RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG) 1 ... - Saunalahti

där sin ϕ och cos ϕ ges av de Eulerska formlerna cos ϕ = (1/2)(e iϕ + e -iϕ ) och sin ϕ =
(1/2i)(e iϕ - e -iϕ ).
En analog metod kan tillämpas på ekvationen
(46) x 2 - y 2 = c 2
som motsvarar (41) med x = u 0 och y = u 1 . Istället för (43) ser vi genom insättnng att (46)
är invariant (vi försummar termen av andra ordningen i den infintesimala parametern) för den
infinitesimala (Lorentz-) transformationen
(47) x → x' = x + εy: Δx = εy
y → y' = y + εx.: Δy = εx.
Ekvationen (U') kan skrivas som (x + y)(x - y) = c 2 . Inför vi alltså hjälpvariabeln z = x + y
måste vi ha c 2 /z = x - y. Omvänt kan vi skriva x och y i termer av z,
(48) x = (1/2)(z + c 2 /z)
y = (1/2)(z - c 2 /z).
Den infinitesimala transformationen (47) representerad i term av z blir
(49) Δz = Δx + Δy = ε (y + x) = ε z.
För en finit transformation med "vinkeln" ϕ kan vi resonera som i föregående fall och erhåller
(50) z → z' = (1 + ϕ/N) N z = e ϕ z (då N → ∞).
Därmed ges fyr-hastigheten till slut på parameterformen
(51) u 0 = c cosh ϕ
u 1 = c sinh ϕ
där cosh ϕ (cosinus hyperbolicus) och sinh ϕ (sinus hyperbolicus) är definierade genom
(52) cosh ϕ = (1/2)(e ϕ + e -ϕ )
sinh ϕ = (1/2)(e ϕ - e -ϕ ).
Ekvationen för den accelererande kroppen kan skrivas d(γv)/dτ = (a/c) cγ som
motsvarar du 0 /dτ = (a/c) u 1 . Insätter vi formerna (51) i denna ekvation ser vi att vi måste ha
ϕ = aτ/c då a är konstant. Den generella rörelse-ekvatioen skrivs elegant som
(53) dϕ/dτ = (1/c) a(τ).