 

vilken detektorn måste röra sig för att kompensera rödförskjutningen Δƒ: v/c = Δƒ/ƒ.) 

En annan intressant konsekvens är att ifall raketen befinner sig termisk jämvikt 

kommer temperaturen T att variera med nivån x' enligt (RC Tolman, 1934) 

(66) T(x')(1 + a x'/c 2 ) = konstant = T(x' = 0). 

Detta resultat kan överföras till gravitationsfält (med a = g, tyngdkraftsaccelerationen) enligt 

Ekvivalensprincipen. För att förstå relationen (66), antag vi har en serie oscillatorer (atomer 

etc) som är i strålningsjämvikt med varandra. En oscillator A vid x' = a mottar en 

rödförskjuten strålning från oscillatorn B vid x' = b < a. För att de skall vara i 

strålningsjämvikt måste oscillatorn A:s spektrum vara rödförskjuten relativt oscillatorn B:s 

spektrum, enligt (65). Eftersom oscillatorn befinner sig i jämvikt med den omgivande 

strålningen måste strålningens temperatur, vilken bestämmer spektret, också variera. I 

statistisk fysik visas att spektret (Planck fördelningen) är en funktion av kvoten hƒ/kT (k, 

Boltzmanns konstant). Temperaturen kommer därför att variera som frekvensen, enligt ekv 

(65), vilket ger (66). 

En grundligare undersökning av kvantfältteorin (relativistisk kvantteori) i 

accelererande referenssystem visar att i accelererande referenssystem strålar vakuumet och 

har en positiv temperatur given genom (WG Unruh, 1976) 

(67) kT = (h/2π) a/2πc ≈ 10 -21 a [m/s 2 ] K 

(k, Boltzmanns konstant; h, Plancks konstant). 

Det är endast för inertiala referenssystem (a = 0) som vakuum är icke-strålande. Enligt 

kvantfältteori är vakuum visserligen fullt av sk virtuella partiklar, men de kan vanligen inte 

observeras. Men om vakuumet på något sätt "deformeras" (exciteras) - vilket sker t ex i

starka gravitationella (svarta hål) eller elektriska fält (såsom i närheten av atomkärnor med 

många protoner) - realiseras en del av dessa virtuella partiklar och blir observerbar strålning 

(kallas för Hawking processen). "Vanligt vakuum" (kallat neutralt vakuum) är endast ett av 

vakuumets tillstånd, nämligen grundtillståndet utan observerbara partiklar. Annorlunda 

uttryckt: För normalt (inertialt Minkowski) vakuum | M> kommer ett system av atomer som 

har energi tillstånden En; n = 0,1,2, ...., etc, att i jämvikt med detta vakuum befinna sig i 

grundtillståndet 0; för ett accelererande referenssystem kommer däremot en andel av 

atomerna proportionell till exp(-En/ kT) (Boltzmann fördelningen) att befinna sig i tillståndet 

n (med energin En) - temperaturen T definieras just genom (67). 

[För att härleda (67) behöver man det kvantfältteoretiska maskineriet. En mer 

heuristisk metod utgår ifrån att studera en planvåg exp(i(kx - ωt)) i inertialsystemet. 

Insätter man (62) för x och t i planvågen får man ett komplicerat uttryck i x' och t' för vågen 

beskriven i det accelererande referenssystemet. Denna kan dock utvecklas som en summa 

(Fourier-integral) av planvågor f(ω') exp(i(k'x' - ω't')) i det accelererande 

referenssystemet varvid det visar sig att f(ω') motsvarar en Planck-fördelning med 

temperaturen T given av (67). Om vi alltså föreställer oss att Minkowski vakuum |M> 

innehåller en likformigt fördelad noll-punkt strålning (zero-point radiation) kommer det 

accelererande referenssystemets vakuum att ha en Planckfördelning med positiv 

temperatur.] 

10. Allmän relativitetsteori (ART) 

"...enligt min åsikt bör man ej dölja det logiska 

oberoendet mellan sinnesdata och begrepp. 

Sambandet påminner inte om det mellan buljong 

och kött, utan snarare om det mellan 

hand och handske." 

A Einstein, "Fysiken och Verkligheten" (1936). 

"Nu är vi äntligen färdiga att ta itu med 

Einsteins gravitationsteori." 

B Russell, "Relativitetsteorins ABC" (1960). 

Den speciella relativitetsteorin (SR) har blivit en synnerligen framgångsrik teori och 

utgör en av den moderna fysikens grundpelare. Ändå var Einstein inte helt tillfredsställd med 

sin teori. Einstein stördes av att teorin krävde ett globalt inertialt referenssystem (Minkowski 

rummet) som en sorts bakgrund. Detta var en form av kvarleva av det Newtonska absoluta 

rummet. Därtill var relativitetsteorin oförenlig med Newtons gravitationsteori. Newtons teori 

antar exv att den gravitationella kraften verkar instant, gravitationsfältet har sas oändlig 

utbrednings hastighet. Detta kallas för avståndsverkan (action at a distance). 

Relativitetsteorin däremot föreskrev att signalhastigheter har en övre gräns lika med 

ljushastigheten i vakuum. 

Efter publiceringen av SR (1905) uppstod frågan huruvida Newtons teori kunde 

generaliseras till en relativistisk gravitationsteori. (Finländaren Gunnar Nordström hörde 

bland de främsta fysikerna som dryftade detta problem och han blev också personligt 

bekant med Einstein.)

I avsnittet om det accelererande referenssystemet konstruerade vi ett 

koordinatsystem (x' 0 , x' 1 ) där koordinataxlarnas riktning varierade från punkt till punkt till 

skillnad från det globala inertiala referenssystemet R (Minkowski rummet). Invarianten 

(I) (x 1 (B) - x 1 (A)) 2 + (x 2 (B) - x 2 (A)) 2 + (x 3 (B) - x 3 (A)) 2 - (x 0 (B) - x 0 (A)) 2 

kan i allmänhet endast formuleras för infinitesimala intervaller dx'. Ifall vi insätter (62) i 

formen (dx1 ) 2 + (dx2 ) 2 + (dx3 ) 2 - (dx0 ) 2 erhåller vi i det accelererande referenssytemet 

formen (metriken) 

(68) ds 2 = -(1 + a x' 1 /c 2 ) 2 (dx' 0 ) 2 + (dx' 1 ) 2 + (dx' 2 ) 2 + (dx' 3 ) 2 

där ds 2 alltså betecknar "avståndet" mellan två infintesimalt närliggande punkter enligt 

Minkowski metriken. För det generella fallet (godtyckligt koordinatsystem) skriver vi 

metriken på formen 

(69) ds 2 = Σ gμν dx μ dx ν (summerat över μ ,ν = 0, 1, 2, 3) 

Uttrycket har följande betydelse. Om en kropp följer en bana x(λ) i rum-tiden kommer dess 

egentid Δτ för ett banavsnitt att ges genom 

(70) Δτ = ∫ √ -ds 2 = ∫ (−Σ gμν dx μ /dλ dx ν /dλ ) ½ dλ. 

I avsnittet om egentid och tvillingparadoxen observerade vi att egentiden var maximal för 

den kropp som ostörd följde en fri kropps bana mellan två rum-tids punkter A och B, 

medan en kropp som följde en "forcerad" bana mellan A och B hade ett mindre värde för 

sin egentid. Detta generaliseras till en allmän princip inom ART. 

Rörelsepostulat: 

♦ Fria partiklar följer en geodes i rum-tiden; dvs, en bana med maximal rum-tids längd 

(70) (egentid). I Newtons mekanik svarar detta postulat mot satsen att fria partiklar 

följer räta linjer med likformig hastighet. 

Hur skall man bestämma de metriska koefficienterna gμν(x) ? För det konstant 

accelererande referenssystemet beräknade vi dem genom transformationen till ett globalt 

inertialt referenssystem. Inom ART kan vi inte förutsätta något dylikt globalt referenssystem. 

Vidare, för det acclererande referenssystemet beror de metriska koefficienterna på 

accelerationen. Enligt Ekvivalensprincipen är acceleration lokalt fysikaliskt omöjligt att skilja 

från gravitationens verkan. Tanken är därför att anta att de metriska koefficenterna 

generellt bestäms av gravitationen. Eftersom det är mass(-energin) som är källan till 

gravitation är det närliggande att anta att det är mass-energin i universum som 

bestämmer metriken (70); dvs, rum-tids geometrin. Den allmänna relativitetsteorin ser 

följaktligen på rum-tiden som en dynamisk entitet.

10.1 Differentialgeometri 

"Varje gatpojke i Göttingen förstår den 

fyr-dimensionella geometrin bättre än Einstein. 

Trots detta var det Einstein som gjorde arbetet 

[uppfann ART] och inte matematikerna". 

En D Hilbert anekdot. 

För att kunna vidareutveckla den generella teorin fodras vissa insikter i differential 

geometri (i detta skede - kring 1912 - hade Einstein turen att få hjälp av sin forne 

studiekamrat, matematikprofessorn Marcel Grossmann, som pliktskyldigt hade gått på 

matematikföreläsningarna under studietiden medan Einstein satt och diskuterade filosofi på 

caféerna). Kurvlinjära koordinater (såsom sfäriska koordinater) i R 3 representeras via en 

funktion r(u 1 ,u 2 , u 3 ) i R 3 . En bana kan skrivas som en funktion r(u 1 (t),u 2 (t), u 3 (t)) vilken 

har hastighetsvektorn 

(71) V = d r(u i (t))/dt = Σ du i /dt ei 

med basvektorerna definierade genom 

(72) ei = dr/du i . 

Från (71) erhåller vi för kvadraten på magnituden V.V = (ds/dt) 2 uttrycket 

(73) V 2 = Σ gij du i /dt du j /dt 

med gij = ei . ej för de metriska koefficienterna. Formar vi accelerationen dV/dt hamnar vi 

i (71) att differentiera basvektorerna, 

(74) dV/dt = Σ d 2 u i /dt 2 ei + Σ du i /dt du j /dt dei/du j 

Nu är också vektorn dei/du j en summa av basvektorerna, 

(75) dei/du j = Σ Γ k ij ek 

(eller på differentialform: dei = Σ ekω k i, ω k i = Σ Γ k ij du j ) 

där koefficenterna Γ k ij kallas för Christoffel symboler. Ekv (74) kan alltså skrivas som 

(76) dV/dt = Σ (d 2 u k /dt 2 + Σ Γ k ij du i /dt du j /dt) ek = Σ V k ;j du j /dt ek 

där vi definierat den kovarianta derivatan A k ;j för en generell vektor A k (specialfall V k = 

du k /dt) enligt

(77) A k ;j = dA k /du j + Σ Γ k ij A i 

(på differentialform: dA = Σ ek (dA k + Σ ω k i A i )) 

När det gäller kurvlinjära koordinater r(u 1 ,u 2 , u 3 ) kan Christoffelsymbolerna direkt 

beräknas från ekv (75) genom att vi känner (72). Nyttjar vi sambandet gij = ei . ej följer 

genom differentation att 

(78) gij,k = Σ (gimΓ m ik + gmj Γ m kj) (gij,k = dgij/du k ) 

(på differentialform: dgij = ωij + ωji; ωij = Σ gikω k j) 

som ger en relation mellan de metriska koefficienterna och Γ k ij. Enär Γ k ij och gij är 

symmetriska i indexen (i,j) kan vi lösa ut Γ m ik från (78) enligt 

(79) Γ k ij = ½ Σ g km (gmj,i + gim,j - gij,m) 

där g km är komponenterna till den inversa matrisen G -1 för G = (gmn) vilka satisfierar 

(80) Σ g km gml = δ k l (= 1 ifall k = l, i övrigt 0; δ k l kallas för 

Kroneckers deltafunktion): 

Antag vi gör en koordinattransformation u → u' med u som funktion av u', u = u(u'), 

och skriver r(u') = r(u(u')). För basvektorerna e' i det nya koordinatsystemet erhåller vi e'i 

= dr/du' i = Σ(du j /du' i )ej (kovariant transformation). Relationen mellan komponenterna hos 

vektorn V = ΣV j ej = ΣV' j e'j i det nya och gamla koordinatsystemet blir 

(81) V i = Σ (du i /du' j )V' j 

V' i = Σ (du' i /du j )V j 

Detta är transformationsformeln för vektorer mellan olika koordinatsystem. Vektorens 

komponenter med indexen uppe, V i , kallas för dess kontravarianta komponenter (dess 

transformation (81) är inversen till basvektorernas (ej) transformation). Vi kan också införa 

en vektors kovarianta komponenter, Vi, genom relationerna 

(81.1) Vi = Σ gij V j ; V j = Σ g jm Vm. 

Därmed skrivs produkten g(U,V) = Σ gij U i V j som Σ Uj V j = Σ Vj U j . Vektorernas 

kovarianta transformation skrivs, 

(81.2) Vi = Σ (du' j /du i )V'j 

V'i = Σ (du j /du' i )Vj

Metrikens kovarianta komponenter gij transformerar uppenbarligen enligt, 

(82) g'ml = Σ (du i /du' m )(du j /du' l ) gij. 

Nyttjar vi (82) och (81) kan vi bekräfta att produkten g(U,V) = Σ gij U i V j = Σ g'ij U' i V' j 

faktiskt är invariant gentemot koordinattransformationer. Differentialgeometrin kan sägas 

handla om matematiska storheter som är invaranta eller kovarianta (såsom vektorn i (81) 

och metriken i (82)) under koordinattransformationer. [Uppdelningen i kovarianta och 

kontravarianta vektorer motsvarar definitionen av vektorrum S och dess duala kovektorum 

S* i linjär algebra, med metriken som en avbildning, G: S → S*, representerad på 

komponentform i ekv (81.1).] 

Vi kan generalisera (73) - (82) till en metrisk mångfald M där metriken i (73) inte 

är given genom någon relation av formen gij = dr/du i .dr/du j (vilken är härledd från euklidisk 

metrik) utan kan postuleras "godtyckligt". En bana u(t) vars hastighetsvektor (tangentvektor) 

V = Σdu i /dt ei är konstant, dV/dt = Σ V k ;j du j /dt ek = 0, kallas geodes. 

Tangentvektorerna till alla differentiabla kurvor i en punkt p ∈ M spänner upp ett vektorrum 

TpM som kallas tangentrum. För exv en 2-sfär är tangentrummet i en punkt detsamma som 

tangentplanet vid denna punkt. 

Geodesen är en generalisering av den räta linje från euklidisk geometri. Om vi 

kräver att geodesen samtidigt definierar den kortaste banan mellan två punkter, dvs 

minimerar integralen 

(83) ∫ √(Σ gmn dx m /dt dx n /dt) dt, 

och jämför motsvarande variationsekvation med ekvationen (från (76) och dV/dt = 0) 

(84) d 2 u k /dt 2 + Σ Γ k ij du i /dt du j /dt = 0 

erhåller vi igen relationen (79) mellan metriken och Christoffelsymbolerna. 

Slutligen behöver vi ta upp begreppet krökning (curvature, Krümmung). 

Karaktäristiskt för ett icke-krökt rum (flat space), såsom Minkowski rummet och det 

euklidiska rummet, är att vi har ett globalt parallellitetsbegrepp. Man kan jämföra två 

vektorer A och B vid vilka som helst två punkter P och Q genom att parallelltransportera 

(hålla dess riktning och magnitud oförändrad, dA = 0) A från punkten P till punkten Q och 

jämföra den parallelltransporterade vektorn A med B vid deras gemensamma punkt Q. För 

kurvlinjära koordinater definieras parallelltransport av en vektor A längs en bana u(t) av 

kravet 0 = dA/dt = Σ A k ;j du j /dt ek som leder till ekvationen 0 = ∇VA = Σ A k ;j du j /dt, i 

vilken vi samtidigt infört beteckningen ∇VA för den kovarianta derivatan ∇VA av en 

vektor A längs vektorn V = (du j /dt). Vi generaliserar denna formel till den generella metriska 

mångfalden (rummet): Vektorn A parallelltransporteras längs banan u(t) om A(u(t)) 

satisfierar

(85) 0 = ∇VA = Σ A k ;j du j /dt (= Σ(dA k /du j + Σ Γ k ij A i )du j /dt) 

längs banan u(t). Ett icke-krökt rum karaktäriseras av egenskapen att parallelltransporten 

mellan två punkter P och Q är oberoende av banan mellan P och Q längs vilken 

parallelltransporten utförs. 

B 

P 

V 

A 

Q 

V' 

V'' 

V'' - V' = R(A,B,V) 

För ett krökt rum beror paralleltransporten av en vektor V mellan två punkter 

på vägen längs vilken den utförs. Vektorn V parallelltransporteras längs den 

undre och övre sidan av parallellgrammet AB med resultaten V' och V'' som 

i allmänhet skiljer sig från varandra. Skillnaden ges via Riemann tensorn R. 

Parallelltransporterar vi en vektor V längs en infinitesimal parallellogram uppspänd 

av vektorerna A och B (se figuren) får vi för skillnaden, mellan parallelltransporten längs 

övre och undre sidan, en vektor ΔV = R(A,B,V). Operatorn R kallas Riemann tensorn 

och är linjär i sina argument. Dess explicita uttryck fås genom att använda parallelltransport 

villkoret ∇AV= 0 och ∇BV= 0 längs de fyra segmenten. Denna räkning ger 

(86) ΔV k = Σ Rlmn k A l B m V n 

med komponenterna (varje relativist bör utföra denna beräkning åtminstone en gång under 

sin livstid) 

(83) Rlmn k = Γ k ln,m - Γ k mn,l + Γ k mj Γ j ln - Γ k lj Γ j mn 

(summering över de upprepade indexen: A ..p. ..p... == Σ A ..p. ..p.; 

kallas för Einsteins summeringskonvention).. 

(Med differentialformer definieras Riemann tensorn genom dubbel- 

differentation av en vektor: d 2 V = R(V) = ejR i jV j ; R i j = dω i j + Σ ω i k ∧ ω k j. 

Denna definition ger den snabbaste metoden för att beräkna komponenter 

hos Riemann tensorn då metriken är diagonal.)

Ett krökt rum kännetecknas alltså av att Riemann tensorn R inte identiskt försvinner. Från 

Riemanntensorn R kan man genom sk kontraktioner härleda Riemann matrisen Rmn och en 

krökningsskalar R ("skalar" betyder att den är invariant visavi koordinattransformationer): 

(84) Rmn = Σ Rlmn l (kontraktion i indexet l) 

R = Σ g mn Rmn. 

När det gäller differentialgeometrin för rum-tiden gör vi följande specifikationer: För 

det första skall rummet vara fyr-dimensionellt. För det andra skall man vid varje punkt P 

kunna välja ett lokalt koordinatsystem där metriken i punkten P reduceras på Minkowski 

formen 

(85) ds 2 = -(dx 0 ) 2 + (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 . 

Detta motsvarar för vanliga Riemannska rum kravet att de lokalt skall motsvara euklidiska 

rum - i varje punkt P skall man kunna välja ett koordinatsystem där Phytagoras' regel gäller, 

ds 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + ... + (dx n ) 2 . 

10.2 Fältekvationerna 

"You will immediately stop calling 

space curved." 

Meddelande på ett postkort till Einstein 

år 1947 av en upprörd medborgare i Boston. 

Den allmänna relativitetsteorin kan sägas ha haft två utgångspunkter. Å ena sidan 

kovariansprincipen, som fodrar att fysikens lagar skall formuleras på ett sätt som har 

sammma form i alla koordinatsystem. Å andra sidan kan ART betraktas mera som en ren 

teori om gravitationen baserad på Ekvivalensprincipen. Det är Ekvivalensprincipen som 

grundar antagandet att rum-tiden är en dynamisk entitet vars tillstånd hänger samman med 

materiens tillstånd. Det moderna synsättet försöker framställa ART som en sk mått-teori 

(gauge theory, Eichtheorie) med Lorentzgruppen som grund. Gravitationen jämställs med de 

andra "fundamentala krafterna" i fysiken (svag växelverkan, stark växelverkan, och 

elektromagnetism). Gravitationens relation till de övriga krafterna är dock inte 

tillfredställnade utredd. Bland teoretikerna finns det en förhoppning att alla krafter skall 

kunna härledas ur en enda kraft i en förenhetligad teori (theory of everyting, etc). Populära 

kandidater för tillfället är "superteorierna" med superstringar och supersymmetri. Ett av de 

svåraste stötestenen är att på ett konsistent sätt foga ihop gravitationen med kvantteorin. 

Minkowskirummet kan ses som ett specialfall där gravitationen är försumbar. 

Geometriskt karaktäriseras Minkowskirummet av en försvinnande krökning. Krökningen är 

ett sorts mått på rum-tidens "deformation", en sorts "spänningsenergi". Einstein antog att 

fältekvationerna för gravitationen följer i det generella fallet av att minimera denna 

spänningsenergi, rum-tids krökningen. (Einsteins väg till fältekvationerna var betdyligt mer

krokig än vad som här antyds. Det var matematikern David Hilbert som introducerade idéen 

att härleda fältekvationerna via variationskalkylen.) Som den skalära funktionen för denna 

"spänningsenergi" faller valet ganska naturligt på krökningsskalaren R (84) (bl a har man som 

ett villkor att de resulterande ekvationerna skall vara andragrads differentialekvationer för de 

metriska komponenterna gμν). Fältekvationen för materien fås å andra sidan, enligt 

standard metoder, genom att minimera materiens "energifunktion", Lagrange funktionen. 

Fältekvationen för ART erhålls genom ansatsen att minimera (extremalisera) summan av 

krökningnsskalaren (integrerad över rum-tiden) och materiens Lagrange funktion, 

(86) δ [ (1/κ) ∫ R √ -g d 4 x + (1/c)∫ L(ψ) √ -g d 4 x] = 0. 

Här betecknar R krökningsskalaren (84), L(ψ) är materiens (materia-fält ψ, 

elektromagnetism, etc) Langrange funktion, √ -g d 4 x är rum-tidens (invarianta) 

volymelement med g = det(gμν), κ är en dimensionskonstant som förbinder geometriskkinematiska 

[tid-längd] och dynamiska [mass-energi] enheter. Konstanten κ skall 

bestämmas från kravet att teorin för relativt svaga gravitationsfält måste approximera 

Newtons teori. Ekv (86) innebär att om vi betraktar en närliggande metrik g'μν = gμν + 

δgμν till lösningen gμν för (86) blir skillnaden mellan integralen i (86), räknat för gμν och 

g'μν, av minst andra ordningen i δgμν. Med hjälp av variationskalkyl härleder man från 

(86) Einsteins fältekvation (A Einstein, 1915) 

(87) Rμν - ½ gμν R = -(κ/2c) Tμν. 

[Tμν står för energi-impuls tensorn T vilken härleds från materia-fältets Lagrange funktion 

L. Symboliskt kan man skriva för dess komponenter (δ står här för funktional derivata), 

Tμν = (2/√-g) δ(L√-g)/δg μν . 

Komponenten T(u,u) ger exv mass-energi tätheten visavi en obervatör med hastigheten u 

(T(u,u) = T00 i observatörens referenssystem med u = (1,0)).] 

För att bestämma konstanten κ kan man förfara på följande sätt. Man studerar ansatsen där 

de metriska koefficenterna minimalt avviker från Minkowski metriken g 0 μν = diag(- 

1,1,1,1): 

(88) gμν = g 0 μν + hμν, 

där vi antar att |hμν|

[Använder man approximationen g00 ≈ -(1 + 2φ/c 2 ) bör ekv (87) för 

tidsoberoende fält reduceras till Poissons ekvation, (∂x 2 +∂y 2 + ∂z 2 )φ = 4πGρ, för den 

klassiska gravitationspotentialen φ genererad av en masstäthet ρ. För planetrörelse har vi 

potentialen φ = − GM/r, samt rörelse-ekvationen, m d 2 r/dt 2 = - m dφ/dr, som kan 

jämföras med ekv (84). Energi-impuls tensorn Tμν för "stoft" (dust) har formen Tμν = 

ρc 2 uμuν. Den finländska fysikern Gunnar Nordström utgick just från den klassiska Poisson 

ekvationen i sitt försök att konstruera en relativistisk teori för gravitationen.] 

Fältekvationerna skrivs slutligen som 

(87') Rμν - ½ gμν R = (8πG/c 4 ) Tμν. 

10.3 Schwarzschild lösningen 

(8πG/c 4 ≈ 2.076 x10 -43 s 2 /kg m) 

Det finns ett fåtal exakta lösningar till Einsteins fältekvationer. Det viktigaste 

exemplet är lösningen för gravitationsfältet kring en sfärisk symmetrisk kropp. För en ickeroterande 

kropp (en roterande kropp har förstås endast cylindrisk symmetri) skrivs 

lösningens metrik (utanför kroppen) med användande av "sfäriska koordinater" (K 

Schwarzschild, 1916), 

(89) ds 2 = -(1 - 2GM/rc 2 )(cdt) 2 + (1 - 2GM/rc 2 ) -1 dr 2 + (rdθ) 2 + (r sinθ dϕ) 2 . 

Med hjälp av (89) kan man beräkna planetbanor med relativistiska korrektioner, ljusets 

avböjning i gravitationsfält, mm. Rödförskjutningsformeln (65) exv blir i Schwarzschild 

metriken, 

(90) (1 - 2GM/r'c 2 ) -½ ƒ' = (1 - 2GM/rc 2 ) -½ ƒ. 

Ljustrålar karaktäriseras av ekvationen ds 2 = 0 Med hjälp av denna ekvation kan vi rita ut 

ljuskon-strukturen i (ct,r)-planet (radiella strålar med dθ = dϕ = 0).

ct 

r = 2GM/c 2 

Ekvationen för radiella ljusstrålar Schwarzschild metriken: 

2 

dr/cdt = ± (1-2GM/rc ) 

Från figuren ser vi att om kroppens diameter R är mindre än den sk Schwarzschildradien Rs 

= 2GM/c 2 , och metriken kan fortsättas för r < 2GM/rc 2 , kommer ljusstrålarna innanför 

Schwarzschildradien att alldrig nå området r > Rs. Härav benämningen svarta hål (black 

holes, efter JA Wheeler) på objekt som har en radie mindre än deras Schwarzschildradie. 

Sfären r = Rs är ett exempel på en sk horisont (horizon). Inget som hamnar innaför 

horisonten kan ta sig ut därifrån igen. Enligt diagrammet är ljusstrålarna böjda vilket till synes 

strider mot ljushastighetens konstans. Detta beror på att r-koordinaten inte anger den 

metriska radien, och att tidskoordinaten t inte är densamma som fysikalisk tid. För en 

observatör O vid en fix radie motsvarar ett koordinattidintervall dt enligt metriken (89) ett 

observerat tidintervall (egentid) dτ = dt (1 - 2GM/rc 2 ) ½ : Ett radiesegment dr motsvara för 

observatören en längd på dx = dr (1 - 2GM/rc 2 ) -½ . För en observatör O* med en fix 

position och radie r* >> Rs motsvarar koordinattiden t närapå observatörens egentid. 

Relationen dτ = dt(1 - 2GM/rc 2 ) ½ innebär att O:s tid verkar gå allt långsammare dess 

närmare denna kommer Schwarzschildradien sett från O*:s synvinkel. Faktiskt, om O råkar 

befinna sig i fritt fall in i svarta hålet kommer O sett från O* att aldrig nå fram till 

Schwarzschildradien, utan syns falla allt långsammare tills fallet i praktiken sas "fryser fast". 

O själv upplever att fallet tar några minuter (beroende på hålets massa) tills O hamnar i 

singulariteten r = 0 eller dess förinnan krossas av tidvattenkrafterna. 

10.4 Gravitationell strålning 

Vi skall nämna ett sista fundamentalt fenomen som ART förutser till skillnad från 

Newtons teori, nämligen gravitationsvågor. Undersöker man de lineariserade 

fältekvationerna med ansatsen (88) erhåller man ekvationer som påminner om Maxwells 

ekvationer, och man kan i analogi med dessa härleda liknande "strålningsekvationer" 

(kvadrupolstrålning) för accelererande och oscillerande massor (A Einstein, 1916). 

Energiminskningen för små störningar blir 

r

(91) -dE/dt = (G/45c 5 ) Σ (d 3 Dik/dt 3 ) 2 

[Dik betecknar systemets kvadrupolmoment definierat 

genom Dik = ∫ ρ(x)(xi xk - r 2 δik)d 3 x. För ett system 

med massan M, dimensionen R och typisk rörelseperiod T kan 

storleken på termerna d 3 Dik/dt 3 grovt uppskattas som 

MR 2 /T 3 . Gravitationen har ingen dipolstrålning, till skillnad från 

elektromagnetism, vilket hänger samman med att metriken beskrivs 

av en gμν-tensor ("spin = 2") medan elektromagnetismen 

beskrivs av en vektor ("spin = 1").] 

Gravitationsvågor är "störningar" i rum-tids strukturen som fortplantar sig med ljusets 

hastighet. System med accelererande massor läcker energi. Kroppar som hamnar i vägen 

för dessa störningar utsätts för tidvattenkrafter (tidal forces). Genom att utgå från att den 

totala mekaniska energin (+ elektromagnetisk energi, etc) + gravitationsenergin är 

konstant, beräknar (och definierar) vi gravitationsenergin. Energidensiteten t ex för en 

gravitationsvåg, med amplituden Δg för metrikens "störning" Δgμν och våglängden λ, är av 

storleksordningen 

(92) (c 4 /G) (Δg/λ) 2 

Detta verkar ge betydande värden men amplituden Δg är oftast mycket liten och våglängden 

λ mycket stor (30 -300 km), motsvarande en frekvens ν i området 1000 - 10 000 Hz 

(λ = c/ν ). Beteckna med Lin den interna dynamiska effektutvecklingen i ett astrofysikaliskt 

system, då är den effekt Lgrav som systemet kan utstråla i form av gravitationsvågor (följer 

från ekv (91)) i storleksordningen (F Dyson, 1969), 

(93) Lgrav ≈ Lin 2 /Lo; 

Lo = c 5 /G = 3.63 × 10 52 W. 

För hela solsystemet blir effekten som störst kring 100 kW (effekten hos en bilmotor) som 

solsystemet utstrålar i form av gravitationsvågor. [För ett gravitationellt system, med massan 

M innesluten i ett område med radien R, kan vi göra uppskattningen Lin = kraft × hastighet 

= (GM 2 /R 2 ) (GM/R) ½ .] Konstanten Lo anger den maximala gravitationella 

energiutstrålningen som ett system oberoende av storlek kan ha; ty blir energiutstrålningen 

ännu större kollapsar området till ett svart hål som håller tillbaka utstrålningen. 

De kraftigaste gravitationsvågorna uppkommer då svarta hål kolliderar (omkr hälften 

av deras mass-energi Mc 2 kan omvandlas i gravitationsvågor). Man räknar med att 

effekterna av en dylik kollision (gigantiska svarta hål på 1 miljard ljusårs avstånd) får exv två 

fritt upphängda kroppar på jorden med avståndet L att oscillera relativt varandra med en 

amplitud kring ΔL = 10 -21 L (ΔL/L ≈ Δgμν /gμν). Hela jorden kommer exv att "töjas" 

pga gravitationsvågornas "transversala" (vinkelrätt mot utbredningsriktningen) tidvatteneffekt

med en amplitud på endast omkr 10 7 × 10 -21 m = 10 -14 meter vilket motsvarar ungefär 

diametern hos en atomkärna ! Med hjälp av laserinterferometri och kilometerstora 

anläggningar (exv LIGO i USA och VIRGO i Europa som är under konstruktion) hoppas 

man ändå småningom kunna detektera förskjutningar av storleksordningen 10 3 ×10 -21 = 

10 -18 meter. Den första "gravitationsantennen" konstruerades av J Weber med början år 

1959. Han förbluffade kollegerna med sin "Weberstav" som kunde mäta längdavvikelser 

motsvarande en bråkdel av en atomkärnas diameter (Weber använde sig av piezoelektriska 

kristaller). Ändå var detta inte tillräckligt eftersom hans detektor, med en längd på omkr 2 

meter, reagerar med en oscillation om endast ca 10 -21 × 2 meter för de kraftigaste 

gravitationsvågor man antar når jorden. Förhoppningen är att "gravitationsantennerna" 

baserade på laserinterferometri skall bli revolutionerande instrument för astronomiska 

observationer av energi-intensiva processer i universum. (Weber publicerade 1951 den 

första skissen för en laser. Besviken över att hans bidrag negligerades gav han sig i kast med 

ett nytt forskningsområde, gravitationsvågor och deras detektering. Det är en viss ironi att 

det är lasern som verkar vara den mest hoppingivande kandidaten för 

gravitationsvågdetektor.) Systemet LISA (Laser Interferometry Space Antenna) planeras att 

bestå av 3 par satelliter som kretsar kring solen på jordens bana, 50 milj kilometers "efter" 

jorden. De tre satellitparen kommer att ordnas i en liksidig triangel med sidan omkr 5 milj 

kilometer (parens innebördes avstånd blir ca 200 km). På detta sätt får man tre 

interferometrar. (Uppgifter från New Scientist, 10 augusti 1996.) 

Det har redan framkommit indirekta bevis för gravitationsvågornas existens. Man 

har nämligen observerat stjärnpar (binary stars) vilka kretsar kring varandra med krympande 

innebördes avstånd, vilket betyder att systemet förlorar energi. Den uppmätta förändringen 

av banelementen överenstämmer med beräkningar av energiförlusten pga 

gravitationsstrålning. Noggranna mätningar har t ex gjorts för den binära pulsaren PSR 

1913+16 (vilka gav upptäckarna J Taylor och R Hulse Nobelpriset i fysik år 1993). 

Energiminskningen för två massor m1 och m2, kretsande längs cirklar kring det 

gemensamma masscentret och med innebördes avståndet R, blir enligt ART (ekv (91)) 

(94) -dE/dt = 32G 4 (m1m2) 2 (m1+m2)/5(cR) 5 

Beräkningar för PSR 1913+16 (R omkr 1 milj km; m1 och m2 omkr 1.4 ggr solmassan 

MO) ger för utstrålningen värdet 6.3 ×10 25 Watt. Jupiter-sol systmet har som jämförelse en 

utstrålning omkr 5.4 kW. 

Starka gravitationsvågor är ett mycket komplicerat fenomen att behandla 

matematisk pga fältekvationernas icke-linearitet. I extremfall kan kolliderande intensiva 

gravitationsvågor exv ge upphov till en så stor energitäthet att det bildas svarta hål. 

10.5 Kosmologi 

Redan 1917, året efter publiceringen av ART, försöker Einstein tillämpa 

relativitetsteorin på hela universum. Detta kan sägas vara inledningen till den moderna 

vetenskapliga kosmologin och studiet av kosmologiska modeller. Den enklaste ansatsen är 

att utgå ifrån att universum i stort (large-scale structure) är isotropisk och homogent; dvs, 

universum ser lika ut i alla riktningar i alla punkter. För ett sådant välordnat universum kan

man definiera en "kosmisk tid" t (om t ex universum expanderar kan krökningen i princip 

användas som ett tidsmått; är universum statisk går det att synkronisera klockor i universum 

med hjälp av ljussignaler; alla modeller som satisfierar det sk "Weyl postulatet" har en 

kosmisk tidsparameter). Om vi fastställer ett koordinatsystem för vår "epok" t0, kommer 

galaxernas koordinater att vara konstanta (vi bortser från egenrörelse), medan deras 

innebördes avstånd varierar med epoken t enligt en skalningsfaktor R(t) som sätts R(t0) = 

1 för vår epok. 

En metrik som uppfyller dessa villkor (symmetrikrav) kan skrivas (Robertson-Walker 

metrik), 

(95) ds 2 = -(cdt) 2 + R(t) 2 {dr 2 + (ℜ sin(r/ℜ)) 2 (dθ 2 + (sin θ dϕ) 2 )}. 

10.5.1 Gravitationell rödförskjutning 

Metriken (95) innehåller bara en funktion, skalningsfunktionen R(t) (skall inte 

sammanblandas med Riemann-skalaren), och en konstant ℜ som betecknar universums 

krökningsradie i nuvarande epok. Faktorn till R(t) 2 är en tredimensionell generalisering av 

metriken för 2-sfären. Vi ser att om r

c t0 

c te 

ct 

Dt0 

Dte 

r0 re 

Jorden Galaxen 

Ekvation för ljusstråle 

från galaxen till jorden: 

cdt/dr = - R(t) 

Relation mellan tidintervallerna 

vid jorden 

och galaxen: 

R(t0)/ Dt0 - R(te)/ Dte = 0 

Den kosmiska rödförskjutningen i ett expanderande 

universum. Två ljussignaler skickas iväg från 

galaxen vid re och epoken te. Deras tidskillnad är 

vid re lika med Dte och har töjts ut till Dt0 

vid jorden vid epoken t0 pga av expansionen. 

Genom att mäta rödförskjutningen kan man fastställa skalningsfunktionen R(t) ifall vi 

samtidigt känner till te i (96). För det senare har vi endast indirekta metoder. Man kan 

försöka "loda" rymden och räkna antalet galaxer med en viss rödförskjutning; man mäter 

magnituden hos en utvald typ av stjärnor, "standard candles" (t ex Cepheid-variablerna och 

klass Ia supernovor), som fungerar som fyrbåkar i universum och relaterar detta till deras 

rödförskjutning; man försöker bestämma den genomsnittliga masstätheten ρ i universum; 

osv. Dessa resultat försöker man sedan anpassa till teoretiska modeller och deras ekvationer 

för R. Efter systematiska stjärnlodningar publicerade E Hubble 1929 ett resultat med 

slutsatser som förbluffade den dåtida världen; nämligen, att universum utvidgas. Hubble fann 

att galaxernas avstånd r (bestämda med hjälp av magnitudmetoden och de sk Cepheidvariablerna) 

linjärt korrelerade med rödförskjutningen, 

(97) cz = Ho r ("Hubbles lag", en approxiamtion), 

där z är rödförskjutningsparametern definierad genom 1 + z = λo/λe. (År 1923 hade H 

Weyl observerat att i de Sitter modellen gäller dR(t)/dt = Ho R(t) exakt, med Ho konstant. I 

artikeln med ekv (97) hänvisade Hubble också till denna "de Sitter effekt".) Tolkar man 

rödförskjutningen som en följd av att galaxerna rör sig iväg bort från oss (och varandra) 

betyder Hubbles resultat att universum expanderar (hastigheten enligt Dopplertolkningen 

motsvarar v = cz då z

10.5.2 Ekvationer för Universum - Friedmann modellerna. 

Kombinerar vi metriken (95) med Einsteins fältekvationer och antar att energi- 

impuls tensorn endast innehåller en term för mass-energi täthet (ρ c 2 ) och tryck (p) [T μν = 

diag(ρ c 2 ,-p,-p,-p) i medföljande koordinatsystem] erhåller vi ett mycket enkelt set av 

ekvationer för universum, 

(98) 3(1 + (dQ/cdt) 2 )Q -2 = (8πG/c 4 ) ρ c 2 (= (8πG/c 4 )T 00 ); 

(1 + (dQ/cdt) 2 )Q -2 + 2 d 2 Q/dt 2 c -2 Q -1 = -(8πG/c 4 )p; 

(Q = Rℜ). 

[Att approximera innehållet i universum som ett homogent stoft är hoppeligen en valid 

approximation i stort. Galaxerna är enligt observationer på ett intressant sätt klumpade i 

universum. Omkr 9/10:delar av universum är tomrum, avgränsade av pannkaksformade 

galaxhopar, eller trådliknande formationer (strings) av storleksordningen 100 miljoner 

ljusår.] 

Studerar vi universums utveckling i sin "avkylda fas" kan vi försumma trycket och 

sätta p = 0 (Friedmann modellen). Kombinerar man då de två ekvationerna (98) erhålls 

(99) d(ρ Q 3 )/dt = 0 ⇔ ρ Q 3 = konstant, 

vilket kan tolkas som att massan är konstant i universum. En annat intressant omskrivning av 

(98) är formen (genom att differentiera (98.a)) 

(100) d 2 R/dt 2 = -(4π/3)RG ρ, 

vilket är samma ekvation som man får från Newtons teori genom att beräkna 

tyngdkraftsaccelerationen i utkanten av ett klot med radien R och masstätheten ρ. (I 

Newtons teori blir dock intregrationskonstanten till ekv (100) obestämd.) En uppenbar 

konsekvens av (100) är att vi inte kan ha någon statisk lösning med R(t) = konstant ( > 0). 

Detta störde Einstein 1917 som var inställd på att universum måste vara statisk. Einstein 

adderade därför en positiv balanserande term till högra membrum av (100), 

(100') d 2 R/dt 2 = -(4π/3)RG ρ + (2/3) ΛR, 

som står för en repulsiv kraft (hindrar universum från att kollapsa). Konstanten Λ kallas för 

den kosmologiska konstanten. Denna extra term uppkommer genom att addera en term 

Λgμν till Einsteins fältekvationer (87'). Einsteins betraktade senare den kosmologiska 

konstanten som det "största misstaget i hans liv". Han missade scoopen att förutse 

universums expansion som Hubble senare upptäckte. Endel anser att han gjorde ett ännu

större misstag när han efter Hubbles upptäckt avfärdade den kosmologiska konstanten som 

överflödigt skräp. I de moderna teorierna med inflationsmodellerna uppträder en term av 

formen Λgμν som kommer från diverse kvantfält φ [ −Λgμν = (8πG/c 4 ) ]. 

Einstein kom också att avfärda "singulariteterna", som numera kallas för svarta hål, som 

matematiska problem vilka bör avlägsnas ur teorin (vide exv J Bernstein, "The reluctant 

father of black holes", Scientific American, June 1996). På 30-talet undersökte Einstein 

också idén om gravitationella linser vilken han bedömde som en försumbar effekt; en effekt 

som har en viktig roll i modern astronomi. ART kom att ha en större astronomisk och 

kosmologisk relevans än vad han själv vågade tro ! 

Eftersom vi har enligt ekv (99), ρ R 3 = ρo Ro 3 , där ρo och Ro (=1) representerar 

värden för t = t0, kan (98.a) skrivas, 

(101) (dR/dt) 2 = (8πG/3) ρo Ro 3 /R - Kc 2 . 

Vi har infört krökningskonstanten K definierad genom K = 1/ℜ 2 . För krökningskonstanten 

har vi tre huvudfall: 

K > 0 (positiv krökning, slutet rum med elliptisk geometri; 

vinkelsumman i en triangel överskrider π) 

K = 0 (euklidisk geomtri, plant rum; vinkelsumman i en 

triangel är π) 

K < 0 (negativ krökning, öppet rum med hyperbolisk geometri; 

vinkelsumman i en triangel underskrider π.) 

Definiera Hubblekonstanten för vår epok genom Ho = dR(t0)/dt. Eftersom R(t0) = Ro = 1, 

erhåller vi från (101), 

(102) (Ho) 2 = (8πG/3) ρo - Kc 2 . 

Vänder vi på steken får vi ett uttryck för K i observerbara storheter: 

(103) K = (Ω - 1)(Ho/c) 2 , 

där Ω = ρo/ρ*, med den sk kritiska tätheten ρ* definierad genom, 

(104) ρ* = 3(Ho) 2 /(8πG). 

Ifall Ω > 1 är krökningen positiv och från ekv (101) ser vi att universum inte kan expandera 

i det oändliga, utan har ett maximivärde Rmax = 8πGρo/(3Kc 2 ) för skalningsfaktorn. I fallet 

Ω < 1 kan expansionen fortgå i det oändliga, och når en asymptotisk linjär expansion av 

formen R(t) = c t √-K. Masstätheten är inte tillräckligt stor i detta fall för att gravitationen 

skall orka hålla ihop universum i en ändlig volym. Observationer antyder att Ω ligger 

någonstans i området 0.1 - 1. (Om uppskattningarna av Hubblekonstanten Ho varierar med

en faktor på 2, ser vi av (104) att uppskattningarna för Ω av detta skäl redan varierar med 

en faktor på 4.) Ett populärt specialfall är Einstein-de Sitter modellen (de moderna 

inflationsteorierna för Big Bang förespråkar denna modell) med Ω = 1 och en expansion av 

formen R(t) = t 2/3 (6πG ρo/3) 1/3 . 

Kombinerar vi ekv (101) med ekvationen för en ljustråle från en galax (ds 2 = 0), 

(105) cdt = -R(t) dr 

(negativt tecken eftersom r minskar från galaxen mot jorden), 

får vi ett samnband mellan galaxens r koordinat och dess rödförskjutningsparameter z = 

R(t) -1 - 1 (en motsvarande formell relation som (105) används inom celest mekanik). 

Ekvationen (101) kan skrivas som (för K ≠ 0) 

(106) (du/ds) 2 = u -1 - k (k = 1 för K > 0, k = -1 för K < 0) 

vars lösning är relaterad till R genom 

(107) R(t) = (a/b) u(t √(b 3 /a 2 )), 

med a = (8πG/3) ρo och b = Kc 2 . Inför vi en hjälpvariabel x genom ds = u(s) dx, då 

skrivs ekv (106) i fallet k = 1 som 

(108) (du/dx) 2 = u(1 - u). 

Definierar vi en ny funktion v genom u = ½ + v kan ekv (108) skrivas på formen 

(109) (dv/dx) 2 + v 2 = 1/4, 

som erirnrar oss om den trigonometriska relationen (cos A) 2 + (sin A) 2 = 1, vilken genast 

ger oss löningen. Vi väljer den speciella lösningen v(x) = -½ cos x vilken resulterar för u och 

s, 

(110) u(x) = ½(1 - cos x) ⇒ R(t) = ½ (a/b)(1 - cos x) 

s(x) = ½(x - sin x) ⇒ t = ½ √(a 2 /b 3 ) (x - sin x) 

(för k = -1 erhåller vi istället hyperboliska funktioner sinh och cosh). 

(Ekvationerna (110) motsvarar formellt planetbanornas "Kepler-ekvationer" i celest 

mekanik.) Från den definierande relationen ds = u(s) dx och ljusstrålens ekvation (105) ser 

vi att dx är relaterad till galaxens r koordinat enligt 

(111) r = (x*- x) /√(ab) (x = x* är värdet för vilket vi har R(t) = 1 i ekv (110.a))

Därmed har vi ett komplett relationsset (fallet k = -1 är analogt) för galaxens 

rödförskjutningaparameter z = R(t) -1 - 1 och dess r koordinat, samt tiden ("epoken") t för 

ljusets emission. Om vi observerar en galax med rödförskjutningsparametern z, kan vi med 

hjälp av ekv (110) beräkna emissionstiden te som satisiferar z = R(te) -1 - 1, därefter 

bestäms galaxens r koordinat genom 

to 

r = ∫ cdt/R(t). 

te 

Från ekv (110.a) observerar vi att i det slutna fallet (K > 0) växer R(t) först och når ett 

maximum för att sedan krympa igen. Detta har inspirerat till cykliska modeller för universums 

utveckling. Innen beteckningen "Big Bang" (ett nidmann myntat av Fred Hoyle som föredrog 

Steady State Teorin) kom i allmänt bruk talade exv George Gamow om "the Big Squeeze"; 

en sorts extremt sammanpressat tillstånd efter den senaste cykeln, från vilken det nuvarande 

universum startade. Det krympande universum ansågs studsa till en ny expansion ("elastic 

rebound"). (På grund av en ökande entropi anser endel att cyklerna skulle bli allt längre efter 

varje ny studs, eftersom universum fylls alltmer av fotoner vilka ger en kraftigare "studs".) 

10.5.3 Galaktiskt lantmäteri 

Antag galaxen har en vinkeldiameter Δθ sett från jorden. Då kommer dess verkliga 

diameter d (vinkelrätt mot synlinjen) enligt metriken (95) att ges genom 

(112) d = R(t) ℜ sin(r/ℜ) Δθ = (1 + z) −1 ℜ sin(r/ℜ) Δθ. 

För ett Euklidiskt rum, 1/ℜ → 0, återfår vi det bekanta uttrycket d = r Δθ. 

Jorden 

Δθ 

Galaxens verkliga diameter d (vinkelrätt mot 

synlinjen) och dess vinkeldiameter sett från 

jorden. 

Här beräknas r enligt föregående relationer (110) och (111), ℜ fås från relationen K = 

1/ℜ 2 

och ekv (103). Vi kan också citera (eller härleda från föregående ekvationer) ett slutet 

uttyck för galaxens r koordinat i term av rödförskjutningsparametern z (W Mattig, 1958), 

d

(113) ℜ sin(r/ℜ) = 2c [HoΩ 2 (1+z)] -1 {Ωz + (Ω - 2)[(Ωz + 1) ½ - 1]}, 

(ℜ = (c/Ho)(Ω - 1) -½ ), 

vilket gäller för alla K värden. (För z

har man funnit en galaz, 53W091, med en rödförskjutning motsvarande te = 1.6 mrd år efter 

Big Bang, enligt den kosmologiska standardmodellen, med stjärnor vars ålder uppskattas till 

3.5 mrd år; dvs äldre än universum vid dåvarande tillstånd !] 

10.5.5 "Hot Big-Bang" 

"In view of the objections raised by some reviewers 

concerning the use of the word 'creation', it should be 

explained that the author understands this term, not in 

the sense of 'making something out of nothing', but 

rather as 'making something shapely out of shapeless', 

as, for example, in the phrase 'the latest creation of 

Parisian fashion'". 

George Gamov, "The Creation of The Universe", 

Viking Press 1952. 

"Wo jetz nur, wie unsere Weisen sagen, 

Seelenlos ein Feuerball sich dreht, 

Lenkte damals seinen goldenen Wagen 

Helios in stiller Majestät." 

I Schiller, "Die Götter Griechenlands" (1788). 

Expansionsmodellerna implikerar att universum och dess mass-energi vid en tidgare 

fas varit i ett komprimerat tillstånd. Detta betyder att vi inte längre kan försumma tryckets 

bidrag i ekvation (98.b). Antar att vi energin domineras av elektromagnetisk strålning kan vi 

för trycket p insätta strålningstrycket som är relaterat till energi-tätheten genom p = (1/3) ρ 

c 2 . [Detta förhållande kan exv härledas med gaskinetiska metoder om vi betraktar ljuset 

som en samling bosonpartiklar, fotoner.] Istället för relation (99) får vi då 

(115) ρ R 4 = konstant = B/c 2 (strålningsdominerat universum). 

Går vi tillbaka i tiden (minskande R) visar (115) att strålningsenergitätheten växer snabbare 

än vad mass-energi tätheten växer enligt (99). Härav drog G Gamow slutsatsen att i 

universums tidigare faser dominerade strålningsenergin. Denna slutsats utvecklades till teorin 

om "hot Big Bang". Redan 1927 framlade Abbé G E Lemaitre ("Big Bang kosmologins 

fader") sin teori om att universum uppkom genom radioaktivt söndefall ("explosion") av 

"uratomen" (nukleärt fluidum, "Ylem", etc), och utvecklade liknande kosmologiska modeller 

som A Friedmann (1922) på basen av ART. 

Använder vi (115) modifieras ekv (101) till 

(116) (dR/dt) 2 = (8πG/3) B/(c 2 R 2 ) - Kc 2 . 

I initialfasen är R liten och 1/R 2 mycket stor varför vi kan jämförelsevis försumma den 

konstanta termen i högra membrum av (116). Med denna förenkling erhåller vi,

(117) R(t) = (32πG B/3c 2 ) 1/4 √ t (för expansion i begynnelsen). 

Vi kan använda temperaturbegreppet för universum ifall vi antar att där råder en 

strålningsjämvikt som följer Plancks lag. Under rödförskjutning är kvoten T/frekvens 

konstant, vilket leder till att (1 + z)T = R(t)T är konstant, och att temperaturen varierar som 

t -½ med tiden i initalfasen (följer också från villkoret för en adiabatisk expansion). Vi kan 

också beräkna temperaturen genom att använda Stefan-Boltzmann relationen för 

energitätheten u för strålning med temperaturen T, u = aT 4 (a = 7.5 x !0 -16 J m -3 K -4 ). 

Vid tiden t erhåller vi energitätheten, enligt ekv (115), som u = ρ c 2 = B/R(t) 4 . Genom 

insättning av ekv (117) och användande av T = (u/a) 1/4 , erhåller vi, 

(118) T = [3c 2 /(32πGa)] 1/4 t -½ ≈ 1.5 ×10 10 t -½ K (tiden i sekunder). 

(Ett spännande faktum är att formeln (118) för universums temperatur innehåller konstanter 

som alla kan mätas i laboratoriet.) När universum expanderar avkyls den. G Gamow 

påpekade 1948 att vi fortfarande borde påträffa lämningar av denna strålning i form av 

lågtemperaturstrålning som fyller rymden. En dylik "bakgrundsstrålning" upptäcktes faktiskt 

"i misstag" av AA Penzias och RW Wilson år 1965. (Strålningen notsvarar en temperatur på 

2.726 ± 0.002 K.) 

10.5.6 Vad fanns "före Big Bang" ? 

"In other words, the ground state is the 

amplitude for the Universe to appear 

from nothing." 

JB Hartle, SW Hawking, Phys. Rev. D 

(1983). 

"In principle, one can predict everything 

in the universe solely from physical laws. 

Thus, the long-standing 'first cause' 

problem intrinsic in cosmology has been 

finally dispelled." 

LZ Fang, ZC Wu, International Journal of 

Modern Physics A (1986). 

Vid t = 0 skulle temperaturen enligt (118) bli oändlig, men man kan inte direkt 

extrapolera sambandet till denna "singularitet" (det finns en gräns för hur långt de 

termodynamiska antagadena om jämvikt o likn håller). En tanke är att universum i denna 

extrema situation bör behandlas kvantmekaniskt ("kvantkosmologi"). Man har dragit en 

analogi till den klassiska atommodellen där elektroner genom elektromagnetisk utstrålning 

förlorar energi och störtar in i atomkärnan (modellen kollapsar). Kvantmekaniken löste 

dilemmat genom att ersätta elektronbanorna med en vågfunktion, varvid vi istället för 

elektronbanor har kvanttillstånd vilka erinrar (formellt) om svängningstillstånd hos strängar

och membraner. Ett sätt att söka undvika singulariteter är att tillåta varierande topologier i 

form av "rymdtunnlar", såsom Einstein och Rosen förslog redan på 30-talet. 

Den enklaste varianten av denna idé är att kvantisera den kosmiska 

rörelseekvationen (100) på samma sätt som man kvantiserar de Newtonska 

rörelseekvationerna i kvantmekaniken. Ekv (100) är ju också av "Newton-typ". Bland 

kvantkosmologerna föreställer man sig att våra vanliga tids- och rumsbegrepp blir 

kvantmekaniskt "utsuddade" i universums "initialfas" (idéerna om allt dethär brukar också 

drabbas av en likartad suddighet), varför det inte finns någon tidpunkt t = 0, eller en klar 

uppdelning i tid och rum. Detta är exv ungefär vad som avses av dem som talar om 

"imaginär tid". I vissa kvantfältteoretiska beräkningar [och sk Euklidisk fältteori] ersätts 

tidsvariabeln t med it - "i" är den imaginära enheten √-1 - för att hoppeligen få 

konvergerande integraler. 

Vad denna räkneteknik - sk Wick rotation - har med tidsbegreppet att göra, har 

ingen kunnat ge ett ordentligt besked om. Det som formellt utmärker tiden i relativitetsteorin 

är att tidskoordinaten har ett annat förtecken i Minkowski metriken än rums-koordinaterna. 

Lorentz symmetrin ligger bakom denna skillnad mellan rum och tid. Ifall Lorentz symmetrin 

upphävs under extrema förhållanden försvinner också denna formella distinktion mellan rum 

och tid (Lorentz ART ersätts av Euklidisk ART ). Dylika ansatser anses göra frågor om 

"vad som föregick Big Bang" överflödiga. Begrepp som kausalitet, före och efter, förlorar 

betydelse för det extremt hoppressade tillståndet. Alternativt kan vi föreställa att tiden 

kvarhåller sin särställning i "Euklidisk ART", men att exv vänstra membrum i ekv (100) 

ändrar förtecken och kollapsen vänds till en expansion istället. I konventionell 

kvantkosmologi (DeWitt-Hawking-Hartley traditionen) har universums vågfunktion Ψ inget 

tidsberoende varför den egentligen inte kan beskriva någon expansion eller kontraktion av 

universum. Formellt hänger detta ihop med att energin E för kvantuniversum är odefinierad, 

varför Ψ saknar en kvantfaktor av typen exp(-i2πEt/h) som annars brukar signalera 

tidsberoende i vågfunktioner. Ett förslag är låta universums radie R "spela rollen" som ett 

tidsvariabel. 

Modellen med det slutna universum leder också till "the Big Crunch", kollapsen. Det 

är något otillfredsställande med en teori som visar att universum försvinner. Att ha universum 

lika med en singulär matematisk punkt är förstås en inkonsistent och meningslös "lösning". 

Det är därför cykliska teorier varit populära, där man antar att universum på något sätt 

svänger kollapsen till en ny expansion. (Formellt är ju faktiskt lösningen (110) för ett slutet 

universum en cyklisk funktion.) Eventuellt aktiveras under de extrema 

kompressionstillstånden nya fysikaliska frihetsgrader som är sas "nedfrysta" under "normala" 

faser och som nu "matar" den kosmologiska konstanten. Med hjälp av den kosmologiska 

konstanten får det hopstörtande universum en kvantmekanisk "de Sitter studs" tillbaka till ett 

expanderande tillstånd, som sedan följer den klassiska Friedmann modellen. Har dessa 

cykler pågått i "evigheter" eller fanns det en första cykel ? Ett synsätta går ut på att universa 

"föds" hela tiden "överallt", tom i vårt eget universum. Själv kan vi inte observera fastän ett 

nytt unversum skulle födas i vårt eget kök. Processen kan förliknas vid en omvänd svarta 

håls kollaps, och pga av den oerhörda tidsförskjutningen hinner vi därför inte se något av Big 

Bangens utveckling i köket på miljarder år. I det blivande universum föds på samma sätt nya 

universa, och kanske vårt eget universum fötts i någon annans kök, och så vidare ad 

infinitum (enligt fysikern Y Ne'emans "kosmologiska surrealism") ... i evigheternas evighet (in 

saecula saeculorum, som faktiskt är en träffande formulering i detta fall).

Kvantkosmologi har behandlat vissa förenklade modeller ("minisuperspace") för att 

visa att det i princip finns metoder som kan behandla kollapsproblematiken. Motivationen 

bakom dessa studier är att Einsteins klassiska teori leder till singulariteter (i svarta hål, Big 

Bang, Big Crunch) där teorins förutsättningar kollapsar (krökningen R blir oändlig). Einstein 

trodde att man kunde avlägsna singulariteterna genom att modifiera fältekvationerna (han 

lyckades aldrig med beskriva det "totala fältet"), medan man idag istället räknar med att 

kvanteffekter kommer att spela en viktig roll vid de extrema tillstånden då universums radie 

närmar sig den sk Planck längden, Lpl = (hG/c 3 ) ½ ≈ 10 -35 m. (Här står h för Plancks 

konstant.) 

För en krökningsradie kring Plancklängden blir "Einsteinverkan" (från ekv 

(86)) (c 3 /16πG)∫ R √ -g d 4 x i storleksordningen G/c 3 (Lpl) -2 (Lpl) 4 ≈ h. Vi kan också 

använda ekv (98) för att uppskatta fluktuationen Δg hos metriken, genom att sätta 

energitätheten (98) multiplicerat med volymen λ 3 (volymen för en "graviton" med 

våglängden λ) lika med kvantenergin hc/λ. Detta ger för metrikens kvantfluktuation, 

(119) Δg ≈ Lpl/λ, 

orsakad av "gravitoner" av våglängden λ. "Fluktuationen" blir betydande då λ närmar sig 

Plancklängden Lpl. Dylika överläggningar antyder att kvanteffekter blir dominerande i 

extrema situationer, men en tillfredsställande formulering av kvantgravitationen är fortfarande 

bara ett hägrande mål. 

Situationen erinrar om fysikens tillstånd vid förra sekelskiftet visavi "eterteorin". 

Kanske vi också håller på och försöker med alltför komplicerade lösningar, eller är alla de 

enkla lösningarna redan utprövade ? 

11. Historik och litteratur 

"Vem följer med till Terrasse-caféet ?" 

Einsteins stående slutreplik vid sina 

kvällsseminarier som professor i Zürich, 

1909-1910. 

11.1 Vem uppfann relativitetsteorin ? 

Relativitetsteorin har sitt ursprung i försöken att harmonisera mekaniken och 

Maxwells teori om elektromagnetism. Redan år 1887 framlade Voigt i en avhandling 

(Göttinger gelehrten Nachrichten) de transformationer som senare kom att kallas (av 

Einstein) för Lorentz transformationer, vilka utgör grunden för relativitetsteorins kinematik 

och dynamik. Senare härledde HA Lorentz, J Larmor och H Poincaré samma formler (HA 

Lorentz, Proc. Acad. Sci. Amsterdam, vol 6, 1904). Poincaré introducerade i sina 

filosofernade föredrag "relativitetspostulatet" (1899, 1904), och Lorentz föreslog en 

"kontraktionshypotes" för kroppar i rörelse (liksom GF Fitzgerald år 1889), samt införde 

begrepp såsom "ortstid" (Lorentz transformation av tiden). Ändå var det en 26-årig 

tjänsteman vid Berns patentverk, A Einstein, som lade grunden och utvecklade

Relativitetsteorin ("Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik, bd 17, 

1905). (Att Einstein fick nöja sig med tjänsten som “patentdräng” berodde på, att när han 

med tre andra utexaminerades från matematik-fysiklinjen vid ETH i augusti 1900, blev han 

den enda utan assistenttjänst vid ETH.) Lorentz och Poincaré var alltför bundna vid den 

gamla eterteorin och begreppen absolut tid och rum. De tog inte på fullt allvar tesen att alla 

inertiala system är ekvivalenta, att det inte finns något prioriterat referenssystem som 

bestämmer en "absolut betydelse" av rum och tid. Kännetecknande är att både Poincaré och 

Lorentz tog till en början avstånd från Einsteins teori. (Einstein blev god vän med Lorentz. 

Det var Einstein som införde beteckningen "Lorentz transformationer" för att hedra 

Lorentz..) Detta borde stämma de historikerna till eftertanke som anser att Poincaré eller 

Lorentz är de egentliga upphovsmännen till relativitetsteorin (dessa historikers åsikter i frågan 

väger ganska lätt). Einstein mötte Lorentz under Solvay kongressen 1911 i Bryssel och 

träffade där bl a Lorentz vilken han beskriver som den mest civiliserade av teoretikerna där, 

"ein Wunder von Intelligenz und feinem Takt". 

Endel oseriösa skribenter har försökt hålla liv i myten om att Eisteins serbiska hustru, 

Mileva Mari`c (-1948), var upphovkvinnan till relativitetsteorin. Mari`c var den enda 

kvinnliga medlemmen i Einsteins kurs (1896-1900) vid tekniska högskolan (ETH) i Zürich, 

som var en av de få akademiska institutioner i dåtida Europa som tillät kvinnliga studeranden 

(hon hade först börjat studera medicin men övergick sedan till matematik och fysik). Men 

det finns inget som visar att Mari`c någonsin ägnade sig åt forskning eller skrev artiklar. De 

som hävdar att Mari`c ligger bakom relativitetsteorin har svårt att förklara varför hon aldrig 

själv nämnde något därom eller fortsatte att forska i ämnet. Knappast finns det någon orsak 

att betvivla A Einsteins intellektuella ärlighet när han redovisat dem som inverkat på hans 

arbeten. Om man skall här ta fram de mindre smickrande sidorna hos Einstein, är det 

kanske hans misslyckande som make och familjefar. [En fråga som mystifierar biograferna 

gäller dottern "Lieserls" öde. Mari`c födde flickebarnet i januari 1902 och hon omnämns i 

deras korrespondens (Mari`c bodde hos sina föräldrar). Lieserl är ur bilden när de gifter sig 

1903. Hade hon adopterats bort eller dött i någon barnsjukdom ? I september 1996 

cirkulerade en tidningsnotis enligt vilken omktr 400 brev från Einsteins till Mari`c kommer att 

säljas på auktion för en uppskattad summa på $ 2000 000. Breven hittades i ett bankvalv 

1986.] 

För dem som växt upp efter 1905 kan det vara svårt att föreställa hur fäst dåtidens 

fysiker var fäst vid eterteorin. Man tänkte sig att de elektromagnetiska fälten måste ha ett 

medium (eter, ty. Äther) att propagera i, analogt med vad gäller ljudvågor. Lorentz 

identifierade etern med det "absoluta rummet". Michelson och Morley uppställde år 1881 ett 

sedermera berömt experimentarrangemang med avsikt att mäta "etervindens" inflytande på 

ljushastigheten. Man antog att ljusets hastighet på jorden beror på huruvida ljuset går i 

riktning "motströms" eller "medströms" relativt "etervinden". Michelson och Morley använde 

ett L-formad vridbart arrangemang som mätte ljushastigheten i två vinkelräta riktningar. 

Deras mätning baserades på intereferensfenomenet; man delade upp ljuset i två strålar som 

skickades i vardera armen och studerade de reflekterade strålarnas interferensmönster 

(fasskillnad) med apparaten ställd i olika riktningar. Inga märkbara skillnader upptäcktes i de 

olika riktningarna, vilket motsade hypotesen om att jorden rör sig relativt det absoluta 

rummet och etern. Det var för att förklara denna "paradox" som Lorentz och Fitzgerald 

(1892) introducerade "kontraktionshypotesen". Man tänkte sig att mätstavar förkortas när

de rör sig relativt det absoluta rummet vilket skulle förklara varför man vid mätning inte erfar 

någon skillnad i ljushastigheten. Einstein utgick däremot från en logisk och begreppslig analys 

av relativitetsprincipen och Maxwells teori och vari kanske inte ens medveten om 

Michelson-Morley experimentet då han författade sin artikel 1905. 

11.2 Ljusets hastighet 

Under Galileis tid debatterades det fortfarande huruvida ljuset hade en ändlig eller 

oändlig utbredningshastighet. Galilei föreslog (1638) att mäta ljushastigheten i nattens 

mörker, genom att vid en viss tidpunkt t0 avtäcka en lykta som observeras av den andra 

expeimentaron på 3 mils avstånd (enligt Galileis beskrivning), som då avtäcker sin lykta vars 

ljus observeras av den första observatören vid, säg, tiden t1. Ljushastigheten uppskattas då 

enligt formeln c = 2d/(t1-t0). Med dåtidens tidmätningsutrustning var detta ett omöjligt 

företag. Ifall den andra experimentatorn satts på månen skulle det kanske bli en rimlig tid för 

att reagera på signalerna; det tar ljuset omkr ett par sekunder att åka framåter mellan jorden 

och månen. Den första kvantitativa uppskattningen av ljushastigheten använde sig faktiskt av 

de astronomiska avstånden. 

Den första beviset på att ljusets hastighet är ändligt gavs av den danske astronomen 

Olaf Römer år 1676 i ett sinnrikt argument. Römer observerade att förmörkelsetiderna för 

Jupiters månar förskjöts framåt eller bakåt beroende på om jorden råkade vara på väg mot 

eller från Jupiter. Römer antog att tidskillnaderna berodde på att ljuset hade varierande lång 

väg att tillryggalägga mellan jorden och Jupiter. Använder man Römers data kommer man 

fram till en ljushastighet nära 220 000 km/s. Skillnaden på 80 000 km/s från det verkliga 

värdet (omkr 300 000 km/s) berodde på en överskattning av omloppstiden. Det har 

påpekats att Römers stora bedrift inte främst var att han kunde i princip nå fram till ett värde 

för ljushastigheten. Hans enastående upptäckt var att ljuset har en ändlig 

utbredningshastighet. Symptomatiskt är att Römer brydde sig inte ens om att räkna ut värdet 

för ljushastigheten i sin artikel. Huvudpunkten var att visa att den var ändlig, i motsatts till 

den rådande uppfattningen vid denna tid (och en ansenlig tid framöver). 

Ett annat astronomiskt bevis för en ändlig ljushastighet fann James Bradley (1727) i 

den sk aberrationen (som observerats redan av Picard, Flamsteed, Manfredi och Cassini). 

Under jordens årliga vandring kring solen verkar fixstjärnornas postioner variera (med den 

årliga parallaxen borträknad). Antag man har en vagn som färdas med hastigheten v relativt 

en fixstjärna S vinkelrätt mot en ljustråle från S. Om ljustrålen (se figuren) kommer in genom 

en öppning A i väggen så träffar den inte väggen bakom precis mittemot vid B utan i punkten 

B*, där BB* = vt är sträckan som vagnen hinner tillryggalägga under den tid t det tar för 

ljuset att passera genom vagnen. Från detta räknar man fram aberrationsvinkeln. Enligt 

anekdot skulle Bradley kommit underfund med principen för aberrationen, då han vid en 

färd längs Themsen hamnade ut för regn. "Då han stigit ombord och fartyget begynte röra sig 

snabbt, förundrade han sig, huru regn utan vind kom framifrån mot hans ansigte, samt 

eftersinnade vidare öfver orsaken härtill", meddelar Hj Tallquist i en uppsats om 

aberrationen från 1914.

tan α = 

vt/ct = v/c 

R' 

B* 

vt 

S S* 

A 

α 

ct 

B 

J Bradleys förklaring av aberrationen: 

På grund av den relativa hastigheten v 

och ljusets ändliga hastighet c, syns stjärnan S 

på siktlinjen S* sett från referenssystemet R'. 

Från mätning av aberrationsvinkeln kan man 

uppskatta ljushastigheten, ifall man känner 

jordens omloppshastighet. 

Detta exempel är intressant ur relativistisk synvinkel om vi använder principen om 

konstant ljushastighet. Sett från vagnreferenssystemet R' tillryggalägger ljuset en sträcka ct' = 

(L2 + (vt') 2 ) ½ , där L är vagnens bredd som kan lösas ur ekvationen och skrivas L = ct'(1 - 

(v/c) 2 ) ½ . Sett från det "vilande" referenssytemet R har vi ct = L = ct'(1 - (v/c) 2 ) ½ vilket 

motsvarar den relativistiska formeln för tidstransformationen: Δt' = γ(Δt - vΔx/c2 ), där Δx = 

0 (x-axeln är i v:s riktning och ljustrålen har i referenssystemet R ekvationen x = konstant). 

Den relativistiska formen av geometrisk optik studeras behändigast med hjälp av fyrvågvektorn 

k = (ω/c,k) och dess Lorentz transformationer. 

Den första "laboratoriemätningen" (skedde utomhus) av ljushastigheten utfördes av 

AH Fizeau år 1849 som med en enkel genialisk metod kringick behovet av en hyperexakt 

tidmätare. Han använde sig av avståndet på 8613 meter mellan Montmatre och Suresnes 

där en spegel i ena ändan reflekterade tillbaka strålen. Vid ljuskällan roterade ett kugghjul 

med 720 tänder. Fizeau observerade att vid lågt varvtal blockerades det reflekterade ljuset, 

men då då varvtalet ökades till 25 varv per sekund, återkom det reflekterade ljuset genom 

följande hack. Tidsskillnaden mellan två hack blir 1/(720 × 25) = 56 μs vilket ger en 

uppskattning på c = 311 000 km/s. Mättekniken förbättrades succesivt av Arago, Cornu, 

Foucault, tills Michelson 1926 var uppe i en noggrannhet på 4 km/s. 

11.3 Relativitetsteorins reception 

Till en början var inte mottagandet av relativitetsteorin precis översvallande. A 

Einstein var år 1905 en okänd man utan akademisk befattning. Stilen i hans artikel var också 

v 

y 

x

adikalt annorlunda än vad kutymen föreskrev. Artikeln från 1905 saknar t ex 

litteraturhänvisningar förutom en hänvisning till HA Lorentz (Einstein kände till Lorentz' 

arbete från 1895). Artikeln var en analys tour de force av fysikens grunder. Tidens främsta 

teoretiker insåg nästan genast alla genialiteten i Einsteins arbete. (Den första som tog kontakt 

med Einstein efter publikationen var M Planck, en av fysiken stora gestalter och Einsteins 

hjälte.) Trots detta fick Einstein aldrig Nobelpriset för den speciella eller allmänna 

relativitetsteorin. (Einstein tilldelades 1921 års Nobelpris år 1922 för sin ljuskvantumhypotes 

som han framlade samma år 1905. Hans tredje stora bidrag denna annus mirabilis var 

artikeln om Browns rörelse som slutligen övertygade de sista kvarvarande skeptikerna om 

atomernas existens.) Den allmänna relativitetsteorin fick en sensationell bekräftelse vid 1919 

års solförmörkelse då man mätte ljusets avböjning hos ljus från stjärnor som passerade nära 

solranden, vilken förutsades av ART. Händelsen blev en världssensation och gjorde Einstein 

till en internationell megastjärna. 

Den speciella relativitetsteorin fick stöd i experiment med elektroner. Mass-energi 

formeln hade bekräftats omkring 1915. Den främsta orsaken till varför Einstein inte fick 

Nobelpriset för relativitetsteorin anses vara att Nobelkommittén anlitade professorn i 

oftalmiatrik i Uppsala, Allvar Gullstrand, för att granska teorin. Hans utlåtande var att den 

inte är värd ett Nobelpris! (Gullstrand hade själv tilldelats Nobelpriset i medicin 1911, 

samma år invaldes han i Nobelkommittén.) Gullstrand missförstod bl a Einsteins analys av 

Merkurius' perihelrörelse. Filosofen A Hägerström å sin sida invände mot "logiska luckor" i 

Einsteins teori. Kan nämnas att G Nordström var en av dem som nominerade Einstein för 

Nobelpriset 1921. 

Även i Finland dröjde det innan relativitetsteorin slog rot. Gunnar Nordström (1881- 

1923), som blev Finlands främsta expert på relativitetsteorin, disputerade år 1908 (efter 

studier i Göttingen) med avhandlingen "Die Energiegleichung für das Elektromagnetische 

Feld bewegter Körper" (med prof Hj Tallquist som opponent) utan att nämna Einstein eller 

relativitetsteorin. Men redan 1909 höll han ett föredrag om relativitetsteorins grunder ("Rum 

och tid enligt Einstein och Minkowski", Finska Vetenskaps-Societens Förhandlingar. LII. 

1909-1910. Afd. A. N:o 4). (Biografiska anteckningar om Nordström med biblografiska 

uppgifter finns i E Isakssons och R Keskinens artikel, "Gunnar Nordström (1881-1923)", 

Arkhimedes 33, no. 2, 1981.) Så sent som 1914 skrev nämnde prof Hj Tallquist en uppsats 

om "De fysikaliska förklaringarna av aberrationen" (i "Festskrift tillegnad Anders Donner", 

Helsingfors 1915) på 80 sidor med omständiga utvecklingar om "eterns medsläpning" mm. 

Problemet utgjorde att förklara aberrationen då man observerade en stjärna med 

exv ett vattenfyllt (destillerat vatten!) teleskop. Ifall man naivt kombinerar Bradleys 

argument med idén om att vattnet "drar med sig etern" får man att aberrationen ändras i 

detta fall i motsats till de experimentella resultaten av bl a Airy från 1871. Använder man 

relativitetsprincipen föreligger inga problem. Sett från referenssystemet R' (vagnen i figuren 

ovan) kommer strålen från riktning S* (helt enligt Bradleys argument) i vilken man måste 

rikta teleskopet för att se stjärnan oberoende om teleskopet är vattenfyllt eller inte. 

Diskussionen om den astronomiska aberrationen är ett exempel hur man göra enkla saker 

svåra genom att fastna i räknemässiga detaljer (linsernas tjocklek, slipning, osv) och inte se 

helheten och de allmänna principerna. Det var detta Poincaré och Lorentz fastnade i vid sina 

diskussioner av "första och andra ordningens korrektioner" medan relativitetsteorin löser 

problemen i en enda handvändning med några enkla postulat. I sin uppsats ägnar faktiskt

Tallquist de fem sista sidorna åt relativitetsteorin, men presentationen tar inte fasta på 

relativitetsprincipen, utan blir en omständig räkning utgående från Maxwells ekvationer, och 

Lorentz transformationerna för vilka han inte ger någon härledning. Många levde förmodligen 

i den föreställnngen, att det som verkar vara ett komplicerat problem också måste ha en 

komplicerad lösning. 

Aberrationen spökar också i en liten obskyr finsk skrift som jag en gång hittade på 

ett antikvariat (A Kalaja, "Einsteinteorian perusteet - Kirjoitettu yliopistolliseksi 

väitöskirjaksi", Kotka 1931). Einsteins teori anses av författaren vara "kaiken logillisen 

ajattelimisen ulkopuolella". Jag hoppas uppsatsen aldrig blev godkänd i någon form; 

författaren förstår uppenbarligen inte exv begreppet transformation (ett begrepp som är långt 

ifrån trivialt, dock). Intressant är att läsa avsnittet om relativitetsteorin i den första upplagan 

av Lennart Simons "Fysiikka" (WSOY 1946, s. 430-432), som blev grundläroboken i fysik 

vid de finländska universiteten. Bland annat inför man den "relativitiska massan" mγ som 

påstås följa från den allmänna relativitetsteorin, och man hänvisar i sammanhanget också till 

de Sitters modell för ett slutet universum. En ganska konfys framställning. Den första 

finländska monografin om relativitetsteorin torde vara astronomen G Järnefelts "Johdatus 

Suhteellisuusteoriaan" (Otava 1954). Jämför också Hj Tallquists, "Teoreettinen Fysiikka I" 

(1937). Filosofen E Kaila granskar relativitetsteorins betydelse i "Einstein-Minkowskin 

invarianssiteoria" (Ajatus XXI, 1958). År 1963 utkom akademikern Rolf Nevanlinnas 

"Suhteellisuusteorian Periaatteet" (WSOY 1963) baserad på föreläsningar från 1962 för en 

bredare publik. Boken är mycket grundlig och insiktsfull - de första 127 sidorna går till att 

diskutera geometrins grunder! (Utkom också på tyska som "Raum, Zeit und Relativität", 

Stuttgart 1964, och på svenska.) 

Einstein besökte aldrig Finland trots flitigt resande. I juli 1923 föreläste Einstein inför 

en publik på 2000 personer i Jubileumshallen i Göteborg, vid stadens 300-års jubileum. 

11.4 Realtivitetsteorins senare utveckling 

"Man kan, som af det anförda framgår, icke påstå 

att Einsteins och Minkowskis teorier blott vore 

spekulationer 'ins Blaue hinein' utan kontakt med verkligheten. 

Fastmer ge de experimentella resultaten dem ett icke 

oväsentligt stöd, och däri ligger dessa teoriers 

stora betydelse." 

Gunnar Nordström, 1909. 

Relativitetsteorin förblev en lång tid en hobby för matematiker och filosofer. 

Situationen ändrades på 60-talet då man med hjälp av radar kunde probera dimensionerna i 

solsystemet. Bland annat upptäckte man att radioekot från planeterna fördröjdes på ett sätt 

som endast kunde förklaras med ART. År 1959 hade Rebka och Pound gjort sitt berömda 

experiment som bekräftade den gravitationella rödförskjutningen. På 60-talet upptäckte man 

också kvasarerna, enormt intensiva strålningskällor, vars enda möjliga förklaring tycks vara 

en energimekanism baserad på svarta hålens gravitationskraft. Överhuvudtaget kan 

astrofysiken sägas utgöra en av relativitetsteorins främsta användningsområden och 

"laboratorium". Åren 1964-1975 brukar räknas som den teoretiska svarta hål forskningens

"golden age". Upptäckten av pulsarer (neutronstjänror) 1967 - samma år som JA Wheeler 

myntade begreppet "black holes" - stimulerade också intresset för relativitetsteorin. Den 

relativistiska kosmologin revolutionerade vår uppfattning om universum iom Big Bang teorin 

och upptäckten av bakgrundsstrålningen (Penzias och Wilson, 1965). Och nu mot slutet av 

90-talet hyser man förhoppningar att det skall bli tekniskt möjligt att mäta gravitationsvågor 

direkt. På den teoretiska fronten jobbar man med olika ansatser att förena gravitationen med 

de andra krafterna i "superfysiken" (superstringar, supersymmetri, supergravitation, ...). Till 

detta problemkomplex hör också den olösta frågan om kvantgravitationen. A Ashtekar och 

L Smolin t ex har funnit nya sätt att matematiskt formulera ART vilka har väckt 

förhoppningar om att kunna konstruera en konsistent kvantgravitation. 

11.1 Litteratur 

Historia, vetenskapsteori, samlingsverk och biografi: 

[H1] A Pais, Subtle is the Lord ... The Science and the Life of Albert Einstein, Oxford UP 

1982. (Standardverket om Einsteins liv och forskning.) 

[H2] A Pais, Einstein Lived Here, Clarendon Press, Oxford UP 1994. 

[H3] C Seelig, Albert Einstein - Leben und Werk eines Genies unserer Zeit, Europa, Zürich 

1960. 

[H4] B Kuznetsov, Einstein - Elämä, Kuolema, Kuolemattomuus, Progress (1980), 1985. 

[H5] R Highfield, P Carter, The Private Lives of Albert Einstein, Faber & Faber 1993. 

[H6] Albert Einstein: Philosopher-Scientist, P Schilpp (ed.), (Library of Living Philosphers, 

Vol. 7), Evanston, Illinois, 1949. 

[H7] G Holton, Thematic Origins of Scientific Thought - Kepler to Einstein, Harvard UP 

1974. 

[H8] Einstein - A Centenary Volume, AP French (ed.), Harvard UP 1979. 

[H9] 300 Years of Gravitation, SW Hawking, W Israel (eds), Cambridge UP 1987. 

[H10] General Relativity - An Einstein Centenary Survey, SW Hawking, W Israel (eds), 

Cambridge UP 1979. 

[H11] HA Lorentz, A Einstein, H Minkowski, H Weyl, The Principle of Relativity - A 

Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, Dover 

1925. 

[H12] MK Munitz, Cosmic Understanding - Philosophy and Science of the Universe, 

Princeton UP 1986. (Kosmologi ur sk Wittgensteinskt perspektiv. Exv universums "början" 

är en "theoretical construct", inget Ding an sich.) 

[H12] L Pyenson, The Young Einstein - The Advent of Relativity, Adam Hilger 1985. 

[H13] R Torretti, Relativity and Geometry, Pergamon Press 1983. 

[H14] AJ Friedman, Einstein as Myth and Muse, Cambridge UP 1989. 

[H15] PA Bucky, The Private Albert Einstein, Andrews and Michael 1993. 

[H16] JD Norton, "Einstein, Nordström and the early demise of scalar Lorentz-covariant 

theories of gravitation", Archive for History of Exact Sciences, 45, no.1 (15 XII 1992). 

[H17] D Brian, Einstein - A Life, Wiley 1996. 

[H18] GN Cantor, MJS Hodge, Conceptions of Ether, Cambridge UP 1981. 

[H19] Albrecht Fölsing, Albert Einstein - En Biografi, Nya Doxa 1996.

Relativitesteori och Kosmologi: 

[R1] CW Misner, KS Thorne, JA Wheeler, Gravitation, WH Freeman 1973. 

[R2] LD Landau, EM Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon Press 1975. 

[R3] V de Sabbata, M Gasperini, Introduction to Gravitation, World Scientific 1985. 

[R4] JV Narlikar, T Padmanabhan, Gravity, Gauge Theories and Quantum Cosmology, 

Reidel 1986. 

[R5] R Adler, M Bazin, M Schiffer, Introduction to General Relativity, McGraw-Hill 1965. 

[R6] ID Novikov, VP Frolov, Physics of Black Holes, Kluwer 1989. 

[R7] S Chandrasekhar, The Mathematical Theory of Black Holes, Clarendon Press, Oxford 

UP 1983. 

[R8] MS Longair, Theoretical Concepts in Physics, Cambridge UP 1984. (Pedagogisk 

genomgång av fysikens grundteorier med två kapitel om relativitetsteorin som bl a innehåller 

en koncis och klar presentation av kosmologiska tillämpningar) 

[R9] Quantum Cosmology, LZ Fang, R Ruffini (eds), World Scientific 1987. 

[R10] M Roos, Introduction to Cosmology, Wiley 1994. 

[R11] PJE Peebles, Principles of Physical Cosmology, Princeton UP1993. 

[R12] A Ashtekar, Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity, World Scientific 

1991. 

[R13] FNH Robinson, An Introduction to Special Relativity and Its Applications, World 

Scientific 1996. 

[R14] PR Saulson, Fundamentals of Interferometric Gravitational Wave Detectors, World 

Scientific 1994. 

[R15] B Laurent, Introduction to Spacetime - A First Course on Relativity, World Scientific 

1996. 

[R16] RA Mould, Basic Relativity, Springer 1995. 

[R17] J Foster, JD Nightingale, A Short Course in General Relativity, Springer 1995. 

[R18] EF Taylor, JA Wheeler, Spacetime Physics - An Introduction to Special Relativity, 

WH Freeman 1992. 

[R19] M Heller, Theoretical Foundations of Cosmology, World Scientific 1992. 

[R20] Fang Li Zhi, Li Shu Xian, Creation of the Universe, World Scientific 1989. 

[R21] HH v Borzeszkowski, HJ Treder, The Meaning of Quantum Gravity, Reidel 1988. 

(Argumenterar att kvantgravitationen, till skillnad från kvantelektrodynamik, inte har några 

experimentella konsekvenser, ifall en sådan teori låter sig överhuvutaget konstrueras. "This 

analysis proves that it is impossible to distinguish between classical and quantum General 

Relativity Theory for the extreme case of Planck's order of magnitude." [Preface, vii]. 

Tanken är att materiens - mätkroppens - kvantnatur döljer alla eventuella kvantfluktuationer 

hos gravitationsfältet. Detta utesluter inte att kvantgravitationen kan vara av betydelse för 

singulariteterna i ART.) 

[R22] AS Eddington, Space, Time and Gravitation, Cambridge UP 1920. 

[R23] RC Tolman, Relativity, Thermodynamics and Cosmology, Clarendon Press 1934. 

[R24] S Hawking, R Penrose, The Nature of Space and Time, Princeton UP 1996. 

[R25] R Brout, F Englert, E Günzig, "The creation fo the universe as a quantum 

phenomena", Ann. d. Phys. 115, 78 (1978). 

[R26] DG Blair, The Detection of Gravitational Waves, Cambridge UP 1991.

[R27] PG Bergmann, V de Sabbata, H-J Treder (eds), Quantum Gravity (Proceedings of 

the 14th course of the International School of Cosmology and Gravitation, 12-18 June 

1995, Erice, Italy), World Scientific 1996. 

[R28] M Rees, Perspectives in Astrophysical Cosmology, Cambridge UP 1995. 

[R29] S Clark, Towards the Edge of the Universe - A Review of Modern Cosmology, 

Wiley 1996. 

[R30] A Eddington, Space, Time and Gravitation, Cambridge UP 1987. 

[R31] J Stewart, Advanced General Relativity, Cambridge UP 1994. 

[R32] YT Chen, A Cook, Gravitational Experiments in the Laboratory, Cambridge UP 

1993. 

[R24] J Islam, An Introduction to Mathematical Cosmology, Cambridge UP 1992. 

[R25] CM Will, Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge UP 1993. 

[R 26] E Scrödinger, Space-Time Structure, Cambridge UP 1985. 

[R27] Leo Sartore, Understanding Relativity - A Simplified Approach to Einstein’s 

Theories, University of California Press 1996. 

Populärvetenskap: 

[P1] P Davies, I Rättan Tid - Einsteins Ofullbordade Revolution, Prisma 1995. 

[P2] KS Thorne, Black Holes & Time Warps, WW Norton & Co 1994. 

[P3] JA Wheeler, A Journey into Gravity and Spacetime, WH Freeman 1990. 

[P4] J Silk, A Short History of The Universe, WH Freeman 1994. 

[P5] J Silk, The Big Bang, WH Freeman 1988. 

[P6] JV Narlikar, From Black Clouds to Black Holes, World Scientific 1996. 

[P7] JD Barrow, Universums Födelse, Natur och Kultur 1995. 

[P8] P Davies, De Sista Tre Minuterna, Natur och Kultur 1995. 

[P9] S Weinberg, De Tre första Minuterna, Rabén & Sjögren 1980. 

[P10] PW Atkins, Creation Revisited, WH Freeman 1992. 

[P11] M Begelman, M Rees, Gravity's Fatal Attraction - Black Holes in the Universe, WH 

Freeman 1996. 

[P12] D Goldsmith, Einstein's Greatest Blunder ? Harvard UP 1995. (Beskriver den 

modärna kosmologin - förlagets PR-avdelning är tydligen upphovsmän till boktiteln.) 

[P13] I Novikov, Black Holes and the Universe, Cambridge UP 1995. 

[P14] JP Luminet, Black Holes, Cambridge UP 1992. 

Verk av Einstein: 

[E1] The Collected Papers of Albert Einstein, J Stachel et alii (eds), Princeton UP. Band 1 

utkom 1987; bd 2, 1989; bd 3, 1993 (material fram till år 1911). Utgivningen fortsätter. 

[E2] A Einstein, Om Naturvetenskapen (uppsatser från samlingen "Out of my later years"), 

Prisma 1993. 

[R3] A Einstein, Min Världsbild, Bonniers 1934. 

Multimedia:

[M1] A Brief History of Time on CD-ROM: An Interactive Adventure with Stephen W 

Hawking, WH Freeman 1994. 

[M2] William J Kaufmann III, Universe 4.0 on CD-ROM, WH Freeman 1994. 

[M3] The Ultimate Einstein, CD-ROM for Windows, Macmillan Interactive Publishing 

1995. (Multimedians "bibliotek" innehåller texten till Ronald Clarks "Einstein: His Life and 

Times" (Avon 1972), men inte i någon värst läsbar form. Inkluderar också "Ideas and 

Opinions" och "Autobiographical Notes" av Einstein.) 

[M4] Redshift 2, CD-ROM. 1996. (En "klassisk" multimediaprodukt inom astronomi.)

RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG) 1 ... - Saunalahti

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?