Slump, Utfall, Händelse, Sannolikhet... Outline ... - Sm.luth.se

Slump, Utfall, Händelse, Sannolikhet...
Outline: Outline
• Experiment, Försök, Utfall, Händelse,
Sannolikhet...
• Sammansatta och betingade
händelser/sannolikheter.
• Bayes regel.
• Oberoende händelser.
• Kombinerade försök/experiment.
Experiment, Försök, Utfall,
Händelse...
Exempel: Tärningskast!
• Ett försök är ett kast med tärningen.
• Utfallet är vad tärningen visar, dvs något av
talen 1 till 6.
• Utfallsmängden är: S = { 1,
2,
3,
4,
5,
6}
• En möjlig händelse är att utfallet är udda:
A = { 1,
3,
5}
• En annan händelse är att utfallet är större än 4:
A = { 5,
6}
Hur många möjliga olika händelser finns det i
tärningsfallet? Hur många olika händelser finns
det generellt för ett utfallsrum med N element?
Experiment, Försök, Utfall,
Händelse...
Vad innebär slump/sannolikhet?
Hur definierar vi sannolikhet?
Ett sätt är att utgå från ett fysiskt/praktiskt
experiment. Varje gång vi utför ett försök av
experimentet så får vi ett (av många möjliga)
utfall.
Definition: Mängden av alla möjliga utfall till
ett experiment kallas för utfallsmängden (S)
.
Definition: En händelse är en delmängd till
utfallsmängden ( A ⊆ S)
.
Experiment, Försök, Utfall,
Händelse...
Diskreta och kontinuerliga utfallsmängder
• Om utfallsmängden innehåller ändligt eller
uppräkneligt många element så kallas den för
diskret.
• Om utfallsmängden innehåller ouppräkneligt
många så är det en kontinuerlig utfallsmängd.
Exempel:
• Tärningskast = diskret (ändlig)
• Slantsingling = diskret (ändlig)
• Dra ett kort ur kortlek = diskret (ändlig)
• Årsnederbörden i Luleå = kontinuerlig
• Omsättningen på Stockholmsbörsen = diskret (oändlig?)

Experiment, Försök, Utfall, Händelse,
Sannolikhet
Definition: Till varje möjlig händelse A så
associerar vi ett ickenegativt värde P(A) som
kallas sannolikheten för händelsen A.
• Axiom 1:
• Axiom 2:
• Axiom 3:
P(
A)
≥ 0
P(
S)
= 1
N
n=
1
n
N
=
n=
1
( A ) if A A = ∅
P( A ) P
for all m ≠ n = 1,
2,...
N
Relativ frekvens: Sannolikheten kan definieras
som relativa frekvensen att en händelse inträffar:
( / n)
= P(
)
lim A
n →∞
n A
där n A är antalet gånger händelsen A inträffar på
n försök.
Sammansatt och Betingad Sannolikhet
Total sannolikhet: Antag att vi har N stycket
ömsesidigt uteslutande händelser (mängder) B n
vars union är hela utfallsrummet S
Bm Bn
= ∅
N
n=
1
Då gäller följande:
N
m ≠ n = 1,
2,...,
N
B
n =
S
( A)
P(
A | B ) P(
B )
P =
=
n 1
Bayes regel: P(
A B)
n
P
| =
n
n
( B | A)
P(
A)
P(
B)
m
n
Sammansatt och Betingad Sannolikhet
Sammasatt (joint) sannolikhet/händelse: Den
sammansatta händelsen till två möjliga
händelser A och B är att båda inträffar, dvs
snittet av A och B ( A B)
. Sannolikheten P( A
B)
kallas för sammansatta eller simultana
sannolikheten för händelserna A och B.
Ex: Tärningskast: A= utfallet mindre än 4,
B=udda utfall ( A B)
= { 1,
3}
Betingad sannolikhet: Givet att en händelse B
har inträffat (med sannolikhet >0) så definieras
den betingade sannolikheten för A, givet B som
P
P(
A | B)
=
( A
B)
P(
B)
Ex: Samma som ovan:
P(
A
B)
1/
3
P(
A | B)
= = = 2 / 3
P B 1/
2
( )
Oberoende händelser
Definition: Två händelser A och B är oberoende
om
P A
B = P A P B
( ) ( ) ( )
vilket också kan uttryckas som
( A | B)
P(
A)
P ( B | A)
= P(
B)
P =
För att två händelser skall kunna vara oberoende
så måste: A B ≠ ∅
Exempel: Dra ett kort ur en kortlek. Händelse A
är att man drar en ”ram”, B är att det är en klöver,
och C är att man drar en kung.
A och B är oberoende händelser, liksom B och C,
men inte A och C.

Kombinerade experiment
Antag att vi har två olika delexperiment med
respektive utfallsrum S 1 och S 2. Låt s 1 och s 2
vara element från S 1 respektive S 2. Vi kan då
skapa ett nytt utfallsrum, det kombinerade
utfallsrummet, S som består av alla ordnade par
(s 1,s 2 ). Om S 1 har M element och S 2 har N
element så kommer S ha MN element.
S S × =
1 2 S
Om vi begränsar oss till fall med oberoende
delexperiment så kan vi definiera sannolikheten
som
P A×
B = P A P B
( ) ( ) ( )
Lite om kombinatorik
Urval utan återläggning: Antalet möjliga
ordnade kombinationer om man väljer M stycken
av N möjliga är
N!
n =
( N − M )!
Om man inte är intresserad av ordningen av de M
valda elementen så finns det
( ) N!
N
n =
=
M!
N − M !
M
möjliga kombinationer.
Exempel: Välj 3 av kårens 67 sprit/likörsorter till
en drink/shot. Hur många drinkkombinationer får
vi om vi
1:kör dom i mixern?
2:gör en skiktad jellyshot?
Kombinerade experiment
Exempel: Om S 1 motsvarar kast med en röd
tärning, och S 2 kast med en blå tärning. Det
kombinerade experimentet har 36 möjliga utfall
S =
{ ( 1,
1)
, ( 1,
2)
,... ( 1,
6)
, ( 2,
1)
,... ( 6,
6)
}
Sannolikheten för varje utfall blir 1/36=1/6*1/6.
Exempel: Vi singlar en slant 5 gånger. Det finns
32 möjliga utfall av typen
s = H,
T,
T,
H,
T
( )
Lite om kombinatorik
Bernoulli försök: Antag att vi utför ett binärt
experiment (två utfall) N gånger. Vad är
sannolikheten att det ena utfallet uppträder exakt
k gånger? Om sannolikheten för det ena utfallet
är p så blir sannolikheten för exakt k utfall:
N k N −k
P(
k)
= ( p)
( − p)
k
1
Exempel: Vi överföring på ett digitalt
kommunikationssystem så är sannolikheten, 0.01,
för att en bit blir fel. Om vi för över 10 bitar, vad
är sannolikheten för att vi får 0 eller 1 bitfel?