2. Transformationer, Matriser och Operationer.

More documents

Recommendations

Info

34 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 För infinitesimal rotation runt en godtyckligt riktning ê är Betrakta analogt R(dθ) = 1 + ı dθ · J, dθ = dθê R(θ + dθ) = R(dθ)R(θ) = (1 + ı dθ · J)R(θ) ↔ dR(θ) = R(θ + dθ) − R(θ) DEF : Upprepade infinitesimala rotationer runt samma riktning ê ger oss rotationsoperatorn R(θ) = exp(ı θ · J) θ = θê • Matrisen R(θ) är s˚aväl ortogonal som unitär d˚a Vektoralgebra i Matrisform. skalärprodukten är oberoende av koordinatsystem : vektorprodukten Enligt den normala definitionen Att jämföras med R † (θ) = exp(−ı θ · J † ) = exp(−ı θ · J) = R −1 (θ) ⎛ ⎞ B1 ⎜ ⎟ A · B = ( A1 A2 A3 ) ⎝ B2 ⎠ = A T B B3 A ′ · B ′ = (λA) T λB = A T (λ T λ)B = A · B ⎛ ⎞ ˆx ˆy ˆz A2B3 − A3B2 ⎜ ⎟ A × B = A1 A2 A3 = { i matrisform } = ⎝ A3B1 − A1B3 ⎠ B1 B2 B3 A1B2 − A2B1 A × B = Matrisen ⎛ ⎜ ⎝ 0 A3 −A3 0 A2 −A1 −A2 A1 0 ⎛ ⎜ ⎝ 0 A3 −A3 0 A2 −A1 −A2 A1 0 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ B1 A2B3 − A3B2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ B2 ⎠ = ⎝ A3B1 − A1B3 ⎠ B3 A1B2 − A2B1 ⎧ ⎪⎨ − ı ⎪⎩ A1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫ 0 0 0 0 0 1 0 −1 0 ⎪⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ı ⎝ 0 0 −1 ⎠ + A2 ı ⎝ 0 0 0 ⎠ + A3 ı ⎝ 1 0 0 ⎠ = −ıA · J ⎪⎭ 0 1 0 −1 0 0 0 0 0
35 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2 ⇒ A × B = −ı(A · J) B EXEMPEL : En konstant ortsvektors koordinatändring under en infinitesimal rotation av koordinataxlarna. dr = r ′ − r = ı(dθ · J)r = −dθ × r ⇒ v = dr dt = −ω × r , med ω = dθ dt 2.11. Matrisgrupper. Kvadratiska matriser relaterar transformationer mellan olika koordinatsystem. De är därför utomordentligt viktiga i den teoretiska fysiken. Kvadratiska matriser bildar icke kommutativa grupper. DEF : Alla ickesingulära = invertibla komplexa n × n matriser bildar en grupp under matrismultiplikation : Komplexa linjära gruppen av ordningen n : GL(n, c) • GL(n, c) har ett antal undergrupper vilka är slutna under matrismultiplikation. DEF : Om det finns en unitär transformation som avbildar v˚ar ursprungliga representationsmatriser i diagonal eller blockdiagonalform SRS −1 = P 0 0 Q ⇔ s˚a säger man att representationen R är reducibel. DEF : Representationen R är sammansatt av P och Q DEF : ⎛ r11 ⎜ r21 ⎜ ⎝ r31 r12 r22 r32 r13 r23 r33 ⎞ r14 ⎟ r24 ⎟ r34 ⎠ r41 r42 r43 r44 → ⎛ p11 ⎜ p21 ⎜ ⎝ 0 p12 p22 0 0 0 q11 ⎞ 0 0 ⎟ q12 ⎠ 0 0 q21 q22 R = P ⊕ Q Irreducibla representationer används inom gruppteorien p˚a ungefär samma sätt som enhetsvektorer inom vektoranalysen för att bygga upp mera komplicerade strukturer ur de enklaste. Betrakta en grupp av element x vilka transformeras in i en annan grupp av element y med en similaritetstransformation med avseende p˚a ett element gi i gruppen gixg −1 i = y elementet y är konjugerat till x DEF : En klass är en mängd av ömsesidigt konjugerade gruppelement. Alla medlemmar i en given klass är ekvivalenta i s˚a mening att varje element är en similaritetstransformation av ett annat element. - Varje element i den ursprungliga gruppen tillhör en och endast en klass
Page 1 and 2: 21 Fysikens matematiska metoder. Ve
Page 13: 33 Fysikens matematiska metoder. Ve

2. Transformationer, Matriser och Operationer.

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?