2. Transformationer, Matriser och Operationer.

More documents

Recommendations

Info

32 Nils Elander, 08/5537 8656 - 08/96 70 21 – 2003:1:26 vilket enligt (2.7.10b) är det samma som att ( ¯M 1/2 ei) † ¯M 1/2 ei = 0 ⇐⇒ (ej) † ¯Mej = 0 (i = j) (2.7.13) • De generaliserade egenvärdena är allts˚a ortogonala mot viktsmatrisen ¯M. Gruppteori Vad är en Grupp i matematisk mening ? • Behövs en mängd av vad som hellst {A = Ai} och en operator ⊗ som relaterar kallas en gruppens medlemmar till varandra. DEF : En mängd A är en grupp om (1) Om A3 = A2 ⊗ A1 ocks˚a är en medlem i gruppen : ett gruppelement. (2) Om det ∃ ett element I ∈ A s˚adant att Aj ⊗ I = I ⊗ Aj ∀ Aj ∈ A (3) Om det till varje element Aj ∈ A ∃ element A −1 j att Grupp multiplikation A −1 j ⊗ Aj = Aj ⊗ A −1 j = I ( kallat inversen till Aj ) s˚adant De diskreta grupperna är enklaste. Betrakta en liksidig triangel i planet. Genom att vrida triangeln 120 o runt dess medelpunkt f˚ar vi en identisk triangel. Genom att spegla triangeln i de tre linjer som delar den i tv˚a lika rätvinkliga trianglar f˚ar vi ˚ater tre indentiska trianglar. De tv˚a olika typerna av operationer bildar tv˚a cykliska undergrupper i s˚a m˚atto att varje undergrupp är sluten under sin typ av operationer och varje undergrupp best˚ar av ett begränsat antal operationer efter vilket vi erh˚aller samma element. Om vi l˚ater element 1 vara enhetselementet, A vara en rotation av 120 o och B vara en rotation av 240 o har vi genererat rotationsundergruppen. L˚at sedan C vara en spegling i hörnet genom punkten (0, 1) i figuren, D vara en spegling i hörnet genom punkten ( 3/4, −1/2) och E vara en spegling i hörnet genom punkten (− 3/4, −1/2). Elementen (1, C, D, E) bildar ocks˚a en cyklisk undergrupp. Hela gruppen kan beskrivas med en s.k. Gruppmultiplikationstabell | 1 A B C D E 1 | 1 A B C D E A | A B 1 D E C B | B 1 A E C D C | C E D 1 B A D | D C E A 1 B E | E D C B A 1
33 Fysikens matematiska metoder. Vecka 2 2.9. Rotationsoperatorer Betrakta rotationsmatrisen i ekv.(2.2.4) i det fall vi roterar xy-axlarna en vinkel θ men beh˚aller en identisk z−axel. ⎛ cos θ ⎜ λ(θxy) = ⎝ − sin θ sin θ cos θ ⎞ 0 ⎟ 0 ⎠ 0 0 1 För en infinitesimal rotation dθ3 runt z−axeln f˚ar vi att ⎛ 1 ⎜ R(dθ) = ⎝ −dθ3 dθ3 1 ⎞ 0 ⎟ 0 0 0 1 Analogt definierar vi ⎠ = 1 + ıdθ3J3 där J3 = ı J1 = ı ⎛ 0 ⎜ ⎝ 0 0 0 ⎞ 0 ⎟ −1 ⎠ och J2 = ı ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 ⎞ 1 ⎟ 0 ⎠ 0 1 0 −1 0 0 ⎛ 0 ⎜ ⎝ 1 −1 0 ⎞ 0 ⎟ 0 ⎠ 0 0 0 • Egenskaper : matriserna Ji, i = 1, 2, 3 är generatorer för infinitesimala rotationer. (1) Matriserna Ji är Hermitska. (2) Det gäller att (3) Deras kommutatorer är Ändliga rotationer. J 2 ⎛ ⎞ 0 0 0 ⎜ ⎟ 1 = ⎝ 0 1 0 ⎠ , J 0 0 1 2 ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ 2 = ⎝ 0 0 0 ⎠ , J 0 0 1 2 ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ 3 = ⎝ 0 1 0 ⎠ 0 0 0 ⇒ J 2 = J · J = J 2 1 + J 2 2 + J 2 3 = 2I [Ji, Jj] = JiJj − JjJi = ı k ɛijk Jk
Page 1 and 2: 21 Fysikens matematiska metoder. Ve
Page 11: 31 Fysikens matematiska metoder. Ve

2. Transformationer, Matriser och Operationer.

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?