RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG) 1 ... - Saunalahti

(85) 0 = ∇VA = Σ A k ;j du j /dt (= Σ(dA k /du j + Σ Γ k ij A i )du j /dt)
längs banan u(t). Ett icke-krökt rum karaktäriseras av egenskapen att parallelltransporten
mellan två punkter P och Q är oberoende av banan mellan P och Q längs vilken
parallelltransporten utförs.
B
P
V
A
Q
V'
V''
V'' - V' = R(A,B,V)
För ett krökt rum beror paralleltransporten av en vektor V mellan två punkter
på vägen längs vilken den utförs. Vektorn V parallelltransporteras längs den
undre och övre sidan av parallellgrammet AB med resultaten V' och V'' som
i allmänhet skiljer sig från varandra. Skillnaden ges via Riemann tensorn R.
Parallelltransporterar vi en vektor V längs en infinitesimal parallellogram uppspänd
av vektorerna A och B (se figuren) får vi för skillnaden, mellan parallelltransporten längs
övre och undre sidan, en vektor ΔV = R(A,B,V). Operatorn R kallas Riemann tensorn
och är linjär i sina argument. Dess explicita uttryck fås genom att använda parallelltransport
villkoret ∇AV= 0 och ∇BV= 0 längs de fyra segmenten. Denna räkning ger
(86) ΔV k = Σ Rlmn k A l B m V n
med komponenterna (varje relativist bör utföra denna beräkning åtminstone en gång under
sin livstid)
(83) Rlmn k = Γ k ln,m - Γ k mn,l + Γ k mj Γ j ln - Γ k lj Γ j mn
(summering över de upprepade indexen: A ..p. ..p... == Σ A ..p. ..p.;
kallas för Einsteins summeringskonvention)..
(Med differentialformer definieras Riemann tensorn genom dubbel-
differentation av en vektor: d 2 V = R(V) = ejR i jV j ; R i j = dω i j + Σ ω i k ∧ ω k j.
Denna definition ger den snabbaste metoden för att beräkna komponenter
hos Riemann tensorn då metriken är diagonal.)