RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG) 1 ... - Saunalahti

10.5.2 Ekvationer för Universum - Friedmann modellerna.
Kombinerar vi metriken (95) med Einsteins fältekvationer och antar att energi-
impuls tensorn endast innehåller en term för mass-energi täthet (ρ c 2 ) och tryck (p) [T μν =
diag(ρ c 2 ,-p,-p,-p) i medföljande koordinatsystem] erhåller vi ett mycket enkelt set av
ekvationer för universum,
(98) 3(1 + (dQ/cdt) 2 )Q -2 = (8πG/c 4 ) ρ c 2 (= (8πG/c 4 )T 00 );
(1 + (dQ/cdt) 2 )Q -2 + 2 d 2 Q/dt 2 c -2 Q -1 = -(8πG/c 4 )p;
(Q = Rℜ).
[Att approximera innehållet i universum som ett homogent stoft är hoppeligen en valid
approximation i stort. Galaxerna är enligt observationer på ett intressant sätt klumpade i
universum. Omkr 9/10:delar av universum är tomrum, avgränsade av pannkaksformade
galaxhopar, eller trådliknande formationer (strings) av storleksordningen 100 miljoner
ljusår.]
Studerar vi universums utveckling i sin "avkylda fas" kan vi försumma trycket och
sätta p = 0 (Friedmann modellen). Kombinerar man då de två ekvationerna (98) erhålls
(99) d(ρ Q 3 )/dt = 0 ⇔ ρ Q 3 = konstant,
vilket kan tolkas som att massan är konstant i universum. En annat intressant omskrivning av
(98) är formen (genom att differentiera (98.a))
(100) d 2 R/dt 2 = -(4π/3)RG ρ,
vilket är samma ekvation som man får från Newtons teori genom att beräkna
tyngdkraftsaccelerationen i utkanten av ett klot med radien R och masstätheten ρ. (I
Newtons teori blir dock intregrationskonstanten till ekv (100) obestämd.) En uppenbar
konsekvens av (100) är att vi inte kan ha någon statisk lösning med R(t) = konstant ( > 0).
Detta störde Einstein 1917 som var inställd på att universum måste vara statisk. Einstein
adderade därför en positiv balanserande term till högra membrum av (100),
(100') d 2 R/dt 2 = -(4π/3)RG ρ + (2/3) ΛR,
som står för en repulsiv kraft (hindrar universum från att kollapsa). Konstanten Λ kallas för
den kosmologiska konstanten. Denna extra term uppkommer genom att addera en term
Λgμν till Einsteins fältekvationer (87'). Einsteins betraktade senare den kosmologiska
konstanten som det "största misstaget i hans liv". Han missade scoopen att förutse
universums expansion som Hubble senare upptäckte. Endel anser att han gjorde ett ännu