RELATIVITETSTEORI - (TUTORIAL / F BORG) 1 ... - Saunalahti

ct
r = 2GM/c 2
Ekvationen för radiella ljusstrålar Schwarzschild metriken:
2
dr/cdt = ± (1-2GM/rc )
Från figuren ser vi att om kroppens diameter R är mindre än den sk Schwarzschildradien Rs
= 2GM/c 2 , och metriken kan fortsättas för r < 2GM/rc 2 , kommer ljusstrålarna innanför
Schwarzschildradien att alldrig nå området r > Rs. Härav benämningen svarta hål (black
holes, efter JA Wheeler) på objekt som har en radie mindre än deras Schwarzschildradie.
Sfären r = Rs är ett exempel på en sk horisont (horizon). Inget som hamnar innaför
horisonten kan ta sig ut därifrån igen. Enligt diagrammet är ljusstrålarna böjda vilket till synes
strider mot ljushastighetens konstans. Detta beror på att r-koordinaten inte anger den
metriska radien, och att tidskoordinaten t inte är densamma som fysikalisk tid. För en
observatör O vid en fix radie motsvarar ett koordinattidintervall dt enligt metriken (89) ett
observerat tidintervall (egentid) dτ = dt (1 - 2GM/rc 2 ) ½ : Ett radiesegment dr motsvara för
observatören en längd på dx = dr (1 - 2GM/rc 2 ) -½ . För en observatör O* med en fix
position och radie r* >> Rs motsvarar koordinattiden t närapå observatörens egentid.
Relationen dτ = dt(1 - 2GM/rc 2 ) ½ innebär att O:s tid verkar gå allt långsammare dess
närmare denna kommer Schwarzschildradien sett från O*:s synvinkel. Faktiskt, om O råkar
befinna sig i fritt fall in i svarta hålet kommer O sett från O* att aldrig nå fram till
Schwarzschildradien, utan syns falla allt långsammare tills fallet i praktiken sas "fryser fast".
O själv upplever att fallet tar några minuter (beroende på hålets massa) tills O hamnar i
singulariteten r = 0 eller dess förinnan krossas av tidvattenkrafterna.
10.4 Gravitationell strålning
Vi skall nämna ett sista fundamentalt fenomen som ART förutser till skillnad från
Newtons teori, nämligen gravitationsvågor. Undersöker man de lineariserade
fältekvationerna med ansatsen (88) erhåller man ekvationer som påminner om Maxwells
ekvationer, och man kan i analogi med dessa härleda liknande "strålningsekvationer"
(kvadrupolstrålning) för accelererande och oscillerande massor (A Einstein, 1916).
Energiminskningen för små störningar blir
r