2. Transformationer, Matriser och Operationer.

21 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2 

2. Transformationer, Matriser och Operationer. 

2.1. Transformationer i fysiken vad är det ? 

Händelser 

• Händelser i fysiken anges med en tids och en rumskoordinat : en punkt i rumtiden. 

DEF : Den eventuella Relationen mellan tv˚a händelser 

A(t1, x1, y1, z1) ↔ A(t2, x2, y2, z2) (2.1.1) 

anges av en rum-tidstransformationsoperator även kallad en evolutionsoperator 

EXEMPEL : Newtons rörelseekvation 

ma = F ⇔ m d2 x(t) 

dt 2 

= F(x, t) 

Beskriver hur positionen hos en partikel med massan m ändras med tiden t som en 

funktion av en yttre kraft F, 

- Tv˚a p˚a varandra följande transformationer är trivialt en transformation. 

A(t3, x3) = A(t2, x2)A(t1, x1) (2.1.2) 

2.2. Rotationer i rummet. 

Betrakta en vektor r och rotera den i rummet. Rotation innebär att vektorns 

riktning ändras medan längden är oförändrad. 

⎧ 

r = x ˆx + y ˆy + z ˆz = x ′ ˆx ′ + y ′ ˆy ′ + z ′ ˆz ′ 

|r| 

⎪⎨ 

2 = {(x · x) (ˆx · ˆx) + (y · y) (ˆy · ˆy) + (z · z) (ˆz · ˆz)} = 

= 

(x2 ) 1 + (y2 ) 1 + (z2 ) 1 

⎪⎩ 

= {(x ′ · x ′ ) (ˆx ′ · ˆx ′ ) + (y ′ · y ′ ) (ˆy ′ · ˆy ′ ) + (z ′ · z ′ ) (ˆz ′ · ˆz ′ )} = 

= 

(x ′ ) 2 1 + (y ′ ) 2 1 + (z ′ ) 2 1 

PROBLEM : Hur ? – Använd skalärprodukten 

(2.2.1)

22 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 

ˆxj = ˆx ′ 1(ˆx ′ 1 · ˆxj)+ ˆx ′ 2(ˆx ′ 2 · ˆxj)+ ˆx ′ 3(ˆx ′ 3 · ˆxj) = 

3 

i=1 

x ′ i = λi1x1 + λi2x2 + λi3x3 = 

⇓ 

⇓ 

ˆx ′ iλij med λij = ˆx ′ i · ˆxj = ˆx ny 

i · ˆx gammal 

j 

λijxj 

j=1 

(2.2.2) 

(2.2.3) 

Transformations eller Rotationsmatrisen 

⎛ 

x 

⎜ 

⎝ 

′ 1 

x ′ 2 

x ′ ⎞ ⎛ 

λ11 

⎟ ⎜ 

⎠ = ⎝ λ21 

3 λ31 

λ12 

λ22 

λ32 

⎞ 

λ13 

⎟ 

λ23 ⎠ 

λ33 

⎛ ⎞ 

x1 

⎜ ⎟ 

⎝ x2 ⎠ 

x3 

{with λij = ˆxi · ˆxj} (2.2.4) 

Betrakta rotationsmatrisen i ekv.(2.2.4) i det fall vi roterar xy-axlarna en vinkel θ 

men beh˚aller en identisk z−axel. 

D˚a gäller att 

Matrisers egenskaper 

^ 

y 

' ^ 

y 

^ 

z z 

^' 

^' x 

⎧ 

⎪⎨ λ11 = ˆx ′ · ˆx = cos θ ; λ12 = ˆx ′ · ˆy = sin θ 

⎪⎩ 

λ13 = ˆx ′ · ˆz = 0 ; λ21 = ˆy ′ · ˆx = − sin θ 

⇒ 

⎛ 

cos θ 

⎜ 

λ(θxy) = ⎝ − sin θ 

sin θ 

cos θ 

⎞ 

0 

⎟ 

0 ⎠ 

0 0 1 

Ā = (Aij) 

• Transposition : Aij ↔ Aji (ger : Ā T ) 

• Symmetrisk : Aij = Aji ( Ā = Ā T ) 

^ 

x 

etc.


• Anti-symmetrisk : Aij = −Aji ( Ā = −Ā T ) 

• Diagonal : Aij = Aji = Aiiδij ⇒ Ā = ¯d 

• Enhets : Aij = Aji = 1 δij ⇒ Ā = Ī 

- Om ∃ en matris Ī i en mängd av kvadratiska matriser och det till en matris Ā i 

mängden finns matris Ā −1 s˚adan att 

s˚a kallas matrisen Ā −1 för matrisen Ā:s invers. 

ĀĀ −1 = Ī = Ā −1 Ā (2.2.5) 

- En kvadratisk matris Ā vilken saknar invers kallas singulär. 

- Summan av diagonalelementen i en kvadratisk matris benämnes sp˚aret (Eng. 

Trace ) 

3 

Sp Ā = (TrĀ) = Aii. (2.2.6) 

- För en ortogonal matris är dess invers = transponerade matris 

d.v.s 

i=1 

Ō T = Ō −1 ⇔ (Ō T Ō)ij = δij = (ŌŌ T )ij (2.2.7a) 

k 

OkiOkj = δij = 

OikOjk 

k 

(2.2.7b) 

- Jämför detta med vektorer ! Ovanst˚aende uttryck kallas ortogonalitetsrelationer. 

- En matris vars Hermitkonjugerade matris är dess invers kallas unitär. 

d.v.s 

Ū † = Ū −1 ⇔ (Ū † Ū)ij = δij = (UU † )ij (2.2.8a) 

k 

U ∗ kiUkj = δij = 

UikU 

k 

∗ jk 

Ekv.(2.2.8) kallas för en unitaritetsrelation. 

(2.2.8b) 

- Matriser kommuterar i regel inte. En mängd matriser av given ordning ( n×n) 

bildar en s.k icke-kommutativ algebra. Exempel : Paulis spinnmatriser är fyra 

stycken. (se boken). 

Transformationsmatriser 

D˚a dessa operationer är reversivbla ⇒ är motsvarande matriser inverterbara genom 

att byta gamla → nya index 

(¯λ −1 )ij = ˆx gammal 

i 

· ˆx ny 

j 

= ˆxny 

j · ˆx gammal 

i = λji = (¯λ T )ij (2.2.9)

24 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 

2.3. Determinanter och Matrisinversion. ( DETTA SKALL NI REDAN 

KUNNA !!!) 

DEF : Determinanten av en kvadratisk matris Ā av ordningen n definieras av 

 

 

A11 A12 · · · A1n 

 

 

 

 

 

 

 

 

A21 A22 · · · A2n 

 

 

det A = 

 

 

= 

 

 

. . . . 

 

 

 

 

 

 

 

 

An1 An2 · · · Ann 

 

ɛij···lAi1Aj2 · · · Aln, (2.3.1) 

ij···l 

där ɛij···l är en permutationssymbol enl. vad som kan generaliseras fr˚an ekv.(1.3.5). 

Egenskaper : 

• Determinanten av den transponerade matrisen 

• Multiplikation av en kolumn 

det 

det Ā = det Ā T 

(2.3.2) 

⎛ 

⎞ 

kA11 A12 · · · A1n 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎜ kA21 A22 · · · A2n ⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎟ = k det Ā (2.3.3) 

⎜ 

⎟ 

⎜ . . . . ⎟ 

⎜ 

⎟ 

⎝ 

⎠ 

kAn1 An2 · · · Ann 

• Om matriserna Ā och ¯B enbart skiljer sig genom att tv˚a rader eller kolumner har 

bytt plats s˚a gäller att 

• L˚at 

det Ā = − det ¯B ur (2.3.1) (2.3.4) 

¯C = Ā¯B ⇒ det ¯C = det (Ā¯B) = (det Ā)(det ¯B) = det (¯BĀ) (2.3.5) 

• En Laplaceutveckling exemplifieras av 

det 

⎛ 

⎞ 

A11 A12 A13 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

⎟ 

 

 

 

⎜ 

⎟ 

⎜ A21 A22 A23 ⎟ = A11 

 

A22 A23 

 

⎜ 

⎟ 

− A21 

 

A12 A13 

 

 

+ A31 

 

A12 A13 

 

 

 

A32 A33 A32 A33 A22 A23 

⎝ 

⎠ 

A31 A32 A33 

(2.3.6)


och definieras genom 

det Ā = 

AkqCkq med Kofaktorn Ckq ( qför kolumn (2.3.7) 

vilken är definierad genom 

k 

Ckq = 

′ 

ij···l ,=k 

s˚a att den inte inneh˚aller elementet Akq. 

ɛij···l(Ai1 · · · Aln) ′ 


- Kofaktorn Ckq kan konstueras ur den reducerade determinanten eller minoren Mkq 

(av ordning n−1 ) vilken erh˚alles genom att den k :te raden och den q :te kolumnen 

tas bort ur det Ā. Det gäller att 

Ckq = (−1) k+q Mkq ⇒ 

n 

det Ā = Akq(−1) 

k=1 

k+q Mkq 


Matrisinversion. 

Betrakta en kvadratisk matris Ā. L˚at ¯C vara motsvarande kvadratiska matris 

best˚aende av kofaktorer till Ā. D˚a gäller att 

Ā −1 = 1 

det Ā 

D˚a ¯C enligt ekv.(2.3.8) alltid ∃ ⇒ ∃ Ā −1 om det (Ā) = 0. 

Linjära ekvationssystem. 

Antag att vi har att lösa ett linjärt ekvationssystem av formen 

¯C T 


A11x1+ 

. 

A12x2+ 

. 

· · · + 

. 

A1nxn 

. 

= c1 

. ⇐⇒ Āx = c (2.3.11) 

An1x1+ An2x2+ · · · + Annxn = cn 

där Ā är en n×n matris och x1, · · · , xn är okända i form av kolumnvektorer x. ci bildar 

ocks˚a en kolumnvektor c. 

I matrisform är om Ā −1 ∃ lösningen 

En enskild lösning ( kallad Cramers regel ) ges av 

xi = (Ā −1 c)i = 

x = Ā −1 c (2.3.12a) 

j 

( ¯C T )ijcj 

det Ā 

= 

2.4. Homogena ekvationer och linjärt beroende. 

Betrakta ett linjärt ekvationsystem 

j 

cjCji 

det Ā 

(2.3.12b) 

A11x1+ 

. 

A12x2+ 

. 

· · · + 

. 

A1nxn 

. 

= 0 

. ⇐⇒ Āx = 0 (2.4.1) 

An1x1+ An2x2+ · · · + Annxn = 0

26 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 

• Det ∃ en trivial lösning om det Ā = 0 

x = Ā −1 c = 0 (2.4.2) 

Bortse fr˚an den triviala lösningen !. Betrakta nu en vektor 

x = (x1, x2, · · · , xn) = x1ˆx1 + x2ˆx2 + · · · xnˆxn 


Ekv.(2.4.1 och 2.4.2) innebär att x är ortogonal mot vektorerna ai i ekv.(2.4.4) d˚a 

ortogonalitet innebär att skalärprodukten är lika med noll : 

d˚a 

ai = (Ai1, Ai2, · · · , Ain) (2.4.4) 

x · ai = (x1Ai1)(ˆx1 · ˆx1) + (x2Ai2)(ˆx2 · ˆx2) + · · · + (xnAin)(ˆxn · ˆxn) = 0 (2.4.5) 

Men ekv.(2.4.5) är det samma som 

d.v.s samma som de ekv. som bygger upp (2.4.1). 

x1Ai1 + x2Ai2 + · · · + xnAin = 0 (2.4.6) 

Betrakta nu en tredimensionell matris. Ā och ett egenvärdesproblem 

Āx = 0 ⇐⇒ ai · x = 0 ⇐⇒ x ⊥ ai i = 1, 2, 3. (2.4.7) 

det Ā = 0 ⇒ a3 = c1a1 + c2a2 (2.4.8) 

Om a1 = ca2 spänner a1 och a2 ett tv˚adimesionellt rum i ett tredimesionell rum 

• För n × n matriser kan detta linjära beroende generaliseras till att r radvektorer 

a1, · · · , ar i Ā vilka spänner ett underrum Sa där trivialt r < n om det Ā = 0.


Lösningen till 

Āx = 0 (2.4.9) 

spänner det˚asterst˚aende (n−r)−dimensionella rummet Sx vilket kallas det ortogonala 

komplementet till Sa. 

S = Sa ∪ Sx; Dim (S) = n ; ⇔ Sa ⊥ Sx ⇔ a ∈ Sa ; x ∈ Sx ⇒ x ⊥ a 


Linjärt oberoende och rangen av en matris. 

Antag att bara de första r radvektorerna ai i = 1, · · · , r i Ā är linjärt oberoende. 

För de ˚aterst˚aende (n − r) vektorerna ak k = r + 1, · · · , n har vi att 

• Detta innebär att om 

r 

ak = 

i=1 

c (k) 

i ai ; k = r + 1, · · · , n (2.4.11) 

x ⊥ ai i = 1, · · · , r ⇒ ai · x = 0 i = 1, · · · , r ⇒ x ⊥ ak k = r + 1, · · · , n 


L˚at nu ¯B vara den r × n submatris av Ā som inneh˚aller de linjärt oberoende radvektorerna. 

⎛ 

a11 

⎜ . 

⎜ ar1 

Ā = ⎜ a 

⎜ (r+1)1 

⎜ 

⎝ . 

a12 

. 

ar2 

a (r+1)2 

. 

· · · 

· · · 

· · · 

⎞ 

a1n 

⎟ 

. ⎟ ⎛ 

arn 

⎟ ¯B 

⎟ = ⎝ 

a (r+1)n ⎟ ¯B ⎟ 

. ⎠ 

kompl 

⎞ 

⎠ (2.4.13) 

D˚a gäller att 

an1 an2 · · · ann 

¯Bx = 0 (2.4.14) 

⎛ ⎞ 

⎜ 

¯B = ( b1 · · · bn ) med bj = ⎜ 

⎝ 

a1j 

⎟ 

a2j ⎟ 

⎠ 

. 

arj 


• Inte alla dessa n kolumnvektorer är linjärt oberoende fr˚an varandra d˚a en godtycklig 

r−dimensionell vektor m˚aste ha r oberoende komponenter. 

⇒ Ej mer än r av dessa kolumnvektorer bj kan vara linjärt oberoende. 

En kolumnvektor bn är linjärt beroende av de andra kolumnvektorerna 

n−1 

bn = djbj 

j=1 

kan strykas ur matrisen ¯B utan att det linjära oberoendet av de resterande 

(n − 1)−dimensionella radvektorerna ändras. 

(2.4.16)

28 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 

• (n−r) st av de linjärt beroende kolumnvektorerna kan tas bort utan att det p˚averkar 

underrummet som spänns genom ¯B. 

⇒ ∃ en matris ¯R med Dim ( ¯R) = r × r och det ( ¯R) = 0. 

• Exempel : Betrakta matrisen 

⎛ 

1 

¯B 

⎜ 

= ⎝ 

2 

⎞ 

3 

⎟ 

⎠ 

4 5 6 

Denna byggs upp av tv˚a linjärt oberoende radvektorer. Detta innebär att 

enbart tv˚a av de tre kolonvektorerna är linjärt oberoende. Den tredje 

kolonvektorn är en linjärkombination av de tv˚a övriga : 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

3 1 2 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

b3 = ⎝ ⎠ = − ⎝ ⎠ + 2 ⎝ ⎠ = −b1 + 2b2 

6 4 5 

Detta innebär att den inverterbara matrisen ¯R är 

⎛ ⎞ 

1 2 

¯R 

⎜ ⎟ 

= ⎝ ⎠ 

4 5 

DEF : Ordningen hos den största ickesingulära ( det ¯R = 0) submatrisen ¯R i en matris Ā 

definierar en 

matris ( Ā ) rang. 

˚Atervänd till ekv.(2.4.14). 

¯Bx = 0 ⇒ (¯Bx)i = 

⇒ 

r 

j=1 

n 

j=1 

bjxj = − 

Bijxj = 0 ⇒ 

n 

k=r+1 

bkxk 

n 

j=1 

bjxj = 0 


• En godtycklig lösning till denna ekvation är ocks˚a en lösning till Āx = 0 d˚a ¯B 

inneh˚aller alla linjärt oberoende vektorer i Ā. 

- Ekv.(2.4.16) kan nu lösas. (1) först den triviala lösningen x = 0. 

Antag att alla xk = 0. 

(2.4.16) → ¯Rx ′ = 0 med x ′ ⎛ ⎞ 

x1 

⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

x2 

. 

xr 

⇒ x = 0 (2.4.17)


Antag att alla xk = 0 utom( för ett värde p˚a l ) : xl ; r + 1 ≤ l ≤ n ; k = l. Om 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

y1 x1/xl 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ . ⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ . ⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

y = ⎜ yj ⎟ = ⎜ xj/xl ⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠ 

yr 

xr/xl 

blir en unik riktning. 

⇒ ¯Ryl = −bl ⇒ yl = − ¯R −1 bl ⇒ el = e(yl) 


• Genom att efter varandra l˚ata ℓ = r + 1, · · · , ℓ = n kan vi p˚a detta sätt konstruera 

(n − r) linjärt oberoende riktningar ek med k = r + 1, · · · , k = n. Dessa vektorer 

spänner hela det (n − r)−dimensionella rummet Sx ⊥ Sa 

• Sa inneh˚aller de r linjärt oberoende radvektorerna i ¯B. 

• D˚a ek k = r + 1, · · · , k = n är linjärt oberoende genom v˚ar konstruktion kan 

varje annan lösning till Ā skrivas som 

x = 

n 

k=1 

ekxk 


2.5. Matrisegenvärdesproblem ( ÄVEN DETTA SKALL NI KUNNA !!!!) 

L˚at ¯B vara en n × n matris och Ī motsvarande enhetsmatris. Betrakta egenvärdesproblemet 

¯Bu − λĪu = 0 (2.5.1) 

- Lösningen : λν är ett egenvärde eller karaktäristiskt värde 

- Lösningen : uν = 0 är motsvarande egenvektor. 

(¯B − λĪ)u = 0 (2.5.2) 

är ett homogent ekvationssystem som alltid ( för alla λ ) har den triviala lösningen 

- Villkor för icke trivial lösning: 

u = 0 (2.5.3) 

φ(λ) = det (¯B − λĪ) = 0 (2.5.4) 

Ekv.(2.5.4) kallas den karaktäristiska ekvationen. φ är ett polynom av grad n =⇒ n 

rötter λ1, λ2, ...λn vars värde kan sammanfalla. 

- Om λ = λi = egenvärde kan det homogena ekvationssystemet (2.5.2) lösas , d.v.s ∃ 

en egenvektor ei s˚a att 

(¯B − λi Ī)ei = 0 (2.5.5)

30 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 

- ei är en normerad egenvektor svarande mot egenvärdet λi med egenskapen 

e T i ei = 1 (2.5.6) 

2.6 Generaliserade matrisegenvärdesproblem. 

L˚at ¯K och ¯M vara n × n-matriser och studera egenvärdesproblemet 

- En icke-trivial lösning kräver att 

( ¯K − λ ¯M)u = 0 (2.6.1) 

φ(λ) = det ( ¯K − λ ¯M) = 0 (2.6.2) 

- Detta behöver för ett generaliserat egenvärdesproblem ej längre vara ett polynom 

av grad n. Det kan ha lägre grad. 

- Om ¯M har m noll-egenvärden finns det bara n − m lösningar till ekv.(2.6.2). 

2.7. Hermitska matriser. 

DEF : En matris är Hermitsk om : 

H † 

ij ≡ (H∗ ij) T = Hji ⇔ ¯H † ≡ ( ¯H ∗ ) T = ¯H (2.7.1) 

- Spec: Om ¯H är reell s˚a följer av ekv.(2.7.1) att den är symmetrisk 

¯H T = ¯H (2.7.2) 

• Hermitska matriser har följande egenskaper 

1. De kan vara komplexa eller reella. 

2. Deras egenvärden är reella. 

3. Egenvektorer svarande mot olika egenvärden är ortogonala. (Motsvarande skalärprodukt 

är e † 

i ej ) 

4. Egenvektorer som hör till degenererade egenvärden kan ortogonaliseras. 

5. Tillhörande skalärprodukt ger en reell norm 

e † 

i ei = (e ∗ i) T ei > 0 

Om λi = λj s˚a spänner motsvarande egenvektorer upp ett 2-dimensionellt rum. 

Diagonalisering. 

L˚at de ortonormaliserade egenvektorerna till en hermitsk matris ¯H bilda en matris 

Ū. 

⎛ 

⎜ 

Ū = ⎜ 

⎝ 

e11 . . . en1 

. . 

. . 

. . 

e1n . . . enn 

⎞ 

⎟ , den har egenskapen 

⎟ 

⎠ 

Ū † Ū 

ij 

= e† 

i ej = δij (2.7.3)


Den Hermitska matrisen ¯H kan diagonaliseras med hjälp av Ū. Betrakta matrisen 

¯D med element 

( ¯D)ij = (Ū † ¯HŪ)ij = 


Men enligt def. av Ū enligt ekv.(2.7.3) s˚a är 

kl 

(Ū † )ikHklUlj 

Dij = e † 

i Hej = λje † 

i ej = λjδij 

• Den Hermitska matrisen ¯H kan s˚aledes diagonaliseras med hjälp av Ū 

Ū † ⎛ 

λ1 

⎜ 0 

⎜ 

¯HŪ = ¯D = ⎜ . 

⎜ . 

⎜ 

⎝ . 

. 

λ2 

. . . 

. . . 

. . . 

. . . 

. . . 

. . . 

. . . 

. . . 

0 

0 

. 

. 

. 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

0 . . . 0 λn 

Funktioner av matriser 

För matriser med egenskapen (2.7.6) kan vi definiera funktioner 

f( ¯H) = Ūf( ¯D)Ū † ⎛ 

f(λ1) 

⎜ 0 

⎜ 

≡ Ū ⎜ . 

⎜ . 

⎜ 

⎝ . 

. 

f(λ2) 

. . . 

. . . 

. . . 

. . . 

. . . 

. . . 

. . . 

. . . 

0 

0 

. 

. 

. 

⎞ 

⎟ Ū 

⎟ 

⎠ 

0 . . . 0 f(λn) 

† 

Hermitska matrisers generaliserade egenvärdesproblem. 

L˚at ¯K och ¯M vara hermitska matriser. Betrakta egenvärdesproblemet 

¯Kei = λi ¯Mei 

Antag att ¯M:s alla egenvärden λ M i > 0, d.v.s. att ¯M är positivt definit. 

⇐ ∃ ¯M −1/2 

enligt ekv.(2.7.7). Ekv.(2.7.8) kan d˚a skrivas som 

 

= λi 

¯M −1/2 ¯Kei = ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2 ¯M 1/2 ei 

eller 





(upphöjt till −1/2 ) (2.7.9) 

¯K ′ bi = λibi 

Lägg märke till att även ¯K ′ är hermitsk d˚a 

 

¯M 1/2 

ei 

( ¯K ′ ) † = ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2 † 

= ¯M −1/2 † 

¯K † ¯M −1/2 † 

med ¯K ′ = ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2 

(2.7.10a) 

(2.7.10b) 

= ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2 = ¯K ′ 


D˚a för en hermitsk matris gäller att egenvektorerna till tv˚a olika egenvärden är 

ortogonala s˚a har vi här att 

λi = λj ⇒ b † 

i bj = 0 (2.7.12)

32 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 

vilket enligt (2.7.10b) är det samma som att 

( ¯M 1/2 ei) † ¯M 1/2 ei = 0 ⇐⇒ (ej) † ¯Mej = 0 (i = j) (2.7.13) 

• De generaliserade egenvärdena är allts˚a ortogonala mot viktsmatrisen ¯M. 

Gruppteori 

Vad är en Grupp i matematisk mening ? 

• Behövs en mängd av vad som hellst {A = Ai} och en operator ⊗ som relaterar 

kallas en gruppens medlemmar till varandra. 

DEF : En mängd A är en grupp om 

(1) Om A3 = A2 ⊗ A1 ocks˚a är en medlem i gruppen : ett gruppelement. 

(2) Om det ∃ ett element I ∈ A s˚adant att 

Aj ⊗ I = I ⊗ Aj ∀ Aj ∈ A 

(3) Om det till varje element Aj ∈ A ∃ element A −1 

j 

att 

Grupp multiplikation 

A −1 

j ⊗ Aj = Aj ⊗ A −1 

j = I 

( kallat inversen till Aj ) s˚adant 

De diskreta grupperna är enklaste. Betrakta en liksidig triangel i planet. Genom 

att vrida triangeln 120 o runt dess medelpunkt f˚ar vi en identisk triangel. Genom att 

spegla triangeln i de tre linjer som delar den i tv˚a lika rätvinkliga trianglar f˚ar vi ˚ater 

tre indentiska trianglar. De tv˚a olika typerna av operationer bildar tv˚a cykliska undergrupper 

i s˚a m˚atto att varje undergrupp är sluten under sin typ av operationer och 

varje undergrupp best˚ar av ett begränsat antal operationer efter vilket vi erh˚aller samma 

element. Om vi l˚ater element 1 vara enhetselementet, A vara en rotation av 120 o och 

B vara en rotation av 240 o har vi genererat rotationsundergruppen. L˚at sedan C vara 

en spegling i 

hörnet genom punkten (0, 1) i figuren, D vara en spegling i hörnet genom 

punkten ( 3/4, −1/2) och E vara en spegling i hörnet genom punkten (− 3/4, −1/2). 

Elementen (1, C, D, E) bildar ocks˚a en cyklisk undergrupp. Hela gruppen kan beskrivas 

med en s.k. Gruppmultiplikationstabell 

| 1 A B C D E 

1 | 1 A B C D E 

A | A B 1 D E C 

B | B 1 A E C D 

C | C E D 1 B A 

D | D C E A 1 B 

E | E D C B A 1


2.9. Rotationsoperatorer 

Betrakta rotationsmatrisen i ekv.(2.2.4) i det fall vi roterar xy-axlarna en vinkel 

θ men beh˚aller en identisk z−axel. 

⎛ 

cos θ 

⎜ 

λ(θxy) = ⎝ − sin θ 

sin θ 

cos θ 

⎞ 

0 

⎟ 

0 ⎠ 

0 0 1 

För en infinitesimal rotation dθ3 runt z−axeln f˚ar vi att 

⎛ 

1 

⎜ 

R(dθ) = ⎝ −dθ3 

dθ3 

1 

⎞ 

0 

⎟ 

0 

0 0 1 

Analogt definierar vi 

⎠ = 1 + ıdθ3J3 där J3 = ı 

J1 = ı 

⎛ 

0 

⎜ 

⎝ 0 

0 

0 

⎞ 

0 

⎟ 

−1 ⎠ och J2 = ı 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

0 

0 

0 

0 

⎞ 

1 

⎟ 

0 ⎠ 

0 1 0 

−1 0 0 

⎛ 

0 

⎜ 

⎝ 1 

−1 

0 

⎞ 

0 

⎟ 

0 ⎠ 

0 0 0 

• Egenskaper : matriserna Ji, i = 1, 2, 3 är generatorer för infinitesimala rotationer. 

(1) Matriserna Ji är Hermitska. 

(2) Det gäller att 

(3) Deras kommutatorer är 

Ändliga rotationer. 

J 2 ⎛ ⎞ 

0 0 0 

⎜ ⎟ 

1 = ⎝ 0 1 0 ⎠ , J 

0 0 1 

2 ⎛ ⎞ 

1 0 0 

⎜ ⎟ 

2 = ⎝ 0 0 0 ⎠ , J 

0 0 1 

2 ⎛ ⎞ 

1 0 0 

⎜ ⎟ 

3 = ⎝ 0 1 0 ⎠ 

0 0 0 

⇒ J 2 = J · J = J 2 1 + J 2 2 + J 2 3 = 2I 

[Ji, Jj] = JiJj − JjJi = ı 

k 

ɛijk Jk

34 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 

För infinitesimal rotation runt en godtyckligt riktning ê är 

Betrakta analogt 

R(dθ) = 1 + ı dθ · J, dθ = dθê 

R(θ + dθ) = R(dθ)R(θ) = (1 + ı dθ · J)R(θ) ↔ dR(θ) = R(θ + dθ) − R(θ) 

DEF : Upprepade infinitesimala rotationer runt samma riktning ê ger oss rotationsoperatorn 

R(θ) = exp(ı θ · J) θ = θê 

• Matrisen R(θ) är s˚aväl ortogonal som unitär d˚a 

Vektoralgebra i Matrisform. 

skalärprodukten 

är oberoende av koordinatsystem : 

vektorprodukten 

Enligt den normala definitionen 

Att jämföras med 

R † (θ) = exp(−ı θ · J † ) = exp(−ı θ · J) = R −1 (θ) 

⎛ ⎞ 

B1 

⎜ ⎟ 

A · B = ( A1 A2 A3 ) ⎝ B2 ⎠ = A T B 

B3 

A ′ · B ′ = (λA) T λB = A T (λ T λ)B = A · B 

 

 

⎛ 

⎞ 

 

ˆx ˆy ˆz 

 

A2B3 − A3B2 

 

 

⎜ 

⎟ 

A × B = A1 A2 A3 = { i matrisform } = ⎝ A3B1 − A1B3 ⎠ 

 

 

B1 B2 B3 

 

A1B2 − A2B1 

A × B = 

Matrisen 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

0 

A3 

−A3 

0 

A2 

−A1 

−A2 A1 0 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

0 

A3 

−A3 

0 

A2 

−A1 

−A2 A1 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

⎞ 

B1 A2B3 − A3B2 

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 

⎟ 

⎠ ⎝ B2 ⎠ = ⎝ A3B1 − A1B3 ⎠ 

B3 

A1B2 − A2B1 

⎧ 

⎪⎨ 

− ı 

⎪⎩ A1 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞⎫ 

0 0 0 

0 0 1 

0 −1 0 ⎪⎬ 

⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ 

ı ⎝ 0 0 −1 ⎠ + A2 ı ⎝ 0 0 0 ⎠ + A3 ı ⎝ 1 0 0 ⎠ = −ıA · J 

⎪⎭ 

0 1 0 

−1 0 0 

0 0 0


⇒ A × B = −ı(A · J) B 

EXEMPEL : En konstant ortsvektors koordinatändring under en infinitesimal rotation av koordinataxlarna. 

dr = r ′ − r = ı(dθ · J)r = −dθ × r 

⇒ v = dr 

dt 

= −ω × r , med ω = dθ 

dt 

2.11. Matrisgrupper. 

Kvadratiska matriser relaterar transformationer mellan olika koordinatsystem. De 

är därför utomordentligt viktiga i den teoretiska fysiken. Kvadratiska matriser bildar 

icke kommutativa grupper. 

DEF : Alla ickesingulära = invertibla komplexa n × n matriser bildar en grupp under 

matrismultiplikation : Komplexa linjära gruppen av ordningen n : GL(n, c) 

• GL(n, c) har ett antal undergrupper vilka är slutna under matrismultiplikation. 

DEF : Om det finns en unitär transformation som avbildar v˚ar ursprungliga representationsmatriser 

i diagonal eller blockdiagonalform 

SRS −1 = 

 

P 0 

0 Q 

⇔ 

s˚a säger man att representationen R är reducibel. 

DEF : Representationen R är sammansatt av P och Q 

DEF : 

⎛ 

r11 

⎜ r21 

⎜ 

⎝ r31 

r12 

r22 

r32 

r13 

r23 

r33 

⎞ 

r14 

⎟ 

r24 ⎟ 

r34 ⎠ 

r41 r42 r43 r44 

→ 

⎛ 

p11 

⎜ p21 

⎜ 

⎝ 0 

p12 

p22 

0 

0 

0 

q11 

⎞ 

0 

0 

⎟ 

q12 ⎠ 

0 0 q21 q22 

R = P ⊕ Q 

Irreducibla representationer används inom gruppteorien p˚a ungefär samma sätt som 

enhetsvektorer inom vektoranalysen för att bygga upp mera komplicerade strukturer 

ur de enklaste. 

Betrakta en grupp av element x vilka transformeras in i en annan grupp av element 

y med en similaritetstransformation med avseende p˚a ett element gi i gruppen 

gixg −1 

i 

= y elementet y är konjugerat till x 

DEF : En klass är en mängd av ömsesidigt konjugerade gruppelement. Alla medlemmar 

i en given klass är ekvivalenta i s˚a mening att varje element är en similaritetstransformation 

av ett annat element. 

- Varje element i den ursprungliga gruppen tillhör en och endast en klass

36 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 

- Antalet element i en klass är en faktor i den ursprungliga gruppens ordning. 

DEF : Man kan visa att sp˚aret av em matris bevaras under similaritetstransformationer. 

Sp˚aret eller karaktären för en klass är den samma för alla element i klassen. 

Ortogonalagruppen O(n) av alla ortogonala matriser av ordningen n 

- Denna grupper beskriver koordinattransformationsmatriser λ i ett n−dimensionellt 

rum. 

- Skalärprodukten är invariant 

A ′ · B ′ = (λA) T λB = A T (λ T λ)B = A · B 

- Matriser i O(n) beskrivs av 1/2 n(n−1) reella tal d˚a 1/2 n(n−1) = n 2 −1/2 n(n+1) 

där 1/2 n(n + 1) tal behövs för att beskriva relationen λ T λ = I. 

- Gruppen O(3) beskriver rotationer i det tredimensionella rummet. 

∗ Eulervinklarna α, β och γ def. av 

R(α, β, γ) = Rz(γ)Rx(β)Rz(α) ⇐⇒ R(α) = exp(ı α · J) ; 

(3) (2) (1) 

med α = α1e1 + α2e2 + α3e3


EXEMPEL : Rotationmatriser i planet. Betrakta samma liksidiga triangel i figuren i sektion 2.9 

: 

I rotationsmatrisform f˚ar vi 

 

1 0 

1 = Rz(0) = 

0 1 

A = Rz(2π/3) = 

B = Rz(4π/3) = 

 

cos(2π/3) 

 

− sin(2π/3) 

sin(2π/3) cos(2π/3) 

 

cos(4π/3) 

 

− sin(4π/3) 

sin(4π/3) cos(4π/3) 

och reflektionsmatriser 

 

−1 0 

C = RC(π) = 

0 1 

 

−1 0 

D = RD(π) = CD = 

0 1 

⎛ 

⎝ −1/2 

⎞ ⎛ 

3/4 

 

⎠ = ⎝ 

− 3/4 −1/2 

1/2 

⎞ 

3/4 

 

⎠ = −B 

− 3/4 −1/2 

och slutligen 

Unitära gruppen U(n) 

⎛ 

E = CA = ⎝ 1/2 

⎞ 

3/4 

 

⎠ 

3/4 −1/2 

- Den beskrivs av 2n 2 − n 2 reella tal d˚a begränsningen U † U = I l˚aser n 2 reella tal. 

- L˚at H vara en hermitsk n × n matris. 

U = exp(ı H) det U = det {exp(ı H)} = exp(ıSp ¯H) = exp(ı 

H hemitsk ⇒ λi ∈ R 1 ⇒ |det U| = 1 

n 

i 

λi ) = exp(ı α) 

Gruppen U(1) best˚ar av alla fasfaktorer. 

Speciella unitära gruppen SU(n) 

best˚ar av alla unitära matriser med |det U| = 1. d.v.s. α = 0. L˚at U0 ∈ SU(n). 

⎧ 

⎪⎨ U(n) = exp(ıH) 

⎪⎩ 

U0 = exp(ı H0) 

⇒ H = H0 + α 

n 

 

I och U = exp ı α 

n 

 

 

U0 = U0 exp ı α 

 

n

EXEMPEL : SU(2) 

38 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 

U0(α, β, γ) = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⇒ U(n) = SU(n) ⊗ U(1) 

cos α cos βe ı γ sin β + ı sin α cos β 

−ı γ 

− sin β + ı sin α cos β cos α cos βe 

⎞ 

⎟ 

⎠

2. Transformationer, Matriser och Operationer.

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?