Anteckningar (PDF)

Anteckningar till räkneövning i Kvantfysikens
principer
Thomas Kvorning
6 november 2012
1 Räkneövning 1– komplexa tal
Det finns flera olika talsystem som lämpar sig för att användas när man
handskas med olika problem. De naturliga talen N = {0, 1, 2, . . . } som lämpar
sig när man ska prata om antalet objekt, exempelvis hur många äpplen man
plockat på en dag. Men har man man bara ett äpple och är fem personer
som ska dela på äpplet kan man inte beskriva hur mycket äpple varje person
får med de naturliga talen. Bland de naturliga talen finns ingen lösning till
ekvationen
5x = 1 .
Vi kan då utvidga vårar talsystem till de rationella talen Q som består av alla
bråk 2 5 , med mera. Även med detta talsystem har sina begränsningar. Vill
3 7
vi t.ex. besvara frågan hur lång är hypotenusan (x) i en rätvinklig likbent
triangel, där två av sidorna har längden ett: Enligt Pytagoras sats uppfyller
x ekvationen
1
1
x
x 2 = 2 ,
vilket saknar lösning bland de rationella talen. Vi kan utvidga de rationella
talen till de reella talen R som består av alla tal som kan skrivas på decimalform,
eventuellt med oändligt många decimaler. Då har vi en lösning
1

till ekvationen nämligen √ 2 = 1, 41421356 · · · . För att beskriva kvantfysiken
behöver vi utvidga även detta talsystem. Vi behöver ytterligare ett tal,
nämligen det som löser ekvationen
x 2 + 1 = 0 .
Det talet kommer vi att beteckna med bokstaven i, och det kallas den imaginära
enheten. Vi vill kunna multiplicera och addera med den imaginära
enheten med de reella talen, enligt de vanliga räknereglerna. För att göra det
måste vi lägga till ytterligare tal, förutom den imaginära enheten, och får
då det komplexa talsystemet. Multiplicera vi ett godtyckligt reellt tal b ∈ R
med den imaginära enheten får vi talet
bi .
Detta tal är nytt, dvs, det är inte reellt och det är inte den imaginära enheten.
Det kan vi se genom att kvadrera det
bibi = b 2 i 2 = −b 2 .
Här har vi använt regeln att man kan byta plats på två tal under multiplikation,
som är ett av de räknereglerna 1 . bi i kvadrat är ett negativt tal
och eftersom kvadraten på ett reellt tal alltid är positivt kan detta inte vara
ett reellt tal. För varje reellt tal måste vi alltså lägga till ett nytt tal i vårt
talsystem, nämligen
bi .
Vi måste även kunna addera med reella tal. Om vi adderar bi med ett godtyckligt
reellt tal a får vi talet
a + bi .
Alla tal på denna form bygger upp det komplexa talsystemet. Ett godtyckligt
komplext tal (z) kan alltså skrivas på formen
z = a + bi .
a kallas för z:s realdel, som betecknas a =Re(z) eller a = ℜ(z) och b kallas
för z:s imaginär del och betecknas b =Im(z) eller b = ℑ(z). Notera att både
realdelen och imaginärdelen hos ett komplext tal är reellt.
1 Denna egenskap har ett namn: man säger att multiplikation är kommutativ
2

1.1 Räkna med de komplexa talen
Addition
Ta två komplexa tal z = a+bi och w = c+di, vi kan ta reda på deras summa
med räknereglerna för addition.
z + w = (a + bi) + (c + di) = a + c + bi + di = a
+
c + (b + d) i
ℜ(z+w) ℑ(z+w)
Multiplikation
zw = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac
− bd
+ (ad + bc) i
ℜ(zw) ℑ(zw)
Division
Innan vi utför division mellan två komplexa tal introducerar vi något som vi
kallar komplexkonjugatet av ett komplext tal. Komplexkonjugering betecknas
med ∗ och innebär att man byter ut i mot −i. Så för det komplexa talet
z = a + bi är komplexkonjugatet
z ∗ = a − bi .
Egenskapen hos komplexkonjugatet som vi vill använda är att om man multiplicerar
ett komplex tal med sitt komplexkonjugat, så får man ett reellt
tal:
zz ∗ = (a + bi)(a − bi) = a 2 − ✟ ✟
abi + ✟ ✟
abi − b 2 i 2 = a 2 + b 2 .
Vi kan därför förenkla z
w genom att förlänga med w∗ :
z
w
= a + bi
c + di
= (a + bi)(c − di)
(c + di)(c − di)
= ac − adi + bci + bd
c 2 + d 2
= ac + bd
c 2 + d 2
ℜ( z
w)
+ bc − ad
c 2 + d 2
ℑ( z
w)
Kuriosa 1.1 (Jämförelse med √ 2). Om man tycker att de komplexa talen är
konstiga är det värt att titta på talet √ 2 som ni har träffat på tidigare. Om
man har de rationella talen, det vill säga tal a som kan skrivas som bråk, dvs
) mellan heltal p, q, så kan vi inte lösa ekvationen
kvoter (a = p
q
x 2 = 2 .
3
i

För det behövs talet √ 2. Lägger vi till √ 2 till de rationella talen, och samtliga
tal som behövs för att man ska kunna addera och multiplicera, får man alla
tal på formen
a + b √ 2 ,
där a och b är rationella tal. Att räkna med dessa tal är naturligtvis inte
konstigt, de är ju bara en del av de reella talen som ni är vana vid, men
räknereglerna blir precis som med de komplexa talen, med ända skillnaden
att √ 2 √ 2 = 2 medan ii = −1.
1.2 Det komplexa talplanet
De reella talen har en ordnings, vi säger att 1.2 > 1.17 eftersom första decimalen
är större. Alla reella tal ordnas på detta sätt genom att börja med att
jämföra siffran längst till vänster och om de är lika tar man nästa till höger,
osv. Vi kan därför visualisera de reella talen som en tallinje. Vi kan införa
en ordning även på de komplexa talen t.ex. kan vi säga att ett komplex tal
är större än ett annat om realdelen är större, och om realdelen är lika kan
vi jämföra imaginärdelen. Man kan tänka sig många andra ordningar också,
men de har alla en sak gemensam, de är inte kompatibla med räknereglerna.
De följer inte de regler som vi är vana vid att en ordning ska göra, t.ex. att
om a < b så är a+c < b+c. Detta gör att alla ordningar på de komplexa talen
ger en dålig bild av strukturen, och det är väldigt opraktiskt att visualisera
de komplexa talen som punkter på en linje. Det bästa sättet att visualisera
de komplexa talen är istället att se dem som punkter på ett plan, där y-led
representerar imaginärdelen och x-led realdelen. Från figur 1, ser vi att ett
komplext tal z kan beskrivas inte bara genom att ange a och b, man kan
istället ange beloppet på det komplexa talet r och argumentet θ. Med hjälp
av de trigonometriska funktionerna kan vi relatera a och b till r och θ,
och vi får
a = r cos(θ)
b = r sin(θ) ,
z = r(cos θ + i sin θ) .
Vi kan också hitta den inversa relationen, hitta θ och r från a och b. Med
pytagoras sats får vi
r = √ a 2 + b 2 .
Notera att vi också kan skriva
r 2 = zz ∗ .
4

ℑ(z)
✻
z=a+bi
✡
✡
✡
✡
✡
✡
✡ ✡✣
θ
a
r
✲
ℜ(z)
Figur 1: Ett komplext tal z = a + bi markerat i det komplexa talplanet. r
anger avståndet från z till origo och kallas beloppet på z. θ anger vinkeln
mellan den reella axeln och z vektorn, alltså vektorn som sammanbinder origo
med z, och kallas z:s argument.
Vi har tan θ = b
a
från vilket vi får
θ = arctan
b
a
1.3 Exponentialfunktionen och Eulers formel
our jewel
one of the most remarkable, almost astounding, formulas in
all of mathematics
.
– Richard Feynman
sagt om Eulers formel
Nu kommer vi till föreläsningens höjdpunkt, nämligen exponential funktionen
och Eulers formel. Exponentialfunktionen var från början definierad med
heltalsargument och
e 2 = e · e e 3 = e · e · e ,
och så vidare. Vi ser att exponentialfunktionen uppfyller regeln e a e b = e a+b .
När vi utvidgar regeln till de rationella talen är definierar vi funktionen så
5

att regeln fortfarande gäller. Så e 1/2 e 1/2 = e är alltså e 1/2 = √ e. Om vi nu
tittar på exponentialen av ett komplext tal e a+bi . Som med de rationella talen
använder vi regeln e a e b = e a+b för att definiera exponentialfunktionen och vi
kan då skriva e a e ib . e a är bara exponentialfunktionen av ett reellt tal och det
vet vi redan hur det fungerar. Så vi behöver bara titta på e iθ där θ är något
reellt tal. Det första vi kan titta på är beloppskvadraten på e iθ . Den kan vi
räkna ut genom e iθ e iθ ∗ . Komplexkonjugering innebär att man byter ut alla
i mot −i, så e iθ ∗ = e −iθ och vi får
e iθ e iθ ∗ = e iθ e −iθ = e iθ−iθ = e 0 = 1 .
Vi ser därför att e iθ befinner sig på avståndet 1 ifrån origo i det komplexa
talplanet, alltså på enhetscirkeln. Vi ska nu ta reda på realdel och imaginärdel
−1
✻ ℑ
v =
✻
d
dθeiθ θ=0
Figur 2: e iθ och dess första derivata evaluerat i noll.
1
✲
ℜ
av eiθ med hjälp av våra fysikkunskaper. Säg att eit beskriver positionen av
en partikel på det komplexa talplanet vid tiden t. Då ges hastigheten i y led
av imaginär delen av d
dteit och hastigheten i x led av realdelen av d
dteit , och
farten av beloppet på d
dteit . För reella tal vet vi att derivatan av exponential
funktionen ges av
d
dx ex = e x .
Om exponentialfunktionen ska ha väldefinierad derivata överallt, dvs att
funktionen är mjuk och inte plötsligt ändrar riktning måste samma regel
6

gälla för alla komplexa tal
Så vi har
d
dz ez = e z .
d
dt eit = ie it ,
och vi ser att farten på partikeln i kvadrat är
ie it ie it ∗ = ie it (−i)e −it = 1
Beloppet på hastigheten är ett, så när tiden t har gått har vi rört oss sträckan,
s = vt = 1t = t, längs enhetscirkeln. Kommer vi sedan ihåg att (cos t, sin t)
anger den punkt på enhetscirkeln med avstånd t, längs med enhetscirkeln 2 ,
ifrån den reella axeln får vi Eulers formel
e iθ = cos θ + i sin θ .
Eulers formel är ett väldigt viktigt inom både matematiken och fysiken, och
enligt mig (och många med mig) ett väldigt vacker samband. Med hjälp av
denna formel kan vi då slutligen skriva ett komplext tal på ännu ett sätt,
2 Sammanfattning
z = re iθ .
Följande formler och uttryck måste ni kunna:
De olika sätten på vilket man kan skriva ett komplex tal:
z = a + bi = r(cos θ + i sin θ) = re iθ .
a kallas för z:s realdel och betecknas med a = ℜ(z) eller a = Re(z). b kallas
för z:s imaginärdel och betecknas med b = ℑ(z) eller a = Im(z). θ kallas
för z:s argument och betecknas med θ = arg(z). r kallas för z:s belopp och
betecknas r = |z|.
2 Påminn er om de trigonometriska funktionerna och definitionen av radianer, om ni
inte kommer ihåg detta.
7

Hur man går emellan de olika sätten att representera ett komplext
tal: Hur man går från polär- till komponent form
a = r cos θ
b = r sin θ
och hur man går från komponent- till polär form
r = √ a 2 + b 2
θ = arctan
b
a
Komplexconjugering: Komplexkonjugatet av z = a + bi är
3 Problem
z ∗ = a − bi = re −iθ .
zz ∗ = a 2 + b 2 = r 2
Exempel 1 (1-P4). Omvandla till polär form:
a) 3i
b) 2
Lösningsförslag: .
θ = π
2
r = 3
Lösningsförslag: .
8
.
ℑ(z)
✻
3
✻
✲
ℜ(z)

c) 2 + 3i
θ = 0
r = 2
Lösningsförslag: .
d) 5 + i
e) −2 + i
r 2 = 2 2 + 3 2 = 13
θ = tan−1
3
2
⇒ z = √ 13e i tan−1 ( 3
2)
ℑ(z)
✻
✲
2
ℑ(z)
✻
✡ ✡
✡ ✡✣
Exempel 2 (1-P5). Omvandla följande tal till komplex representation
π
i a) 3e 3
b) 1
c) 8e iπ
d) e 2πi
π
i e) −2e 2
9
✲
ℜ(z)
✲
ℜ(z)