RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG) 1 ... - Saunalahti

I avsnittet om det accelererande referenssystemet konstruerade vi ett
koordinatsystem (x' 0 , x' 1 ) där koordinataxlarnas riktning varierade från punkt till punkt till
skillnad från det globala inertiala referenssystemet R (Minkowski rummet). Invarianten
(I) (x 1 (B) - x 1 (A)) 2 + (x 2 (B) - x 2 (A)) 2 + (x 3 (B) - x 3 (A)) 2 - (x 0 (B) - x 0 (A)) 2
kan i allmänhet endast formuleras för infinitesimala intervaller dx'. Ifall vi insätter (62) i
formen (dx1 ) 2 + (dx2 ) 2 + (dx3 ) 2 - (dx0 ) 2 erhåller vi i det accelererande referenssytemet
formen (metriken)
(68) ds 2 = -(1 + a x' 1 /c 2 ) 2 (dx' 0 ) 2 + (dx' 1 ) 2 + (dx' 2 ) 2 + (dx' 3 ) 2
där ds 2 alltså betecknar "avståndet" mellan två infintesimalt närliggande punkter enligt
Minkowski metriken. För det generella fallet (godtyckligt koordinatsystem) skriver vi
metriken på formen
(69) ds 2 = Σ gμν dx μ dx ν (summerat över μ ,ν = 0, 1, 2, 3)
Uttrycket har följande betydelse. Om en kropp följer en bana x(λ) i rum-tiden kommer dess
egentid Δτ för ett banavsnitt att ges genom
(70) Δτ = ∫ √ -ds 2 = ∫ (−Σ gμν dx μ /dλ dx ν /dλ ) ½ dλ.
I avsnittet om egentid och tvillingparadoxen observerade vi att egentiden var maximal för
den kropp som ostörd följde en fri kropps bana mellan två rum-tids punkter A och B,
medan en kropp som följde en "forcerad" bana mellan A och B hade ett mindre värde för
sin egentid. Detta generaliseras till en allmän princip inom ART.
Rörelsepostulat:
♦ Fria partiklar följer en geodes i rum-tiden; dvs, en bana med maximal rum-tids längd
(70) (egentid). I Newtons mekanik svarar detta postulat mot satsen att fria partiklar
följer räta linjer med likformig hastighet.
Hur skall man bestämma de metriska koefficienterna gμν(x) ? För det konstant
accelererande referenssystemet beräknade vi dem genom transformationen till ett globalt
inertialt referenssystem. Inom ART kan vi inte förutsätta något dylikt globalt referenssystem.
Vidare, för det acclererande referenssystemet beror de metriska koefficienterna på
accelerationen. Enligt Ekvivalensprincipen är acceleration lokalt fysikaliskt omöjligt att skilja
från gravitationens verkan. Tanken är därför att anta att de metriska koefficenterna
generellt bestäms av gravitationen. Eftersom det är mass(-energin) som är källan till
gravitation är det närliggande att anta att det är mass-energin i universum som
bestämmer metriken (70); dvs, rum-tids geometrin. Den allmänna relativitetsteorin ser
följaktligen på rum-tiden som en dynamisk entitet.