Uppföljning av diagnostiskt prov för ingenjörsstuderande. HT-2012.

Uppföljning av
diagnostiskt prov
för
ingenjörsstuderande.
HT-2012.

Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen
1. Räknefärdighet
1 – 7
2. Algebra, ekvationer
1 – 7, 8 – 10
3. Koordinatsystem, räta linjer 8 – 10
x
4. Funktionerna ln x och e . 11 – 17
5. Trigonometri
18 – 21
Repetitionen, om den görs på egen hand, bör göras enligt följande tabell:
Uppgifter på diagnostiska provet Avsnitt i repetitionsmaterialet (*)
1-7 Kap 1 - 2.2
8-10 Kap 2.5, Kap 3
11-17 Kap 4
18-22 Kap 5
(*)
De som följer den lärarledda repetitionen får instruktioner i samband med denna.

1. Räknefärdighet
1.1 Bråkräkning
1. Beräkna och beskriv vilka prioriteringsregler som används.
a) 6 2 3
b) ( 6 2)
3
8 14
c)
2 7
2. Faktorisera i primtalsfaktorer
a) 12 b) 22 c) 32 d) 72
3. Bestäm minsta gemensamma nämnare till bråken
a)
1 1
och
12 22
1 1
b) och
32 48
c) Ordna nedanstående tal i storleksordning med det minsta talet först.
1
9
,
5
54
,
7
72
4. Beräkna och skriv svaret i enklaste form (med minsta möjliga nämnare).
a)
4 1 5
9 4 6
2 4 1
b)
15 27 8 10
1 1 1
c)
14 42 9
5. Utför multiplikationerna och svara i enklaste form.
a)
4 3 1
3 2 2
12 7 9
b)
21 18 4
c)
6. Beräkna och skriv på enklaste form.
4
a)
3
8
5
6
b)
9
3
4
1
4
c)
7. Beräkna och skriv på enklaste form.
a)
1 3
4 8
2 3
21 28
b)
3
1
5
2
1
1
3
1.2 Kvadratroten ur a, a 0 och n:te roten ur a ( n a ).
8. Förenkla
a) 2
c)
144
38
95 24
5
2
8
3
6
4
1 1
2 2 5
4 3
3 4 125 2 11
b) 2 64 36 3 169 144
5 49
49
c) d) 18 4
25
e) 3
1000 3 f) 1000
27
32 h) 5 2
3
3 5
27
16 8
g) 5 162
1
7
30
12
d)
8 14
2 7

9. Bestäm x , x 0 , om
3 5 a) x 5
b) x 3
c) x 2
10. Förenkla så långt som möjligt. Skriv svaret utan kvadratrot i nämnaren. (Tips: Förläng med
nämnarens konjugatuttryck.)
a)
1
2
b)
2 1
2 1
c)
2 3
3 1
1
d)
3
6
1
6
e)
8
5 1
5
f)
2
1 1
5 2 8
1.3 Potenser
11. Ange värdet på det tal som i potensform har
a) basen 2 och exponenten 5 b) basen 9 och exponenten 3
12. Beräkna
a)
13. Beräkna
2 3
3 3
b)
5
3
2
3
5
4
a) 3 3
b)
2 3
3 3
c)
3 2
3
2 3 2
14. Skriv (om det går) som en potens med basen 3
a) 2 2 1
3 27
2
3
9 (
3 )
b) 8 0 7
3 (
18 )
15. Förenkla
a)
2
(3)
b)
e)
4
1
3 4
4 4 till en potens av 2
16. Beräkna och skriv i bråkform
a)
2
2
3 2
0
b) 5 5
3
3
2 3
3 3
d)
2
3
2 4
2 3
3 2
c) d) 5 2
3
2
2
c)
10
(1)
c)
2
5
3
2
3
( 81 )
243
3 z
1
17. Beräkna värdet av 3x y om x 2
, y och z 2
.
2
18. Beräkna
a)
1 2
1
3
49 b) 125 1 4
19. Skriv som en potens av 2
a)
1 3
8 b)
2 3
32
1
81
c)
3 1
2
d)
27
(1)
d)
2 3
8
d)
c) 3 4
8 d)
( 5 7)
( 5 7 )
2 3
6
2
4
( 2)
4 3
1000
1
3 32
3
1
5

2. Algebra
2.1 Potenser
20. Förenkla så långt som möjligt
b)
21. Förenkla
2 3
a a
b)
2 4
a b
b a
b) 3 3
b)
2 3
a a
c)
3 x
3
2 y x
x
x
2 3
b b
d)
2
3
x
y
2
y
x
4
c) 5 2
22. Skriv (om det går) som en potens med basen a multiplicerad med en konstant.
2 1
2 3
b) a
a b)
23. Förenkla till en potens av a.
a)
2
( a)
b)
2
a ( a
8
a (
)
2
3
0 7 6a )
24. Förenkla och skriv som ett rationellt uttryck
a)
2
2
x y
0 2 3
b) x x x
25. Skriv som en potens av a
a) 3 1 3
5 2 3
a b) c)
1
4 3 a
5 2
a
3
( a
)
c) 4
2 1
2 3 2
a c) 3 4
3
a
a a
2
( a b)
( a b
3
d) 3
2
2
d)
a d)
2 4
2a
3a
2.2 Räkneregler, konjugatregeln, kvadreringsreglerna, faktorisering, rationella
uttryck.
26. Skriv som en summa
x 1
a) 1
2x
2 3
3 s
b) s 1
4
8 3
2
2
c) ( a b)(
a ab b )
2
2
d) ( a b)(
a ab b )
27. Skriv som en summa
2
3 2
2x
3
a) x
b)
5 3
5
c) ( 2y
1)(
2y
1)
d) 6 2 6 2
e) 2 3 12
3 1
x 3 3 x
f)
5 5
28. Skriv som en summa
a) ( 3 2x
)( 2x
3)
b) ( s 4)(
4 s)
3x
3x
c) 1
1
2 2
d) ( 1 0,
1x
)( 0,
1x
1)
2
1
a
3 5
)
1
5

29. Skriv som en summa.
2
2
y z
a) ( a b c)
b) ( a b c)
c) x
2 3
3
y
d) ( 1 2x)
e) 1
3
30. Undersök om följande uttryck kan delas upp i faktorer. Utför faktoriseringen där så är möjligt
2 2
3 2
a) y 4x
b) x 2 x x
4 3 2
c) x 2x x
d) a( x y)
b(
x y)
e) ac bc a b
f) x( a b)
y(
a b)
31. Förenkla
15x 3
a)
3
d)
12x
4xy
8x
32. Förenkla
a)
2x
8
2
x 2x
8
b)
15x
3
3x
6y
3
c)
12
4x
8
13x
17y
e)
f)
2 2
x 5
9y
4y
b)
7ab 2 2
a b 9ab
33. Förenkla de rationella uttrycken
( 2x
3)
( x 1)
a)
1 ( 2x
3)
9x
2
12xy
4y
d) 2 2
9x
34. Förenkla
4y
2
( x y)
b) 2 2
e)
x
2
y
2 3
a x x
2
ax x
c)
2xy
2x
a
3 1 1
a) 1
b) 2
a b
x 1 x x x
d)
g)
x
1
y
x
1
y
2
( x h)
x
h
2
e)
1 1
a b
1
2
a
1
b
35. Skriv om till ett uttryck med kvadratrot bara i täljaren.
a)
x 1
x 1
b)
x 1
x 1
36. Skriv om till ett uttryck med kvadratrot bara i nämnaren.
a)
x 1
x 1
b)
2
x
1
x 1
2
2
3x
2 x
2x
4
c)
2
4x
8
2
x 1
1 x
3
t t
t t
f) 2
2
1 1 x
c)
1
x y x y
p 3
2
3 p
f)
3
1
p
c)
1
2
2
x 1 x

2.3 Kvadratkomplettering
37. Kvadratkomplettera polynomen
2
a) x 3x
1
2
b) x 9x
20
2 3 1
c) x x
5 10
2 x
d) x
2
e) 3 2 1
2
x x
f) 2 5 2
2
x x
38. Bestäm eventuella största eller minsta värden för polynomen i uppgift 35 ovan.
Ange också för varje polynom det x-värde för vilket respektive extremvärde antas.
2.4 Faktorsatsen, polynomdivision
39. Bestäm kvoten och resten vid division av p(x) med q(x) om
2
3 2
a) p ( x)
x 2x
3 , q ( x)
x 1
b) p ( x)
x 5x
x 1 , q ( x)
x 3
c)
3 2
9 x 2 , q ( x)
x 3
p( x)
x
40. Skriv följande rationella uttryck som en summa av ett polynom och ett rationellt uttryck.
2
x x 1
17 5
a)
b)
x 2
3
2
x
x
41. Visa att polynomet
6 5 3
a) f ( x)
x 2x
x x 3 har en faktor x 1
7
b) g ( x)
x 128 har en faktor x 2
c)
47 73 11
x 5x
4 är delbart med x 1
h( x)
x
42. Faktorisera i förstagradsuttryck
3 2
a) p ( x)
x 2x
5x
6
1
b)
2
x x 3
p2 ( x)
x
8 4
c)
2
3
p ( x)
13x
44x
x 32
2.5 Ekvationer
3
43. Lös ekvationerna
a) 4x 15 5x
3
b)
14x
1
x 5 3x
3 2
c) 4( 2x
3)
3(
2 x)
2(
1 x)
44. Lös ekvationerna (tänk på att alla är s.k. nollprodukter).
a) ( x 3)(
2 x)
0
b) ( 2x
1)(
2 3x)
0
c) 9x ( 2x
1)
0
1
2
d) ( x
1)
2x
x 84
0

45. Lös ekvationerna
a) 2 6 3 0
2
x x
2 b) 12x
9x
4
c) 4x ( x 3)
7
242
d) x 33
x
e) 3x 12 9x
2
2
f) 11x 12 2x
x 2
g)
3 x 1
x 3 4x
h)
2 x 1
x 2 3x
1
i)
2x
x 1
46. Konstruera en andragradsekvation som har lösningarna (rötterna)
a) x 5 eller 2 x
b) x 10 eller 20 x
c) x 1 2 eller x 1 2
d) x 1 5 eller x 1 5
e) dubbelroten x 3
f) dubbelroten x 1 2
47. Sök alla reella rötter till ekvationerna
a) 14 45 0
2
4
2 2 2
x x
b) ( x 1)
2(
x 1)
8
6
c) x 9 8x
3
48. Sök alla reella rötter till ekvationerna
a) 2 2 0
2 3
x x x
3
2
b) x 8x
5x
4
49. Faktorisera i förstagradsuttryck polynomet
2
3 2
x x
a) p 1(
x)
x 2x
5x
6
b) p2 ( x)
x
8 4
2
3
c) p ( x)
13x
44x
x 32
3
50. Visa att ekvationen 6 3 10 0
2 3
x x x har lösningen x 1.
Bestäm därefter ekvationens
övriga lösningar.
51. Lös ekvationerna
3
a) x 2x
1 0 b) 2 5 3 0
3
x x
c) 2 6 9 0
2 3
x x x
3 2
52. Polynomet p ( x)
x 5x
8x
48 är givet. Ekvationen p ( x)
0 har en dubbelrot x 4 .
Bestäm alla rötter till ekvationen.
53. Lös ekvationerna
a) 1 4x
4x
1
b) 3x + 2 x 2
c) x
3x 7 1
3

3. Koordinatsystem, räta linjer
54. Rita linjen som har ekvationen
y x 2
b) y 2x
3 c) y 2
d) x 2
55. Ange tre punkter på linjen med ekvationen y 10x 4 .
56. Rita linjerna med ekvationerna nedan i samma koordinatsystem.
a) 2x y 1 0
b) x 2y
4 c) y 2x 1
57. Bestäm en ekvation för den räta linje som går genom punkterna
a) 1,
2)
1,
4
b) 1,
2)
1,
4 c) 3,
5)
( och
( och
d) 2, 200
och 13, 200
e) 120 , 300
och 13, 200
( och 1,
4
58. Bestäm en ekvation för den räta linje som har den givna riktningskoefficienten, k, och som går
genom den angivna punkten.
a) k 2 och punkten är ( 1,
1)
b) k 4
och punkten är ( 2,
1)
c)
d)
1
k och punkten är ( 3,
1)
3
2
k och punkten är ( 40,
30)
5
59. Bestäm, om möjligt, skärningspunkten mellan linjerna
a) y 2x 1 och y 2x
2
b) y 2x 1 och y 3x
2
c) y 2x 1 och 2
2
x
y
d) y 2x 1 och 30x y 2 0
60. Bestäm, om möjligt, skärningspunkten mellan koordinataxlarna och linjen
a) y 4x 5
b) 3x 4y
8
c) x 2
d) y 500
61. Bestäm, om möjligt, skärningspunkten mellan linjen y 4x 5 och linjen
a) y 4 b) y 3
c) x 2 d) x 10
62. Bestäm, om möjligt, skärningspunkten mellan linjen y 5x
8 och linjen
a) x y 0 b) 10x 2y
16 0
63. Bestäm (valfria) värden på konstanterna a, b och c så att den räta linjen ax by c 0 blir
a) parallell med linjen y 3x
8 .
b) parallell med y axeln
c) parallell med x axeln

4. Funktionerna ln x och
x
e .
64. Förenkla
a) ln 2 ln 4 b) ln 12 ln 3
1
c) ln 9 ln ln
3
65. Förenkla
a)
2
ln e b)
1
ln e ln c)
e
e
ln e
66. Lös ekvationerna
a) ln x 3 b) ln( 2x
) 2 c) ln( x 1)
1 d) ln( x 1)
1
67. Lös ekvationerna
a)
x
e 4
9x b) e 1
3x1
c) e 2
4x
3
d) e 1
68. Lös ekvationerna
a) ln (x + 3) - ln (x + 1) = ln 2 b) 2 ln (x + 2) = ln x + 2 ln 3
69. Bestäm definitionsmängderna till uttrycken
a)
x
ln
2 x
2 b) ln( x x 2)
70. Bestäm lösningsmängden till olikheterna
a) ln( 2x
3)
ln( 5 2x)
2
b) ln( x 6)
ln x
x
y
71. Antag att e 2 och e 8 . Förenkla så långt som möjligt
a)
e
x y
b)
x
e 2
3
3
x y
c) e d) e
72. Förenkla följande uttryck (inte samma x och y som i föregående uppgift)
2x
e e
a) xy
e
y
e
b)
e
e
e
2x
y
x
2y
1
4x2 y

5. Trigonometri
73. Rita ett koordinatsystem med en enhetscirkel som har medelpunkt i origo. Markera en
godtycklig punkt ( a, b)
på enhetscirkelns rand och utnyttja denna punkts koordinater för att
definiera cosinus, sinus och tangens för ett reellt tal x . Finns det något eller några x som
respektive funktion INTE gäller för?
74. Ange ett samband mellan radianer och grader (1 varv =
75. Skriv om till radianer
a)
0
b) 30 c)
76. Skriv om till radianer
a)
120
b) 180 c)
45 d)
360
77. Skriv om till grader
a)
π
3
4π
b)
3
π
c)
12
5π
d)
4
78. Bestäm cos v , sin v och tanv om
π π π π 2π
3π
5π
v 0,
, , , , , , respektive v π .
6 4 3 2 3 4 6
360 ).
60 e)
79. Ange additions- och subtraktionsformlerna för cosinus och sinus.
80. Visa formlerna för cos 2v
90
och v 2 sin genom att använda resultatet i uppgift 79.
81. Bestäm de exakta värdena på återstående trigonometriska funktionerna då
a) cos α = 3/5 och α ligger i första kvadranten.
b) sin α = 7/25 och α ligger i andra kvadranten.
c) tan α = 3 och α ligger i tredje kvadranten.
82. Bestäm exakta värden för sin 15 , cos15 och tan 15 .
Ledning: 15 45 30
83. Förenkla följande uttryck
π π
a) sin x
sin
x
3 3
π π
b) cos x
cos
x
6 6
π π
c) cos x
sin
x
4 4
84. Bevisa följande trigonometriska formler
1
2
a) 1
tan α
2
cos α
1
2
b) 1
cot α
2
sin α
c) tan 2
2 tan α
1 tan α
α 2

85. a) α är en vinkel i andra kvadranten, sin α = 4/5. Bestäm sin 2α
och sin 2α
.
b) cos α = 1/3 . Bestäm cos 2α
om α är en vinkel i första kvadranten.
86. Bevisa följande trigonometriska formler
a)
sin 2
α 1
cosα
b)
2 2
cos 2
α 1
cosα
2 2
87. Rita, med enhetscirkeln som utgångspunkt, en relevant figur som illustrerar lösningsmängden
till ekvationen
a) sin x a
b) cos x a
c) tan x a
88. Lös ekvationen
π
a) sin x sin
5
1
b) sin x
2
c) sin x 0
d)
sin x
89. Lös ekvationen
π
a) cos x cos
20
b) cos x
3
2
c) 2cos x 1
d) cos x 0
90. Lös ekvationen
2π
a) tan x tan
7
b) tan x 3
c) 3 tan x 1
d) tan 1
2 x (Ledning: Ekvationen är ekvivalent med tan x 1)
91. Bestäm samtliga lösningar till ekvationen
1
a) sin 3x
2
π
b) cos2 x
6
1
2
c) cos 5 1
4
π
x om 0 x π .
π
π
92. Lös ekvationen genom att t.ex. utnyttja att cos v sin
v
eller sin v cos
v
.
2
2
a) cos 3x
sin 4x
x π 3
b) cos sin
x ,
2 2
,
2
π
x π
π π
c) sin
x
cos
x
4 4
93. Lös ekvationen
1
a) cos
2
2 3
x
b) sin
4
2 x
2
c) 2cos
x 3cosx
1 0 (Sätt t.ex. först cos x t )
94. Lös ekvationen genom att bl.a. utnyttja trigonometriska ettan.
2
5
a) 2cos
x sin x 1 b) sin cos
4
2
x x
95. Lös ekvationen
a) cos x sin x 0
b) sin 2x
2sin
x
2
cos 2x
cos x 3sin
x,
x 3π,
0
c)
3
d) sin 2x
2 cosx
,
0, 2
π
x
3
2

Svar
1. a) 0 b) 12
6
c)
5
d) 2
2. a) 2 2 3 b) 2 11 c) 2 2 2 2 2 d) 2 2 2 3 3
3. a) 132 b) 96
5 7 1
c)
54 72 9
4.
5
36
11
b)
270
1
c)
63
5. a) 1
1
b)
2
c) 6
9 37
6. a) b) c) 11
20
108
7. a)
21
b)
34
2
c) 27
15
7
8. a) 37 b) 5 c) d) 6 2
5
10
e)
3
f) 10
g)
9. a) x 25 b) x 27 c) x 32
5 2 162 h) 65
2
10. a)
2
b) 3 2 2 c) 3 3
6 3
d)
6
e) 5 2
5
f)
8
11. a) 32 b) 729
12. a) 243 b) 36 c) 18
1
d)
3
3 128 81
13. a) b) c) d) 7
5
9
2
14.
4
3 b)
0
3 c)
2
3 d) går inte
15. a) 9 b) 1
c) 1 d)
8
16. a)
17.
35
121
b)
9
125
35
8
18. a) 7 b)
2
1
c) d) 10000
15
4
19. a) 2
10 3
b) 2
2
c) 2 d) 2
5
20. a) a
2 3
b) a a
2 3
c) b b
1
d)
x
21. a) a
7
b x x
b) c) 2
y
4
y
d) b
4
22. a) a
0
b) a
2
c) a
16 2
d) a
9
2
23. a) a
3
b) a
4
c) a
2 2
1 x y
24. a) 2
x
3
x x 1
b) 3
x
25. a) a
10
3
b) a
2
c) a
1 3
d) a
26. a) x2 + 13x/6 + 1/3 b) -s2/8 + 11s/6 - 4
c) a3 + b3 d) a3 - b3 6
1 e)
1 3
4
2

27. a) 9/25 - 4x/5 + 4x2/9 b) 4x2/25 + 12x/25 + 9/25
c) 4y2 - 1 d) 4
e) 11 f) x2/25 - 9/25
28. a) 4x2 + 12x + 9 b) -s2 + 8s - 16
c) - 9x2/4 + 3x - 1 d) 0.01x2 - 1
29. a) a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc b) a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
c) x2 + y2/4 + z2/9 - xy + 2xz/3 - yz/3 d) 1 + 6x + 12x2 + 8x3 e) y3/27 - y2/3 + y - 1
30. a) (y + 2x)(y - 2x) b) x(x + 1) 2
c) x2(x - 1) 2 d) (x + y)(a - b)
e) (a - b)(c - 1) f) Ingen gemensam faktor finns.
31. a) 5x 1
b)
3
d)
y 2
5x
1
3
c)
x 2y
x 2
13x
17
e)
f)
2
x 5
9y
4
2
32. a)
x 2
7
b)
ab 9
x 3
c)
2
1
33. a)
2
b) 1 c) x 1
d)
34. a)
d)
3x
2y
3x
2y
e) ax 1
f) t
b
a b
b)
2
x 1
1
c)
x
x y
x y
ab
e)
b a
f)
p 3
3
g) 2x + h
x 2 x 1
35. a)
x 1
x 2 x 1
b)
x 1
c)
2
x 1 x
36. a) x 1
b) ( x 1)(
x 1)
x x x x 1
37. a) (x + 3/2) 2 - 13/4 b) (x - 9/2) 2 - 1/4 c) (x - 3/10) 2 + 1/100
d) - (x + 1/4) 2 + 1/16 e) 3(x - 1/3) 2 + 2/3 f) - 2(x - 5/4) 2 + 9/8
38. a) m = (-3/2, - 13/4), d.v.s. minsta värde = -13/4 och fås för x = -3/2.
b) m = (9/2, - 1/4) c) m = (3/10, 1/100)
d) M = (-1/4, 1/16) d.v.s. största värde = 1/16 och fås för x = -1/4.
e) m = (1/3, 2/3) f) M = (5/4, 9/8)
39. a) q(x) = x - 1, r = 2 b) q(x) = x2 c) q(x) = -x
+ 2x - 7, r = 22
2 - x - 3, r = 0
7
40. a) x 3
x 2
158
b) 17x
51
x 3
41. a) Ty f(-1) = 0 (faktorsatsen) b) Ty f(2) = 0 c) Ty f(-1) = 0
42. a) (x - 1)(x - 3)(x + 2)
c) -(x - 1)(x - 4)(x - 8)
x
b) -x(x - 1/2)(x + 1/4) = - ( 2x
1)(
4x
1)
8
43. a) x 18
30
b) x
7
20
c) x
13
44. a) x1 = 3 , x2 = 2 b) x1 = 1/2 , x2 = - 2/3
c) x1 = 0 , x2 = -1/2 d) x1 = 1 , x2 = - 1/4 , x3 = - 84

45. a) x = 3/2 ± 3 / 2 b) x1,2 = 2/3
c) x1 = 1/2, x2 = - 7/2 d) x , x 22
e) 4 x , x 1 f) x
1
2
1
1,
2
11 2
11
217
4
g) x 2
, x 3 h) 33 6 x
i) x
1
1,
2
1
2
2
65
10
1,
2
46. T.ex.
2
a) x 3x
10 0
2
b) x 30x
200 0
2
c) x 2x
1 0
2
d) x 2x
4 0
2
e) x 6x
9 0
2
f) x 2x(
1 2)
3 2 2 0
47. a) x1, 2 = ± 3 , x3, 4 = 5 b) x1, 2 = 3
c) x1 = - 1, x2 = 3 9
x 1 , 2 1
48. a) 1
x , x 2
b) x 1 , 2 x
3
49. a) (x - 1)(x - 3)(x + 2)
c) -(x - 1)(x - 4)(x - 8)
50. x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 5
x
b) -x(x - 1/2)(x + 1/4) = - ( 2x
1)(
4x
1)
8
1
51. a) x1 = 1, x 2,
3
2
5
b) x1 = 1,
1
2,
3
2
7
52. x = 4 (dubbelrot) eller x = -3
53. a) ¾
54.
b) 2/9 c) -1
55. T.ex. punkterna ( 0,
4)
, ( 1,
6)
och ( 1,
14)
56.
1
2,
3
x c) x1 = 3 ,
x
2,
3
1 13
2

57. a) y x
3
b) x 1
17
c)
4 4
x
y
d) y 200
500
e) 500x 133y
20100 0 eller y x
133
58. a) y 2x 1
b) y 4x
7
x
c) y
3
2
d) y x 14
5
3 1
59. a) ,
4 2
3 17
d)
,
28 14
3 1
b) ,
5 5
6 7
c) ,
5 5
4
60. a)
, 0
5
respektive 0 , 5
8
b) , 0
3
respektive 0, 2
2 , 0 med x-axeln, ingen skärning med y-axeln
c)
500 ,
d)
0 med y-axeln, ingen skärning med x-axeln
1
61. a)
, 4
4
b) 2, 3
c) , 13
2,
2
b) Alla punkter på den givna linjen.
62. a)
63. a) T.ex. linjen 6x 2y
16 0
20100
133
2 d) 10, 35
b) Välj a 0 , b 0 och c godtyckligt
c) Välj a 0 , b 0 och c godtyckligt
64. a) 3 ln 2
b) 2 ln 2
c) 2 ln 3
65. a) 2
1
b)
2
c) e
3
66. a) x e
2
e
b) x
3
c) x e 1
1
d) x 1
e
67. a) x ln 4
b) x 0
1 ln 2
c) x
3
d) Lösning saknas
68. a) x 1
b) x 1 eller x 4
69. a) ]0, 2[ b) ]- ∞ , -1 [ 2 ,
70. a)
5
,
2
6 , 3
71. a) 4 b) 2
c) 1/2 d) 1/2
2 b)
72. a) ex b) ex + y
73. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark
π
180
74. 1 resp. 1
180
π
75. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark
76. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark
77. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark
78. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark
79. Se lämplig lärobok, t.ex. Forsling/Neymark
80.

81. a) sin α = 4/5 , tan α = 4/3 , cot α = 3/4
b) cos α = - 24/25 , tan α = - 7/24 , cot α = - 24/7
3
1
1
c) sin α = , cos α = , cot α =
10
10 3
o
82. sin 15
6
4
2
o
, cos 15
6
4
2
o
, tan 15 2 3
83. a) sin x
84.
b) sin x
c) 0
24
7
85. sin 2α
, cos 2α
25
25
86.
87.
7
b)
9
88. a) x π 5 2nπ
eller x 4π 5 2nπ
, n Z b) π 6 2nπ
eller 5π 6 2nπ
, n Z
c) nπ, n
Z
d) π 3 2nπ
eller 4π 3 2nπ
, n Z
89. a) π 20 2nπ,
n Z b) π 6 2nπ,
n Z
c) π 3 2nπ,
n Z d) π 2 nπ,
n Z
90. a) 2 π 7 nπ,
n Z b) π 3 nπ,
n Z
c) π 6 nπ,
n Z d) π 4 nπ,
n Z
π 2π
5π 2π
91. a) n eller n , n Z
18 3 18 3
π 17π
b) nπ
eller nπ
, n Z
24
24
π 9π
17π
c) , ,
20 20 20
π 2nπ
π
92. a) eller 2nπ
, n Z
14 7 2
4
b) 0, 3
π
c) Alla reella x
π π
93. a) n , n Z
4 2
π 2π
b) nπ
eller nπ
, n Z
3
3
π
c) 2 nπ
eller 2nπ
3 , n Z
3π π
94. a) 2nπ
, 2nπ
eller π
2 6 n
5π 2 , n Z
6
π
b) 2nπ
3 , n Z
n π
95. a) , n Z
2
b) n π , n Z
π
π 3π
3π
c) 0, π, 2π,
3π
d) , , ,
2 4 4 2