Slump, Utfall, Händelse, Sannolikhet... Outline ... - Sm.luth.se

Experiment, Försök, Utfall, Händelse,
Sannolikhet
Definition: Till varje möjlig händelse A så
associerar vi ett ickenegativt värde P(A) som
kallas sannolikheten för händelsen A.
• Axiom 1:
• Axiom 2:
• Axiom 3:
P(
A)
≥ 0
P(
S)
= 1
N
n=
1
n
N
=
n=
1
( A ) if A A = ∅
P( A ) P
for all m ≠ n = 1,
2,...
N
Relativ frekvens: Sannolikheten kan definieras
som relativa frekvensen att en händelse inträffar:
( / n)
= P(
)
lim A
n →∞
n A
där n A är antalet gånger händelsen A inträffar på
n försök.
Sammansatt och Betingad Sannolikhet
Total sannolikhet: Antag att vi har N stycket
ömsesidigt uteslutande händelser (mängder) B n
vars union är hela utfallsrummet S
Bm Bn
= ∅
N
n=
1
Då gäller följande:
N
m ≠ n = 1,
2,...,
N
B
n =
S
( A)
P(
A | B ) P(
B )
P =
=
n 1
Bayes regel: P(
A B)
n
P
| =
n
n
( B | A)
P(
A)
P(
B)
m
n
Sammansatt och Betingad Sannolikhet
Sammasatt (joint) sannolikhet/händelse: Den
sammansatta händelsen till två möjliga
händelser A och B är att båda inträffar, dvs
snittet av A och B ( A B)
. Sannolikheten P( A
B)
kallas för sammansatta eller simultana
sannolikheten för händelserna A och B.
Ex: Tärningskast: A= utfallet mindre än 4,
B=udda utfall ( A B)
= { 1,
3}
Betingad sannolikhet: Givet att en händelse B
har inträffat (med sannolikhet >0) så definieras
den betingade sannolikheten för A, givet B som
P
P(
A | B)
=
( A
B)
P(
B)
Ex: Samma som ovan:
P(
A
B)
1/
3
P(
A | B)
= = = 2 / 3
P B 1/
2
( )
Oberoende händelser
Definition: Två händelser A och B är oberoende
om
P A
B = P A P B
( ) ( ) ( )
vilket också kan uttryckas som
( A | B)
P(
A)
P ( B | A)
= P(
B)
P =
För att två händelser skall kunna vara oberoende
så måste: A B ≠ ∅
Exempel: Dra ett kort ur en kortlek. Händelse A
är att man drar en ”ram”, B är att det är en klöver,
och C är att man drar en kung.
A och B är oberoende händelser, liksom B och C,
men inte A och C.