numerisk analys av explosionslaster i bergtunnlar - Rosengren ...

NUMERISK ANALYS AV 

EXPLOSIONSLASTER I BERGTUNNLAR 

Lars Rosengren, Rosengren Bergkonsult 

Terje Brandshaug, GeoTech Consulting 

Rapport till Vägverket 

Falun 2001-12-19 

Postal adress Phone Telefax E-mail 

Barkarbacken 28 +46-(0)23-315 30 +46-(0)23-315 70 bergkonsult@telia.com 

SE-791 93 Falun +46-(0)70-24 315 30 (Mobile) 

Sweden

SAMMANFATTNING 

Numerisk analys av explosionslaster i bergtunnlar 

I föreliggande rapport redovisas resultatet av FoU-projektet ”Numerisk analys av 

explosionslaster i bergtunnlar” som ingår i Vägverkets forskningsområde ”Dimensionering av 

tunnlar”. 

Rapporten redovisar och diskuterar: (1) tillämpligheten i de belastningskrav som specificeras i 

Tunnel 99 med avseende på numerisk simulering, (2) hur dynamisk numerisk analys av 

explosionslaster kan utföras, samt (3) resultatet från numeriska analyser för tre olika 

belastningsfall. 

Målet med projektet är att: (1) erhålla underlag för eventuell anpassning av belastningskraven 

med hänsyn till dynamisk numerisk analys, (2) erhålla del av underlag för konsekvensanalys 

med avseende på bärförmågan och (3) rapporten skall kunna utgöra en vägledning i dynamisk 

numerisk analys av bergtunnlar. 

De numeriska modellerna representerar ett hypotetiskt problem med två parallella tunnlar på 

ett inbördes avstånd av 4 m och med 5 m bergtäckning. En bergkvalitet motsvarande Q=4-10 

har förutsatts för bergmassan. De numeriska analyserna avser de två översta lasterna i Tabell 

3.3-3 i Tunnel 99, d.v.s.: 

− jämnt fördelat tryck i trafikutrymme med ett maximalt tryck på 0,1 MPa och en total 

varaktighet på 50 millisekunder (P1) 

− lokalt tryck på en yta med storleken 4x4 m i trafikutrymme med en maximal 

tryckamplitud på 5 MPa och en total varaktighet på 2 millisekunder (P2). 

Tre olika belastningsfall har studerats: (1) lasten P1 applicerad runt den vänstra tunnelns hela 

periferi, (2) lasten P2 applicerad i den vänstra tunnelns pelarvägg över sträcka på 4 m, och (3) 

lasten P2 applicerad i den vänstra tunnelns tak över en sträcka på 4 m. 

De numeriska modellerna har utförts med två olika materialmodeller för sprutbetongen, dels 

en elastisk och dels en oelastisk materialmodell som utvecklats inom ramen för detta projekt. 

Genom s.k. frekvensanalys av de dynamiska lasterna med FFT (Fast Fourier Transform) har 

det kunnat konstateras att det inte föreligger några problem att applicera lasten P1 (0,1 MPa, 

50 ms) i varken två- eller tredimensionella numeriska modeller. För lasten P2 (5 MPa, 2 ms) 

är däremot förhållandena något annorlunda. Lasten P2 innehåller frekvenser upptill ca 2000 

Hz, vilket innebär att den numeriska modellen måste indelas i så små zoner att det i praktiken 

blir svårt att genomföra tredimensionella analyser av ingenjörsproblem med dagens kapacitet 

på datorer, p.g.a. för långa beräkningstider. För tvådimensionella analyser däremot utgör 

lasten P2 inget problem. 

i


Utförda numeriska modeller, som simulerats med det tvådimensionella finita 

differensprogrammet FLAC, indikerar att tunnlarna förblir stabila efter explosionen men att 

förstärkningen skadas i olika omfattning beroende på vilket belastningsfall som studeras. Det 

är dock viktigt att inse att analysernas begränsningar, avseende t.ex. använd materialmodell, 

analysmetod och tvådimensionella representation, kan spela en avgörande roll för de 

slutsatser som dras baserat på analysresultaten. 

ii


INNEHÅLLSFÖRTECKNING 

1 INTRODUKTION............................................................................................................ 1 

1.1 BAKGRUND ................................................................................................................. 1 

1.2 SYFTE OCH MÅL .......................................................................................................... 3 

1.3 OMFATTNING .............................................................................................................. 3 

2 FÖRUTSÄTTNINGAR ................................................................................................... 5 

2.1 VAL AV ANALYSMETOD OCH PROGRAMVARA.............................................................. 5 

2.2 PROBLEMGEOMETRI .................................................................................................... 6 

2.3 BERGMASSANS HÅLLFASTHETS- OCH DEFORMATIONSEGENSKAPER............................ 8 

2.3.1 Allmänt ............................................................................................................... 8 

2.3.2 Materialmodell................................................................................................... 9 

2.3.3 Materialparametrar ......................................................................................... 10 

2.4 DRÄNERINGSFÖRHÅLLANDEN ................................................................................... 11 

2.5 IN-SITUSPÄNNINGAR ................................................................................................. 11 

2.6 BERGFÖRSTÄRKNING ................................................................................................ 11 

2.6.1 Allmänt ............................................................................................................. 11 

2.6.2 Bergbultar ........................................................................................................ 14 

2.6.3 Sprutbetong ...................................................................................................... 20 

2.6.4 Samverkan mellan bultar och sprutbetong....................................................... 25 

2.6.5 Samverkan mellan sprutbetong och berg......................................................... 25 

2.7 DYNAMISK LAST ENLIGT TUNNEL 99......................................................................... 26 

2.8 DYNAMISKA BELASTNINGSFALL................................................................................ 28 

3 UPPRÄTTANDE AV NUMERISK MODELL ........................................................... 29 

3.1 VÅGPROPAGERING OCH FREKVENSANALYS............................................................... 29 

3.1.1 Allmänt ............................................................................................................. 29 

3.1.2 Aktuell applikation ........................................................................................... 30 

3.2 MODELLGEOMETRI.................................................................................................... 35 

3.3 RANDVILLKOR .......................................................................................................... 36 

3.3.1 Statisk analys.................................................................................................... 36 

3.3.2 Dynamisk analys .............................................................................................. 36 

3.4 APPLICERING AV DYNAMISK LAST............................................................................. 37 

3.4.1 Allmänt ............................................................................................................. 37 


3.5 MEKANISK DÄMPNING............................................................................................... 38 

3.5.1 Allmänt ............................................................................................................. 38 


3.6 MODELLERINGSSEKVENS OCH UTFÖRDA MODELLER ................................................. 40 

iii


4 RESULTAT .................................................................................................................... 42 

4.1 STATISKA ANALYSER (MODELL 0) ............................................................................ 42 

4.2 DYNAMISKA ANALYSER (MODELL I-III) ................................................................... 53 

4.2.1 Modell I ............................................................................................................ 53 

4.2.2 Modell II........................................................................................................... 58 

4.2.3 Modell III.......................................................................................................... 68 

5 DISKUSSION ................................................................................................................. 76 

5.1 DYNAMISK LAST........................................................................................................ 76 

5.2 STORSKALIG STABILITET........................................................................................... 76 

5.3 LOKAL STABILITET.................................................................................................... 77 

5.4 MODELLBEGRÄNSNINGAR......................................................................................... 78 

5.4.1 Allmänt ............................................................................................................. 78 

5.4.2 Analysmetod ..................................................................................................... 78 

5.4.3 Materialmodell................................................................................................. 79 

5.4.4 2D/3D-ekvivalens............................................................................................. 80 

6 SLUTSATSER OCH REKOMMENDATIONER ...................................................... 82 

7 REFERENSER............................................................................................................... 84 

BILAGOR 

Bilaga 1: Short description of FLAC version 4.0 

Bilaga 2: Beskrivning av oelastisk sprutbetongmodell enligt metod B 

Bilaga 3: CD innehållande ”Movies” 

iv


1 INTRODUKTION 

1.1 Bakgrund 

1(85) 

Vägverket utkom 1999 med en ny version av ”Allmän teknisk beskrivning för vägtunnlar − 

Tunnel 99”, publikation 1999:138. I föregångaren, Tunnel 95, ställdes inga krav på att tunnlar 

skulle dimensioneras för dynamiska explosionslaster utan för ett statiskt verkande inre 

övertryck som funktion av avståndet från tunnelmynningen till olycksplatsen. En av nyheterna 

i Tunnel 99, jämfört med Tunnel 95, är kraven på dimensionering med hänsyn till dynamiska 

laster med avseende på explosioner. 

Kraven på dimensionering med hänsyn till explosion är i Tunnel 99, avsnitt 3.3.4.3, 

formulerade enligt följande: 

”Avskiljande anläggningsdelar mellan trafikutrymmen eller mellan 

trafikutrymme och utrymnings-/angreppsväg skall beräknas för dynamiska 

laster enligt tabell 3.3-3. Trycktidförloppen skall förutsättas vara 

triangelformade med momentan tryckstegring till angivna värden och linjärt 

avtagande för såväl jämnt fördelat som lokalt tryck. 

En tryckstegringstid av upp till 10 % av den totala 

lastvaraktigheten får förutsättas som alternativ till momentan 

tryckstegring. 

Lokalt tryck behöver inte förutsättas samtidigt med jämnt fördelat 

tryck. 

Tabell 3.3-3 Dynamisk explosionslast 

Tryck 

(MPa) 

Jämnt fördelat tryck i 

trafikutrymme 

Lokalt tryck på en yta 

med storleken 4*4 m i 

trafikutrymme 

Jämnt fördelat tryck i 

utrymnings- och 

angreppsväg 

Varaktighet 

(ms) 

0,1 50 

5 2 

0,05 50 

Jämnt fördelat tryck skall inte förutsättas vid tunnelmynning mot det fria inom 

en längd från mynningen motsvarande radien till en kring tunnelöppningen 

omskriven cirkel.


I riskanalysen för tunneln skall i följande fall explosionsriskerna särskilt 

studeras och lastförutsättningarna eventuellt justeras: 

- om farligt gods i klasserna 1 eller 2 skall transporteras i tunneln 

- om personriskerna är speciellt stora, t ex vid tunnel som ansluter till annat 

byggnadsverk där människor stadigvarande vistas 

- om konsekvenserna av en lokal skada är speciellt stora, t ex tunnel under 

vatten eller där tunneln utgör den enda vägförbindelsen. 

2(85) 

Klassindelning enligt förordningen SFS 1982:923 om transport av 

farligt gods tillämpas.” 

Som framgår av kravtexten ovan finns det inget generellt krav att dimensionera det bärande 

huvudsystemet för explosionslast, utan kravet gäller för: ”Avskiljande anläggningsdelar 

mellan trafikutrymmen eller mellan trafikutrymme och utrymnings-/angreppsväg”. Detta 

innebär bl.a. att t.ex. en bergpelare mellan två parallella tunnelrör skall dimensioneras för 

angivna laster. Men, det torde också finnas situationer då det bärande huvudsystemet bör 

dimensioneras för explosionslaster även om det omgivande berget inte utgör ”avskiljande 

anläggningsdel” enligt ovan. Exempel på en sådan situation kan vara då en bergtunnel har 

liten bergtäckning ovanför eller vid sidan om tunneln och går genom ett område eller under en 

byggnad där människor stadigvarande vistas. 

P.g.a. att Tunnel 99 är relativt ny har tillämpningen av kraven ännu inte hunnit värderas, 

eftersom endast ett fåtal tunnlar har projekterats efter det att Tunnel 99 kom ut i november 

1999 (Götatunneln, Tunnel vid Grind och Vindötunneln). Tunnel 99 ger heller inga råd 

avseende beräkningsmetod för bergtunnlar. Detta har bl.a. lett till att det inte utvecklats någon 

dimensionerings- eller beräkningspraxis avseende explosionslaster i bergtunnlar. Inte heller 

internationellt sett har det utvecklats någon praxis eller standard avseende beräkningsmetoder, 

etc. avseende explosionslaster i bergtunnlar. 

Då det bärande huvudsystemet utgörs av betong, d.v.s. då en betongtunnel skall 

dimensioneras hänvisas projektören i Tunnel 99, avsnitt 3.5.4.5, till VST:s publikation 

”Explosionslaster vid betongtunnlar”, ANV 0187 för att få råd avseende beräkningsmetod. 

Denna anvisning bygger på en förenklad modell för beräkning av moment och deformationer 

med hjälp av energibetraktelser. 

Eftersom bergtunnlar utgör ett komplext system med avseende på geometri, 

materialegenskaper och olika förstärkningselements funktion och egenskaper, kan verifiering 

av bärförmågan i en bergtunnel med avseende på explosionslaster inte utföras med hjälp av 

förenklade analytiska modeller. Datorbaserad numerisk analys bör därför kunna utgöra ett 

attraktivt verktyg för sådana analyser eftersom hänsyn kan tas till många faktorer samtidigt, i 

en och samma beräkning.


1.2 Syfte och mål 

Föreliggande studie utgör ett FOU-projekt ingående i Vägverkets (avdelningen för Bro och 

Tunnel) verksamsamhetsplanering för år 2001, forskningsområde ”Dimensionering av 

tunnlar”. 

Projekt syftar till att: 

− undersöka tillämpligheten i angivna dynamiska belastningskrav enligt Tunnel 99 med 

avseende på dynamisk numerisk analys för bergtunnlar, d.v.s. undersöka frågan om 

angivna dynamiska laster kan appliceras i tillgängliga programvaror med hänsyn till 

vågpropagering med bibehållen beräkningsrelevans och att rimliga beräkningstider skall 

erhållas 

− demonstrera hur dynamisk numerisk analys kan utföras med avseende på dynamiska 

explosionslaster i bergtunnlar enligt Tunnel 99 

− undersöka det bärande huvudsystemets bärförmåga för tre olika belastningsfall i ”typiskt 

svenskt kristallint berg” med avseende på dynamiska explosionslaster enligt Tunnel 99. 

Målet med projektet är att: 

− erhålla underlag för eventuell anpassning av belastningskraven i Tunnel 99 med hänsyn 

till dynamisk numerisk analys för bergtunnlar 

− erhålla del av underlag för konsekvensanalys med avseende på bärförmåga i bergtunnlar, 

d.v.s. att bedöma under vilka förutsättningar som de i Tunnel 99 angivna dynamiska 

belastningarna är kritiska för bärförmågan, med avseende på geometri och bergmassans 

egenskaper 

− rapporten skall kunna utgöra en vägledning i dynamisk numerisk analys av bergtunnlar 

utsatta för explosionslaster enligt Tunnel 99. 

1.3 Omfattning 

3(85) 

Föreliggande rapport beskriver förutsättningar och viktiga frågeställningar man ställs inför vid 

utförande av dynamiska numeriska analyser, samt hur dessa kan hanteras på ett så relevant 

sätt som möjligt. Utförda numeriska analyser är hypotetiska men kan anses som allmängiltiga 

från metodiksynpunkt. Rapporten redovisar resultaten från tre olika dynamiska belastningsfall 

som vart och ett utförts med två olika antaganden med avseende på materialmodell för 

sprutbetong. Varje numerisk analys består av två efter varandra följande delanalyser: (1) 

statisk analys och (2) dynamisk analys. Resultatet av den statiska analysen utgör ”startläget” 

för den dynamiska analysen. Detta innebär att totalt åtta stycken modeller har utförts (två 

statiska och sex dynamiska).


Modellerna och resultaten från såväl de statiska som de dynamiska analyserna presenteras i 

kapitel 4 och diskuteras i kapitel 5. 

Föreliggande rapport omfattar redovisning av: 

− förutsättningar inkluderande 

⋅ val av analysmetod och programvara 

⋅ problemgeometri 

⋅ bergmassans hållfasthets- och deformationsegenskaper 

⋅ dräneringsförhållanden 

⋅ in-situspänningar 

⋅ bergförstärkning 

⋅ dynamisk last enligt Tunnel 99 

⋅ dynamiska belastningsfall 

− upprättande av numerisk modell inkluderande 

⋅ vågpropagering och frekvensanalys 

⋅ modellgeometri 

⋅ randvillkor 

⋅ applicering av dynamisk last 

⋅ mekanisk dämpning 

⋅ modelleringssekvens och utförda modeller 

− resultat inkluderande 

⋅ statiska analyser 

⋅ dynamiska analyser 

− diskussion inkluderande 

⋅ dynamisk last 

⋅ storskalig och lokal stabilitet 

⋅ modellbegränsningar 

− slutsatser och rekommendationer. 

4(85)


2 FÖRUTSÄTTNINGAR 

2.1 Val av analysmetod och programvara 

5(85) 

På marknaden existerar idag ett antal kommersiellt tillgängliga programvaror vilka kan 

erbjuda dynamisk analys av såväl två- som tredimensionella ingenjörsproblem. Ett av kraven 

på dessa programvaror är att modellen måste kunna representera en korrekt propagering av 

den dynamiska påverkan den utsätts för, samt återge den dynamiska responsen i ingående 

material och strukturelement. Programvaror för dynamisk analys baseras oftast på en 

matematisk lösningsmetodik enligt (1) finita elementmetoden (FEM) eller finita 

differensmetoden (FDM). Gemensamt för dessa är dock att det medium genom vilket den 

dynamiska påverkan (dynamiska lasten) skall propagera delas in i zoner (diskretiseras) där 

s.k. noder utgör zonernas hörnpunkter. 

För geomekaniska analyser kan finita element- och differensprogram även indelas med 

avseende på om det geologiska materialet (jord- eller bergmassan) skall representeras av ett 

kontinuum eller ett diskontinuum. Vid kontinuumanalys representeras det geologiska 

materialet av ett homogent och kontinuerligt medium, d.v.s. bergmassans intakta berg och 

ingående strukturer (sprickor, etc.) vägs samman till ”ekvivalenta” egenskaper. Vid 

diskontinuumanalyser däremot representeras intakt berg och sprickor var för sig och ges 

därför separata egenskaper. Diskontinuumanalyser ställer därför högre krav på indata än vad 

kontinuumbaserade analyser gör. 

Flera av de frågeställningar som är förknippade med dynamiska analyser är oberoende av 

vilken programvara som väljs 

Vilken typ av beräkningsprogram (2D eller 3D, kontinuum eller diskontinuum) som bör väljas 

avgörs av karaktären på det specifika problem som skall analyseras både vad gäller geometrin 

för den konstruktion som skall analyseras, de geologiska förutsättningarna samt av de aktuella 

lastförutsättningarna. Om ett finita elementprogram eller ett finita differensprogram väljs är 

dock av underordnad betydelse. I praktiken väljs ofta det program som den enskilde 

”modellören” har tillgång till och/eller är van vid. 

För de dynamiska analyser som redovisas i föreliggande rapport har det kontinuumbaserade 

tvådimensionella finita differensprogrammet FLAC, version 4.0, valts. Valet av FLAC har 

gjorts av följande orsaker: 

− relativt användarvänligt och enkelt 

− kontinuumbaserad, vilket kräver minimalt med indata 

− har ett relativt stort antal inbyggda materialmodeller att välja mellan 

− kan representera strukturelement som bultar och sprutbetong 

− är nationellt och internationellt välkänt och beprövat 

− används av de flesta företag inom den svenska konsultbranschen.


6(85) 

Valet av ett tvådimensionellt program utgör en begränsning i modellen, bl.a. avseende den 

approximation som görs med avseende på en av de laster som anges i Tunnel 99, vilken skall 

appliceras på en begränsad yta (4x4 m) i tunneln. I beräkningen kommer den ovan nämnda 

lasten att appliceras på en sträcka av 4 m längs tunnelperiferin och kommer därför, p.g.a. den 

två-dimensionella representationen att utgöra en 4 m bred linjelast i tunnelaxelns 

längdriktning. 

Valet av FLAC, som är baserad på kontinuummekanik, för att representera ”typiskt svenskt 

kristallint berg” kan även mot denna bakgrund vara tveksam om antalet sprickkgrupper är få 

(1-3 stycken), eftersom bergmassans hållfasthets- och deformationsegenskaper då kan antas 

vara riktningsberoende. Detta kan en kontinuumbaserad analys svårligen ta hänsyn till. 

Båda ovan nämnda tillkortakommanden som valet av FLAC (2D) utgör har bedömts vara 

mindre viktigt för detta projekts syften och mål. Dessutom kan de approximationer som valet 

av FLAC (2D) för med sig, i vissa avseenden, anses vara konservativa. 

I Bilaga 1 ges en kort beskrivning av FLAC inklusive den matematiska bakgrunden. I övrigt 

hänvisas till FLAC-manualerna (Itasca, 2000). 

2.2 Problemgeometri 

Studerad geometri är hypotetiskt vald för att få ut så mycket som möjligt ur en och samma 

modell utan att behöva ändra på modellgeometrin, vilket kan vara ett relativt tidsödande 

arbete. Geometrin bedöms dock vara till fyllest för uppställda syften och mål med studien (se 

avsnitt 1.2). 

Vald problemgeometri representerar ett vertikalt snitt tvärs två stycken parallella tunnlar med 

en bergtäckning på 5 m och en 4 m bred bergpelare mellan tunnlarna. Denna geometri skulle 

kunna vara aktuell vid en avfart från en huvudtunnel, på ett visst avstånd från pelarnosen, se 

schematisk planskiss i Figur 2.1. 

Huvudtunnel 

”perlarnos” 

Huvudtunnel 

Huvudtunnel 

Ramptunnel 

Figur 2.1 Schematisk planskiss med hypotetiskt tvärsnitt. 

hypotetiskt tvärsnitt


Huvudtunnelns tvärsnittsgeometri har baserats på en typsektion för en två-fältstunnel hämtad 

från förfrågningsunderlaget för Norra Länken, Entreprenad Roslagstull, Vägverket Region 

Stockholm (1996), ritning 200B1203 (se Figur 2.2). 

7(85) 

Normalt utförs ramptunnlar som en-fältiga tunnlar, men för att ”utmana” modellen har samma 

tunnelgeometri som för huvudtunneln utgjort utgångspunkten även för ramptunnelns 

tvärsnittsgeometri. 

I modellen har följande antaganden och approximationer gjorts för tunnlarnas 

tvärsnittsgeometri jämfört med den som redovisas i Figur 2.2: 

− tunnelbredd=11 m 

− vägghöjd (avstånd mellan sula och anfangsnivå) har satts till 5 respektive 6 m 

− tunnelbotten har ersatts av en rät linje. 

Figur 2.2 Typsektion för två-fältig tunnel, Vägverket Region Stockholm (1996). 

Tunnelvalvet utgörs av en liggande ellips där anfangspunkterna sammanfaller med ellipsens 

stora axel. Pilhöjden är 2,85 m. Den ena tunneln är i den numeriska modellen spegelvänd så 

att den största vägghöjden i respektive tunnel är vänd mot den mellanliggande pelaren.


I Figur 2.3 redovisas en schematisk skiss av en vertikal tvärsektion för analyserad 

problemgeometri. 

4 m 

Figur 2.3 Schematisk skiss av vertikal sektion för analyserad problemgeometri. 

2.3 Bergmassans hållfasthets- och 

deformationsegenskaper 

2.3.1 Allmänt 

Ett av syftena med denna studie är att studera det bärande huvudsystemets bärförmåga i 

”typiskt svenskt” kristallint berg med avseende på explosionslaster enligt Tunnel 99. För 

denna subjektiva beskrivning av den geologiska miljön kan det antas att bergkvaliteten, 

uttryckt som Q-index (Barton, et. al., 1974) åtminstone är större än 4 (Fair-Exceptionally 

Good). 

För de numeriska modellerna redovisade i denna rapport har det förutsatts att bergkvaliteten 

motsvarar Q=4-10 (Fair Rock). En bergmassa med denna bergkvalitet i ”typiskt svenskt” 

kristallint berg kan exemplifieras med följande kortfattade geologiska beskrivning: 

5 m 

8(85) 

”Granit, gnejsgranit eller finkornig gnejs med 3-4 sprickgrupper. Kontinuerliga 

sprickor, vanligen böljande med varierande ytråhet från taggig till mer eller 

mindre plana sprickytor. Sprickorna är normalt svagt omvandlade. 

Sprickfyllnader i form av rostfärgning samt sprickmineraler som kvarts och 

epidot kan förekomma. Relativt låg permeabilitet. Kompetent berg under 

normala bergspänningsförhållanden.” 

Följande värden på de i Q-index ingående parametrarna skulle kunna vara normala för ovan 

beskrivna bergmassa: RQD=85, Jn=12, Jr=2, Ja=2, Jw=1 och SRF=1. Detta ger ett Q-index 

på 7.08.

2.3.2 Materialmodell 


9(85) 

För samtliga numeriska analyser redovisade i denna rapport har det förutsatts att bergmassan 

uppför sig som ett elastiskt-idealplastiskt material enligt Mohr-Coulomb brottkriterium. 

Denna materialmodell är homogen och isotrop och kan med avseende på normalspänningtöjning 

respektive skjuvspänning-normalspänning schematiskt karakteriseras enligt Figur 2.4a 

och b. 

σ 

σ c 

1 

E 

a) 

ε 

Figur 2.4 Schematisk beskrivning av Mohr-Coulomb materialmodell; a) 

normalpänning, σ, som funktion av töjning, ε och b) skjuvspänning, τ, 

som funktion av normalspänning, σ. 

Beteckningarna E, σc, c, φ och σt i Figur 2.4 avser elasticitetsmodulen, enaxiella 

tryckhållfastheten, kohesionen, friktionsvinkeln samt draghållfastheten för materialet. 

Tryckhållfastheten, skjuvhållfastheten och draghållfastheten kan matematiskt beskrivas med 

hjälp av Ekvationerna 2.1-2.3. 

σ 

2 c cos φ 

= 

1− 

sin φ 

c (2.1) 

τ = c + σ tan φ 

(2.2) 

c 

σ t = 

(2.3) 

tan φ 

För fullständig matematisk beskrivning och hur materialmodellen är implementerad i FLAC 

hänvisas till användarmanualen, Itasca (2000). 

σ t 

τ 

c 

b) 

φ 

σ


2.3.3 Materialparametrar 

10(85) 

Eftersom en beräkningsmetod baserad på kontinuummekaniska principer valts måste det 

intakta berget och sprickorna vägas samman till ekvivalenta egenskaper för bergmassan som 

helhet. 

För den hypotetiska bergmassan, med Q=4-10, som beskrivs i avsnitt 2.3.1 har de 

hållfasthets- och deformationsparametrar som togs fram under projekteringen av Norra 

Länken i Stockholm förutsatts. Framtagandet av materialparametrarna baserades på en 

sammanvägning av rekommenderade värden från olika klassificeringssystem samt 

laboratorietester på bergkärnor. De slutligt valda parametrarna (designvärdena) grundade sig 

på en ingenjörsmässig bedömning (se Rosengren och Olofsson, 1997) enligt principen 

”försiktigt val”. Tabell 2.1 redovisar förutsatta materialparametrar. 

Tabell 2.1 Förutsatta materialparametrar för bergmassan 

(designvärden). 

Parameter Värde 

Densitet, ρm [kg/m 3 ] 2700 

Elasticitetsmodul, Em [GPa] 14 

Poisson´s tal, νm 

0,25 

Kohesion, cm [MPa] 1,8 

Friktionsvinkel, φm [°] 40 

Dilatationsvinkel ψm [°] 7 

Draghållfasthet, σtm [MPa] 0,26 

Tyngdaccelerationen har förutsatts vara 10 m/s 2 . 

Enligt Ekvation 2.1 innebär de i Tabell 2.1 angivna värdena för kohesionen och 

friktionsvinkeln att den enaxiella tryckhållfastheten för bergmassan är 7,7 MPa. 

Bergmassans bulkmodul, K och skjuvmodul, G, kan beräknas med hjälp av E-modulen, Em, 

och Poisson´s tal, νm, ur Ekvationerna 2.4 och 2.5. 

E m 

K = (2.4) 

3( 

1− 

2ν 

) 

m 

E m 

G = (2.5) 

2 ( 1+ 

ν ) 

m


2.4 Dräneringsförhållanden 

11(85) 

Eftersom den problemgeometri som simuleras ligger nära markytan (5 m från tunnlarnas 

hjässa) kan vattentrycket i bergmassan antas vara lågt. Vidare har det förutsatts att 

tätningskonceptet baseras på förinjektering och att eventuellt störande vatteninläckning tas om 

hand med hjälp av frostskyddade dräner. Tillsammans utgör dessa antaganden grund för att 

förutsätta att dränerade förhållanden råder såväl under byggskedet som efter det att tunneln 

tagits i drift. För den numeriska modellen har det därför förutsatts att portrycket kan sättas till 

noll, vilket innebär att de effektiva spänningarna i bergmassan är lika stora som de totala. 

2.5 In-situspänningar 

Liksom för bergmassans materialparametrar har de applicerade in-situspänningarna hämtats 

från projekteringen av Norra Länken (Rosengren och Olofsson, 1997). 

Följande in-situspänningar har applicerats i samtliga redovisade modeller: 

σH=4.5 + 0.075 z [MPa] (2.6) 

σh=3.0 + 0.0375 z [MPa] (2.7) 

σv=0.027 z [MPa] (2.8) 

där z är djupet i meter under bergytan. 

Den största horisontella huvudspänningen har förutsatts vara riktad tvärs det modellerade 

planet. 

2.6 Bergförstärkning 


Ett av syftena med föreliggande projekt är att undersöka responsen i bergmassa och 

bergförstärkning för ett hypotetiskt bergmekaniskt scenario snarare än att dimensionera 

bergförstärkningen för aktuella lastfall. Därför har typförstärkning enligt projekteringen av 

Norra Länken utgjort grunden för framtagning av den förstärkning som analyseras inom 

ramen för denna studie. Denna har sedan, med hjälp av ingenjörsmässiga bedömningar, 

modifierats med hänsyn till den aktuella förstärkningssituationen. 

Metodiken för dimensioneringen av bergförstärkningen inom Norra Länken-projektet 

baserades på en sammanvägning av resultaten från flera olika dimensioneringsmetoder 

(Rosengren och Olofsson, 1997), se Figur 2.5.


12(85) 

Rekommenderad typförstärkning för en tunnel med spännvidden 11-16 m, bergtäckningen 5- 

10 m och bergkvaliteten Q=4-10 är enligt projekteringen för Norra Länken: 4 m långa 

systematiskt installerade bergbultar på ett centrumavstånd av 2 m både i väggar och tak, samt 

40 mm fiberarmerad sprutbetong i tak och anfang. Väggarna lämnas osprutade. 

Bergförstärkningen enligt rekommendationen ovan tar dock inte hänsyn till att två parallella 

tunnlar är placerade på ett så litet avstånd som 4 m från varandra. Ej heller är förstärkningen 

dimensionerad för dynamiska explosionslaster, eftersom det vid projekteringen gällande 

regelverket, Tunnel 95, inte krävde detta. 

Q-systemet 

Numerisk modell 

förstärkt 

Bedömningskriterier 

Ingenjörsmässiga 

bedömningar 

Ja 

Empiriska 

beräkningar 

Preliminärt förstärkningsförslag 

Kritiskt 

förstärkningsfall? 

Kan förstärkningen 

godtas? 

Ja 

Förstärkningsrekommendation 

Analytiska 

beräkningar 

Nej 

Nej 

Numerisk modell 

oförstärkt 

Figur 2.5 Metodik för dimensionering av bergförstärkning inom projekt Norra 

Länken (Rosengren och Olofsson, 1997). 

För modellerna har det förutsatts att förstärkning med bergbultar och fiberarmerad 

sprutbetong enligt avsnitten 2.6.2 och 2.6.3 utgör en adekvat förstärkningsnivå för aktuell 

bergmekanisk situation.


13(85) 

Avståndet mellan tunnelfronten och den sektion i tunneln i vilken förstärkningen installeras 

påverkar storleken på uppkomna laster i förstärkningen eftersom en viss del av 

deformationerna hinner utvecklas innan förstärkningen installeras. Enligt Chang (1990), se 

Figur 2.6, har 60-80 % av de slutliga deformationerna hunnit utvecklas då tunnelfronten 

passerat en referenssektion med 1/2-1 tunnelradier. I vår applikation har det med hänsyn till 

geometrin och bergkvaliteten bedömts som rimligt att anta att förstärkningen inte installeras 

närmare tunnelfronten än ca 5-10 m (d.v.s. ca 1-2 tunnelradier). Därför har det för samtliga 

modeller förutsatts att 80 % av deformationerna har hunnit utvecklas innan förstärkningen 

installeras. 

Figur 2.6 Utveckling av deformationer som funktion av drivningsfrontens läge 

(Chang, 1990). 

För det bärande huvudsystemet har det i enlighet med Tunnel 99, avsnitt 3.2.1.1, förutsatts att 

säkerhetsklass 3 skall gälla.

2.6.2 Bergbultar 


14(85) 

Bergbultar har i den numeriska modellen förutsatts utgöras av systematiskt installerade fullt 

ingjutna bultar (K500) med diametern 25 mm, på ett inbördes avstånd av 2 m och längden 4 

m i tak och väggar och längden 3 m i pelaren. I Tabell 2.2 redovisas samtliga för 

beräkningarna förutsatta dimensioner och egenskaper avseende bergbultar och ingjutning. 

Tabell 2.2 Förutsatta dimensioner och egenskaper för bergbultar. 


Diameter, D [m] 0,025 

Tvärsnittsarea, As [m 2 ] 4,91E-4 

Densitet, ρs [kg/m 3 ] 7800 

Elasticitetsmodul, Esk [GPa] 200 

Karakteristisk flytdragspänning, fyk [MPa] 500 

Karakteristisk dragbärförmåga, Fyk [kN] 246 

Karakteristisk tryckbärförmåga, Fck [kN] 246 

Karakteristisk dragbrottöjning, εgk [%] 5 

Ingjutningens styvhet, Kbond [GN/m/m] 9,62 

Ingjutningens skjuvhållfasthet, Sbond [kN/m] 490 

Bultlängd i tak och vägg, Lt,v (ej pelare) [m] 4 

Bultlängd i pelare, Lp [m] 3 

Bultavstånd i tak, vägg och pelare, S [m] 2 

Nedan ges en översiktlig redovisning av hur bultar simuleras i FLAC och hur ingjutningens 

styvhet, Kbond och skjuvhållfasthet Sbond i Tabell 2.2 har uppskattats genom empiriska 

beräkningar. 

Den numeriska formuleringen av förstärkningselement i FLAC tar hänsyn till axiell 

belastning med möjlighet till flytning i bultmaterialet. Vidare tas även hänsyn till att glidning 

kan uppstå mellan bulten och ingjutningsmaterialet eller mellan ingjutningsmaterialet och 

berget. 

Den numeriska formuleringen i FLAC kräver att förstärkningselementen (bultarna) indelas i 

segment med korresponderande noder enligt Figur 2.7.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Förstärkningselement 

 

 

 

 

 

 

 

 

Axiell styvhet för 

förstärkningselement 

Ingjutning 

Nodpunkt 

mm mmm mmm 

Skjuvhållfasthet för ingjutningmaterialet=S bond 

Skjuvstyvhet för ingjutningen=K bond 

Figur 2.7 Schematisk representation av förstärkningselement i FLAC. 

15(85) 

Den axiella responsen i ett konventionellt förstärkningssystem kan antas helt och hållet styras 

av förstärkningselementet självt. Förstärkningselementet består av stål och kan utgöras av 

antingen en stång eller en kabel. Eftersom förstärkningselementet är slankt och därför ger ett 

litet böjmotstånd behandlas det i FLAC som en endimensionell stång/kabel utsatt för axiell 

drag- eller tryckkraft. Axiell töjning i bultmaterialet representeras av en fjäder med axiell 

styvhet, begränsad av ett plastiskt flytvillkor, se Figur 2.8. Den axiella styvheten är en 

funktion av förstärkningselementets tvärsnittsarea, As och elasticitetsmodulen Esk. Den axiella 

bärförmågan i drag respektive tryck betecknas med Fyk respektive Fck i Figur 2.8. 

(tryck) 

F yk 

Axiell kraft (drag) 

1 

F Fck ck 

E sk A s 

(tryck) 

Axiell töjning, ε (drag) 

Figur 2.8 Schematiskt samband mellan belastning och töjning i bultmaterial. 

Ingjutningsmaterialet representeras av ett fjäder-glidsystem lokaliserat till nodpunkterna, se 

Figur 2.7. Skjuvuppträdandet under den relativa förskjutningen mellan bultmaterialet och 

ingjutningsmaterialet respektive ingjutningsmaterialet och det omgivande mediet (berget) 

beskrivs numeriskt av ingjutningsmaterialets styvhet, Kbond enligt Ekvation 2.9. Se även Figur 

2.9 a.


16(85) 

Fs 

= K bond( 

u c − u m) 

(2.9) 

L 

där 

Fs = skjuvkraft som utvecklas i ingjutningsmaterialet 

L = segmentlängd 

Kbond = ingjutningens skjuvstyvhet 

uc = axiell förskjutning i förstärkningselementet 

um = axiell förskjutning i det omgivande mediet (berget). 

F max 

Fs max 

s 

L 

Kraft/Längd 

1 

F max 

Fs max 

s 

L 

K bond 

Relativ skjuvdeformation 

S bond 

F max 

Fs max 

s 

a) b) 

L 

S friction 

σ 

´ 

c ⋅ 

´ 

c ⋅ 

perimeter 

Figur 2.9 Schematisk beskrivning av materialmodell för ingjutningsmaterialet; 

a) skjuvkraft som funktion av relativ förskjutning och b) kriterium för 

skjuvhållfasthet. 

Den maximala skjuvkraft som kan utvecklas i ingjutningsmaterialet per längdenhet är en 

funktion av en kohesionskomponent, Sbond och en spänningsberoende friktionsdel, se Figur 

2.9 b. Sambandet i Ekvation 2.10 används för att bestämma den maximala skjuvkraften i 

ingjutningsmaterialet. 

F 

max 

s 

L 

där 

´ 

= S + σ ⋅ tan ( S ) ⋅perimeter 

(2.10) 

bond 

c 

friction 

Sbond = skjuvhållfastheten eller kohesionen i ingjutningsmaterialet 

σ ´ c = omgivande effektiv medelspänning vinkelrätt mot förstärkningselementet 

Sfriction = friktionsvinkeln 

perimeter = exponerad perimeter.


17(85) 

Vid simulering av bultar i FLAC kan man välja att ta hänsyn till friktionstillskottet p.g.a. den 

omgivande effektiva medelspänningen runt bulten, eller att negligera denna effekt. I brist på 

relevant indata har det förutsatts att friktionsbidraget är noll för samtliga beräkningar som 

presenteras i denna rapport. Detta utgör en konservativ förutsättning med avseende på risken 

för att bultarna skall dras ut ur berget. Däremot kan detta antagande innebära att bultarna dras 

ut istället för att bygga upp last i bultstålet, vilket i sin tur kan leda till att töjningarna i 

bultarna underskattas. 

Ingjutningens styvhet, Kbond, bestäms vanligen genom utdragsförsök i laboratorium eller i fält. 

Alternativt kan styvheten uppskattas med hjälp av följande empiriska samband (St. John och 

Van Dillen, 1983): 

K 

där 

bond 

2πG 

g 

≈ (2.11) 

10 ln( 1+ 

2t 

) 

D 

Gg = ingjutningsmaterialets skjuvmodul 

t = ingjutningsmaterialets tjocklek 

D = bultens diameter. 

För beräkning av skjuvstyvheten hos ingjutningsmaterialet har Gg=9 GPa, t=10 mm och D=25 

mm förutsatts. Detta ger vid tillämpning av Ekvation 2.11 att Kbond=9,62 GN/m/m. 

Då friktionsbidraget negligeras kan de empiriska sambanden enligt Ekvationerna 2.12 och 

2.13 utnyttjas (St. John och Van Dillen, 1983) vid uppskattning av ingjutningen 

skjuvhållfasthet, Sbond. 

S = πDQ 

τ 

(2.12) 

bond 

bond 

B 

b 

S = π( 

D + 2t) 

Q τ 

(2.13) 

B 

I 

där 

D = bultens diameter 

QB = faktor som beror på ingjutningens kvalitet (1=perfekt ingjutning) 

τb = skjuvmotstånd (1/2 av tryckhållfastheten hos ingjutningsmaterialet, σcg) 

τI = skjuvmotstånd (1/2 av den lägre tryckhållfastheten av berget, σcm, eller 

ingjutningsmaterialet, σcg). 

Ekvation 2.12 gäller då brottet sker mellan bulten och ingjutningsmaterialet och Ekvation 

2.13 gäller då brottet uppstår mellan ingjutningsmaterialet och berget.


18(85) 

Om det förutsätts att D=25 mm, QB=0,9, t=10 mm, σcm=7.7 MPa och σcg=20 MPa ger 

Ekvationerna 2.12 respektive 2.13 att Sbond blir 707 kN/m respektive 490 kN/m. Detta innebär 

att skjuvbrott mest sannolikt kommer att uppstå mellan ingjutningsmaterialet och berget 

snarare än mellan bulten och ingjutningsmaterialet, varför värdet 490 kN/m förutsatts för Sbond 

i de numeriska modellerna. 

Värdet på QB i Ekvation 2.12 och 2.13 har valts till 0,9. Detta motsvarar en kvalitet hos 

ingjutningen som i genomsnitt är ”nästan perfekt”. Ett relativt högt värde på QB kan förväntas 

med tanke på de materialkrav, utförandekrav samt krav på kontroller som finns stipulerade i 

Tunnel 99. 

Fördelningen av skjuvkrafter längs en bult är i viss mån en funktion av antalet noder bulten 

ges i modellen. Följande tumregler kan användas för att bestämma antalet nodpunkter och 

därmed antal bultsegment för varje enskild bult. 

1. Försök att tilldela bultarna två till tre segment inom den längd som krävs för att 

balansera stålets flytgräns och ingjutningens skjuvhållfasthet. Denna längd kan 

beräknas genom att dividera bultens flytgräns, Fyk, med skjuvhållfastheten, Sbond. 

Genom att följa detta råd kan utdrag av bulten simuleras i modellen om sådana 

förhållanden uppstår. Om bultsegmenten är för långa kan endast brott (flytning) i 

själva bultstålet simuleras. 

2. Försök att tilldela bultarna ca en nodpunkt per FLAC-zon. Anledningen till detta är att 

eftersom zonerna utgörs av element med konstant spänning, är det ingen vinst att ha 

fler än en bult-nod per zon. 

I vårt aktuella fall innebär tumregel nummer 1 att bultarnas segmentlängd bör vara 0,16-0,25 

m. För våra beräkningar har antalet segment per bult valts till 20 stycken. Detta innebär att 

segmentlängden är 0,15 respektive 0,2 m för bultar med 3 respektive 4 m längd. 

Det finns ytterligare ett viktigt spörsmål att ta hänsyn till vid simulering av ett 

tredimensionellt förstäkningsproblem med en tvådimensionell modell. Eftersom den 

numeriska modellen är tvådimensionell måste hänsyn tas till att avståndet mellan bultraderna 

skiljer sig från enhetsdjupet 1 m. I vårt fall är det föreslagna avståndet mellan bultraderna 2 m 

i tunnelns längdriktning. Detta innebär att bultarnas egenskaper måste skalas. Donovan, et. al. 

(1984) föreslår att linjär skalning av materialparametrar utgör ett enkelt och bekvämt sätt att 

fördela den diskreta effekten av jämnt placerade förstärkningselement över avståndet mellan 

dem. Skalfaktorn, f, kan beräknas som inversen av radavståndet, d.v.s f=1/S. I vårt fall är 

S=2,0 m, vilket innebär att följande parametrar skall multipliceras med faktorn f=0,5 då indata 

ges till den numeriska modellen: 

− elasticitetsmodulen, Esk 

− flytdragkraften, Fyk 

− flyttryckkraften, Fck 

− ingjutningens styvhet, Kbond 

− ingjutningen skjuvhållhasthet, Sbond.


Vid utvärdering av bärförmågan i bultarna föreslås att ett töjningskriterium för bultstålet 

enligt Ekvation 2.14 används. 

εaktuell≤ εgd 

där εgd är den dimensionerande brottöjningen för aktuellt gränstillstånd. 

19(85) 

Den dimensionerande brottöjningen förutsätts härvid vara en funktion av den karakteristiska 

brottöjningen, εgk och partialkoefficienterna γn, η och γm enligt Ekvation 2.15. 

n 

m 

(2.14) 

ε gk 

ε gd = 

(2.15) 

γ ηγ 

För säkerhetsklass 3 är, enligt BBK 94, avsnitt 1.1.1.4, γn=1,2 respektive 1,0 för normalt 

lastfall i brottgränstillstånd respektive vid olyckslast (t.ex. explosion). Om bultstålet betraktas 

som armering skall, enligt BBK 94, avsnitt 2.3.1, produkten η γm sättas till 1,15 vid normalt 

lastfall och till 1,0 vid olyckslast. 

Ovanstående innebär att εgd=3,62 % vid normalt lastfall i brottgränstillstånd och εgd=5 % vid 

olyckslast. 

Anledningen till att ett töjningsvillkor föreslås för utvärdering av bultars bärförmåga, i stället 

för ett flyttvillkor, är att det bärande huvudsystemet för den aktuella förstärkningssituationen 

utgörs av bergförstärkning och bergmassa i samverkan och inte av bulten ensam. I detta fall 

förutsätts det att bultarna har funktionen att hjälpa berget att bära sig självt, d.v.s. att 

bergmassan skall stå för huvuddelen av bärförmågan. Om ett flytvillkor används innebär 

detta, enligt BKR 94, att bultarna inte får uppnå den dimensionerande flytgränsen, vilket i sin 

tur medför ett dåligt utnyttjande av bultarnas töjningsförmåga och därmed en onödigt dyr 

förstärkning. Det bedöms som tveksamt att det ens är möjligt att praktiskt sett uppfylla ett 

flytvillkor, oavsett hur tätt bultarna installeras.

2.6.3 Sprutbetong 


20(85) 

För den aktuella förstärkningssituationen har det som en förutsättning för 

modellberäkningarna antagits att 100 mm fiberarmerad sprutbetong (K40) i tak, väggar och 

pelare utgör en adekvat förstärkningsnivå. Betongen har vidare förutsatts uppfylla kraven för 

tillverknings- och utförandeklass I. I Tabell 2.3 redovisas samtliga förutsatta egenskaper för 

sprutbetongen. 

Tabell 2.3 Förutsatta dimensioner och egenskaper för fiberarmerad 

sprutbetong. 


Tjocklek i tak, vägg och på pelare, tc [mm] 100 

Densitet, ρc [kg/m 3 ] 2300 

Elasticitetsmodul, Eck [GPa] 16 a) 

Poisson´s tal, νc 

0,25 

Yttröghetsmoment, I [m 4 ] 8,33E-5 

Karakteristisk böjdraghållfasthet, fflcrk [MPa] 3,9 

Karakteristisk tryckhållfasthet, fcck, [MPa] 28,5 

a) Detta värde stämmer ej med BBK 94 för K40, utan är ett erfarenhetsvärde från sprutbetongproduktion. 

Den fiberarmerade sprutbetongen har för den aktuella belastningssituationen förutsatts bli 

utsatt för såväl normal-, moment- som tvärkraftsbelastning. Därför kan det förutsättas att 

bärförmågan är relaterad till dimensionerande kantspänningar (drag och tryck) såväl som till 

dess förmåga att ta upp tvärbelastning. 

Den karakteristiska böjdraghållfastheten kan härvid antas representeras av den karakteristiska 

sprickspänningen, fflcrk, vilken för fiberarmerad sprutbetong kan beräknas ur det empiriska 

uttrycket enligt Ekvation 2.16 (efter Fredriksson och Stille, 1992). 

f 

flcrk 

där 

µ sσ 

su 

= (2.16) 

k 

µs = fiberhalt (vol-%) 

σsu = fiberns sträckgräns 

k = empirisk faktor som beskriver utnyttjandegraden av fibern.


21(85) 

I Tabell 2.4 anges värden för faktorn k för olika fiberhalter, µs. Värdena på faktorn k i Tabell 

2.4 har räknats fram baserat på resultat hämtade från Bekaerts handbok om stålfiberarmerad 

sprutbetong. 

Tabell 2.4 Utnyttjandegraden, k, för olika fiberhalter, µs 

(efter Fredriksson och Stille, 1992). 

Fiberhalt, µs [Vol-%] Utnyttjandegrad, k 

0,50 1,8 

0,75 2,2 

1,00 2,6 

1,25 2,9 

1,50 3,3 

Om man förutsätter att de stålfibrer som används i sprutbetongen utgörs av t.ex. Bekaerts 

Dramix ZP 30/.50, med en sträckgräns σsu=1250 MPa (Thorsén, 1993) och en fiberhalt på ca 

0,6 vol-% (k≈1,9) erhålls en karakteristisk sprickspänning på ca 3,9 MPa (se Tabell 2.3). Lägg 

märke till att värdet på µs i Ekvation 2.16 skall anges som ett decimaltal och inte som ett 

procenttal. 

Den dimensionerande böjdraghållfastheten beräknas enligt Ekvation 2.17. 

f 

f 

flcrk 

flcr = (2.17) 

γ nηγ 

m 

Eftersom det är fibrerna som bestämmer sprutbetongens böjdraghållfatshet används de 

partialkoefficienter som gäller för armering. Som tidigare nämnts är γn=1,2 respektive 1,0 för 

normalt lastfall i brottgränstillstånd respektive för olyckslast i säkerhetsklass 3. Produkten 

ηγm sätts enligt BBK 94, avsnitt 2.3.1 till 1,15 respektive 1,0. Detta innebär att den 

dimensionerande böjdraghållfastheten blir 2,8 MPa vid normalt lastfall i brottgränstillstånd 

och 3,9 MPa vid olyckslast. 

Dimensionerande bärförmåga vid olyckslast kan även antas beror av sprutbetongens seghet, 

d.v.s. bärförmågan vid en viss deformation. Vid olyckslast kan sprutbetongen tillåtas att 

spricka upp lokalt men skall ha en sådan seghet att den nätt och jämt förmår bära lasten vid en 

viss tvångsdeformation. Då det bärande huvudsystemet utgörs av berg och bergförstärkning i 

samverkan rekommenderar Vägverket (1994) att sprutbetongen skall klara en 

tvångsdeformation motsvarande en vinkeländring av storleken 1/125 (0,008 rad). 

Bärförmågan vid denna deformation skall lägst motsvara det dimensionerande värdet vid 

normalt lastfall, d.v.s. 2,8 MPa.


Den dimensionerande tryckhållfastheten för sprutbetongen beräknas enligt Ekvation 2.18. 

f 

f 

22(85) 

cck 

ccd = (2.18) 

γ nηγ 

m 

För säkerhetsklass 3 är, enligt BBK 94, avsnitt 1.1.1.4, γn=1,2 respektive 1,0 för normalt 

lastfall i brottgränstillstånd respektive vid olyckslast. Produkten ηγm skall enligt BBK 94, 

avsnitt 2.3.1 sättas till 1,5 respektive 1,2. Detta innebär att fccd blir 15,8 MPa för normalt 

lastfall och 23,8 MPa vid olyckslast. Vid ”utpräglad korttidslast” tillåter BBK 94 dock att det 

dimensionerande värdet vid dimensionering för olyckslast och med hänsyn till fortskridande 

ras multipliceras med 1,1. Eftersom en explosionslast kan betraktas som ”utpräglad 

korttidslast” kan det dimensionerande värdet för tryckhållfastheten justeras till 26,1 MPa. 

I FLAC simuleras vanligen sprutbetong med hjälp av s.k. balkelement som kan ta upp axiella 

krafter, tvärkrafter och moment. Liksom för bultar krävs det att balkelementen diskretiseras i 

segment med mellanliggande noder. Algoritmen för balkelement i FLAC är baserad på 

konventionella teorier för strukturelement där uppkomna snittkrafter och moment är en 

funktion av den yttre belastningen och balkelementens strukturella styvhet, vilken bestäms av 

längden, tvärsnittsarean, elasticitetsmodulen och yttröghetsmomentet. I princip kan det anses 

att ”materialmodellen” för balkelement är elastisk, men det finns möjlighet att specificera ett 

plastiskt beteende med avseende på momentbelastning genom att ange en momentkapacitet. 

Det moment som krävs för att orsaka överbelastning i sprutbetongens yta kan, då 

sprutbetongen enbart är utsatt för momentbelastning, beräknas med hjälp av Ekvation 2.19. 

2 

f fl t c 

M = (2.19) 

6 

där 

ffl = kritisk kantspänning 

tc = tjockleken. 

Om den kritiska kantspänningen sätts lika med den dimensionerande sprickspänningen enligt 

ovan erhålls att sprutbetongens momentkapacitet, Md, blir 4,67 respektive 6,50 kNm/m vid 

normalt lastfall respektive vid olyckslast. Detta gäller dock endast då sprutbetongen inte är 

normalbelastad. Om normalbelastning i form av tryckkrafter föreligger ökar den 

momentupptagande förmågan i motsvarande grad och minskar om normalbelastningen utgörs 

av en dragkraft. Eftersom momentkapaciteten måste tilldelas ett konstant värde har denna 

möjlighet inte tillvaratagits för aktuell applikation.


23(85) 

Uppkomna kantspänningar beror förutom av momentet även av belastningen i sprutbetongens 

normalriktning enligt Ekvation 2.20. Vid utvärdering av sprutbetongens bärförmåga med 

hänsyn till drag- och tryckbelastningar skall därför de i modellen aktuella kantspänningarna 

beräknade enligt Ekvation 2.20 jämföras med dimensionerande värden för sprutbetongens 

böjdraghållfasthet (sprickspänning) respektive tryckhållfasthet. 

tryck / drag N M z 

σ aktuell = ± 

(2.20) 

A I 

c 

där 

N = aktuell normalkraft 

Ac = tvärsnittsarean (= tc⋅1m) 

M = aktuellt moment 

z = avståndet från neutrala lagret till sprutbetongytan (= tc/2) 

I = yttröghetsmomentet (= tc 3 /12). 

När det gäller fiberarmerad sprutbetongs skjuvhållfasthet (förmåga att motstå 

tvärkraftsbelastning) ger BBK 94 ingen vägledning. Holmgren (1992) föreslår en 

skjuvhållfasthet, τb, på 2 MPa för sprutbetong i hållfasthetsklass K40. 

Simulering och utvärdering av sprutbetongens bärförmåga kan utföras på flera olika sätt. 

Nedan redovisas två förslag till alternativa metoder, metod A och metod B. Vid presentation 

av resultaten från utförda beräkningar redovisas modellens respons för både metod A och B se 

avsnitten 3.6 och 4. 

Metod A 

Metod A baseras på att sprutbetongens respons är helt elastisk, d.v.s. möjligheten till att 

specificera ett plastiskt moment i den numeriska modellen utnyttjas inte. 

Eftersom sprutbetongen simuleras som ett elastiskt material har sprutbetongen i modellerna en 

oändlig hållfasthet och kan därför ta upp hur stora laster som helst utan att brott uppstår. Vid 

användning av denna metod måste modellören tolka vad ett överskridande av de 

dimensionerande värdena kan få för konsekvenser och vilka åtgärder som behöver vidtas. 

Från modelleringssynpunkt innebär metod A att sprutbetongens hållfasthet överskattas 

eftersom ingen plasticering eller uppsprickning sker i modellen. Detta kan leda till att 

sprutbetongens stabiliserande effekt överskattas efter det att dess dimensionerande 

hållfasthetsvärde överskridits. Å andra sidan kan påkänningar byggas upp obehindrat, vilket 

teoretiskt sett kan resultera i en överskattning av omfattningen på inducerade skador eftersom 

laster utan hinder kan överföras till närliggande segment. 

Elastiskt beteende enligt ovan kan simuleras med den standardmodell för balkelement som är 

inkluderad i FLAC.


24(85) 

Kriterier för utvärdering av bärförmåga med hänsyn till tryck- drag- och tvärkraftsbelastning 

anges för det normala lastfallet i Ekvationerna 2.21-2.23. 

tryck 

σaktuell ≤ fccd (15,8 MPa) (2.21) 

drag 

σaktuell ≤fflcr (2,8 MPa) (2.22) 

τaktuell ≤ τd (2 MPa) (2.23) 

För olyckslastfallet gäller analogt Ekvationerna 2.24-2.26. 

tryck 

σaktuell ≤fccd (26,1 MPa) (2.24) 

drag 

σaktuell ≤fflcr (3,9 MPa) (2.25) 

τaktuell ≤ τd (2 MPa) (2.26) 

Metod B 

Metod B baseras på antagandet att det utvecklas en spricka i sprutbetongen om de 

dimensionerande värdena för drag- tryck- eller skjuvhållfasthetens överskrids. Om något av 

dessa brottillstånd inträffar mister det aktuella balksegmentet sin momentupptagande förmåga 

och sin draghållfasthet permanent, men kan fortfarande ta upp tryckbelastningar upp till sitt 

dimensionerande värde. Då ett balksegment utvecklar dragbrott sätts den axiella dragkraften 

och skjuvkraften till noll. Skjuvlasten i en spricka begränsas till det minsta av Faxiell ⋅ tan φc 

och den dimensionerande skjuvhållfastheten, där Faxiell är den aktuella axiella tryckkraften och 

φc är friktionsvinkeln i sprickan. I denna studie har φc förutsatts vara 40° för samtliga 

modeller som utförts med metod B. I Bilaga 2 beskrivs den för metod B använda 

sprutbetongmodellen mera i detalj. 

Detta sätt att representera sprutbetongen utgör en underskattning av dess draghållfasthet efter 

det att kantspänningen överskridit dimensioneringsvärdena, d.v.s. sprutbetongen har antagits 

sakna seghet med avseende på böjdragbelastning i efterbrottstadiet. Metod B kan därför, 

jämfört med metod A, betraktas som en motsatt ytterlighet med avseende på dess hållfasthet 

efter det att de dimensionerande värdena uppnåtts. 

Det beteende hos sprutbetongen som beskrivs ovan kan inte simuleras med den 

standardmodell som är inkluderad i FLAC. Därför har en speciell s.k. FISH-rutin (se Bilaga 1) 

tagits fram och implementerats i beräkningarna. I denna har sprutbetongen föreskrivits 

dimensionerande värden för det normala lastfallet respektive olyckslastfallet i enlighet med 

Ekvationerna 2.21-2.26 ovan. Detta innebär att modellen automatiskt förhindrar att större 

värden än de föreskrivna kan uppkomma i sprutbetongen.


25(85) 

Ett överskridande av de dimensionerande drag- och tryck- eller skjuvhållfastheten ger sig 

direkt tillkänna i modellen genom att sprutbetongen spricker upp och tappar sin 

momentupptagande förmåga och sin dragbärförmåga i aktuella balksegment. En av fördelarna 

med metod B är att den möjliggör implicit simulering av olika mekanismer som är 

förknippade med olika brottyper i sprutbetongen. En begränsning med metoden är dock att 

sprutbetongen i modellen saknar seghet med avseende på böjdragbelastning. Detta kan 

medföra att dess stabiliserande effekt, efter det att dess dimensionerande hållfasthet 

överskridits, underskattas och att även skadornas omfattning underskattas eftersom last inte 

kan överföras till närliggande segment efter brott. 

2.6.4 Samverkan mellan bultar och sprutbetong 

Den fiberarmerade sprutbetongen har förutsatts vara förankrad i bultarna genom att brickor 

med diametern ca 200 mm installeras utanpå sprutbetongskiktet. Denna samverkan mellan 

bultar och sprutbetong har simulerats genom att koppla bultarnas yttersta noder till noderna 

för sprutbetongen. Detta tillvägagångssätt att representera samverkan mellan bultar och 

sprutbetong i modellen innebär självklart en approximation, eftersom hänsyn inte tas till 

bultbrickans diameter. Kopplingen mellan bultarna och sprutbetongen i modellen är av typen 

”rigid”, vilket bl.a. innebär att genomstansning av bultbrickan inte simuleras. 

Genomstansning måste därför kontrolleras separat, t.ex. enligt Holmgren (1992). 

2.6.5 Samverkan mellan sprutbetong och berg 

Då sprutbetong appliceras på kristallina bergytor kan det ofta förväntas att sprutbetongen 

samverkar med berget även genom en icke obetydande vidhäftning. I utförda simuleringar har 

kontaktytan mellan bergmassan och sprutbetongen simulerats genom att introducera ett s.k. 

”interface”. I Figur 2.10 visas en konceptuell modell för denna kontaktyta, där den mekaniska 

responsen karakteriseras av elastisk normal- och skjuvstyvhet samt Coulomb brottvillkor med 

en begränsad draghållfasthet (vidhäftningshållfasthet). Om kontakten utsätts för 

överbelastning kan sprutbetongen glida eller släppa från berget. Detta möjliggör bl.a. 

simulering av vidhäftningsbrott. 

Bergbult 

Sprutbetong 

Kohesion 

Vidhäftnings- 

hållfasthet 

Skjuvspänning 

Friktionsvinkel 

Normalspänning 

Figur 2.10 Konceptuell modell för kontakten mellan bergmassa och sprutbetong.


I Tabell 2.5 redovisas förutsatta egenskaper för kontakten mellan bergmassan och 

sprutbetongen. 

Tabell 2.5 Förutsatta egenskaper för kontakten mellan 

bergmassa och sprutbetong. 


Normalstyvhet, Kn [GPa/m] 40 

Skjuvstyvhet, Ks [GPa/m] 40 

Kohesion, C [MPa] 1,8 

Friktionsvinkel, ϕ [°] 40 

Vidhäftningshållfasthet, σt [MPa] 0,5 

Eventuellt täckskikt av oarmerad sprutbetong utanpå den fiberarmerade sprutbetongen 

tillgodoräknas inte. 

För en fullständig beskrivning av den numeriska formuleringen av balkelement och s.k. 

”interface” i FLAC hänvisas till manualerna (Itasca, 2000). 

2.7 Dynamisk last enligt Tunnel 99 

26(85) 

Vid dimensionering av konstruktioner av material med kända materialegenskaper (t.ex. stål 

och betong i broar och byggnader) med hänsyn till dynamiska laster används ofta analytiska 

eller numeriska metoder där den dynamiska lasten ersätts med en s.k. ”ekvivalent” statisk last. 

Denna är ofta baserad på enkla tumregler och uttrycks vanligen som ett ”dynamiskt tillskott”. 

För sprickiga bergmassor ger en statisk analys en dålig representation av de verkliga 

mekanismerna (se t.ex. Rosengren, 1993.), eftersom den inte tar hänsyn till de dynamiska 

effekterna. I en dynamisk analys däremot finns det en direkt koppling mellan spänning, 

deformation och tid vilket möjliggör en mer fysikaliskt korrekt återgivning av den verkliga 

responsen. 

I Tabell 3.3-3 i Tunnel 99 anges krav på de dynamiska laster som skall appliceras. I detta 

projekt analyseras effekterna av de två översta lasterna i ovan nämnda tabell, d.v.s.: 

− ett jämnt fördelat tryck i trafikutrymme med ett maximalt tryck på 0,1 MPa och en total 

varaktighet på 50 millisekunder (fortsättningsvis benämnd ”P1”) 

− ett lokalt tryck på en yta med storleken 4x4 m i trafikutrymme med ett maximalt tryck på 

5 MPa och total varaktighet på 2 millisekunder (fortsättningsvis benämnd ”P2”). 

Tunnel 99 tillåter att upp till 10 % av den totala varaktigheten hos föreskrivna dynamiska 

laster får förutsättas som tryckstegringstid. Detta innebär att 5 respektive 0,2 ms kan utnyttjas 

som tid för tryckstegring upp till maximal trycknivå. Denna möjlighet har utnyttjats vid 

definition av de laster som appliceras i de numeriska analyserna. Detta är viktigt eftersom


frekvensinnehållet i den applicerade pulsen påverkas av den dynamiska lastens tryck-tidfunktion 

och därmed inverkar på modellens erforderliga diskretiseringsgrad (zonstorlek). 

Diskretiseringsgraden påverkar i sin tur erforderlig beräkningstid och därigenom även 

möjligheten att i praktiken kunna utföra dynamisk numerisk analys av föreskrivna 

explosionslaster med dagens datorkapacitet. Detta diskuteras vidare i avsnitt 3.1. 

27(85) 

I Figur 2.11 a och b åskådliggörs trycket som funktion av tiden för de dynamiska 

explosionslasterna P1 respektive P2 under tillvaratagande av möjligheten att utnyttja tillåten 

tid för tryckstegring. (Lägg märke till att skalorna är olika i de båda figurerna.) 

Tryck [MPa] 

0.10 

0.08 

0.06 

0.04 

0.02 

0.00 

5 

P(t)=P1 P(t)=P2 

4 

0 10 20 30 40 50 

Tid [ms] 

a) b) 

Tryck [MPa] 

3 

2 

1 

0 

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 

Tid [ms] 

Figur 2.11 Tryck som funktion av tiden för; a) dynamisk last P1 och b) dynamisk 

last P2. 

Den dynamiska lasten P1 kan uttryckas matematiskt med hjälp av Ekvationerna 2.32 och 

2.33. 

P 1 = 20t 

[MPa] då 0 ≤ t ≤ 0,005 [s] (2.32) 

0, 

1 0, 

005 

P 1 = − t + [MPa] då 0,005 ≤ t ≤ 0,05 [s] (2.33) 

0, 

045 0, 

045 

Analogt kan P2 utryckas med Ekvationerna 2.34 och 2.35. 

P 2 = 25000 t [MPa] då 0 ≤ t ≤ 0,0002 [s] (2.34) 

5 0, 

01 

P 2 = − t + [MPa] då 0,0002 ≤ t ≤ 0,002 [s] (2.35) 

0, 

0018 0, 

0018 

Dessa ekvationer utnyttjas till att dels beräkna indata till frekvensanalysen enligt avsnitt 3.1, 

dels till att definiera indata till den numeriska modellen enligt avsnitt 3.4.


2.8 Dynamiska belastningsfall 

28(85) 

Den dynamiska lasten utgörs av ett tryck som funktion av tiden (se avsnitt 2.7). I föreliggande 

studie, för en och samma geometri, kvalitet på bergmassan och förstärkningsinsats, analyseras 

tre olika dynamiska belastningsfall. Dessa är (se även Figur 2.12): 

Belastningsfall 1: Jämnt utbredd last runt hela tunnelperiferin med P max = 0.1 MPa och med 

en total varaktighet på 50 ms appliceras i ett av tunnelrören (stigtid=5 ms). 

Belastningsfall 2: Linjelast med P max = 5 MPa och med en total varaktighet på 2 ms 

appliceras horisontellt mitt på pelaren i ett av tunnelrören över en sträcka 

motsvarande 4 m (stigtid=0.2 ms). 

Belastningsfall 3: Linjelast med P max = 5 MPa och med en total varaktighet på 2 ms 

appliceras vertikalt mitt i taket i ett av tunnelrören över en sträcka 

motsvarande 4 m (stigtid=0.2 ms). 

Belastningsfall 1 

P(t)=P1 


P(t)=P2 


4 m 

P(t)=P2 

Figur 2.12 Simulerade dynamiska belastningsfall (schematisk skiss). 

4 m 

I belastningsfall 1 appliceras alltså lasten P1 medan lasten P2 appliceras i belastningsfallen 2 

och 3.


3 UPPRÄTTANDE AV NUMERISK MODELL 

3.1 Vågpropagering och frekvensanalys 


29(85) 

Vid dynamisk analys av diskretiserade medium kan numerisk distorsion uppstå p.g.a. 

modelleringsförhållandena. Både frekvensinnehållet hos den inkommande vågen och 

våghastigheten genom det modellerade systemet påverkar den numeriska noggrannheten av 

vågtransmissionen. Kuhlemeyer och Lysmer (1973) visar att elementstorleken, ∆l, måste vara 

mindre än 1/8-1/10 av våglängden associerad med den högsta frekvensen i den inkommande 

vågen, för att erhålla en riktig representation av vågtransmissionen genom en modell − d.v.s.: 

λ 

∆ l ≤ 

(3.1) 

10 

där λ är våglängden associerad med den högsta frekvenskomponenten, f max som innehåller 

märkbar energi. Våglängden kan i detta fall uttryckas som: 

λ= C 

f max 

där C är utbredningshastigheten associerad med tillståndet för oscillationen, d.v.s Pvågshastigheten, 

Cp, eller S-vågshastigheten, Cs. Utbredningshastigheterna för P- respektive 

S-vågen är relaterad till mediets bulkmodul, K, respektive skjuvmodul, G, enligt: 

(3.2) 

K + 4G 

/ 3 

Cp = 

(3.3) 

ρ 

respektive 

= 

ρ 

G 

Cs (3.4) 

Kombineras Ekvationerna 3.1 och 3.2 erhålls: 

C 

∆ l ≤ 

(3.5) 

max 

10f


30(85) 

För dynamisk indata med hög maxhastighet och korta stigtider innebär Kuhlemeyer och 

Lysmer’s krav att modellnätet måste diskretiseras så att mycket små element och därmed ett 

mycket litet tidssteg erhålls, vilket i sin tur leder till att analyserna tar lång tid att utföra och 

upptar mycket minne. I sådana fall kan det vara möjligt att justera indata genom att inse att 

den mesta energin hos den inkommande vågen är relaterad till de låga frekvenserna. Genom 

att filtrera indata och ta bort de höga frekvenserna kan ett grövre modellnät användas utan att 

resultaten signifikant påverkas. För detta projekt har det förutsatts att energibortfallet p.g.a. 

filtreringen inte får vara större än 10 %. Frekvensanalys kan t.ex. utföras med s.k. FFT-analys 

(Fast Fourier Transform), se avsnitt 3.1.2. 

Om en numerisk analys utförs med indata som inte uppfyller villkoret i Ekvation 3.5, kommer 

resultatet att innehålla falsk s.k. ”ringning”, vilket är ett uttryck för superponerade 

svängningar. Denna begränsning gäller för alla numeriska modeller av ett diskretiserat 

medium och är därför inte en egenskap som bara FLAC har. Alla diskretiserade medium har 

alltså en övre gräns för vilken högsta frekvens som det kan transmittera utan besvärande 

numerisk distorsion. 

3.1.2 Aktuell applikation 

Som nämnts i ovanstående avsnitt kan s.k. FFT-analys utföras för att utröna 

frekvensinnehållet i den puls som skall appliceras. I Figur 3.1 och 3.2 redovisas Fourieramplituden 

som funktion av frekvensen för de ofiltrerade dynamiska lasterna P1 och P2. 

Fourier-Amplitud (x103 Fourier-Amplitud (x10 ) 3 ) 

Frekvens (x101 Frekvens (x10 ) [Hz] 1 ) [Hz] 

Figur 3.1 Fourier-Amplitud som funktion av frekvensen för den dynamiska 

lasten P1.


Fourier-Amplitud (x105 Fourier-Amplitud (x10 ) 5 Fourier-Amplitud (x10 ) 5 ) 

Frekvens (x102 Frekvens (x10 ) [Hz] 2 Frekvens (x10 ) [Hz] 2 ) [Hz] 

Figur 3.2 Fourier-Amplitud som funktion av frekvensen för den dynamiska 

lasten P2. 

31(85) 

Av Figurerna 3.1 och 3.2 framgår det att nästan all energi är förknippad med en frekvens upp 

till 80 respektive 2000 Hz för P1 respektive P2. P-vågshastigheten, Cp, blir för bergmassan 

som skall simuleras 2494 m/s vid tillämpning av Ekvation 3.3 med en bulk- respektive 

skjuvmodul på 9,33 respektive 5,60 GPa och densiteten 2700 kg/m 3 (se avsnitt 2.3.3). 

Ekvation 3.5 ger då att största zonstorleken bör vara 3.12 respektive 0.125 m för P1 

respektive P2 om man skall erhålla en korrekt vågtransmission för P-vågen. 

För P1 utgör ovanstående krav inga problem, varken för en två- eller tredimensionell 

numerisk modell med dagens kapacitet på datorer. 

Om vi antar att en och samma zonstorlek, ∆l=0,125 m, används i hela modellen krävs ca 

256000 zoner för lasten P2 i en tvådimensionell modell och vid en modellstorlek (bredd x 

höjd) på 100 x 40 m (se avsnitt 3.2). Detta medför ingen oöverstiglig beräkningstid för en 

tvådimensionell analys, men skulle helt utesluta en tredimensionell beräkning.


32(85) 

Om vi studerar frekvensspektrumet för lasten P2 i Figur 3.2 lite noggrannare kan vi se att den 

mesta energin är förknippad med frekvenser lägre än 750 Hz. Om vi använder 1/8 istället för 

1/10 i Ekvation 3.5, enligt Kuhlemeyer och Lysmer’s rekommendation, och filtererar pulsen 

vid 750 Hz erhålles en största zonstorlek av ca 0,4 m istället. Detta gör att antalet zoner 

minskar till ca 25000, vilket minskar beräkningstiden väsentligt för en tvådimensionell 

modell. 

För en tredimensionell modell ger en zonstorlek på 0,4 m sannolikt fortfarande för många 

zoner. Om vi tänker oss att vi utnyttjar symmetrin längs tunnelaxeln med avseende på 

belastningsytan för lasten P2 (d.v.s. den dynamiska lasten appliceras endast på halva ytan) 

och låter modellen ha en total utsträckning av 10 m längs tunneln skulle modellen innehålla ca 

625000 zoner. Detta kan betraktas som allt för många zoner för att ge rimliga beräkningstider 

samtidigt som en otillräcklig modell skulle erhållas med avseende på rändernas inverkan på 

beräkningsresultatet. 

Figur 3.3 redovisar en jämförelse mellan Fourier-amplituderna för lasten P2 som funktion av 

frekvensen för ofiltrerad och filtrerad puls. 

4.5E+05 

4.0E+05 

3.5E+05 

3.0E+05 

2.5E+05 

2.0E+05 

1.5E+05 

1.0E+05 

5.0E+04 

Fourier-Amplitud 

P2 Ofiltrerad 

P2 Filtrerad vid 750 Hz 

0.0E+00 

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 

Figur 3.3 

Frekvens (Hz) 

Jämförelse av Fourier-Amplituder för lasten P2 som funktion av 

frekvensen för ofiltrerad och filtrerad puls. 

Det bör noteras att den filtrerade pulsen innehåller 93 % av den integrerade ofiltrerade 

”kraften” (”power”) mellan 0 och 3500 Hz, vilket innebär att endast en liten del av energin 

gått förlorad genom att filtrera bort energi associerad med frekvenser större än 750 Hz.


Figur 3.4 visar en jämförelse av tryck som funktion av tiden för lasten P2 vid ofiltrerad och 

filtrerad puls. De höga frekvenserna som finns under den ursprungliga (ofiltrerade) pulsens 

stigtid har tagits bort genom filtreringen, vilket resulterat i en puls med längre stigtid och 

mjukare övergång till avtagande tryck. 

Tryck [MPa] 

Ofiltrerad puls 

Filtrerad puls 

Tid (x10-4 Tid (x10 ) [s] -4 Tid (x10 ) [s] -4 ) [s] 

Figur 3.4 Jämförelse av tryck som funktion av tiden för ofiltrerad och filtrerad 

last (P2). 

33(85) 

I de dynamiska modellerna för lasten P2, d.v.s. belastningsfallen 2 och 3 enligt avsnitt 2.8, har 

ett tryck-tid samband exakt motsvarande den filterarde pulsen i Figur 3.4 applicerats. 

Lasten P1 kan appliceras i modellen utan filtrering eftersom den högsta frekvens (ca 120 Hz) 

som P1 innehåller i ofiltrerad form är mycket lägre än 750 Hz. Därför har P1 applicerats i 

enlighet med Tunnel 99, utan modifiering. 

För att verifiera en korrekt vågtransmission för vald zonstorlek kan endimensionella 

numeriska experiment utföras. Sådana experiment utformas lämpligen genom att generera en 

kolumn med finita differenzoner som sedan utsätts för en plan puls i den ena änden av 

modellen. Om modellen körs utan dämpning och med elastisk materialmodell skall vågen 

propagera genom modellen utan störningar eller förluster, d.v.s. den puls som appliceras i 

änden av modellen skall kunna återfinnas i en godtycklig punkt längs modellen med en 

tidsförskjutning som motsvarar den sträcka som vågen tillryggalagt delat med Pvågshastigheten 

för materialet.


34(85) 

Den konceptuella modellen för ovan beskrivna analys redovisas i Figur 3.5. Den filtrerade 

pulsen för lasten P2 appliceras i änden ”A” av modellen och tillåts sedan propagera till ände 

”C”. Under det att tryckvågen propagerar ”mäts” den horisontella spänningen som funktion av 

tiden i punkterna A, B och C med hjälp av s.k. ”histories”. Dessa ”histories” visas i Figur 3.6. 

Tryck 

Tid 

0.40 m 

P2 A B C 

40 m 

Figur 3.5 Konceptuell modell för endimensionell analys av plan våg. 

Horisontell spänning [MPa] 

A B C 

Tid (x10-3 Tid (x10 ) [s] -3 ) [s] 

Figur 3.6 Horisontell spänning som funktion av tiden i punkterna A, B och C. 

Som framgår av Figur 3.6 tar det ca 8 ms för vågen att propagera från punkt A till punkt B 

och från punkt B till punkt C. Detta stämmer väl med teorin vid en P-vågshastighet på 2494 

m/s och avståndet 20 m. I Figur 3.6 är det också viktigt att notera att formen och amplituden 

hos den propagerande vågen är bibehållen genom hela modellen. Därmed kan man med stöd 

av detta test dra slutsatsen att en zonstorlek på 0,4 m har kapaciteten att propagera den 

filtrerade pulsen för lasten P2 på ett korrekt sätt.


35(85) 

Ovanstående diskussion avseende bestämning av största zonstorlek baseras på antagandet att 

effekten från tryckpulserna P1 och P2 huvudsakligen överförs som tryckvågor i bergmassan 

såväl lokalt runt tunnlarna som genom resten av modellen. Detta är ett rimligt antagande, 

speciellt för P1 som appliceras som en jämnt utbredd last runt hela tunnelperiferin. Lasten P2 

däremot, kan p.g.a. att denna appliceras som en jämnt utbredd last över en begränsad area på 

tunnelperiferin, utöver tryckvågor även inducera skjuvvågor från kanterna på den belastade 

ytan. En lokal explosionslast som P2 kan dock i verkligheten förväntas avta i tryckamplitud ut 

mot dess kanter och därmed generera mindre skjuvvågseffekter. 

Om vi även skulle ta hänsyn till en korrekt propagering av skjuvvågen skulle den största 

zonstorleken i våra modeller behöva baseras på Ekvationerna 3.4 och 3.5. Vid en högsta 

frekvens på 750 Hz ger användningen av dessa ekvationer en största zonstorlek på ca 0,25 m. 

I föreliggande studie har därför även modeller med en zonstorlek på 0,25 m undersökts för 

belastningsfallen 2 och 3 enligt avsnitt 2.8. Dessa modeller har funnits ge liknande resultat 

som modellerna med en största zonstorlek på 0,4 m. Notera att figurer, resultat och 

diskussioner av resultat i följande avsnitt är baserade på zonstorleken 0,4 m. 

3.2 Modellgeometri 

Modellgeometrin som visas i Figur 3.7 sammanfaller med den geometriska beskrivningen av 

de två parallella tunnlarna enligt avsnitt 2.2. Vid bestämning av modellens dimensioner (BxH) 

har hänsyn tagits till effekterna av rändernas närhet på förväntade statiska och dynamiska 

resultat, såväl som till att modellen skall vara effektiv med hänsyn till erforderlig 

beräkningstid. Det senare påverkas av det antal zoner som modellen innehåller, vilket för 

dynamiska analyser beror av den karakteristiska impedansen hos materialet genom vilket 

vågen skall propagera och frekvensinnehållet i den propagerande vågen. Som nämnts i avsnitt 

3.1.2 har en zonstorlek på 0,4 m identifierats vara tillräckligt liten för att försäkra en korrekt 

vågpropagering genom hela modellen. Detta innebär att modellen innehåller totalt 25000 

finita differenszoner. 

Y 

100 m 

Figur 3.7 Modellgeometri för analyserade modeller. 

X 

40 m


36(85) 

Figur 3.8 visar en ”närbild” av tunnlarnas närområde, inkluderande modellnätet, bergbultarnas 

placering och sprutbetongen. 

Fiberarmerad 

sprutbetong 

Bergyta 

Bergbult, L=4 m Bergbult, L=4 m 

Bergbult, L=3 m 

Figur 3.8 Modelldetalj i tunnlarnas närområde. 

3.3 Randvillkor 

3.3.1 Statisk analys 

För de statiska analyserna har s.k. ”rullränder” använts för de ränder som inte utgörs av 

bergytan. Detta innebär att de båda vertikala ränderna samt den undre randen är förhindrade 

att röra sig i en riktning vinkelrät mot respektive rand. Parallellt med respektive rand är 

modellen fri att röra sig. 

3.3.2 Dynamisk analys 

För de dynamiska analyserna har de statiska randvillkoren, enligt avsnitt 3.3.1, för de 

vertikala ränderna och den undre randen bytts ut mot s.k. viskösa ränder, se Figur 3.9. 

Figur 3.9 Randvillkor för dynamiska analyser.


37(85) 

De viskösa ränderna i FLAC utgörs i princip av viskösa dämpare som skall minimera 

vågreflexioner genom absorbtion av den kinetiska energin. Formuleringen som används i 

FLAC utvecklades av Lysmer och Kuhlemeyer (1969). Denna baseras på att de viskösa 

dämparna appliceras oberoende av varandra i normal- och skjuvriktningen till varje nodpunkt 

på randen. Denna metod fungerar nästan till 100 % för vågor som närmar sig randen i en 

vinkel som är större än 30°. För mindre vinklar absorberar fortfarande ränderna energi, men 

inte i lika hög grad. Notera dock att detta inte har någon signifikant inverkan på viktiga 

resultat i våra modeller. 

3.4 Applicering av dynamisk last 


Vid dynamisk simulering med FLAC appliceras den dynamiska lasten som ett randvillkor på 

en yttre eller inre rand i modellen. Den dynamiska lasten kan appliceras som en tidsfunktion 

av storheterna: 

− acceleration 

− hastighet 

− spänning (eller tryck) 

− kraft. 

Tidsfunktionen för lasten utgör en multiplikator för den storhet som specificerats och kan 

appliceras antingen i x- och y-riktningarna, vilka motsvarar modellens x- och y-axlar, eller i 

normal- och skjuvriktningarna relativt den modellrand över vilken lasten specificeras. 

Multiplikatorn kan anges på ett av tre sätt: 

− I form av en tabell av datapar, där det första värdet representerar den dynamiska tiden och 

det andra värdet anger multiplikatorvärdet för lasten. Tidsintervallet mellan de olika 

dataparen behöver inte vara konstant. 

− I form av en s.k. ”history” i vilken lastens multiplikatorvärde anges med ett konstant 

tidsintervall. I datafilen för ”historyn” anges det aktuella tidsintervallet. 

− I form av en s.k. FISH-funktion i vilken dynamisk tid måste vara en variabel. FISHfunktionen 

skall beräkna det för en viss tid korresponderande multiplikatorvärdet. 


I föreliggande studie har den dynamiska lasten applicerats som ett i tiden varierande tryck i 

form av en tabell för P1 och en s.k. ”history” för P2. Som tidsfunktion för respektive last har 

en multiplikator i enlighet med avsnitt 3.1.2 använts, d.v.s. för P1 har den ofiltrerade lasten 

applicerats medan en vid 750 Hz filtrerad last har applicerats för P2.


3.5 Mekanisk dämpning 


För statiska analyser beräknar FLAC automatiskt vilken dämpning som skall appliceras för 

det simulerade systemet så att jämvikt uppnås så fort som möjligt. Detta kallas för ”kritisk 

dämpning”. 

38(85) 

För dynamiska analyser däremot bör den mekaniska dämpningen i modellen försöka 

reproducera det naturliga systemets eneregiförluster när det utsätts för en dynamisk last. I jord 

och berg är naturlig dämpning huvudsakligen hysteresisk, d.v.s. oberoende av frekvensen. 

Denna typ av dämpning är dock svår att reproducera numeriskt. För det första dämpar många 

enkla hysteresiska funktioner inte alla komponenter lika när olika vågformer superponeras, 

och för det andra så leder hysteresiska funktioner till spänningsvägsberoende, vilket gör 

resultaten svåra att tolka. Om konstitutiva villkor (materialmodeller) kan formuleras så att de 

innehåller en adekvat representation av det hysteresiska beteendet i det reella materialet så 

behövs ingen tillkommande dämpning. FLAC har två huvudtyper av dämpning, nämligen 

Rayleigh-dämpning och s.k. ”local damping”. 

Rayleigh-dämpning innehåller två viskösa element i vilka den absorberade energin är 

frekvensberoende, men har den egenskapen att frekvensoberoende kan uppnås över ett 

begränsat intervall av frekvenser. För Rayleigh dämpning kan dämningsmatrisen formuleras 

som summan av komponenter proportionella mot mass- och styvhetsmatriserna enligt 

Ekvation 3.6. 

C= αM+ βK 

där 

α = mass-proportionell dämpningskonstant 

β = styvhets-proportionell dämpningskonstant. 

För ett system med många frihetsgrader kan den kritiska dämpningsnivån, ξi, vid vilken 

vinkelfrekvens som helst hos systemet, ωi, formuleras som (Bathe och Wilson, 1976): 

i i 

(3.6) 

2 

α+ βω = 2 ω ξ 

(3.7) 

eller 

ξ 

i 

i 

α 

ω βω 

1 

= ( + i ) (3.8) 

2 

i 

Den kritiska dämpningsnivån, ξi, är också känd som fraktionen av den kritiska dämpningen 

för tillståndet ”i” med vinkelfrekvensen ωi.


I Figur 3.10 visas variationen av den normaliserade kritiska dämpningen som funktion av 

vinkelfrekvensen. Tre kurvor visas, nämligen masskomponenten enbart (d.v.s. då β=0), 

styvhetskomponenten enbart (d.v.s. då α=0), samt summan av båda två. 

Figur 3.10 Variation av normaliserad kritisk dämpning som funktion av 

vinkelfrekvensen (Itasca, 2000). 

Av diagrammet framgår att mass-proportionell dämpning dominerar för låga frekvenser 

medan styvhets-proportionell dämpning dominerar vid högre frekvenser. Kurvan som 

representerar summan av båda komponenterna når ett minimum vid: 

ξmin = ( αβ) 

och 

ω α 

min = ( 

β 

) 

39(85) 

1 

2 (3.9) 

1 

2 (3.10) 

Mittenfrekvensen definieras som: 

fmin =ωmin / 2 π 

(3.11) 

I FLAC specificeras Rayleigh-dämpning med hjälp av parametrarna fmin i Hertz 

(svängningar/sekund) och ξmin. Idén är alltså att justera fmin så att Rayleigh-dämpningens 

konstanta frekvensintervall, d.v.s. 5


40(85) 

”Local damping” i FLAC utvecklades från början för att kritiskt dämpa statiska system. Men 

denna typ av dämpning har vissa karaktäristika som gör den attraktiv för dynamiska 

simuleringar. ”Local damping” verkar genom att den adderar och subtraherar massa från en 

nod i modellnätet vid särskilda tidpunkter under en svängningscykel. Massa adderas när 

hastigheten byter tecken och subtraheras när ett maximum eller minimum passeras. Härav 

följer att kinetisk energi tas bort två gånger per cykel. Mängden energi som tas bort, ∆W, är 

proportionell mot den maximala transienta töjningsenergin, W, och förhållandet ∆W/W är 

oberoende av storlek och frekvens. Eftersom ∆W/W kan relateras till fraktionen av kritisk 

dämpning, D (Kolsky, 1963), erhåller vi uttrycket: 

αL= πD 

(3.12) 

där 

αL = lokal dämpningskonstant 

Således är användningen av ”Local damping” enklare än Rayleigh dämpning eftersom 

frekvensen inte behöver specificeras. 


I vår applikation plasticerar materialet (bergmassan), vilket innebär att det modellerade 

systemet åstadkommer energiförluster i en sådan omfattning att tillkommande dämpning inte 

behövs. Den kinetiska energi som inte går förlorad genom plasticering i tunnlarnas närområde 

propagerar ut mot modellens ränder och absorberas av de viskösa dämparna (se avsnitt 3.3.2). 

3.6 Modelleringssekvens och utförda modeller 

I föreliggande studie utförs en statisk analys samt en dynamisk analys för varje belastningsfall 

enligt följande modelleringssekvens: 

1 Modellen konsolideras för in-situspänningstillståndet enligt avsnitt 2.5. 

2 Båda tunnlarna bryts ut samtidigt. Ingen förstärkning installeras. Modellen beräknas till 

jämvikt för att bestämma antalet beräkningscykler fram till dess att 80 % av de totala 

deformationerna har utvecklats. 

3 Båda tunnlarna bryts ut samtidigt och körs det antal cykler som krävs för att uppnå 80 % 

av de totala deformationerna enligt punkt 2 ovan. Förstärkningen (bultar och 

sprutbetong enligt avsnitten 2.6.2 och 2.6.3) installeras samtidigt i båda tunnlarna. 

Beräkning av jämviktstillstånd. 

4 Uppkomna deformationer från föregående beräkningssteg sätts till noll. Statiska 

randvillkor ändras till dynamiska randvillkor enligt avsnitt 3.3.2. Dynamisk last 

appliceras enligt avsnitten 2.8 och 3.4. Modellen beräknas till jämvikt eller till dess de 

dynamiska effekterna har klingat ut.


41(85) 

Stegen 1-3 avser den statiska delen av analysen, d.v.s. modellens respons före det att den 

dynamiska lasten appliceras. Resultatet från steg 3 utgör startläget för de dynamiska 

belastningsfallen. Steg 2 utförs endast i syfte att bestämma det antal beräkningscykler som 

erfordras för att 80 % av de totala deformationerna skall utvecklas. Steg 4 utförs för 

respektive dynamiskt belastningsfall och avser bergmassans och förstärkningens respons på 

den dynamiska belastningen. 

I Tabell 3.1 förtecknas utförda modeller. För samtliga modeller angivna i Tabell 3.1 har 

analyserna utförts enligt både metod A och B (elastisk respektive oelastisk materialmodell för 

sprutbetongen), vilket innebär att totalt 8 stycken modeller har analyserats. För att skilja 

mellan modeller som utförts med metod A respektive metod B har modellbenämningen enligt 

Tabell 3.1 kompletterats med ett ”A” respektive ett ”B” i kommande avsnitt. 

Tabell 3.1 Utförda modeller. 

Modellbenämning Beskrivning Anmärkning 

Modell 0 Statisk beräkning Utgör startläge för Modellerna 

Modell I Dynamisk beräkning för 

belastningsfall 1 

Modell II Dynamisk beräkning för 


Modell III Dynamisk beräkning för 


1-3. 

Lasten P1 appliceras runt hela 

tunnelperiferin i den vänstra 

tunneln. 

Lasten P2 appliceras mitt på 

pelaren över en sträcka av 4 m 

i den vänstra tunneln. 

Lasten P2 appliceras mitt i 

taket över en sträcka av 4 m i 

den vänstra tunneln.

4 RESULTAT 


4.1 Statiska analyser (Modell 0) 

42(85) 

Den statiska delen av analyserna avser bergmassans och förstärkningssystemets respons på insituspänningarna 

med avseende på berguttaget vid utsprängningen av tunnlarna. 

Först görs en jämviktsberäkning för angivna randvillkor och in-situspänningar med hjälp av 

ett tillräckligt antal beräkningscykler. I vårt fall har 2000 beräkningscykler använts för detta 

modelleringssteg. 

I det andra modelleringssteget bryts de båda tunnlarna ut samtidigt och beräknas till jämvikt. 

Under jämviktsberäkningen uppstår deformationer i bergmassan. Den kontinuerliga 

utvecklingen av dessa deformationer registreras med hjälp av s.k. förskjutningshistorier på 

tunnlarnas väggar, tak och golv. P.g.a. de relativt höga horisontella in-situspänningarna i det 

aktuella problemet uppstår de största deformationerna i tunnlarnas ”ytterväggar” (d.v.s. inte i 

pelarväggarna). Observera att syftet med det andra modelleringssteget är att bestämma det 

antal beräkningscykler som krävs för att uppnå 80 % av de totala deformationerna i 

ytterväggarna. Detta erhålls från ovan nämnda deformationshistorier i ytterväggarna. 

I det tredje och sista modelleringssteget för den statiska analyssekvensen bryts de båda 

tunnlarna ut samtidigt, varefter modellen sedan körs erforderligt antal beräkningscykler för att 

simulera att 80 % av deformationerna i ytterväggarna utvecklas. Vid denna punkt i 

beräkningen installeras förstärkningen (d.v.s. bultar och sprutbetong). Därefter beräknas 

modellen för ett erforderligt antal tillkommande beräkningscykler så att kraftjämvikt uppnås. 

Två separata statiska analyser har utförts med avseende på sättet att simulera sprutbetongen, 

nämligen (1) responsen i sprutbetongen antas vara linjär-elastisk och (2) oelastisk enligt 

beskrivningen i avsnitt 2.6.3. I följande text refererar ”Modell 0A” till resultat avseende den 

elastiska responsen, medan ”Modell 0B” refererar till resultat för den oelastiska. 

Figur 4.1 utgör ett resultat av modelleringssteg 2. Figuren visar hur den horisontella 

deformationen mitt på den vänstra tunnelns yttervägg utvecklas som funktion av antalet 

beräkningscykler. Av figuren framgår att 80 % av den totala deformationen uppstår efter 1460 

beräkningscykler.


80% 

1460 Cycles 

Figur 4.1 Horisontell deformationshistoria för bestämning av antal 

beräkningscykler vid 80 % deformation. (Notera att antalet 

beräkningssteg börjar på 2000, d.v.s. efter det att modellen 

konsoliderats för in-situspänningarna.) 

• 

43(85) 

Till följd av att tunnlarna bryts ut uppstår deformationer i bergmassan. I Figur 4.2 redovisas 

konturer för de horisontella deformationerna vid jämvikt för Modell 0B. Av figuren framgår 

att de största horisontella deformationerna uppstår i tunnlarnas ytterväggar. Konturer för de 

vertikala deformationerna för samma modell redovisas i Figur 4.3. De vertikala 

deformationerna är små och riktade uppåt till följd av tunnlarnas ytnära placering och de 

relativt höga horisontella in-situspänningarna. Av de båda figurerna som nämns ovan framgår 

även att modellens respons är symetrisk längs en vertikal linje mitt i modellen. Tyvärr kan 

denna symmetri inte utnyttjas vid upprättandet av modellen eftersom belastningen från 

efterkommande dynamiska anlyssteg inte är symmetrisk.


Figur 4.2 Konturer (isolinjer) för horisontella deformationer (m) i ett område i 

tunnlarnas närhet (Modell 0B). 

Figur 4.3 Konturer (isolinjer) för vertikala deformationer (m) i ett område i 

tunnlarna närhet (Modell 0B). 

44(85)


45(85) 

De färgade symbolerna i Figur 4.4 illustrerar utbredningen av den plastiska responsen i 

bergmassan, d.v.s. de indikerar de zoner i vilka det inducerade spänningstillståndet har 

överskridit Mohr-Coulombs brottvillkor för förutsatta materialparametrar. Den primära 

plastiska responsen är relaterad till dragbrott i bergmassan. Det bör härvid nämnas att en zon 

som plasticerar genom dragbrott förlorar sin draghållfasthet permanent. 

Figur 4.4 Indikatorer för plastisk respons i bergmassan (Modell 0B). 

Installerat förstärkningssystem responderar på den deformerande bergmassan genom att bära 

en del av dess last. I Figur 4.5 redovisas beräknade axiella krafter längs installerade bultar för 

Modell 0B. För två av modellens tjugotvå bultar uppnås bultmaterialets flytkraft på 246 kN 

(d.v.s. 123 kN x 2 m bultavstånd) på en kort sträcka längs bultarna. Det bör dock noteras att 

den inducerade maximala dragtöjningen i dessa bultar endast uppgår till ca 0,36 %, vilket 

skall jämföras med en dimensionerande dragtöjning på 3,62 % för normalt lastfall (se avsnitt 

2.6.2). Därmed återstår en stor del av tillgänglig töjningskapacitet. Axiella krafter och 

töjningar i resten av bultarna är betydligt lägre än i de två bultar som nämnts ovan.


Flytning i bultar ; Maximal töjning≈0,36 % 

Figur 4.5 Fördelning av axiella krafter (N) längs bultar (Modell 0B). 

46(85) 

Eftersom resultaten i stort sett är symmetriska redovisas resultaten fortsättningsvis endast för 

den vänstra tunneln. 

Beräknade axiella krafter i sprutbetongen för Modell 0B redovisas i Figur 4.6. En yta 

motsvarande drygt halva takytan är utsatt för tryckkrafter med ett maximum på ca 6 MPa. 

Resterande yta utsätts för dragkrafter som uppnår ett max-värde på ca 2 MPa. Detta axiella 

spänningstillstånd är konsistent med deformationsfältet för sprutbetongen som redovisas i 

Figur 4.7. Momentfördelningen i sprutbetongen för samma modell redovisas i Figur 4.8.


Drag Drag 

Tryck Tryck 

Figur 4.6 Fördelning av axiella krafter (N) i sprutbetongen (Modell 0B). 

Figur 4.7 Förskjutningsvektorer (m) för sprutbetongen (Modell 0B). 

Drag 

47(85)


Figur 4.8 Momentfördelning (Nm/m) i sprutbetongen (Modell 0B). 

48(85) 

Potentiella brott i sprutbetongen för Modell 0B är associerade med överbelastning med 

avseende på kantspänningar eller skjuvspänningar (tvärkraft). För bestämning av 

kantspänningen måste den axiella lasten kombineras med lasten orsakad av moment enligt 

Ekvation 2.20. Brott i sprutbetongen med avseende på överskridande av dimensionerande 

kantspänningar utvärderas både med hänsyn tryck- och dragbrott. Skjuvbrott utvärderas 

baserat på den aktuella skjuvspänningen som jämförs med dimensionerande skjuvspänning. 

Figur 4.9 visar fördelningen av maximala kantdragspänningar som uppstår i sprutbetongen 

från det att den installeras till dess statisk jämvikt erhållits för bergmassan och 

förstärkningssystemet. Notera att den största inducerade kantdragspänningen är begränsad till 

2,8 MPa, vilket utgör det dimensionerande värdet i Modell 0B för normalt lastfall 

(brottgränstillstånd för statiska förhållanden). Fördelning av maximala kanttryckspänningar 

redovisas i Figur 4.10. Som framgår av denna figur är den största kanttryckspänningen ca 6,5 

MPa, vilket är signifikant lägre än den dimensionerande tryckhållfastheten på 15,8 MPa för 

normalt lastfall.


Figur 4.9 Fördelning av maximala kantdragspänningar (Pa) i sprutbetongen 

(Modell 0B). 

Figur 4.10 Fördelning av maximala kanttryckpänningar (Pa) i sprutbetongen 

(Modell 0B). 

49(85)


50(85) 

En beräknad största kantdragspänning på 2,8 MPa indikerar att dragbrott uppstått någon gång 

under beräkningen från det att sprutbetongen installerats till dess statisk jämvikt erhållits i det 

analyserade systemet. I Figur 4.11 identifieras de sprutbetongsegment i Modell 0B för vilka 

den inducerade kantspänningen överskridit den dimensionerande böjdragållfastheten. Som 

resultat av detta hållfasthetsöverskridande har dessa sprutbetongsegment mist sin 

draghållfasthet och därmed även sin momentupptagande förmåga. De kan däremot fortfarande 

överföra tryckbelastningar upp till sin dimensionerande tryckhållfasthet på 15,8 MPa. Dessa 

segments kapacitet att ta upp skjuvbelastning (tvärkraft) har också påverkats av uppkomna 

böjdragbrott. Skjuvkraftskapaciteten begränsas till det minsta värdet av (a) 200 kN 

(dimensionerande skjuvkraftskapacitet enligt avsnitt 2.6.3) och (b) Faxiell ⋅ tan φc, där Faxiell är 

den aktuella axiella tryckkraften och φc är friktionsvinkeln för sprickan i sprutbetongen. Figur 

4.12 redovisar skjuvkraftsfördelningen i sprutbetongen för Modell 0B. Av figuren kan utläsas 

att maximal skjuvkraft är ca 13 kN, vilket är avsett mindre än den dimensionerande 

skjuvhållfastheten på 200 kN. 

Figur 4.11 Identifikation av sprutbetongsegment för vilka dimensionerande 

hållfasthet överskridits (Modell 0B).


51(85) 

Figur 4.12 Fördelning av skjuvkraft (tvärkraft) i sprutbetongen (N) (Modell 0B). 

Notera att Figurerna 4.9-4.11 inte är standardfigurer från FLAC, utan är skapade med hjälp av 

macro-spåket FISH som är inkluderat i FLAC. 

Fastän Modell 0B förutspår att några sprutbetongsegment överskrider dimensionerande 

draghållfasthet är kontakten mellan sprutbetongen och berget intakt, d.v.s. vidhäftningsbrott 

har ej uppstått i modellen. Därmed kan det förväntas att sprutbetongen sitter kvar på berget, 

men med nedsatt strukturell kapacitet på vissa ställen. 

Ett annat perspektiv på sprutbetongens respons erhålls från Modell 0A i vilken sprutbetongen 

antagits uppföra sig linjärelastiskt. Figur 4.13 visar fördelningen av kantdragspänningar i 

sprutbetongen för detta fall. Denna figur kan jämföras med Figur 4.9 (Modell 0B). När 

sprutbetongen uppför sig linjärelastiskt erhålls en kantdragspänning på ca 4,8 MPa, vilket 

överskrider den dimensionerande böjdraghållfastheten med en faktor av 1,7. Vid plottning av 

de sprutbetongsegment för vilka aktuella påkänningar överskrider de dimensionerande 

värdena kan segment som potentiellt kommer att gå i brott identifieras. Dessa segment visas i 

Figur 4.14. Om vi jämför Figur 4.14 med Figur 4.11 (Modell 0B) kan vi se att den elastiska 

responsen ger liknande resultat som den oelastiska, trots att brott identifieras i några fler 

segment för Modell 0A. Följaktligen verkar en linjärelastisk hantering av 

sprutbetongmaterialet ge en rimlig uppskattning av responsen i sprutbetongen vid 

brottgränsberäkning för statiska förhållanden.



(Modell 0A). 


hållfasthet överskridits (Modell 0A). 

52(85)


4.2 Dynamiska analyser (Modell I-III) 

De dynamiska analyserna som redovisas i detta avsnitt startar från det statiska 

jämviktstillståndet i Modell 0 som redovisats i avsnitt 4.1. Applicerade dynamiska laster 

respektive belastningsfall har diskuterats i avsnitten 2.7 och 2.8 respektive 3.1.2. 

53(85) 

För att utföra dynamiska analyser med FLAC, i vårt fall, krävs endast att randvillkoren ändras 

i enlighet med avsnitt 3.3.2 och att den för varje belastningsfall angivna tryck-tid funktionen 

för den dynamiska lasten appliceras över den specificerade ytan i tunneln. Dynamiska 

analyser med FLAC utförs i den s.k. ”tidsdomänen”, vilket innebär att det tidssteg som är 

associerat med varje beräkningscykel representerar verklig tid i sekunder. Varaktigheten för 

den dynamiska lasten P1 är 50 millisekunder och 2 millisekunder för P2. Erforderlig 

varaktighet för analyserna beror av det specifika belastningsfallet och det analyserade 

systemets (bergmassan och förstärkningssystemet) respons på applicerad dynamisk last, och 

måste därför bestämmas under beräkningens gång. För de specifika förhållandena i våra 

modeller har responsen analyserats under 100 millisekunder för lasten P1 och under 70 

millisekunder för lasten P2. 

Nedanstående avsnitt redovisar resultaten från de tre olika dynamiska belastningsfallen 

redovisade i avsnitt 2.8. Resultaten fokuserar på de potentiella skador som applicerade 

dynamiska laster orsakar i bergmassan och förstärkningssystemet. För att ge ett bredare 

perspektiv har, som tidigare nämnts, analyserna utförts med två olika metoder med avseende 

på sprutbetongens materialrespons. Resultat för vilka metod A enligt avsnitt 2.6.3 använts 

(linjärelastisk materialmodell för sprutbetongen) refererar till modellerna IA, IIA och IIIA, 

medan resultat från metod B (oelastisk materialmodell för sprutbetongen) refererar till 

modellerna IB, IIB och IIIB. 

4.2.1 Modell I 

Figur 4.15 redovisar appliceringen av den dynamiska lasten P1 runt hela vänstra tunnelns 

periferi vid tidpunkten för maximalt tryck. Figuren visar de av programmet (FLAC) 

konverterade kraftvektorerna som appliceras i nodpunkterna. Observera att längden på 

vektorerna varierar, vilket beror på att den längd på tunnelranden som är associerad med varje 

nodpunkt inte är konstant. Den resulterande horisontella spänningen från lasten P1 som 

funktion av tiden i en punkt nära pelarens yta, på halva pelarhöjden, redovisas i Figur 4.16. 

Denna spänningshistoria konfirmerar riktigheten i den applicerade lasten P1.


54(85) 

Figur 4.15 Applicering av den dynamiska lasten P1 runt vänstra tunnelns periferi 

vid tidpunkten för maximalt tryck. 

Figur 4.16 Horisontell spänning (Pa) i bergmassan som funktion av tiden (s) i en 

zon nära pelarens yta (Modell IB).


55(85) 

Trots att tryckpulsen från P1 tillför en transient last på det simulerade systemet visar 

resultaten från Modell IB att tillkommande konsekvenser med avseende på tunnlarnas 

stabilitet inte är signifikant jämfört med de som orsakas av den statiska belastningen (se 

Modell 0, avsnitt 4.1). Exempelvis kan nämnas att utbredningen av det område i bergmassan 

som plasticerar inte ökar jämfört med vad som redovisas i Figur 4.4. Vidare visar Figur 4.17 

att den dynamiska lasten endast ger en mycket liten ökning av töjningen i den mest belastade 

bulten i respektive tunnel (se Figur 4.5), från ca 0,36 till 0,45 % (notera att töjningarna i Figur 

4.17 måste multipliceras med 100 för att erhålla töjningen i procent). På liknande sätt visar 

Figur 4.18 att det maximala moment som uppstår var som helst i installerad sprutbetong ökar 

från ca 3,9 kNm/m till ca 4,3 kNm/m i den vänstra tunneln och från ca 3,8 kNm/m till ca 4,6 

kNm/m i den högra tunneln, medan sprutbetongens dimensionerande momentkapacitet vid 

enbart momentbelastning är 6,5 kNm/m. I detta sammanhang bör det dock nämnas noteras att 

ett antal sprutbetongsegmet redan har mist sin momentupptagande förmåga som resultat av 

den statiska belastningen (Se Modell 0, avsnitt 4.1). 

Höger tunnel 

50 ms 

Vänster tunnel 

Figur 4.17 Maximal axiell töjning i bultar som funktion av tiden (s) i vänster 

respektive höger tunnel (Modell IB).


Höger tunnel 


Figur 4.18 Maximalt moment (Nm/m) i godtyckligt sprutbetongsegment som 

funktion av tiden (s) för vänster respektive höger tunnel (Modell IB). 

56(85) 

Figur 4.19 visar en stadig ökning av maximal rotation (vinkeländring) i sprutbetongen under 

tiden för dynamisk belastning (d.v.s. under de första 50 millisekunderna) till ca 0,85⋅10 -3 

respektive 0,65⋅10 -3 radianer för vänster respektive höger tunnel. Dessa värden ligger dock 

betydligt under den vinkeländringsgräns på 8⋅10 -3 radianer (d.v.s. en vinkeländring 

motsvarande 1/125) som Vägverket (1994) föreslagit att sprutbetongen skall klara av vid 

enbart böjbelastning. Det skall i detta sammanhang noteras att vinkeländring fortfarande kan 

ske i de sprutbetongsegment som gick till brott under den statiska beräkningen. Sådana 

rotationer i modellens sprutbetongsegment är dock inte förknippade med någon ökning av 

momenten. Fördelningen av vinkeländringarna i samtliga sprutbetongsegment redovisas i 

Figur 4.20.



Höger tunnel 

57(85) 

Figur 4.19 Maximal vinkeländring (rad) för godtyckligt sprutbetongsegment som 

funktion av tiden (s) i vänster respektive höger tunnel (Modell IB). 

Figur 4.20 Fördelning av maximal vinkeländring (rad) i samtliga 

sprutbetongsegment (Modell IB).


58(85) 

Baserat på utförda simuleringar kan, för Modell I, avslutningsvis sägas att skadorna i 

bergmassan och i förstärkningssystemet inte ökar p.g.a. den dynamiska lasten P1, d.v.s. 

existerande skador är orsakade av den statiska belastningen i samband med att tunnlarna bröts 

ut. 

4.2.2 Modell II 

Figur 4.21 redovisar appliceringen av den dynamiska lasten P2 på vänstra tunnelns pelarvägg, 

över en sträcka av 4 m, vid tidpunkten för maximalt tryck. Under appliceringen av 

tryckpulsen har den horisontella spänningen i en zon närmast pelarväggen registrerats som 

funktion av tiden och redovisas i Figur 4.22 tillsammans med den aktuella lasten. Av figuren 

framgår att spänningen och tryckpulsen i stort sett är identiska frånsett att kurvorna är 

parallellförskjutna ca 0,1 millisekunder i förhållande till varandra. Denna tidsförskjutning 

motsvarar den tid det tar för tryckpulsen att transportera sig till zonens mittpunkt (d.v.s. 

∆t=∆l/2Cp). Observera att om inget annat anges avser nedanstående resultat Modell IIB, i 

vilken sprutbetongen modellerats som ett oelastiskt material. 

Figur 4.21 Applicering av den dynamiska lasten P2 på vänstra tunnelns pelarvägg 

vid tidpunkten för maximalt tryck.


Horisontell spänning i pelarvägg 

Applicerad last P2 

(filtrerad vid 750 Hz) 

59(85) 

Figur 4.22 Horisontell spänning (Pa) i bergmassan som funktion av tiden (s) för en 

zon nära pelarens yta (Modell IIB). 

Fastän den dynamiska lasten P2 har mycket kortare varaktighet än P1, är dess amplitud 

avsevärt högre och av betydligt större betydelse för tunnelsystemets stabilitet. Modell II 

kördes under en period av totalt 70 millisekunder. Vid slutet av denna period klingar 

effekterna av tryckpulsen ut. I Figur 4.23 redovisas de områden i modellen för vilka 

bergmassans hållfasthet har överskridits för den statiska och den dynamiska beräkningen 

tillsammans. Den tillkommande skada som genereras i bergmassan när den dynamiska lasten 

appliceras på pelaren blir tydlig om man jämför Figur 4.23 med Figur 4.4 som redovisar 

motsvarande resultat för den statiska beräkningen.


Figur 4.23 Indikatorer för plastisk respons i bergmassan (Modell IIB). 

60(85) 

Konturer för de horisontella deformationerna i tunnlarnas närhet illustreras i Figur 4.24. 

Figuren visar att koncentration av horisontella deformationer uppstår i den högra tunnelns 

pelarvägg. Horisontell partikelhastighet i en punkt mitt på den högra tunnelns pelarvägg visas 

som funktion av tiden i Figur 4.25. Som framgår av figuren uppnås en maximal 

partikelhastighet på ca 1 m/s efter ca 6 millisekunder och kommer sedan till vila efter 15-20 

millisekunder.


Koncentration av 

horisontella deformationer 

Figur 4.24 Konturer (isolinjer) för horisontella deformationer (m) i ett område i 

tunnlarnas närhet (Modell IIB). 

61(85) 

Figur 4.25 Horisontell partikelhastighet (m/s) som funktion av tiden (s) i en punkt 

mitt på pelaren i den högra tunneln (Modell IIB).


62(85) 

Effekten av tryckpulsens propagering genom pelaren avspeglas tydligt i ökningen av de 

axiella krafterna i de bultar som installerats från den högra tunneln i pelarväggen. Figur 4.26 

visar att dessa bultar har uppnått flytgränsen för bultstålet över ca 50 % av sin längd. Det skall 

dock noteras att den maximala töjningen i samma bultar endast uppgår till ca 0,5 %, vilket 

endast är 1/10 av den tillåtna töjningen (5 % för olyckslastfallet). Med undantag för 

pelarbultarna sker ingen signifikant påverkan av laster eller töjningar i bultar från den 

dynamiska lasten. 

Flytning i bultar 

Töjning≈0,5 % 

Figur 4.26 Fördelning av axiella krafter (N) längs bultar (Modell IIB). 

Responsen i sprutbetongen illustreras i Figur 4.27 genom indikering av de 

sprutbetongsegment för vilka den dimensionerande hållfastheten har överskridits. Den enda 

existerande brottypen för sprutbetongen utgörs av överskridande av den dimensionerande 

draghållfastheten. Som framgår vid jämförelse mellan Figur 4.27 och Figur 4.11 (statisk 

beräkning) sker tillkommande överbelastning främst i de delar av sprutbetongen som täcker 

pelaren. Omfattningen på de beräknade skadorna är ungefär lika stora i båda tunnlarna.



hållfasthet överskridits (Modell IIB). 

63(85) 

Fördelningen av den maximala vinkeländringen i sprutbetongen redovisas i Figur 4.28. I 

Figur 4.29 identifieras de sprutbetongsegment som överskridit en vinkeländring av 1/125 

(0,008 radianer). Det skall dock noteras att när ett sprutbetongsegment går till brott i modellen 

så tappar det sin momentupptagande förmåga, vilket innebär att fortsatt vinkeländring sker 

under det att momentet är noll.


Figur 4.28 Fördelning av maximal vinkeländring (rad) i samtliga 

sprutbetongsegment (Modell IIB). 

Figur 4.29 Identifikation av sprutbetongsegment för vilka vinkeländringen 

överskridit 0,008 radianer (Modell IIB). 

64(85)


65(85) 

Figur 4.30 redovisar en detalj av pelare, sprutbetong och bultar. För att bättre illustrera 

responsen har deformationerna i figuren förstorats 75 gånger. Vi kan se att bultarna ger stöd åt 

pelaren och att sprutbetongen sitter kvar på bergytan, förutom ett segment i den nedre delen 

av den vänstra tunnelns pelarvägg som släppt från bergytan eftersom det saknar strukturellt 

stöd från närliggande sprutbetongsegment (d.v.s. utgör en fri ände). Detta indikerar att en 

vidhäftningshållfasthet på 0,5 MPa i detta fall är tillräckligt för att förhindra vidhäftningsbrott 

och därmed att sprutbetongen lossnar och ramlar ned. 

Vidhäftningsbrott 

Figur 4.30 Detalj av integrerad respons av pelare mellan tunnlar (grön), 

sprutbetong (blå) och bultar (röd). Deformationerna är förstorade 75 

gånger (Modell IIB). 

Modell IIA som förutsätter att sprutbetongen uppför sig elastiskt ger en något annorlunda bild 

av responsen i sprutbetongen. Figur 4.31 visar de beräknade maximala 

kantdragspännningarna i sprutbetongen. Maximal dragspänning uppgår till 7,4 respektive 12,1 

MPa för vänster respektive höger tunnel, vilket med stor marginal överskrider det 

dimensionerande värdet på 3,9 MPa. Om vi skulle vara hänvisade att förlita oss på den 

elastiska responsen för sprutbetongen skulle brott i sprutbetongen tillskrivas samtliga segment 

för vilka hållfastheten överskridits. I Figur 4.32 har dessa segment identifierats. Vid 

jämförelse med det oelastiska fallet (Modell IIB, Figur 4.27) kan vi se att antalet segment i 

vilka hållfastheten överskridits är större i det elastiska fallet men att lokaliseringen av dessa 

segment har en rimlig överrensstämmelse med varandra.



(Modell IIA). 


hållfasthet överskridits (Modell IIA). 

66(85)


67(85) 

Analysen av Modell II indikerar att tunnlarna förblir stabila efter explosionen, men med 

signifikanta skador i sprutbetongen. Den storskaliga stabiliteten i modellen är dock starkt 

knuten till den använda materialmodellen för bergmassan. Det kan ifrågasättas om den 

elastiska-idealplastiska materialmodellen på ett riktigt sätt representerar de effekter som 

inducerade skador kan ha på bergmassors hållfasthet. Därför kan det sägas att användning av 

en elastisk-idealplastisk materialmodell för bergmassan inte nödvändigtvis utgör ett 

konservativt antagande med avseende på tunnelstabiliteten. 

Det kan i detta sammanhang noteras att skador i berg p.g.a. dynamisk belastning kan relateras 

till den maximala partikelhastigheten (peak-particle-velocity, ppv) på tunnelytan. Hedley 

(1992) har kommit fram till att skador kan börja uppstå i intakt berg vid en partikelhastighet 

av ca 300 mm/s och att svåra skador kan uppstå vid ca 600 mm/s. Troligtvis kommer dessa 

erfarenheter från undersökningar vid sprängning och relaterar till bergkonstruktioner utan 

sprutbetong eller platsgjuten betong. Från forskning av skadezonens utbredning p.g.a. 

sprängning i borrhål rapporterar Holmberg och Persson (1983) att skador kan uppstå vid en 

partikelhastighet på 700-1000 mm/s i hårt kristallint berg. Vidare redovisar ”The Rockburst 

Research Hanbook” (MRD, 1995) observationer från att fiberarmerad sprutbetong kan 

överleva bergrörelser på omkring 1500 till 2000 mm/s, varvid endast mindre skador uppstår i 

sprutbetongen vid 1700 mm/s. Dock kan allvarliga skador uppstå i sprutbetongen över små 

ytor redan vid en partikelhastighet av 1500 mm/s om bergblock stöts ut från bergytan. Det bör 

dock noteras att spänningsvågor som är associerade med smällbergsfenomen generellt har 

lägre frekvenser och längre varaktighet än lasten P2 och kan därför innehålla mer energi vid 

jämförbara partikelhastigheter. Den beräknade maximala horisontella partikelhastigheten i 

den högra tunnelns pelarvägg uppgår som tidigare nämnts till 1000 mm/s (se Figur 4.25). 

Ovan redovisade erfarenheter pekar på betydelsen av att välja en lämplig materialmodell och 

analysmetod (t.ex. distinkt element analys) för att på ett adekvat sätt simulera de relevanta 

fysikaliska mekanismerna.

4.2.3 Modell III 


Om inget annat speciellt anges avser resultaten som redovisas i detta avsnitt Modell IIIB, i 

vilken sprutbetongen simulerats som ett oelastiskt material. 

Figur 4.33 visar applicering av lasten P2 i taket på den vänstra tunneln vid maximalt tryck. 

Tryckpulsen är identisk med den som användes för Modell II. 

68(85) 

Figur 4.33 Applicering av den dynamiska lasten P2 i den vänstra tunnelns tak vid 

tidpunkten för maximalt tryck.


69(85) 

Den propagerande spänningsvågen från P2 orsakar tillkommande plasticering av bergmassan i 

tunnlarnas närhet jämfört med de förhållanden som råder vid statisk jämvikt. Detta är tydligt 

om man jämför Figur 4.34 med Figur 4.4. Tillkommande plasticering av bergmassan sker 

huvudsakligen ovanför och vid sidorna av den vänstra tunneln. Efter appliceringen av P2 når 

området med skadat berg ända upp till den horisontella bergytan ovanför tunnlarna. Notera att 

bergmassan mister sin draghållfasthet då draghållfastheten överskrids. Som nämndes i 

föregående avsnitt kan det ifrågasättas om inte skador i bergmassan även borde resultera i 

nedsatt skjuvhållfasthet, vilket inte är fallet för de modeller som redovisas i denna rapport. 

Figur 4.34 Indikatorer för plastisk respons i bergmassan (Modell IIIB). 

De beräknade vertikala deformationerna i tunnlarnas närhet p.g.a. P2 redovisas i Figur 4.35. 

Som förväntat uppstår koncentration av vertikala deformationer vid den horisontella bergytan 

ovanför den vänstra tunneln. Den vertikala partikelhastigheten som funktion av tiden för en 

punkt på bergytan mitt ovanför den vänstra tunneln redovisas i Figur 4.36. Största 

partikelhastighet i denna punkt har beräknats till ca 0,8 m/s.


Koncentration av 

vertikala deformationer 

Figur 4.35 Konturer (isolinjer) för vertikala deformationer (m) i ett område i 

tunnlarnas närhet (Modell IIIB). 

70(85) 

Figur 4.36 Vertikal partikelhastighet (m/s) som funktion av tiden (s) i en punkt på 

bergytan ovanför den vänstra tunneln (Modell IIIB).


71(85) 

Effekten på bultarna p.g.a. explosionslasten i taket visas i Figur 4.37. Av figuren framgår, vid 

jämförelse med Figur 4.5, att de axiella krafterna i bultarna har ökat i de bultar som är 

placerade i taket och i pelaren. Ökningen är dock relativt liten och främst lokaliserad till de 

delar av bultarna som är belägna längst från tunnelytan. Övriga bultar runt tunnlarna påverkas 

inte nämnvärd omfattning av explosionen. Uppföljning av de axiella töjningarna i samtliga 

bultar under explosionen indikerar en största dragtöjning på endast 0.1%, vilket är under den 

aktuella flyttöjningen på 0,25 %. Därmed kan sägas att den dynamiska lasten P2 inte 

signifikant påverkar laster och töjningar i bultar. 

Obetydlig ökning av axiella krafter i bultar 

Töjning≈0,1 % 

Figur 4.37 Fördelning av axiella krafter (N) längs bultar (Modell IIIB).


72(85) 

Responsen i sprutbetongen p.g.a. explosionen illustreras i Figur 4.38. Omfattningen på 

tillkommande skador i sprutbetongen är begränsad och uppstår endast i närheten av, från den 

statiska belastningen, redan skadad sprutbetong i den vänstra tunneln (jämför med Figur 

4.11). 


hållfasthet överskridits (Modell IIIB). 

Fördelningen av maximala vinkeländringar visas i Figur 4.39. P.g.a. att explosionslasten 

applicerats i den vänstra tunneln erfar sprutbetongen här en signifikant större vinkeländring än 

i den högra (0,016 respektive 0,001 radianer). Sprutbetongsegment för vilka vinkeländringen 

överskridit 1/125 (0,008 radianer) visas i Figur 4.40.


Figur 4.39 Fördelning av maximal vinkeländring (rad) i samtliga sprutbetongsegment 

(Modell IIIB). 

Figur 4.40 Identifikation av sprutbetongsegment för vilka vinkeländringen 

överskridit 0,008 radianer (Modell IIIB). 

73(85)


74(85) 

Modell IIIA simulerar sprutbetongen som ett linjärelastiskt material. Genom att jämföra 

sprutbetongens respons i denna modell med responsen för det oelastiska fallet i Modell IIIB är 

det möjligt att erhålla ökad förståelse för användningen av en enklare modell för analys av 

effekterna från explosionslasten. Figur 4.41 visar de beräknade maximala 

kantdragspänningarna i sprutbetongen. De maximala kantdragspänningarna uppgår till 7,5 

respektive 6,7 MPa för den vänstra respektive högra tunneln. Dessa påkänningar överskrider 

signifikant det dimensionerande värdet på 3,9 MPa vid olyckslast. På liknande sätt som för 

Modell IIA kan en bedömning av omfattningen av uppkomna skador i sprutbetong göras 

genom att identifiera de sprutbetongsegment som överskridit dimensionerande hållfasthet. 

Figur 4.42, som illustrerar var dessa segment är lokaliserade, visar att ett antal fler segment 

har överskridit hållfastheten jämfört med fallet då sprutbetongen simuleras som ett oelastiskt 

material (se Figur 4.38). Vid jämförelse med den statiska beräkningen framgår dock att 

lokaliseringen av tillkommande skador p.g.a. den dynamiska belastningen är ungefär samma 

oberoende av om sprutbetongen simuleras som ett elastiskt eller oelastiskt material. 


(Modell IIIA).



hållfasthet överskridits (Modell IIIA). 

75(85) 

Fastän analysen av Modell III indikerar att sprutbetongen blir utsatt för skador p.g.a. den 

dynamiska belastningen i tunneltaket förblir tunnlarna stabila efter explosionen. Det bör dock 

återigen påpekas att den bedömda stabiliteten är starkt knuten till antagandet att bergmassan 

responderar enligt Mohr-Coulomb materialmodell (elastiskt-idealplastiskt). Den dynamiska 

rörelsen eller skakningen av bergmassan kan orsaka en reducering av dess skjuvhållfasthet 

(t.ex. i form av lägre eller helt förlorad kohesion), vilket föreliggande modell inte tar hänsyn 

till. Därför är karakteriseringen av bergmassans respons (val av materialmodell) mycket viktig 

för att på ett adekvat sätt prediktera stabiliteten vid dynamiska belastningar.


5 DISKUSSION 

5.1 Dynamisk last 

76(85) 

De dynamiska laster som förskrivs i Tunnel 99 har maximala frekvenser på ca 80 respektive 

2000 Hz (P1 respektive P2). För att på ett korrekt sätt propagera dessa tryckpulser genom ett 

diskretiserat medium krävs en maximal zonstorlek på ca 3 respektive 0,13 m vid en Pvågshastighet 

på ca 2500 m/s. I detta sammanhang bör det noteras att en sämre bergkvalitet, 

med lägre styvhet i bergmassan än vad som analyserats i föreliggande projekt, kräver mindre 

zonstorlekar eftersom pulsens utbredningshastighet minskar (se Ekvation 3.5). 

En zonstorlek på 3 m utgör inget problem för varken tvådimensionella eller tredimensionella 

numeriska modeller. Detta innebär att analyser med lasten P1 kan utföras utan att obekvämt 

långa beräkningstider erhålls. 

För lasten P2 krävs ca 256000 zoner vid en zonstorlek på 0,13 m om modellens totala storlek 

är 100x40 m. Detta medför ingen oöverstiglig beräkningstid för en tvådimensionell analys, 

men exkluderar helt en tredimensionell beräkning. 

För att effektivisera modellen kan s.k. filtrering av pulsen utföras, varvid de höga 

frekvenserna tas bort. I vår applikation har denna åtgärd inneburit att den maximala 

zonstorleken kunde ökas till 0,4 m varvid behovet av antalet zoner sjönk till 25000, d.v.s. till 

ca 10 % av behovet vid ofiltrerad last. Detta minskar beräkningstiderna avsevärt men 

exkluderar sannolikt i praktiken fortfarande möjligheten att utföra tredimensionella 

beräkningar med lasten P2. 

Vid hänsynstagande till korrekt propagering med avseende på skjuvvågshastigheten erhålles 

en största zonstorlek på ca 0,25 m. Kompletterande modeller, vilka inte redovisas i denna 

rapport, visar dock att resultaten blir liknande som vid en zonstorlek på 0,4 m. 

De analyser som utförts i föreliggande projekt har körts på en dator med en processor på 1 

GHz. Den totala beräkningstiden för samtliga analyssteg var ca 1 timme/modell. 

5.2 Storskalig stabilitet 

Bergmassan i utförda modeller har förutsatts vara av kvaliteten ”Fair Rock” (Q=4-10). 

De områden av bergmassa som plasticerar i den statiska beräkningen, d.v.s. på grund av 

utbrytningen av tunnlarna, är främst lokaliserad till tunnlarnas väggar och anfang samt till 

pelaren. Den primära brottmekanismen är dragbrott. Detta är en effekt av den relativt låga 

draghållfastheten på 0,26 MPa som antagits för bergmassan, oberoende av riktning. Genom 

spänningsomlagring återgår dock huvuddelen av den plasticerade bergmassan till ett elastiskt 

tillstånd och jämvikt uppnås. Maximal deformation vid statisk jämvikt är mindre än 1 cm.


77(85) 

Vid dynamisk belastning erhålls mest ökning av plasticerat berg då lasten P2 appliceras i taket 

(Modell III). För detta belastningsfall plasticerar bergskivan ovanför den vänstra tunneln ända 

upp till bergöverytan. Lasten P1 (Modell I) genererar i stort sett ingen ytterligare plasticering i 

bergmassan, medan lasten P2, vid applicering på pelaren (Modell III) ger ett visst tillskott 

över den högra tunnelns tak. Samtliga dynamiska modeller uppnår dock jämvikt, vilket 

indikerar att den storskaliga stabiliteten runt tunnlarna är tillfredsställande, åtminstone för de 

förutsättningar under vilka simuleringarna utförts. Det är dock viktigt att komma ihåg att 

plasticering av bergmassan i modellen är en indikation på att den i någon mening skadas. 

Vald materialmodell (elastisk-idealplastisk) medger inte någon nedsättning av hållfastheten 

utan plasticerar under konstant last. Detta är en begränsning i modellen som diskuteras vidare 

i avsnitt 5.4.3. 

5.3 Lokal stabilitet 

Utförda analyser indikerar att sprutbetongens dimensionerande hållfasthet överskrids. Mest 

uttalat är detta då lasten P2 appliceras på pelaren (Modell II), varvid sprutbetongen skadas på 

bägge sidor. Den huvudsakliga brottmekanismen för detta lastfall är dragbrott p.g.a. höga 

axiella dragbelastningar, vilket indikerar att sprutbetongen agerar som ett membran. Att 

hållfastheten överskrids i sprutbetongen behöver dock nödvändigtvis inte innebära att den inte 

längre har någon stabiliserande effekt. Trots att utförda modeller indikerar att sprutbetongen 

kommer att skadas av de dynamiska lasterna är vidhäftningshållfastheten (0,5 MPa) samt 

förankringen av sprutbetongen i bultarna tillräckligt för att den inte skall ramla ned. Så länge 

som sprutbetongen förmår sitta kvar på bergytan, trots den dynamiska påverkan den utsätts 

för, gör att sprutbetongen uppfyller en viktig funktion, nämligen att förhindra utstötning av 

enskilda mindre block. Förstärkningens förmåga att förhindra sådan utstötning från tunnlarnas 

bergyta kan vara avgörande för att vidmakthålla den lokala stabiliteten och därmed även den 

storskaliga stabiliteten. 

Bultarnas stabiliserande effekt är mest tydlig då lasten P2 appliceras i pelaren (Modell II). Då 

tryckpulsen når den fria ytan i den motsatta tunneln reflekteras den och ändrar riktning medan 

bergytan fortsätter att röra sig i den ursprungliga riktningen. Denna mekanism orsakar ökade 

axiella laster i de bultar som installerats från den högra tunneln, vilka uppnår sin flytlast, men 

långt ifrån sin dimensionerande brottöjning. 

Valet av beräkningsmetod (programvara) kan ha inverkan på tolkningen av den lokala 

stabiliteten i modellen. Utförda modeller har beräknats med en metod som är baserad på 

kontinuummekaniska principer. Denna metod utgör en begränsning med avseende på enskilda 

bergblocks frihetsgrader (t.ex. glidning och rotation) eftersom bergmassan är 

”sammankopplad” via sina noder. Särskilt vid simulering av blockiga bergmassor utsatta för 

dynamisk belastning kan detta leda till felaktiga slutsatser. Begränsning i modellen p.g.a. vald 

analysmetod diskuteras vidare i avsnitt 5.4.2.


5.4 Modellbegränsningar 


78(85) 

Numeriska modeller är bara just ”modeller” och skall aldrig förväxlas med verkligheten. Men 

deras värde i samband med bergmekaniska ingenjörsproblem, som t.ex. analys av tunnlars 

stabilitet, kan vara betydande om de konstrueras och analyseras med noggrannhet och 

försiktighet. En del av denna noggrannhet och försiktighet utgörs av att erkänna och förstå 

modellernas begränsningar. En modells begränsningar kan vara ett resultat av den valda 

analysmetoden (kontinuum eller diskontinuum), geometriska överväganden (t.ex. 2D eller 

3D) och vald materialmodell. En annan källa till begränsning, eller osäkerhet i modellen, kan 

vara tvivelaktiga eller otillräckliga indata. En tillkommande faktor, som sällan betraktas som 

en begränsning vid modelleringsarbete, är bakgrunden och erfarenheten hos den eller de 

personer som utför modellarbetet och tolkar resultatet. Den sist nämnda har blivit en mer 

allmänt förekommande begränsning allteftersom tillgängligheten på sofistikerade 

vetenskapliga och ingenjörsinriktade dataprogram har ökat för tekniska applikationer. En 

användare av numeriska modeller bör alltid vara försiktig eftersom även den mest robusta 

modell trots allt bara är en approximation av verkligheten. 

5.4.2 Analysmetod 

Generellt kan numeriska modeller för bergmekaniska applikationer delas in i två kategorier, 

kontinuum- och diskontinuummodeller. I kontinuummodeller, som t.ex. FLAC, förutsätts att 

materialet (bergmassan i vårt fall) kan simuleras med hjälp av en kontinuerlig respons i hela 

modellen. De fysikaliska egenskaperna hos materialets enskilda komponenter måste därför 

vägas samman så att de kan representera den integrerade responsen i bergmassans. Fastän 

koncentration av töjningar kan uppstå i sådana modeller förblir töjningar och förskjutningar 

kontinuerliga. Trots att kontinuummodeller teoretiskt sett kan innehålla s.k. glidytor (”sliding 

interfaces”) är det generellt sett ofta opraktiskt att använda denna möjlighet för att simulera 

det antal diskontinuiteter som inryms i en naturligt uppsprucken bergmassa. I de fall man 

önskar simulera existerande sprickorna explicit är diskontinuummodeller mer effektiva, t.ex. 

UDEC, Universal Distinct Element Code, (Itasca, 1999). Vid simulering av sprickors 

inverkan på bergmassans mekaniska respons (statiskt och dynamiskt) i samband med 

utvärdering av tunnelstabilitet kan därför distinkta elementmodeller ibland vara mycket 

användbara (t.ex. då ett enskilt löst block trycker eller stöts ut mot sprutbetong). 

Eftersom alla bergmassor är, mer eller mindre, naturligt uppspruckna kan valet av ”rätt” 

beräkningsmetod vara avgörande för dimensioneringen av det bärande huvudsystemet i 

tunnlar och andra underjordiska öppningar. Fastän generella rekommendationer existerar 

(t.ex. Hoek and Brown, 1980) för att avgöra om bergmassan bör representeras som ett 

kontinuum eller ett diskontinuum, bör valet baseras på de specifika bergförhållandena och vad 

den aktuella tunneln/underjordiska öppningen skall användas till.


79(85) 

Oberoende av vilken analysmetod som väljs är tillförlitligheten i tolkningen av 

analysresultaten starkt beroende av hur bergmassan karakteriseras (t.ex. grad av homogenitet, 

isotropi, intakta bergets hållfasthet och styvhet, sprickornas frekvens, orientering och 

hållfasthet) och av yttre faktorer som in-situspänningar och grundvattenförhållanden. 

5.4.3 Materialmodell 

Valet av materialmodell, vilken beskriver förhållandet mellan spänning, töjning och 

hållfasthet i bergmassan, förtjänar kanske den mesta uppmärksamheten av alla aspekter när 

det gäller upprättande av numeriska modeller. I det ideala fallet baseras valet på ”tillräcklig” 

mängd testdata från fält och laboratorium. Några av de enklaste och vanligaste 

materialmodellerna vid bergmekaniska simuleringar är Mohr-Coulomb, Drucker-Prager (t.ex. 

Chen och Han, 1988) samt Hoek-Brown (t.ex. Hoek et. al., 1995). Samtliga dessa modeller är 

elasto-plastiska. Mohr-Coulomb och Drucker Prager är linjära modeller medan Hoek-Brown 

är olinjär och tar hänsyn till lägre hållfasthet vid lägre omgivande spänningar. 

I föreliggande arbete har den elastiska-idealplastiska modellversionen av Mohr-Coulombs 

materialmodell använts, vilken tillåter att bergmassan behåller sin maximala hållfasthet efter 

brott (d.v.s. plasticering kan ske under konstant last). Denna typ av respons är vanlig i jord, 

men kan vara tveksam när det gäller bergmassor. Hållfastheten i en naturligt uppsprucken 

bergmassa bestäms tillstor del av sprickkarakteristiken och i vilken grad blocken låser 

varandra. Då en sådan bergmassa utsätts för en störning, t.ex. vid utbrytning av en tunnel, 

uppstår fria ytor som resulterar att blocken låser varandra i mindre grad. Detta kan i sin tur 

kan ge upphov till att blocken kan rotera eller glida längs sprickplanen, vilket kan leda till en 

reducering av bergmassans hållfasthet nära utbrytningen. Under dynamisk belastning sätts 

blocksystemet i rörelse vilket orsakar ytterligare störning med relativa blockrörelser som 

följd. Därmed kan ytterligare lokal reduktion av bergmassans hållfasthet förväntas nära 

tunneln. Vidare har forskning visat (t.ex. Holmberg och Person, 1983 och Hedley 1992) att 

skador i form av sprickbildning kan uppstå i intakt berg då partikelhastigheten vid dynamisk 

belastning överskrider vissa kritiska värden. Dessa hållfasthetsreducerande effekter uttrycks 

inte av den använda materialmodellen, men kan vara viktig vid analys av en tunnels stabilitet. 

Därmed kan det konstateras att användning av en elastisk-idealplastisk materialmodell kan 

leda till icke konservativa förutsägelser i detta fall. 

Ett alternativ skulle kunna vara att utnyttja en Mohr-Coulombmodell som tillåter att 

bergmassans hållfasthet minskar till residualvärden när materialet går i brott. Dessa typer av 

modeller som kallas töjnings- eller hållfasthetsmjuknande modeller (”strain or strength 

softening models”) finns som standardmodeller i FLAC. Det är självklart svårt att veta exakt 

hur stor hållfasthetsreduktionen är i bergmassan och hur snabbt den avtar som funktion av 

töjningen. Medan empiriska metoder (baserade på klassificering av bergmassan) kan utnyttjas 

för att etablera residualvärden för hållfastheten kan det vara svårare att bestämma hastigheten 

på hållfasthetsavtagandet. Ett sätt att komma förbi detta problem skulle kunna vara att utföra 

analyser med olika antaganden avseende hastigheten på hållfasthetsavtagandet och sedan 

observera skillnaderna i modellresponsen. Har man tur kan det vara så att de prognostiserade 

konsekvenserna inte är känsliga för de olika antagandena. Om modellerna däremot uppvisar 

känslighet för olika antaganden kan fältförsök vara berättigade som sedan ”tillbakaräknas”


80(85) 

med den numeriska modellen. Därigenom kan hastigheten på hållfasthetsavtagandet etableras 

från resultatet i den modell som bäst överrensstämmer med fältobservationerna. 

5.4.4 2D/3D-ekvivalens 

Genomförande av numerisk simulering kan ofta betecknas som en exercis i ingenjörsmässiga 

bedömningar där den fysikaliska detaljeringsgraden för att uppnå en rimligt noggrann lösning 

måste balanseras mot begränsningarna i de beräkningsverktyg som står till förfogande 

(avseende både hårdvara och mjukvara). Filosofisk vägledning i detta sammanhang ges av 

Albert Einstein som uppskattats för följande citat: ”Things should be made as simple as 

possible, but not any simpler”. Detta innebär att man bör kunna erhålla användbar information 

från en enkel numerisk modell under förutsättning att den ”korrekta balansen” mellan 

beräkningsverktyget och den fysikaliska detaljeringsgraden är uppfylld. En av de mest 

frekventa och användbara förenklingarna i samband med bergmekaniska analyser är att ersätta 

den tredimensionella analysen med en tvådimensionell modell i plant töjningstillstånd. I fall 

med raka tunnelsträckningar i relativt likformig bergmassa, kan en tvådimensionell modell i 

plant töjningstillstånd ge mer än tillräckligt goda förutsägelser av bergmassans och 

förstärkningens respons vid stabilitetsanalyser, även så nära som 3-4 tunneldiametrar från 

tunnelfronten. När belastningen är koncentrerad till en liten del av tunneln är konceptet med 

tvådimensionellt plant töjningstillstånd strikt sett inte korrekt. Men, om vi förstår betydelsen 

av effekterna av att överskrida den tvådimensionella begränsningen kan en tvådimensionell 

modell fortfarande ge oss värdefull information vid utvärdering av en tunnels stabilitet. 

Nedanstående resonemang utgör exempel på detta. 

I vårt fall är en av de explosionslaster som undersöks (P2) föreskriven att angripa på en yta av 

4x4 m. P.g.a. den tvådimensionella representationen i modellen har dock den dynamiska 

lasten applicerats längs tunnelns hela längd. Därmed kan ingen avvikande skada i bergmassan 

eller i förstärkningen prognostiseras längs tunneln. Detta innebär att den tvådimensionella 

modellen kan anses ge en konservativ uppskattning av inducerade skador i jämförelse med en 

tredimensionell modell med samma modellförutsättningar i övrigt. Utöver detta gäller även att 

tryckpulsen i den tvådimensionella modellen kommer att propagera cylindriskt vilket innebär 

att den försvagas proportionellt mot 1/r, där r är det radiella avståndet till fronten på den 

propagerande vågen. Eftersom den föreskrivna lasten är koncentrerad till en relativt liten yta 

kommer denna att propagera under nära sfärisk utbredning och därmed försvagas 

proportionellt mot 1/r 2 . Även detta innebär att bedömda skador i bergmassan p.g.a. 

föreskrivna explosionslaster bör vara större i en tvådimensionell modell än i motsvarande 

tredimensionella modell, speciellt på avstånd från tunnelns periferi. 

Figur 5.1 illustrerar den geometriska försvagningen av den relativa effekten hos tryckpulsen 

vid cylindrisk respektive sfärisk vågpropagering. Av figuren framgår t.ex. att på ett radiellt 

avstånd av 2 m från ytan är pulsens effekt i det tredimensionella fallet endast ca 50 % av det 

tvådimensionella fallet. För Modell III (P2 appliceras i taket) innebär detta sannolikt att 

utbredningen av bedömda skador i bergmassan ovanför tunneltaket är överskattade. Om vi 

begränsar våra tolkningar till tunnelns absoluta närhet kan vi fortfarande betrakta den 

tvådimensionella modellen som en god approximation, men vi måste inse att bedömda skador 

i bergmassa, sprutbetong och bultar med stor sannolikhet överskattas. Utbredningen av skador


längs tunneln kan förväntas bli begränsade till en sträcka motsvarande utbredningen av 

skadorna längs tunnlarnas pelarväggar, d.v.s. 5-6 m. 

Relativ pulseffekt 

1,2 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

Radiellt avstånd 

1/r (Cylindrisk försvagning) 

1/r^2 (Sfärisk försvagning) 

81(85) 

Figur 5.1 Relativ effekt hos pulsen vid cylindrisk respektive sfärisk försvagning 

som funktion av det radiella avståndet till vågens front.


6 SLUTSATSER OCH 

REKOMMENDATIONER 

Baserat på det arbete som redovisas i denna rapport kan följande slutsatser dras: 

82(85) 

1. För att kunna utföra numeriska analyser av de explosionslaster som föreskrivs i Tunnel 99 

måste en stigtid för tryckpulsens uppbyggnad tillämpas. Tunnel 99 medger att 10 % av 

den totala varaktigheten utnyttjas som tid för tryckuppbyggnad. 

2. Den dynamiska lasten med 0,1 MPa maximal tryckamplitud och 50 millisekunders total 

varaktighet (P1) kan utan problem appliceras i två- och tredimensionella numeriska 

analyser. 

3. Den dynamiska lasten med 5 MPa maximal tryckamplitud och 2 millisekunders total 

varaktighet (P2) kan appliceras i tvådimensionella numeriska analyser utan föregående 

filtrering. Erforderlig beräkningstid kan dock minskas radikalt genom frekvensanalys och 

filtrering av tryckpulsen. Tredimensionella analyser av lasten P2 erfordrar, med dagens 

kapacitet på datorer, sannolikt alltför långa beräkningstider för praktisk tillämpning i 

byggprojektsammanhang. 

4. Den storskaliga stabiliteten runt tunnlarna är tillfredsställande för de förutsättningar under 

vilka analyserna genomförts. Den dynamiska lasten P1 orsakar inte några tillkommande 

skador i bergmassan utöver de som genereras vid tunnlarnas utbrytning. Vid applicering 

av den dynamiska lasten P2 kan dock tillkommande skador i bergmassan förväntas med 

efterföljande lokal nedsättning av bergmassans hållfasthet. Då lasten P2 appliceras i taket 

sker plasticering ända upp till bergöverytan. Utförda modeller har inte tagit hänsyn till 

minskad hållfasthet då berget plasticerar. 

5. Bultarnas bärförmåga är tillfredsställande. Då lasten P2 appliceras i pelaren induceras en 

kraftig ökning av bultlasterna i de bultar som installerats från närliggande tunnel. I övriga 

studerade belastningsfall genereras endast små ökningar. Maximal bulttöjning, oavsett 

belastningsfall, uppgår endast till 0,5 % (d.v.s. 1/10 av bultarnas töjningskapacitet). 

6. Den dynamiska lasten P1 orsakar inga tillkommande skador i sprutbetongen. Vid 

applicering av lasten P2 i pelarväggen är sprutbetongens verkningssätt huvudsakligen 

”membranverkan” med höga dragpåkänningar och uppsprickning som följd. Omfattningen 

av skadorna i sprutbetongen kan förväntas bli ungefär lika stora på båda sidorna av 

pelaren. Då lasten P2 appliceras i taket induceras främst tillkommande skador i 

sprutbetongen i den tunnel som lasten appliceras i. Närliggande tunnel påverkas i mycket 

liten omfattning. 

7. En vidhäftningshållfasthet på 0,5 MPa mellan berg och sprutbetong är tillsammans med 

förankring av sprutbetongen i bultarna tillräckligt för att sprutbetongen inte skall falla ned.


83(85) 

8. De båda materialmodellerna för sprutbetongen ger liknande skadebild. Den elastiska 

materialmodellen överskattar dock sannolikt utbredningen av skadorna, medan den 

oelastiska modellen underskattar dem. När det gäller de olika materialmodellernas bidrag 

till stabiliteten är förhållandet det omvända, nämligen att den elastiska modellen ger en 

överskatting av den stabiliserande effekten, medan den oelastiska ger en underskattning. 

9. Använd analysmetod (kontinuum) och materialmodell (elastisk-idealplastisk) kan utgöra 

begränsningar i modellen som överskattar det simulerade systemets stabilitet. 

10. Den tvådimensionella representationen utgör sannolikt en konservativ förutsättning som 

överskattar de potentiella skadorna såväl i bergmassan som i förstärkningen. 

Baserat på ovanstående slutsatser kan följande rekommendationer ges för eventuellt fortsatt 

arbete: 

1. Undersöka bärförmågans känslighet med avseende på bergmassans kvalitet vid 

applicering av lasten P2 i taket och i pelaren. 

2. Undersöka bärförmågans känslighet med avseende på materialmodell för bergmassan vid 

applicering av lasten P2 i taket och i pelaren. Härvid rekommenderas en materialmodell 

som kan ta hänsyn till att hållfastheten reduceras då bergmassan skadas (”strain 

softening”). 

3. Undersöka bärförmågans känslighet med avseende på analysmetod, d.v.s. analysera 

effekten av att sprickor simuleras explicit. 

4. Undersöka bärförmågans känslighet med avseende på problemgeometri, t.ex. 

pelartjocklek och bergtäckning. 

5. Vidareutveckla den oelastiska materialmodellen för sprutbetongen så att den kan 

representera en avtagande bärförmåga som funktion av vinkeländring och axiell 

deformation. 

6. Verifiera modellresultaten genom jämförelser med fältförsök. 

Utöver ovanstående rekommenderas att det införs rådstexter i Tunnel 99 som: (1) anger hur 

stor del av den totala ”kraften” (power) i lasten P2 som får filtreras bort och (2) anger att det 

med hänsyn till lasten P2:s begränsade utbredning är tillåtet att utföra analyserna under 

tvådimensionella antaganden. Det bör dock för det senare rådet framgå att det kan finnas 

andra geometriska anledningar att modellen inte kan förenklas till en tvådimensionell analys.


7 REFERENSER 

84(85) 

Bathe, K.-J., and E. L. Wilson. (1976) Numerical Methods in Finite Element Analysis. 

Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc. 

Barton, N., Lien, R. and Lunde, J. (1974) Engineering classification of rock masses for the 

design of tunnel support. NGI, Publication No 106. 

Boverket (1994) Boverkets handbok om betongkonstruktioner, BBK 94, Band 1 – Konstruktion. 

Boverket (1999) Boverkets konstruktionsregler, BKR, BFS 1993:58 med ändringar t.o.m. BFS 

1998:39. 

Chang, Yanting (1990) A Summary of the Litterature Study on Effects of the Tunnel´s 

Advancing Face. Rapport No. 25, Institutionen för jord- och bergmekanik, Kungliga Tekniska 

Högskolan, Stockholm. 

Donovan, K., W. G. Pariseau and M. Cepak (1984) “Finite Element Approach to Cable 

Bolting in Steeply Dipping VCR Stopes,” in Geomechanics Application in Underground 

Hardrock Mining, pp. 65-90. New York: Society of Mining Engineers. 

Chen, W. F., and D. J. Han (1988) Plasticity for Structural Engineers. New York: Springer- 

Verlag, 1988. 

Fredriksson, A., och H. Stille (1992) Bergförstärkningsprinciper för olika typfall i svenska 

gruvor. Teknisk rapport, G 2000, Projekt 317, 92:07. 

Hedley, D. G. F. (1992) ROCKBURST HANDBOOK FOR ONTARIO HARDROCK 

MINES, Mining Research Laboratories, CANMET Special Report SP92-1E 

Hoek, E. and E.T. Brown (1980) Underground Excavations in Rock. Institution of Mining and 

Metallurgy, London. 

Hoek, E., P. K. Kaiser, and W. F. Bawden (1995) Support of Underground Excavations in 

Hard Rock, A. A. Balkema/Rotterdam/Brookfield/1995. 

Holmberg, R. and P-A Persson (1983) Rock Dynamics. Swedish Detonic Research 

Foundation, Report DS 1983:5. 

Holmgren, J. (1992) Bergförstärkning med sprutbetong. Vattenfall. 

Itasca Consulting Group, Inc. (1999) UDEC (Universal Distinct Element Code), Version 3.1. 

Minneapolis: ICG


Itasca Consulting Group, Inc. (2000) FLAC (Fast Lagrangian Analysis of Continua), 

Version 4.0. Minneapolis: ICG. 

Kolsky, H. (1963) Stress Waves in Solids. New York: Dover Publications. 

85(85) 

Kuhlemeyer, R. L., and J. Lysmer. (1973) Finite Element Method Accuracy for Wave 

Propagation Problems. J. Soil Mech. & Foundations, Div. ASCE, 99(SM5), 421-427 (May). 

Lysmer, J., and R. L. Kuhlemeyer. (1969) Finite Dynamic Model for Infinite Media, J. Eng. 

Mech., 95(EM4), 859-877. 

MRD Mining Research Directorate, Inc. (1995) ROCKBURST RESEARCH HANDBOOK, 

Book 1, Volume 1, A Comprehensive Summary of five years of collaborative research on 

rockbursting in hardrock mines, Canadian Rockburst Research Program 1990 – 1995, 

CAMIRO Mining Division. 

Rosengren, L. (1993) ”Preliminary Analysis of the Dynamic Interaction Between 

Norra Länken and a Subway Tunnel for Stockholm, Sweden,” Tunneling and 

Underground Space Tech., 8(4), 429-439. 

Rosengren, L., and S-O. Olofsson (1997) ”Design of Rock Reinforcements for Contracts 

Roslagstull and Värtan According to Tunnel 95 (in Swedish),” in Proceedings of the Swedish 

Rock Mechanics Day (March 12, 1997), pp. 65-84, C. Bachman, Eds. Stockholm:SveBeFo, 

1997. 

St. John, C. M., and Van Dillen D.E. (1983) ”Rockbolts: A new numerical representation and 

its application in tunnel design” Rock Mechanics -- Theory - Experiments - Practice 

(Proceedings of the 24th U.S. Symposium on Rock Mechanics, Texas A&M University, June 

1983), pp.13-26. New York: Association of Engineering Geologists. 

Thorsén, Å. (1993) I fiberbetongens värld. Cementa, ISBN 91-87334-10-0. 

Vägverket (1994) Bergteknik – Dimensioneringsgrunder för användning vid bergförstäkning 

med sprutbetong. Bergtekniska anvisningar för projektering av Ringen och Yttre Tvärleden, 

ANV 0114. Vägverket Region Stockholm. 

Vägverket Region Stockholm (1996) Norra Länken - Entreprenad Roslagstull, 

Förfrågningsunderlag entreprenadnummer 260 102.

numerisk analys av explosionslaster i bergtunnlar - Rosengren ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?