RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG) 1 ... - Saunalahti

Som en praktisk tillämpning av teorin skall vi härleda den relativistiska
raketekvationen. Raketdriften baserar sig på konservering av impulsen. Om raketen med
massan m spottar ut en massa med hastigheten u i - x -riktningen, och raketens massa
ändras med dm (< 0), blir raketens hastighetsökning dv bestämd från relationen u dm + (m
+ dm)dv = 0 (totala impulsförändringen är noll). (Observera att vi för raketens
massändring har |dm| = γ(u)dmo = dE/c 2 , där dmo är massan av den utblåsta materien
som har impulsen −γ(u)udmo = udm, och dE betecknar dess energi - det gäller alltså inte
att dm = -dmo som Newtons mekanik skulle föreskriva. Ett intressant exempel på massenergi
relationen.) Detta leder till ekvationen
(57) a = dv/dτ = - (u/m) dm/dτ = -u d(ln m)/dτ.
för accelerationen (visavi ett medföljande inertialt referenssystem vid en viss tidpunkt). Detta
resultat kombineras med den tidigare härledda ekvationen (21). Räkningarna förenklas om
vi använder representationen
(58) γv = c sinh ϕ
γ = cosh ϕ.
Rörelse-ekvationen (21) kan skrivas som d(γv)/dτ = γ a. Nyttjar vi (58) leder rörelseekvationen
till relationen (eller använd direkt (53) från föregående avsnitt)
dϕ/dτ = (1/c) a = -(u/c) d (ln m)/dτ.
Om utblåsningshastigheten u är konstant följer alltså ϕ = (u/c) ln (m(0)/m(τ)), och
hastigheten v = c tanh ϕ skrivs
(59) v = c (1 - (m(τ)/m(0)) (2u/c) )/(1 + (m(τ)/m(0)) (2u/c) ).
Här betecknar m(0) raketens initialmassa, och m(τ) massan vid egentiden τ. Desto högre
utblåsningshastighet u desto högre hastighet når raketen. För en fotonraket når man den
maximala "utblåsningshastigheten" u = c.
(Hur mycken nyttolast kan man maximalt ta med på en fotonraket som skall
accelerera till 90% av ljushastigheten och sedan bromsa in igen ? Dylika numeriska
överläggningar antyder att science fiction författare i regel har ganska optimistiska
föreställnigar om kapaciteten hos sina rymdraketer av taxibils format. Andelen nyttolast kan
ökas ifall drivkraftsanläggningen sätts utanför raketen; exv i form av en laserkanon
placerad på månen som rikats in på rymdskeppet, vilket försetts med stora speglar som
fungerar som ljussegel. Versioner av denna idé har lanserats av RL Forward.)
Betraktar vi ljushastigheten c som en variabel parameter, och låter den gå mot
oändlighet, då reduceras föregående uttryck (59) till den klassiska raketekvationen, v(t) =
u.ln(m(0)/m(t)), som härleddes (utgående från Newtons mekanik förstås) av
rymdfartspionjären KE Tsiolkovski den 25 augusti 1898 (enligt dagboksanteckning).
(Tsiolkovski förslog raketdrift bl a baserad på kärnkraft, och acceleration av elektroner med
elektriska fält.)