RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG) 1 ... - Saunalahti

För energiökningen maL erhåller vi alltså
(23) ΔE = maL = ma ∫ v dt = ma (c 2 /a) ((1 + (at/c) 2 ) -½ - 1) =
mc 2 (γ - 1).
Från detta resultat ser vi att det är omöjligt att accelerera en kropp till ljushastighet eftersom
detta kräver oändligt med energi iom att γ → ∞ då v → c. Utvecklar vi γ = (1 - (v/c) 2 ) -½
som en serie i v/c (< 1) kan de första termerna för ΔE skrivas
(24) ΔE = ½ m v 2 + (3/4) m v 2 (v/c) 2 + ....
(Vad blir exv den relativistiska korrektionen för den kinetiska energin för en 70 kg person
som cyklar modesta 25 km/h ? För elektroner i partikelacceleratorer hamnar man att
använda den relativistiska formeln (23). Typisk acceleratorenergi för elektroner är omkr 10
GeV = 10 10 eV. Vilken hastighet har dessa elektroner ?)
Ett mer formellt sätt att härleda uttrycket för energin utgår från att skriva definitionen
dE = F. dx på formen dE = v. dp genom att använda F = dp/dt och dx = v dt. Detta kan i
sin tur skrivas som en differentialekvation
(25) dE/dp = v (dE/p i = v i ; i = 1,2,3 ).
Specialiserar vi oss till vårt föregående fall med rörelse och kraft längs x-axeln har vi att lösa
ekvationen dE/dp = v med p = m γ v. Ekvationen kan skrivas som dE/dv = vdp/dv =
mv.d(γv)/dv = mvγ3 som har lösningen
(26) E = m c 2 γ = m c 2 (1 - (v/c) 2 ) -½
För v = 0 erhåller vi viloenergin E = m c2 , eller den sk mass-energin.(Einstein
bifogade den 27 september 1905 en sorts "PS" till sin huvudartikel i relativitetsteorin, från
fyra månader tidgare, där han tillägger formeln E = m c2 med kommentaren: "Det är inte
uteslutet att teorin kan prövas på kroppar, vilkas energiinnehåll är höggradigt föränderligt."
(A Einstein, "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieneinhalt abhängig ?", Ann. d.
Phys. Ser 4, Vol. 18; 639-641 (1905).)
Innebörden av mass-energiformeln kan illustreras med följande exempel. Har vi t ex
en kropp på en våg och värmer upp kroppen genom att tillföra en energimängd ΔE kommer
dess vikt att öka med Δmg där Δm ges av Δm = ΔE/c2 . Ett analogt exempel är att tänka sig
en behållare som vi fyller med N partiklar med massan m och hastighet v (en "gas"). Väger
vi behållaren (ifall vi har en tillräckligt noggrann våg) kommer innehållets massa inte att visa
sig vara Nm utan NE/c2 = Nmγ. Vi har alltså att skilja mellan en partikels massa som är
konstant och behållaren+innehållets massa som är en funktion av partiklarnas dynamiska
verkan på behållarens väggar (i gravitationsfältet accelererar partiklarna nedåt och stöter