2. Transformationer, Matriser och Operationer.
2. Transformationer, Matriser och Operationer.
2. Transformationer, Matriser och Operationer.
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
21 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2<br />
<strong>2.</strong> <strong>Transformationer</strong>, <strong>Matriser</strong> <strong>och</strong> <strong>Operationer</strong>.<br />
<strong>2.</strong>1. <strong>Transformationer</strong> i fysiken vad är det ?<br />
Händelser<br />
• Händelser i fysiken anges med en tids <strong>och</strong> en rumskoordinat : en punkt i rumtiden.<br />
DEF : Den eventuella Relationen mellan tv˚a händelser<br />
A(t1, x1, y1, z1) ↔ A(t2, x2, y2, z2) (<strong>2.</strong>1.1)<br />
anges av en rum-tidstransformationsoperator även kallad en evolutionsoperator<br />
EXEMPEL : Newtons rörelseekvation<br />
ma = F ⇔ m d2 x(t)<br />
dt 2<br />
= F(x, t)<br />
Beskriver hur positionen hos en partikel med massan m ändras med tiden t som en<br />
funktion av en yttre kraft F,<br />
- Tv˚a p˚a varandra följande transformationer är trivialt en transformation.<br />
A(t3, x3) = A(t2, x2)A(t1, x1) (<strong>2.</strong>1.2)<br />
<strong>2.</strong><strong>2.</strong> Rotationer i rummet.<br />
Betrakta en vektor r <strong>och</strong> rotera den i rummet. Rotation innebär att vektorns<br />
riktning ändras medan längden är oförändrad.<br />
⎧<br />
r = x ˆx + y ˆy + z ˆz = x ′ ˆx ′ + y ′ ˆy ′ + z ′ ˆz ′<br />
|r|<br />
⎪⎨<br />
2 = {(x · x) (ˆx · ˆx) + (y · y) (ˆy · ˆy) + (z · z) (ˆz · ˆz)} =<br />
= <br />
(x2 ) 1 + (y2 ) 1 + (z2 ) 1 <br />
⎪⎩<br />
= {(x ′ · x ′ ) (ˆx ′ · ˆx ′ ) + (y ′ · y ′ ) (ˆy ′ · ˆy ′ ) + (z ′ · z ′ ) (ˆz ′ · ˆz ′ )} =<br />
= <br />
(x ′ ) 2 1 + (y ′ ) 2 1 + (z ′ ) 2 1 <br />
PROBLEM : Hur ? – Använd skalärprodukten<br />
(<strong>2.</strong><strong>2.</strong>1)
22 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26<br />
ˆxj = ˆx ′ 1(ˆx ′ 1 · ˆxj)+ ˆx ′ 2(ˆx ′ 2 · ˆxj)+ ˆx ′ 3(ˆx ′ 3 · ˆxj) =<br />
3<br />
i=1<br />
x ′ i = λi1x1 + λi2x2 + λi3x3 = <br />
⇓<br />
⇓<br />
ˆx ′ iλij med λij = ˆx ′ i · ˆxj = ˆx ny<br />
i · ˆx gammal<br />
j<br />
λijxj<br />
j=1<br />
(<strong>2.</strong><strong>2.</strong>2)<br />
(<strong>2.</strong><strong>2.</strong>3)<br />
Transformations eller Rotationsmatrisen<br />
⎛<br />
x<br />
⎜<br />
⎝<br />
′ 1<br />
x ′ 2<br />
x ′ ⎞ ⎛<br />
λ11<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ = ⎝ λ21<br />
3 λ31<br />
λ12<br />
λ22<br />
λ32<br />
⎞<br />
λ13<br />
⎟<br />
λ23 ⎠<br />
λ33<br />
⎛ ⎞<br />
x1<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ x2 ⎠<br />
x3<br />
{with λij = ˆxi · ˆxj} (<strong>2.</strong><strong>2.</strong>4)<br />
Betrakta rotationsmatrisen i ekv.(<strong>2.</strong><strong>2.</strong>4) i det fall vi roterar xy-axlarna en vinkel θ<br />
men beh˚aller en identisk z−axel.<br />
D˚a gäller att<br />
<strong>Matriser</strong>s egenskaper<br />
^<br />
y<br />
' ^<br />
y<br />
^<br />
z z<br />
^'<br />
^' x<br />
⎧<br />
⎪⎨ λ11 = ˆx ′ · ˆx = cos θ ; λ12 = ˆx ′ · ˆy = sin θ<br />
⎪⎩<br />
λ13 = ˆx ′ · ˆz = 0 ; λ21 = ˆy ′ · ˆx = − sin θ<br />
⇒<br />
⎛<br />
cos θ<br />
⎜<br />
λ(θxy) = ⎝ − sin θ<br />
sin θ<br />
cos θ<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
0 ⎠<br />
0 0 1<br />
Ā = (Aij)<br />
• Transposition : Aij ↔ Aji (ger : Ā T )<br />
• Symmetrisk : Aij = Aji ( Ā = Ā T )<br />
^<br />
x<br />
etc.
23 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2<br />
• Anti-symmetrisk : Aij = −Aji ( Ā = −Ā T )<br />
• Diagonal : Aij = Aji = Aiiδij ⇒ Ā = ¯d<br />
• Enhets : Aij = Aji = 1 δij ⇒ Ā = Ī<br />
- Om ∃ en matris Ī i en mängd av kvadratiska matriser <strong>och</strong> det till en matris Ā i<br />
mängden finns matris Ā −1 s˚adan att<br />
s˚a kallas matrisen Ā −1 för matrisen Ā:s invers.<br />
ĀĀ −1 = Ī = Ā −1 Ā (<strong>2.</strong><strong>2.</strong>5)<br />
- En kvadratisk matris Ā vilken saknar invers kallas singulär.<br />
- Summan av diagonalelementen i en kvadratisk matris benämnes sp˚aret (Eng.<br />
Trace )<br />
3<br />
Sp Ā = (TrĀ) = Aii. (<strong>2.</strong><strong>2.</strong>6)<br />
- För en ortogonal matris är dess invers = transponerade matris<br />
d.v.s <br />
i=1<br />
Ō T = Ō −1 ⇔ (Ō T Ō)ij = δij = (ŌŌ T )ij (<strong>2.</strong><strong>2.</strong>7a)<br />
k<br />
OkiOkj = δij = <br />
OikOjk<br />
k<br />
(<strong>2.</strong><strong>2.</strong>7b)<br />
- Jämför detta med vektorer ! Ovanst˚aende uttryck kallas ortogonalitetsrelationer.<br />
- En matris vars Hermitkonjugerade matris är dess invers kallas unitär.<br />
d.v.s <br />
Ū † = Ū −1 ⇔ (Ū † Ū)ij = δij = (UU † )ij (<strong>2.</strong><strong>2.</strong>8a)<br />
k<br />
U ∗ kiUkj = δij = <br />
UikU<br />
k<br />
∗ jk<br />
Ekv.(<strong>2.</strong><strong>2.</strong>8) kallas för en unitaritetsrelation.<br />
(<strong>2.</strong><strong>2.</strong>8b)<br />
- <strong>Matriser</strong> kommuterar i regel inte. En mängd matriser av given ordning ( n×n)<br />
bildar en s.k icke-kommutativ algebra. Exempel : Paulis spinnmatriser är fyra<br />
stycken. (se boken).<br />
Transformationsmatriser<br />
D˚a dessa operationer är reversivbla ⇒ är motsvarande matriser inverterbara genom<br />
att byta gamla → nya index<br />
(¯λ −1 )ij = ˆx gammal<br />
i<br />
· ˆx ny<br />
j<br />
= ˆxny<br />
j · ˆx gammal<br />
i = λji = (¯λ T )ij (<strong>2.</strong><strong>2.</strong>9)
24 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26<br />
<strong>2.</strong>3. Determinanter <strong>och</strong> Matrisinversion. ( DETTA SKALL NI REDAN<br />
KUNNA !!!)<br />
DEF : Determinanten av en kvadratisk matris Ā av ordningen n definieras av<br />
<br />
<br />
A11 A12 · · · A1n <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A21 A22 · · · A2n <br />
<br />
<br />
det A = <br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
. . . . <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
An1 An2 · · · Ann<br />
<br />
ɛij···lAi1Aj2 · · · Aln, (<strong>2.</strong>3.1)<br />
ij···l<br />
där ɛij···l är en permutationssymbol enl. vad som kan generaliseras fr˚an ekv.(1.3.5).<br />
Egenskaper :<br />
• Determinanten av den transponerade matrisen<br />
• Multiplikation av en kolumn<br />
det<br />
det Ā = det Ā T<br />
(<strong>2.</strong>3.2)<br />
⎛<br />
⎞<br />
kA11 A12 · · · A1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ kA21 A22 · · · A2n ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟ = k det Ā (<strong>2.</strong>3.3)<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ . . . . ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
kAn1 An2 · · · Ann<br />
• Om matriserna Ā <strong>och</strong> ¯B enbart skiljer sig genom att tv˚a rader eller kolumner har<br />
bytt plats s˚a gäller att<br />
• L˚at<br />
det Ā = − det ¯B ur (<strong>2.</strong>3.1) (<strong>2.</strong>3.4)<br />
¯C = Ā¯B ⇒ det ¯C = det (Ā¯B) = (det Ā)(det ¯B) = det (¯BĀ) (<strong>2.</strong>3.5)<br />
• En Laplaceutveckling exemplifieras av<br />
det<br />
⎛<br />
⎞<br />
A11 A12 A13<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟ <br />
<br />
<br />
<br />
⎜<br />
⎟ <br />
⎜ A21 A22 A23 ⎟ = A11<br />
<br />
A22 A23 <br />
<br />
⎜<br />
⎟ <br />
− A21<br />
<br />
A12 A13 <br />
<br />
<br />
+ A31<br />
<br />
A12 A13 <br />
<br />
<br />
<br />
A32 A33 A32 A33 A22 A23<br />
⎝<br />
⎠<br />
A31 A32 A33<br />
(<strong>2.</strong>3.6)
25 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2<br />
<strong>och</strong> definieras genom<br />
det Ā = <br />
AkqCkq med Kofaktorn Ckq ( qför kolumn (<strong>2.</strong>3.7)<br />
vilken är definierad genom<br />
k<br />
Ckq =<br />
′<br />
ij···l ,=k<br />
s˚a att den inte inneh˚aller elementet Akq.<br />
ɛij···l(Ai1 · · · Aln) ′<br />
(<strong>2.</strong>3.8)<br />
- Kofaktorn Ckq kan konstueras ur den reducerade determinanten eller minoren Mkq<br />
(av ordning n−1 ) vilken erh˚alles genom att den k :te raden <strong>och</strong> den q :te kolumnen<br />
tas bort ur det Ā. Det gäller att<br />
Ckq = (−1) k+q Mkq ⇒<br />
n<br />
det Ā = Akq(−1)<br />
k=1<br />
k+q Mkq<br />
(<strong>2.</strong>3.9)<br />
Matrisinversion.<br />
Betrakta en kvadratisk matris Ā. L˚at ¯C vara motsvarande kvadratiska matris<br />
best˚aende av kofaktorer till Ā. D˚a gäller att<br />
Ā −1 = 1<br />
det Ā<br />
D˚a ¯C enligt ekv.(<strong>2.</strong>3.8) alltid ∃ ⇒ ∃ Ā −1 om det (Ā) = 0.<br />
Linjära ekvationssystem.<br />
Antag att vi har att lösa ett linjärt ekvationssystem av formen<br />
¯C T<br />
(<strong>2.</strong>3.10)<br />
A11x1+<br />
.<br />
A12x2+<br />
.<br />
· · · +<br />
.<br />
A1nxn<br />
.<br />
= c1<br />
. ⇐⇒ Āx = c (<strong>2.</strong>3.11)<br />
An1x1+ An2x2+ · · · + Annxn = cn<br />
där Ā är en n×n matris <strong>och</strong> x1, · · · , xn är okända i form av kolumnvektorer x. ci bildar<br />
ocks˚a en kolumnvektor c.<br />
I matrisform är om Ā −1 ∃ lösningen<br />
En enskild lösning ( kallad Cramers regel ) ges av<br />
xi = (Ā −1 c)i = <br />
x = Ā −1 c (<strong>2.</strong>3.12a)<br />
j<br />
( ¯C T )ijcj<br />
det Ā<br />
= <br />
<strong>2.</strong>4. Homogena ekvationer <strong>och</strong> linjärt beroende.<br />
Betrakta ett linjärt ekvationsystem<br />
j<br />
cjCji<br />
det Ā<br />
(<strong>2.</strong>3.12b)<br />
A11x1+<br />
.<br />
A12x2+<br />
.<br />
· · · +<br />
.<br />
A1nxn<br />
.<br />
= 0<br />
. ⇐⇒ Āx = 0 (<strong>2.</strong>4.1)<br />
An1x1+ An2x2+ · · · + Annxn = 0
26 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26<br />
• Det ∃ en trivial lösning om det Ā = 0<br />
x = Ā −1 c = 0 (<strong>2.</strong>4.2)<br />
Bortse fr˚an den triviala lösningen !. Betrakta nu en vektor<br />
x = (x1, x2, · · · , xn) = x1ˆx1 + x2ˆx2 + · · · xnˆxn<br />
(<strong>2.</strong>4.3)<br />
Ekv.(<strong>2.</strong>4.1 <strong>och</strong> <strong>2.</strong>4.2) innebär att x är ortogonal mot vektorerna ai i ekv.(<strong>2.</strong>4.4) d˚a<br />
ortogonalitet innebär att skalärprodukten är lika med noll :<br />
d˚a<br />
ai = (Ai1, Ai2, · · · , Ain) (<strong>2.</strong>4.4)<br />
x · ai = (x1Ai1)(ˆx1 · ˆx1) + (x2Ai2)(ˆx2 · ˆx2) + · · · + (xnAin)(ˆxn · ˆxn) = 0 (<strong>2.</strong>4.5)<br />
Men ekv.(<strong>2.</strong>4.5) är det samma som<br />
d.v.s samma som de ekv. som bygger upp (<strong>2.</strong>4.1).<br />
x1Ai1 + x2Ai2 + · · · + xnAin = 0 (<strong>2.</strong>4.6)<br />
Betrakta nu en tredimensionell matris. Ā <strong>och</strong> ett egenvärdesproblem<br />
Āx = 0 ⇐⇒ ai · x = 0 ⇐⇒ x ⊥ ai i = 1, 2, 3. (<strong>2.</strong>4.7)<br />
det Ā = 0 ⇒ a3 = c1a1 + c2a2 (<strong>2.</strong>4.8)<br />
Om a1 = ca2 spänner a1 <strong>och</strong> a2 ett tv˚adimesionellt rum i ett tredimesionell rum<br />
• För n × n matriser kan detta linjära beroende generaliseras till att r radvektorer<br />
a1, · · · , ar i Ā vilka spänner ett underrum Sa där trivialt r < n om det Ā = 0.
27 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2<br />
Lösningen till<br />
Āx = 0 (<strong>2.</strong>4.9)<br />
spänner det˚asterst˚aende (n−r)−dimensionella rummet Sx vilket kallas det ortogonala<br />
komplementet till Sa.<br />
S = Sa ∪ Sx; Dim (S) = n ; ⇔ Sa ⊥ Sx ⇔ a ∈ Sa ; x ∈ Sx ⇒ x ⊥ a<br />
(<strong>2.</strong>4.10)<br />
Linjärt oberoende <strong>och</strong> rangen av en matris.<br />
Antag att bara de första r radvektorerna ai i = 1, · · · , r i Ā är linjärt oberoende.<br />
För de ˚aterst˚aende (n − r) vektorerna ak k = r + 1, · · · , n har vi att<br />
• Detta innebär att om<br />
r<br />
ak =<br />
i=1<br />
c (k)<br />
i ai ; k = r + 1, · · · , n (<strong>2.</strong>4.11)<br />
x ⊥ ai i = 1, · · · , r ⇒ ai · x = 0 i = 1, · · · , r ⇒ x ⊥ ak k = r + 1, · · · , n<br />
(<strong>2.</strong>4.12)<br />
L˚at nu ¯B vara den r × n submatris av Ā som inneh˚aller de linjärt oberoende radvektorerna.<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜ .<br />
⎜ ar1<br />
Ā = ⎜ a<br />
⎜ (r+1)1<br />
⎜<br />
⎝ .<br />
a12<br />
.<br />
ar2<br />
a (r+1)2<br />
.<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
⎞<br />
a1n<br />
⎟<br />
. ⎟ ⎛<br />
arn<br />
⎟ ¯B<br />
⎟ = ⎝<br />
a (r+1)n ⎟ ¯B ⎟<br />
. ⎠<br />
kompl<br />
⎞<br />
⎠ (<strong>2.</strong>4.13)<br />
D˚a gäller att<br />
an1 an2 · · · ann<br />
¯Bx = 0 (<strong>2.</strong>4.14)<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
¯B = ( b1 · · · bn ) med bj = ⎜<br />
⎝<br />
a1j<br />
⎟<br />
a2j ⎟<br />
⎠<br />
.<br />
arj<br />
(<strong>2.</strong>4.15)<br />
• Inte alla dessa n kolumnvektorer är linjärt oberoende fr˚an varandra d˚a en godtycklig<br />
r−dimensionell vektor m˚aste ha r oberoende komponenter.<br />
⇒ Ej mer än r av dessa kolumnvektorer bj kan vara linjärt oberoende.<br />
En kolumnvektor bn är linjärt beroende av de andra kolumnvektorerna<br />
n−1 <br />
bn = djbj<br />
j=1<br />
kan strykas ur matrisen ¯B utan att det linjära oberoendet av de resterande<br />
(n − 1)−dimensionella radvektorerna ändras.<br />
(<strong>2.</strong>4.16)
28 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26<br />
• (n−r) st av de linjärt beroende kolumnvektorerna kan tas bort utan att det p˚averkar<br />
underrummet som spänns genom ¯B.<br />
⇒ ∃ en matris ¯R med Dim ( ¯R) = r × r <strong>och</strong> det ( ¯R) = 0.<br />
• Exempel : Betrakta matrisen<br />
⎛<br />
1<br />
¯B<br />
⎜<br />
= ⎝<br />
2<br />
⎞<br />
3<br />
⎟<br />
⎠<br />
4 5 6<br />
Denna byggs upp av tv˚a linjärt oberoende radvektorer. Detta innebär att<br />
enbart tv˚a av de tre kolonvektorerna är linjärt oberoende. Den tredje<br />
kolonvektorn är en linjärkombination av de tv˚a övriga :<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
3 1 2<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
b3 = ⎝ ⎠ = − ⎝ ⎠ + 2 ⎝ ⎠ = −b1 + 2b2<br />
6 4 5<br />
Detta innebär att den inverterbara matrisen ¯R är<br />
⎛ ⎞<br />
1 2<br />
¯R<br />
⎜ ⎟<br />
= ⎝ ⎠<br />
4 5<br />
DEF : Ordningen hos den största ickesingulära ( det ¯R = 0) submatrisen ¯R i en matris Ā<br />
definierar en<br />
matris ( Ā ) rang.<br />
˚Atervänd till ekv.(<strong>2.</strong>4.14).<br />
¯Bx = 0 ⇒ (¯Bx)i =<br />
⇒<br />
r<br />
j=1<br />
n<br />
j=1<br />
bjxj = −<br />
Bijxj = 0 ⇒<br />
n<br />
k=r+1<br />
bkxk<br />
n<br />
j=1<br />
bjxj = 0<br />
(<strong>2.</strong>4.16)<br />
• En godtycklig lösning till denna ekvation är ocks˚a en lösning till Āx = 0 d˚a ¯B<br />
inneh˚aller alla linjärt oberoende vektorer i Ā.<br />
- Ekv.(<strong>2.</strong>4.16) kan nu lösas. (1) först den triviala lösningen x = 0.<br />
Antag att alla xk = 0.<br />
(<strong>2.</strong>4.16) → ¯Rx ′ = 0 med x ′ ⎛ ⎞<br />
x1<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
x2<br />
.<br />
xr<br />
⇒ x = 0 (<strong>2.</strong>4.17)
29 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2<br />
Antag att alla xk = 0 utom( för ett värde p˚a l ) : xl ; r + 1 ≤ l ≤ n ; k = l. Om<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
y1 x1/xl<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ . ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ . ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
y = ⎜ yj ⎟ = ⎜ xj/xl ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠<br />
yr<br />
xr/xl<br />
blir en unik riktning.<br />
⇒ ¯Ryl = −bl ⇒ yl = − ¯R −1 bl ⇒ el = e(yl)<br />
(<strong>2.</strong>4.18)<br />
• Genom att efter varandra l˚ata ℓ = r + 1, · · · , ℓ = n kan vi p˚a detta sätt konstruera<br />
(n − r) linjärt oberoende riktningar ek med k = r + 1, · · · , k = n. Dessa vektorer<br />
spänner hela det (n − r)−dimensionella rummet Sx ⊥ Sa<br />
• Sa inneh˚aller de r linjärt oberoende radvektorerna i ¯B.<br />
• D˚a ek k = r + 1, · · · , k = n är linjärt oberoende genom v˚ar konstruktion kan<br />
varje annan lösning till Ā skrivas som<br />
x =<br />
n<br />
k=1<br />
ekxk<br />
(<strong>2.</strong>4.19)<br />
<strong>2.</strong>5. Matrisegenvärdesproblem ( ÄVEN DETTA SKALL NI KUNNA !!!!)<br />
L˚at ¯B vara en n × n matris <strong>och</strong> Ī motsvarande enhetsmatris. Betrakta egenvärdesproblemet<br />
¯Bu − λĪu = 0 (<strong>2.</strong>5.1)<br />
- Lösningen : λν är ett egenvärde eller karaktäristiskt värde<br />
- Lösningen : uν = 0 är motsvarande egenvektor.<br />
(¯B − λĪ)u = 0 (<strong>2.</strong>5.2)<br />
är ett homogent ekvationssystem som alltid ( för alla λ ) har den triviala lösningen<br />
- Villkor för icke trivial lösning:<br />
u = 0 (<strong>2.</strong>5.3)<br />
φ(λ) = det (¯B − λĪ) = 0 (<strong>2.</strong>5.4)<br />
Ekv.(<strong>2.</strong>5.4) kallas den karaktäristiska ekvationen. φ är ett polynom av grad n =⇒ n<br />
rötter λ1, λ2, ...λn vars värde kan sammanfalla.<br />
- Om λ = λi = egenvärde kan det homogena ekvationssystemet (<strong>2.</strong>5.2) lösas , d.v.s ∃<br />
en egenvektor ei s˚a att<br />
(¯B − λi Ī)ei = 0 (<strong>2.</strong>5.5)
30 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26<br />
- ei är en normerad egenvektor svarande mot egenvärdet λi med egenskapen<br />
e T i ei = 1 (<strong>2.</strong>5.6)<br />
<strong>2.</strong>6 Generaliserade matrisegenvärdesproblem.<br />
L˚at ¯K <strong>och</strong> ¯M vara n × n-matriser <strong>och</strong> studera egenvärdesproblemet<br />
- En icke-trivial lösning kräver att<br />
( ¯K − λ ¯M)u = 0 (<strong>2.</strong>6.1)<br />
φ(λ) = det ( ¯K − λ ¯M) = 0 (<strong>2.</strong>6.2)<br />
- Detta behöver för ett generaliserat egenvärdesproblem ej längre vara ett polynom<br />
av grad n. Det kan ha lägre grad.<br />
- Om ¯M har m noll-egenvärden finns det bara n − m lösningar till ekv.(<strong>2.</strong>6.2).<br />
<strong>2.</strong>7. Hermitska matriser.<br />
DEF : En matris är Hermitsk om :<br />
H †<br />
ij ≡ (H∗ ij) T = Hji ⇔ ¯H † ≡ ( ¯H ∗ ) T = ¯H (<strong>2.</strong>7.1)<br />
- Spec: Om ¯H är reell s˚a följer av ekv.(<strong>2.</strong>7.1) att den är symmetrisk<br />
¯H T = ¯H (<strong>2.</strong>7.2)<br />
• Hermitska matriser har följande egenskaper<br />
1. De kan vara komplexa eller reella.<br />
<strong>2.</strong> Deras egenvärden är reella.<br />
3. Egenvektorer svarande mot olika egenvärden är ortogonala. (Motsvarande skalärprodukt<br />
är e †<br />
i ej )<br />
4. Egenvektorer som hör till degenererade egenvärden kan ortogonaliseras.<br />
5. Tillhörande skalärprodukt ger en reell norm<br />
e †<br />
i ei = (e ∗ i) T ei > 0<br />
Om λi = λj s˚a spänner motsvarande egenvektorer upp ett 2-dimensionellt rum.<br />
Diagonalisering.<br />
L˚at de ortonormaliserade egenvektorerna till en hermitsk matris ¯H bilda en matris<br />
Ū.<br />
⎛<br />
⎜<br />
Ū = ⎜<br />
⎝<br />
e11 . . . en1<br />
. .<br />
. .<br />
. .<br />
e1n . . . enn<br />
⎞<br />
⎟ , den har egenskapen<br />
⎟<br />
⎠<br />
Ū † Ū <br />
ij<br />
= e†<br />
i ej = δij (<strong>2.</strong>7.3)
31 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2<br />
Den Hermitska matrisen ¯H kan diagonaliseras med hjälp av Ū. Betrakta matrisen<br />
¯D med element<br />
( ¯D)ij = (Ū † ¯HŪ)ij = <br />
(<strong>2.</strong>7.4)<br />
Men enligt def. av Ū enligt ekv.(<strong>2.</strong>7.3) s˚a är<br />
kl<br />
(Ū † )ikHklUlj<br />
Dij = e †<br />
i Hej = λje †<br />
i ej = λjδij<br />
• Den Hermitska matrisen ¯H kan s˚aledes diagonaliseras med hjälp av Ū<br />
Ū † ⎛<br />
λ1<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
¯HŪ = ¯D = ⎜ .<br />
⎜ .<br />
⎜<br />
⎝ .<br />
.<br />
λ2<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
0<br />
0<br />
.<br />
.<br />
.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 . . . 0 λn<br />
Funktioner av matriser<br />
För matriser med egenskapen (<strong>2.</strong>7.6) kan vi definiera funktioner<br />
f( ¯H) = Ūf( ¯D)Ū † ⎛<br />
f(λ1)<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
≡ Ū ⎜ .<br />
⎜ .<br />
⎜<br />
⎝ .<br />
.<br />
f(λ2)<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
. . .<br />
0<br />
0<br />
.<br />
.<br />
.<br />
⎞<br />
⎟ Ū<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 . . . 0 f(λn)<br />
†<br />
Hermitska matrisers generaliserade egenvärdesproblem.<br />
L˚at ¯K <strong>och</strong> ¯M vara hermitska matriser. Betrakta egenvärdesproblemet<br />
¯Kei = λi ¯Mei<br />
Antag att ¯M:s alla egenvärden λ M i > 0, d.v.s. att ¯M är positivt definit.<br />
⇐ ∃ ¯M −1/2<br />
enligt ekv.(<strong>2.</strong>7.7). Ekv.(<strong>2.</strong>7.8) kan d˚a skrivas som<br />
<br />
= λi<br />
¯M −1/2 ¯Kei = ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2 ¯M 1/2 ei<br />
eller<br />
(<strong>2.</strong>7.5)<br />
(<strong>2.</strong>7.6)<br />
(<strong>2.</strong>7.7)<br />
(<strong>2.</strong>7.8)<br />
(upphöjt till −1/2 ) (<strong>2.</strong>7.9)<br />
¯K ′ bi = λibi<br />
Lägg märke till att även ¯K ′ är hermitsk d˚a<br />
<br />
¯M 1/2 <br />
ei<br />
( ¯K ′ ) † = ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2 †<br />
= ¯M −1/2 †<br />
¯K † ¯M −1/2 †<br />
med ¯K ′ = ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2<br />
(<strong>2.</strong>7.10a)<br />
(<strong>2.</strong>7.10b)<br />
= ¯M −1/2 ¯K ¯M −1/2 = ¯K ′<br />
(<strong>2.</strong>7.11)<br />
D˚a för en hermitsk matris gäller att egenvektorerna till tv˚a olika egenvärden är<br />
ortogonala s˚a har vi här att<br />
λi = λj ⇒ b †<br />
i bj = 0 (<strong>2.</strong>7.12)
32 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26<br />
vilket enligt (<strong>2.</strong>7.10b) är det samma som att<br />
( ¯M 1/2 ei) † ¯M 1/2 ei = 0 ⇐⇒ (ej) † ¯Mej = 0 (i = j) (<strong>2.</strong>7.13)<br />
• De generaliserade egenvärdena är allts˚a ortogonala mot viktsmatrisen ¯M.<br />
Gruppteori<br />
Vad är en Grupp i matematisk mening ?<br />
• Behövs en mängd av vad som hellst {A = Ai} <strong>och</strong> en operator ⊗ som relaterar<br />
kallas en gruppens medlemmar till varandra.<br />
DEF : En mängd A är en grupp om<br />
(1) Om A3 = A2 ⊗ A1 ocks˚a är en medlem i gruppen : ett gruppelement.<br />
(2) Om det ∃ ett element I ∈ A s˚adant att<br />
Aj ⊗ I = I ⊗ Aj ∀ Aj ∈ A<br />
(3) Om det till varje element Aj ∈ A ∃ element A −1<br />
j<br />
att<br />
Grupp multiplikation<br />
A −1<br />
j ⊗ Aj = Aj ⊗ A −1<br />
j = I<br />
( kallat inversen till Aj ) s˚adant<br />
De diskreta grupperna är enklaste. Betrakta en liksidig triangel i planet. Genom<br />
att vrida triangeln 120 o runt dess medelpunkt f˚ar vi en identisk triangel. Genom att<br />
spegla triangeln i de tre linjer som delar den i tv˚a lika rätvinkliga trianglar f˚ar vi ˚ater<br />
tre indentiska trianglar. De tv˚a olika typerna av operationer bildar tv˚a cykliska undergrupper<br />
i s˚a m˚atto att varje undergrupp är sluten under sin typ av operationer <strong>och</strong><br />
varje undergrupp best˚ar av ett begränsat antal operationer efter vilket vi erh˚aller samma<br />
element. Om vi l˚ater element 1 vara enhetselementet, A vara en rotation av 120 o <strong>och</strong><br />
B vara en rotation av 240 o har vi genererat rotationsundergruppen. L˚at sedan C vara<br />
en spegling i<br />
hörnet genom punkten (0, 1) i figuren, D vara en spegling i hörnet genom<br />
punkten ( 3/4, −1/2) <strong>och</strong> E vara en spegling i hörnet genom punkten (− 3/4, −1/2).<br />
Elementen (1, C, D, E) bildar ocks˚a en cyklisk undergrupp. Hela gruppen kan beskrivas<br />
med en s.k. Gruppmultiplikationstabell<br />
| 1 A B C D E<br />
1 | 1 A B C D E<br />
A | A B 1 D E C<br />
B | B 1 A E C D<br />
C | C E D 1 B A<br />
D | D C E A 1 B<br />
E | E D C B A 1
33 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2<br />
<strong>2.</strong>9. Rotationsoperatorer<br />
Betrakta rotationsmatrisen i ekv.(<strong>2.</strong><strong>2.</strong>4) i det fall vi roterar xy-axlarna en vinkel<br />
θ men beh˚aller en identisk z−axel.<br />
⎛<br />
cos θ<br />
⎜<br />
λ(θxy) = ⎝ − sin θ<br />
sin θ<br />
cos θ<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
0 ⎠<br />
0 0 1<br />
För en infinitesimal rotation dθ3 runt z−axeln f˚ar vi att<br />
⎛<br />
1<br />
⎜<br />
R(dθ) = ⎝ −dθ3<br />
dθ3<br />
1<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
0<br />
0 0 1<br />
Analogt definierar vi<br />
⎠ = 1 + ıdθ3J3 där J3 = ı<br />
J1 = ı<br />
⎛<br />
0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
−1 ⎠ <strong>och</strong> J2 = ı<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎞<br />
1<br />
⎟<br />
0 ⎠<br />
0 1 0<br />
−1 0 0<br />
⎛<br />
0<br />
⎜<br />
⎝ 1<br />
−1<br />
0<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
0 ⎠<br />
0 0 0<br />
• Egenskaper : matriserna Ji, i = 1, 2, 3 är generatorer för infinitesimala rotationer.<br />
(1) <strong>Matriser</strong>na Ji är Hermitska.<br />
(2) Det gäller att<br />
(3) Deras kommutatorer är<br />
Ändliga rotationer.<br />
J 2 ⎛ ⎞<br />
0 0 0<br />
⎜ ⎟<br />
1 = ⎝ 0 1 0 ⎠ , J<br />
0 0 1<br />
2 ⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
⎜ ⎟<br />
2 = ⎝ 0 0 0 ⎠ , J<br />
0 0 1<br />
2 ⎛ ⎞<br />
1 0 0<br />
⎜ ⎟<br />
3 = ⎝ 0 1 0 ⎠<br />
0 0 0<br />
⇒ J 2 = J · J = J 2 1 + J 2 2 + J 2 3 = 2I<br />
[Ji, Jj] = JiJj − JjJi = ı <br />
k<br />
ɛijk Jk
34 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26<br />
För infinitesimal rotation runt en godtyckligt riktning ê är<br />
Betrakta analogt<br />
R(dθ) = 1 + ı dθ · J, dθ = dθê<br />
R(θ + dθ) = R(dθ)R(θ) = (1 + ı dθ · J)R(θ) ↔ dR(θ) = R(θ + dθ) − R(θ)<br />
DEF : Upprepade infinitesimala rotationer runt samma riktning ê ger oss rotationsoperatorn<br />
R(θ) = exp(ı θ · J) θ = θê<br />
• Matrisen R(θ) är s˚aväl ortogonal som unitär d˚a<br />
Vektoralgebra i Matrisform.<br />
skalärprodukten<br />
är oberoende av koordinatsystem :<br />
vektorprodukten<br />
Enligt den normala definitionen<br />
Att jämföras med<br />
R † (θ) = exp(−ı θ · J † ) = exp(−ı θ · J) = R −1 (θ)<br />
⎛ ⎞<br />
B1<br />
⎜ ⎟<br />
A · B = ( A1 A2 A3 ) ⎝ B2 ⎠ = A T B<br />
B3<br />
A ′ · B ′ = (λA) T λB = A T (λ T λ)B = A · B<br />
<br />
<br />
⎛<br />
⎞<br />
<br />
ˆx ˆy ˆz <br />
<br />
A2B3 − A3B2<br />
<br />
<br />
⎜<br />
⎟<br />
A × B = A1 A2 A3 = { i matrisform } = ⎝ A3B1 − A1B3 ⎠<br />
<br />
<br />
B1 B2 B3<br />
<br />
A1B2 − A2B1<br />
A × B =<br />
Matrisen<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
A3<br />
−A3<br />
0<br />
A2<br />
−A1<br />
−A2 A1 0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
A3<br />
−A3<br />
0<br />
A2<br />
−A1<br />
−A2 A1 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
B1 A2B3 − A3B2<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟<br />
⎠ ⎝ B2 ⎠ = ⎝ A3B1 − A1B3 ⎠<br />
B3<br />
A1B2 − A2B1<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
− ı<br />
⎪⎩ A1<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞⎫<br />
0 0 0<br />
0 0 1<br />
0 −1 0 ⎪⎬<br />
⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟<br />
ı ⎝ 0 0 −1 ⎠ + A2 ı ⎝ 0 0 0 ⎠ + A3 ı ⎝ 1 0 0 ⎠ = −ıA · J<br />
⎪⎭<br />
0 1 0<br />
−1 0 0<br />
0 0 0
35 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2<br />
⇒ A × B = −ı(A · J) B<br />
EXEMPEL : En konstant ortsvektors koordinatändring under en infinitesimal rotation av koordinataxlarna.<br />
dr = r ′ − r = ı(dθ · J)r = −dθ × r<br />
⇒ v = dr<br />
dt<br />
= −ω × r , med ω = dθ<br />
dt<br />
<strong>2.</strong>11. Matrisgrupper.<br />
Kvadratiska matriser relaterar transformationer mellan olika koordinatsystem. De<br />
är därför utomordentligt viktiga i den teoretiska fysiken. Kvadratiska matriser bildar<br />
icke kommutativa grupper.<br />
DEF : Alla ickesingulära = invertibla komplexa n × n matriser bildar en grupp under<br />
matrismultiplikation : Komplexa linjära gruppen av ordningen n : GL(n, c)<br />
• GL(n, c) har ett antal undergrupper vilka är slutna under matrismultiplikation.<br />
DEF : Om det finns en unitär transformation som avbildar v˚ar ursprungliga representationsmatriser<br />
i diagonal eller blockdiagonalform<br />
SRS −1 =<br />
<br />
P 0<br />
0 Q<br />
⇔<br />
s˚a säger man att representationen R är reducibel.<br />
DEF : Representationen R är sammansatt av P <strong>och</strong> Q<br />
DEF :<br />
⎛<br />
r11<br />
⎜ r21<br />
⎜<br />
⎝ r31<br />
r12<br />
r22<br />
r32<br />
r13<br />
r23<br />
r33<br />
⎞<br />
r14<br />
⎟<br />
r24 ⎟<br />
r34 ⎠<br />
r41 r42 r43 r44<br />
→<br />
⎛<br />
p11<br />
⎜ p21<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
p12<br />
p22<br />
0<br />
0<br />
0<br />
q11<br />
⎞<br />
0<br />
0<br />
⎟<br />
q12 ⎠<br />
0 0 q21 q22<br />
R = P ⊕ Q<br />
Irreducibla representationer används inom gruppteorien p˚a ungefär samma sätt som<br />
enhetsvektorer inom vektoranalysen för att bygga upp mera komplicerade strukturer<br />
ur de enklaste.<br />
Betrakta en grupp av element x vilka transformeras in i en annan grupp av element<br />
y med en similaritetstransformation med avseende p˚a ett element gi i gruppen<br />
gixg −1<br />
i<br />
= y elementet y är konjugerat till x<br />
DEF : En klass är en mängd av ömsesidigt konjugerade gruppelement. Alla medlemmar<br />
i en given klass är ekvivalenta i s˚a mening att varje element är en similaritetstransformation<br />
av ett annat element.<br />
- Varje element i den ursprungliga gruppen tillhör en <strong>och</strong> endast en klass
36 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26<br />
- Antalet element i en klass är en faktor i den ursprungliga gruppens ordning.<br />
DEF : Man kan visa att sp˚aret av em matris bevaras under similaritetstransformationer.<br />
Sp˚aret eller karaktären för en klass är den samma för alla element i klassen.<br />
Ortogonalagruppen O(n) av alla ortogonala matriser av ordningen n<br />
- Denna grupper beskriver koordinattransformationsmatriser λ i ett n−dimensionellt<br />
rum.<br />
- Skalärprodukten är invariant<br />
A ′ · B ′ = (λA) T λB = A T (λ T λ)B = A · B<br />
- <strong>Matriser</strong> i O(n) beskrivs av 1/2 n(n−1) reella tal d˚a 1/2 n(n−1) = n 2 −1/2 n(n+1)<br />
där 1/2 n(n + 1) tal behövs för att beskriva relationen λ T λ = I.<br />
- Gruppen O(3) beskriver rotationer i det tredimensionella rummet.<br />
∗ Eulervinklarna α, β <strong>och</strong> γ def. av<br />
R(α, β, γ) = Rz(γ)Rx(β)Rz(α) ⇐⇒ R(α) = exp(ı α · J) ;<br />
(3) (2) (1)<br />
med α = α1e1 + α2e2 + α3e3
37 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2<br />
EXEMPEL : Rotationmatriser i planet. Betrakta samma liksidiga triangel i figuren i sektion <strong>2.</strong>9<br />
:<br />
I rotationsmatrisform f˚ar vi<br />
<br />
1 0<br />
1 = Rz(0) =<br />
0 1<br />
A = Rz(2π/3) =<br />
B = Rz(4π/3) =<br />
<br />
cos(2π/3)<br />
<br />
− sin(2π/3)<br />
sin(2π/3) cos(2π/3)<br />
<br />
cos(4π/3)<br />
<br />
− sin(4π/3)<br />
sin(4π/3) cos(4π/3)<br />
<strong>och</strong> reflektionsmatriser<br />
<br />
−1 0<br />
C = RC(π) =<br />
0 1<br />
<br />
−1 0<br />
D = RD(π) = CD =<br />
0 1<br />
⎛<br />
⎝ −1/2<br />
⎞ ⎛<br />
3/4<br />
<br />
⎠ = ⎝<br />
− 3/4 −1/2<br />
1/2<br />
⎞<br />
3/4<br />
<br />
⎠ = −B<br />
− 3/4 −1/2<br />
<strong>och</strong> slutligen<br />
Unitära gruppen U(n)<br />
⎛<br />
E = CA = ⎝ 1/2<br />
⎞<br />
3/4<br />
<br />
⎠<br />
3/4 −1/2<br />
- Den beskrivs av 2n 2 − n 2 reella tal d˚a begränsningen U † U = I l˚aser n 2 reella tal.<br />
- L˚at H vara en hermitsk n × n matris.<br />
U = exp(ı H) det U = det {exp(ı H)} = exp(ıSp ¯H) = exp(ı<br />
H hemitsk ⇒ λi ∈ R 1 ⇒ |det U| = 1<br />
n<br />
i<br />
λi ) = exp(ı α)<br />
Gruppen U(1) best˚ar av alla fasfaktorer.<br />
Speciella unitära gruppen SU(n)<br />
best˚ar av alla unitära matriser med |det U| = 1. d.v.s. α = 0. L˚at U0 ∈ SU(n).<br />
⎧<br />
⎪⎨ U(n) = exp(ıH)<br />
⎪⎩<br />
U0 = exp(ı H0)<br />
⇒ H = H0 + α<br />
n<br />
<br />
I <strong>och</strong> U = exp ı α<br />
n<br />
<br />
<br />
U0 = U0 exp ı α<br />
<br />
n
EXEMPEL : SU(2)<br />
38 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26<br />
U0(α, β, γ) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⇒ U(n) = SU(n) ⊗ U(1)<br />
cos α cos βe ı γ sin β + ı sin α cos β<br />
−ı γ<br />
− sin β + ı sin α cos β cos α cos βe<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠