RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG) 1 ... - Saunalahti

(77) A k ;j = dA k /du j + Σ Γ k ij A i
(på differentialform: dA = Σ ek (dA k + Σ ω k i A i ))
När det gäller kurvlinjära koordinater r(u 1 ,u 2 , u 3 ) kan Christoffelsymbolerna direkt
beräknas från ekv (75) genom att vi känner (72). Nyttjar vi sambandet gij = ei . ej följer
genom differentation att
(78) gij,k = Σ (gimΓ m ik + gmj Γ m kj) (gij,k = dgij/du k )
(på differentialform: dgij = ωij + ωji; ωij = Σ gikω k j)
som ger en relation mellan de metriska koefficienterna och Γ k ij. Enär Γ k ij och gij är
symmetriska i indexen (i,j) kan vi lösa ut Γ m ik från (78) enligt
(79) Γ k ij = ½ Σ g km (gmj,i + gim,j - gij,m)
där g km är komponenterna till den inversa matrisen G -1 för G = (gmn) vilka satisfierar
(80) Σ g km gml = δ k l (= 1 ifall k = l, i övrigt 0; δ k l kallas för
Kroneckers deltafunktion):
Antag vi gör en koordinattransformation u → u' med u som funktion av u', u = u(u'),
och skriver r(u') = r(u(u')). För basvektorerna e' i det nya koordinatsystemet erhåller vi e'i
= dr/du' i = Σ(du j /du' i )ej (kovariant transformation). Relationen mellan komponenterna hos
vektorn V = ΣV j ej = ΣV' j e'j i det nya och gamla koordinatsystemet blir
(81) V i = Σ (du i /du' j )V' j
V' i = Σ (du' i /du j )V j
Detta är transformationsformeln för vektorer mellan olika koordinatsystem. Vektorens
komponenter med indexen uppe, V i , kallas för dess kontravarianta komponenter (dess
transformation (81) är inversen till basvektorernas (ej) transformation). Vi kan också införa
en vektors kovarianta komponenter, Vi, genom relationerna
(81.1) Vi = Σ gij V j ; V j = Σ g jm Vm.
Därmed skrivs produkten g(U,V) = Σ gij U i V j som Σ Uj V j = Σ Vj U j . Vektorernas
kovarianta transformation skrivs,
(81.2) Vi = Σ (du' j /du i )V'j
V'i = Σ (du j /du' i )Vj